力偶
力偶的平衡原理应用
力偶的平衡原理应用什么是力偶力偶是指两个大小相等、方向相反的力共同作用在一个物体上。
根据力偶的定义，对于一个物体，所有力偶的合力为零，因此力偶不会对物体的位置和运动状态产生影响。
力偶的平衡原理力偶的平衡原理是指当一个物体受到力偶的作用时，物体保持平衡的条件是力偶的合力为零。
这意味着无论力偶的大小和作用点如何变化，只要它们满足合力为零的条件，物体就会保持平衡。
力偶的应用领域力偶的平衡原理是力学中的基本原理之一，它在多个领域具有广泛的应用，包括：1. 结构力学在结构力学中，力偶的平衡原理被广泛应用于分析和设计各种结构。
通过合理配置和计算相互作用的力偶，可以确保结构的稳定性和安全性。
例如，在建筑物的设计过程中，经常需要考虑风力、地震等外力对结构的影响，而力偶的平衡原理可以帮助工程师合理地设计结构以满足这些要求。
2. 物体平衡在物理学中，力偶的平衡原理被应用于分析物体的平衡情况。
通过考虑物体受到的各个力偶的合力是否为零，可以判断物体是否处于平衡状态。
这对于研究物体的平衡条件和稳定性非常重要。
在实际生活中，我们经常利用力偶的平衡原理来分析天平、秤等物体平衡的原理。
3. 测量仪器在测量和测试领域，力偶的平衡原理被广泛应用于各种仪器的设计和制造。
例如，在天平中，通过调整两边的称量砝码，使得两边的力偶平衡，可以测量物体的质量。
力偶的平衡原理也可以应用于其他类型的仪器，包括压力传感器、力传感器等。
4. 物体悬挂和旋转力偶的平衡原理在物体悬挂和旋转的问题中也有重要应用。
在物体悬挂问题中，通过调整悬挂点的位置和力偶的大小，可以使物体保持平衡。
在物体旋转问题中，力偶的平衡原理可以帮助我们分析物体绕轴旋转的条件和角速度等。
力偶的平衡原理实例实例一：天平天平是最常见的力偶的平衡应用之一。
天平的工作原理基于力偶的平衡原理，通过调整秤盘两边的砝码，使得两边的力偶平衡，从而测量物体的质量。
天平的设计和制造需要考虑力偶的大小和作用点，以确保其准确性和可靠性。
理论力学--力偶理论
Fn dn
Fn1
F1
d1
d2 F2
A
B
F11 d
F21
A
B
d
FR
M1 F1d1 F11d
图3-4 M 2 F2d2 F21d ，…，
M n Fndn Fn1d
FR F11 F21 (Fn1 ) FR F11 F21 (Fn1 )
3 力偶理论
与力一样，力偶是力学中的一个基本量。作用于刚体上的力偶 不能使刚体产生移动效应，只能使刚体产生转动效应。
力偶是一种特殊的力系，没有合力，不能与单个力平衡。
但它具有可移转性、可改变性等重要性质，它对刚体的转动效 应完全取决于力偶矩矢。
3.1 力偶、力偶矩矢
3.1.1 力偶的概念
如图3-1所示，作用于刚体上大小相等、方向 相反的一对平行力，称为力偶（Couple），记作 （F，F′）。
在实际计算中，通常采用投影形式。
M FR d (F11 F21 (Fn1)) d M1 M2 Mn M
3.2.2 平面力偶系的平衡方程
平面力偶系平衡的必要与充分条件是：所有各力偶矩的代数和等 于零，即
M M1 M2 Mn 0
（3-4）
式（3-4）称为平面力偶系的平衡方程。由于只有一个平衡方程，因此 只能求解一个未知量。
M
（1）乘积Fd； （2）力偶的转向； （3）力偶作用面的方位。
F d F′
图3-2
这三个因素用一个矢量表示，称为力偶矩矢，记为M。力偶矩矢的 表示法如下：矢的长度按一定的比例表示力偶矩的大小Fd ；矢的方位垂 直于力偶作用面；矢的指向按右手规则确定，即右手四指的指向符合力 偶转向而握拳时，大拇指伸出的方向就是力偶矩矢的转向。
力偶的等效
一、平面力偶的等效定理:
在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩 大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效。这 就是平面力偶的等效定理。
§3.3 力偶的等效
二、平面力偶等效定理证明
在力偶 ( F, F′)作用面上，任取两点A和 B，分别过A、B两点作平行线l1, l2
与F, F′二力作用线分别交于C点和D 点，联结CD，过C，D两点，
A
P
F
B
在CD连线方向上加平衡力Q,Q′,则 P= F+Q, P′= F′+Q′,
C
F
d
F
FLeabharlann 则 (P , P′）作用结果等效于( F, F′)的作用结果。
(P , P′）可以沿着其作用线移动到l1, l2上任何一点。 ∴力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关。
§3.3 力偶的等效
=
=
=
=
§3.3 力偶的等效
三、力偶的两个推论
1. 力偶可以在作用面内任意转移，而不影响 它对物体的作用效应。
2. 在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下， 可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影 响它对物体的作用。
第3章(力偶系)
MO (F ) 与矩心的选择有关，为定位矢量
