匈牙利算法

匈牙利算法是一种组合优化算法，可以在多项式时间内解决任务分配问题，并在以后推广原始的对偶方法。美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）在1955年提出了该算法。该算法之所以称为匈牙利算法，是因为它很大程度上是基于前匈牙利数学家Denes K nig和Jen Egervary的工作。

假设它是无向图。如果顶点集V可以分为两个不相交的子集，则在该子集中选择具有最大边数的子集称为图的最大匹配问题。

如果存在匹配项和匹配项数，则该匹配项称为完美匹配项，也称为完全匹配项。称为完美匹配时的特殊。

在介绍匈牙利算法之前，只有几个概念，M是G的匹配项。

如果，则边缘已经在匹配的M上。

M交错的路径：P是G的路径。如果P中的边是属于M的边和不属于M而是属于G的边交替，则称P为M交错的路。如：路径，。

M饱和点：例如，如果V与M中的边关联，则V为m饱和点；否则，V为非M饱和点。例如，它们都属于M饱和点，而其他所有点都属于非M饱和点。

M扩展路径：P是M交错的路径。如果P的起点和终点均为非M饱和点，则P称为m增强路径。例如（不要与流网络中的增强路径混淆）。

寻找最多匹配项的一种明显算法是找到所有匹配项，然后保留最多匹配项。但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。因

此，我们需要找到一种更有效的算法。下面介绍使用增强路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利数学家爱德蒙兹（Edmonds）于1965年提出）。

增强轨道（也称为增强轨道或交错轨道）的定义：

如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配）在P上交替，则称P为扩充路径相对于M

从增强路径的定义可以得出以下三个结论：

（1）到P的路径数必须是奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。

（2）通过将M和P取反可以获得更大的匹配度。

（3）当且仅当没有M的增加路径时，M是G的最大匹配。

算法简介：

（1）令M为空

（2）通过异或运算找到增强路径P并获得更大的匹配项而不是M

（3）重复（2），直到找不到扩展路径。

时间复杂度邻接矩阵：最差的是邻接表：

空间复杂度的邻接矩阵：邻接表：