2. 力对点之矩矢的解析表达式
MO ( F ) r F
xi yj zk (Fx i Fy j Fz k ) （ ） i j k x y z Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k [ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
FA FA
OA O1 A sin 30o
解得： M 2 4 M1
作业 P46 3-1 c 3-2 3-5 3-8
二、力对坐标轴 之矩的解析表达式
M x (F ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) zFy yFz M y (F ) M y ( Fz ) M y (Fx ) xFz zFx Mz (F ) Mz (Fx ) Mz (Fy ) yFx xFy
M Rz M z = M 2 M3 cos30 48.5 N.m
合力偶矩矢MR的大小和方向余弦分别为：
2 2 2 M R M Rx M Ry M Rz 7.22 202 48.52 52.95 N.m
cos( M R cos( M R cos( M R
M , i)
解：各杆受力图如图，由几何关系可得FA 、FC 垂直于AC 。建立平衡方程 M FA a 2 b 2 0 M 0: 解得：
FA M a 2 b2
FB FC FC FA M a 2 b2
例：图示机构，套筒A 穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄OA 上，已知长为 a ，其上作用有力偶 M1 。在图示位置β=30o ，机 械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆 O1B 上所加力 偶的力偶矩 M2 。
力偶的术语解释
力偶的术语解释力偶是物理学中的一个重要概念，它用来描述两个相等大小、方向相反的力在同一直线上作用的情况。
力偶常用于解释物体的旋转运动以及平衡条件。
本文将对力偶的定义、力矩和力偶对物体的影响等方面进行解释。
1. 力偶的定义力偶是指两个大小相等、方向相反的力在同一直线上作用的情况。
记作F1与F2为力偶两个力的大小，d为力偶的臂长（即两个力之间的距离），力偶可以表示为M = F1 × d = F2 × d。
其中M表示力偶的力矩。
力偶既是力的叠加，又是力矩的叠加。
2. 力矩力矩是力对物体产生旋转效应的物理量，用M表示，其计算公式为M = F × d。
其中F表示力的大小，d表示力的作用点到物体指定轴线的距离，力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
3. 力偶对物体的影响力偶的作用方式是使物体发生转动。
当一个力偶作用在物体上时，力偶的力矩将使物体绕一个轴线旋转。
根据力矩的性质，力偶对物体的效果与其力矩有关。
当物体所受力矩为零时，物体处于平衡状态。
4. 力偶的平衡条件力偶的平衡条件是指力偶对物体的合成力矩为零。
当一个物体对称地受到力偶的作用时，力偶的合成力矩为零，物体将保持平衡。
利用力偶的平衡条件可以解释物体的静力平衡与旋转平衡。
5. 力偶与杠杆原理力偶与杠杆原理密切相关。
根据杠杆原理，一个物体平衡时，物体所受力偶的力矩之和为零。
利用杠杆原理可以计算物体上未知力的大小或位置。
6. 力偶的应用力偶的概念在物理学和工程学中有着广泛的应用。
在机械工程中，力偶可以用于分析物体的平衡问题和旋转运动；在土木工程中，力偶可以用于计算桥梁和结构的稳定性；在天文学中，力偶可以用于解释天体的自转现象。
总结：力偶是两个大小相等、方向相反的力在同一直线上作用的情况。
力偶的定义、力矩与力偶的关系、力偶对物体的影响和平衡条件等方面进行了解释。
力偶的概念在物理学和工程学中有着广泛的应用，对于理解物体的平衡和旋转运动以及解释天体自转等现象具有重要意义。
力偶系
A rBA rA rB F d B rA
rB
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
2、力偶转动效应三要素
力偶矩大小
力偶矩矢长度 力偶 矩矢 三要素
力偶 转动 效应 三要素
转向
力偶矩矢指向
作用面方位
力偶矩矢法线
3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
C
C
FC FA FB FC
M a b
2 2
FA
A
FB
B
例题 3-3 各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为 M的力偶。试求支座A的约束力。 解：1）以BC构件为研究对象，画出分离体及其受力图。 根据力偶平衡条件，列平衡方程 ：
M 0,
M FC l 0
M2
FD
D
例题 3-2 图示机构在图示位置处于平衡。 已知，a:b=c:a,不计杆重，求A，B两点的约束力。 解：1）画受力图，BC为二力杆。 2）列平衡方程： a b c
M
A
C B
M 0,
M FA a 2 b 2 0
FA M a 2 b2
M
FC FC
工程力学
•第三章 力偶系
第一章
力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例 §3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力偶系概念及工程实例
一、工程实例
日常生活中经常遇到力偶， 比如：用手拧钥匙、汽车司机双
手转动驾驶盘等。 力偶的概念:作用于刚体上大小
( yFx zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
第3章_力偶系
目录
3
§3.1
力对点之矩矢
平面中力对点之矩
两个要素：
1.大小：力F 与力臂的乘积
2.方向：转动方向 力矩的定义——力 F 的大小乘 以该力作用线到某点 O 间距离 d ，并加上适当正负号，称为 力F 对O 点的矩。简称力矩。
B
O d A
目录 4
F
§3.1
力对点之矩矢
力矩的表达式:
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
目录
20
§3.6
力偶系的平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶 矩矢等于零，即
力对点之矩矢在通过该点之轴上 的投影，等于力对该轴之矩。
目录
12
§3.3
力偶矩矢
M M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F rA F rB F ( rA rB ) F rBA F
M 0
M
零。
x
0
M
y
0
M
z
0
--称为空间力偶系的平衡方程. 对于平面问题：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于
M 0
目录 21
§3.5
例3-1 已知
力偶的合成
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
求：平衡时的 M 2 及铰链O，B处的约束力.
目录
力偶和力合成
力偶和力合成
力偶和力合成是在力学中涉及的两个概念。
1力偶（Force Couple）：力偶是指两个大小相等、方向相反的力作用在一个物体上，它们的作用线不重合。
这样的一对力组合产生一个力矩，而且不会使物体产生直线运动。
力偶是一种旋转作用的效果，而不会导致平移运动。
2力合成（Force Composition）：力合成是指将多个力合并或组合成一个力的单一效果的过程。
这通常涉及将多个力的矢量相加，以获得它们的合力。
如果力是沿着相同直线的，可以简单地将它们的大小相加或相减。
如果它们不沿同一直线，就需要使用矢量相加的方法，比如使用平行四边形法则或三角法则。
这两个概念都在分析物体受力时发挥作用。
力偶通常用于描述旋转效果，而力合成则用于将多个力的效果合并成一个力。
在解决静力学和动力学问题时，这两个概念都是非常有用的。
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1 第2章 力矩与力偶2.1力对点的矩 从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就是度量力使物体转动效果的物理量。
力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢?现以扳手拧螺帽为例，如图2.1所示。
手加在扳手上的力F ，使扳手带动螺帽绕中心O 转动。
力F越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心O 点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转动中心O 时，无论力F 多大也不能扳动螺帽，只有当力的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动效果最好。
另外，当力的大小和作用线不变而指向相反时，将使物体向相反的方向转动。
在建筑工地上使用撬杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。
通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离d 也成正比。
这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心(简称矩心)。
力的大小与力臂的乘积称为力F 对点O 之矩(简称力矩)，记作()o m F 。
计算公式可写为()o m F F d =±⋅ (2.1)式中的正负号表示力矩的转向。
在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。
因此，力矩是个代数量。
力矩的单位是N m ⋅或kN m ⋅。
由力矩的定义可以得到如下力矩的性质：(1)力F 对点O 的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。
矩心的位置不同，力矩随之不同；(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；(3)力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。
(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。
例2.1 分别计算图2.2中1F 、2F 对O 点的力矩。
解 从图2–2中可知力1F 和2F 对O 点的力臂是h 和2l 。
2 故m o(F)=±F 11l = F 11l sin300=49×0.1×0.5=2.45N.mm o(F)=±F 22l =－F 22l =－16.3×0.15=2.45N.m必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与力的作用点的距离，如1F 的力臂是h ,不是1l 。
2.2 合力矩定理在计算力对点的力矩时，有些问题往往力臂不易求出，因而直接按定义求力矩难以计算。
此时，通常采用的方法是将这个力分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力，在由多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。
这一有效方法的理论根据是合力矩定理，即：如果有n 个平面汇交力作用于A 点，则平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和：即 m o (F R )=m o (F 1)+ m o (F 2) +…+ m o (F n ) =∑m o (F) (2.2)称为合力矩定理。
合力矩定理一方面常常可以用来确定物体的重心位置；另一方面也可以用来简化力矩的计算。
这样就使力矩的计算有两种方法：在力臂已知或方便求解时,按力矩定义进行计算；在计算力对某点之矩，力臂不易求出时，按合力矩定理求解，可以将此力分解为相互垂直的分力，如两分力对该点的力臂已知，即可方便地求出两分力对该点的力矩的代数和，从而求出已知力对该点矩。
例 2.2 计算图2.3中F 对O 点之矩。
解 F 对O 点取矩时力臂不易找出。
将F 分解成互相垂直的两个分力F X 、F Y ，它们对O 点的矩分别为m o (F X )=F X b=Fbsin αm o (F Y )= F Y a=Facos α由合力矩定理m o (F)= m o (F X )+ m o (F Y )= Fbsin α+ Facos α例 2.3 槽形杆用螺钉固定于点O ，如图2.4（a ）所示。
在杆端点A 作用一力F ，其大小为400N ，试求力F 对点O 的矩。
3解 方法1(按力矩定义计算)：本题中力F 的大小和方向均已知，要计算力F 对点O 的矩，关键是找出力臂的长度。
为此，自矩心O 作力F 作用线的垂线OC ，线段OC 就是力臂d ，如图2.4（b ）所示。
由图2.4（b ）中的ABO ∆可得106tan 0.33312α-== 18.43α=412.65sin 0.3162BO AO cm α=== 而在ACO ∆中，6018.4341.57β=-=，所以 sin 12.65sin 41.578.39d AO cm β===于是力F 对点O 的矩为m o (F)=Fd=－400×83.9=33560Nmm“一”号表示力F 将使槽形杆绕点O 有顺时针方向转动的趋势。
方法2(按合力矩定理计算)：将力F 分解为水平力F X 和铅直力F Y ，如图2.4（c ）所示。
由合力矩定理知，力F 对点O 的矩就等于分力F X 、F Y 对同一点O 的矩的代数和，即m o (F)= m o (F X )+ m o (F Y ) =－F X ×120+F Y ×40=－400sin600×120+400cos600×40=－41560+8000=－33560Nmm可见两种方法结果完全一样。
但在方法1中，求力P F 对点O 的矩需要通过几何关系才能找出力臂，计算比较麻烦；而方法2用合力矩定理计算则比较简便。
在实际计算中，常用合力矩定理来求力矩或合力作用线的位置。
2.3力偶及其基本性质2.4力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。
例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上(图2.5所示)。
当大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F和/F作用在同一物体时，它们的合F=，即F和/F没有合力。
但因二力不共线，所以也不能平衡。
它们的作用效果是力0R使物体发生转动。
力学上把这样大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫力偶。
用符号(F,/F)表示。
两个相反力之间垂直距离d叫力偶臂(如图2.6所示)，两个力的作用线所在的平面称为力偶作用面。
力偶不能再简化成比力更简单的形式，所以力偶与力一样被看成是组成力系的基本元素。
如何度量力偶对物体的作用效果呢?由实践可知，组成力偶的力越大，或力偶臂越大，则力偶使物体转动的效应越强；反之，就越弱。
这说明力偶的转动效应不仅与两个力的大小有关，而且还与力偶臂的大小有关。
与力矩类似，用力偶中一个力大小和力偶臂的乘积并冠以适当正负号(以示转向)来度量力偶对物体的转动效应，称为力偶矩，用m表示。
即m Fd=±(2.3) 使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。
如图2.6所示。
所以力偶矩是代⋅)。
数量。
力偶矩的单位与力矩的单位相同，常用牛顿·米(N m通过大量实践证明，度量力偶对物体转动效应的三要素是：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。
不同的力偶只要它们的三要素相同，对物体的转动效应就是一样的。
2.4.1 力偶的基本性质性质1 力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能与一个力来平衡。
从力偶的定义和力的合力投影定理可知，力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上的投影的代数和恒为零，所以力偶没有合力，力偶对物体只能有转动效应，而一个力在一45般情况下对物体有移动和转动两种效应。
因此，力偶与力对物体的作用效应不同，所以其不能与一个力等效，也不能用一个力代替，也就是说力偶不能和一个力平衡，力偶只能和转向相反的力偶平衡。
性质2 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。
图2.7所示力偶(F ,/F )，其力偶臂为d ，逆时针转向，其力偶矩为m Fd =，在其所在的平面内任选一点O 为矩心，与离/F 的垂直距离为x ，则它到F 的垂直距离为x d +。
显然，力偶对O点的力矩是力F 与F '分别对O 点的力矩的代数和。
其值为：(,)()O m F F F d x F x F d m''=+-== 由于O 点是任意选取的，所以性质2已得证。
性质3 在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
称为力偶的等效条件。
从以上性质可以得到两个推论。
推论1 力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。
例如图2.8(a)作用在方向盘上的两上力偶(1F ，F ')与（2F ，F '）只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作用位置虽不同，转动效应是相同的。
推论2 在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短；而不改变它对物体的转动效应。
例如图2.8(b)所示，工人在利用丝锥攻螺纹时，作用在螺纹杠上的(1F ，F ')或（2F ，F '），虽然1d 和2d 不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩1122F d F d =，则两力偶的作用效果是相同的。
6 从上面两个推论可知，在研究与力偶有关的问题时，不必考虑力偶在平面内的作用位置，也不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长短，只需考虑力偶的大小和转向。
所以常用带箭头的弧线表示力偶，箭头方向表示力偶的转向，弧线旁的字母m 或者数值表示力偶矩的大小，如图2.9所示。
2.5平面力偶系的合成与平衡2.5.1 平面力偶系的合成 作用在物体上的一群力偶或一组力偶，称为力偶系。
作用面均在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。
因为力偶对物体的作用效果是转动，所以同一平面上的多个力偶对物体的作用效果也是转动，作用在同一物体上的多个力偶的合成的结果必然也应该是一个力偶，并且这个力偶的力偶矩等于各个分力偶的力偶矩之和。
即作用在同一平面上的若干力偶，可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：即 12n M m m m m =+++=∑ (2.4) 例 2.4 如图 2.10所示，在物体的某平面内受到三个力偶的作用，设1200F N =，2600F N =，300m N m =⋅，求它们的合力偶矩。
解 各力偶矩分别为112001200m F d N m =-=-⨯=-⋅220.25600300sin 30m F d N m ==+⨯=⋅1300m m N m =-=-⋅由(2－4)式可得合力矩为123M m m m m ==++∑200300300200N m =-+-=-⋅即合力偶矩的大小为200N m ⋅，顺时针转向，作用在原力偶系的平面内。
2.4.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，物体处于平衡状态；反之，力偶矩不为零，则物体必产生转动效应而不平衡。