匈牙利算法
匈牙利算法是一种组合优化算法，可以在多项式时间内解决任务分配问题，并在以后推广原始的对偶方法。
美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）在1955年提出了该算法。
该算法之所以称为匈牙利算法，是因为它很大程度上是基于前匈牙利数学家Denes K nig和Jen Egervary的工作。
假设它是无向图。
如果顶点集V可以分为两个不相交的子集，则在该子集中选择具有最大边数的子集称为图的最大匹配问题。
如果存在匹配项和匹配项数，则该匹配项称为完美匹配项，也称为完全匹配项。
称为完美匹配时的特殊。
在介绍匈牙利算法之前，只有几个概念，M是G的匹配项。
如果，则边缘已经在匹配的M上。
M交错的路径：P是G的路径。
如果P中的边是属于M的边和不属于M而是属于G的边交替，则称P为M交错的路。
如：路径，。
M饱和点：例如，如果V与M中的边关联，则V为m饱和点；否则，V为非M饱和点。
例如，它们都属于M饱和点，而其他所有点都属于非M饱和点。
M扩展路径：P是M交错的路径。
如果P的起点和终点均为非M饱和点，则P称为m增强路径。
例如（不要与流网络中的增强路径混淆）。
寻找最多匹配项的一种明显算法是找到所有匹配项，然后保留最多匹配项。
但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。
因
此，我们需要找到一种更有效的算法。
下面介绍使用增强路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利数学家爱德蒙兹（Edmonds）于1965年提出）。
增强轨道（也称为增强轨道或交错轨道）的定义：
如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配）在P上交替，则称P为扩充路径相对于M
从增强路径的定义可以得出以下三个结论：
（1）到P的路径数必须是奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。
（2）通过将M和P取反可以获得更大的匹配度。
（3）当且仅当没有M的增加路径时，M是G的最大匹配。
算法简介：
（1）令M为空
（2）通过异或运算找到增强路径P并获得更大的匹配项而不是M
（3）重复（2），直到找不到扩展路径。
时间复杂度邻接矩阵：最差的是邻接表：
空间复杂度的邻接矩阵：邻接表：。
最大化指派问题匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。
最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。
下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。
1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。
算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。
寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。
如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。
修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。
重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。
可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。
3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。
项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。
资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。
4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。
在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。
运筹学匈牙利法
运筹学匈牙利法运筹学匈牙利法（Hungarian Algorithm），也叫匈牙利算法，是解决二部图最大（小）权完美匹配（也称作二分图最大权匹配、二分图最小点覆盖）问题的经典算法，是由匈牙利数学家Kuhn和Harold W. Kuhn发明的，属于贪心算法的一种。
问题描述在一个二分图中，每个节点分别属于两个特定集合。
找到一种匹配，使得所有内部的节点对都有连边，并且找到一种匹配方案，使得该方案的边权和最大。
应用场景匈牙利算法的应用场景较为广泛，比如在生产调度、货车调度、学生对导师的指定、电影的推荐等领域内，都有广泛的应用。
算法流程匈牙利算法的伪代码描述如下：进行循环ɑ、选择一点未匹配的点a作为起点，它在二分图的左边β、找出a所有未匹配的点作为下一层节点ɣ、对下一层的每个节点，如果它在右边未匹配，直接匹配ɛ、如果遇到一个已经匹配的节点，进入下一圈，考虑和它匹配的情况δ、对已经匹配的点，将它已经匹配的点拿出来，作为下一层节点，标记这个点作为已被搜索过ε、将这个点作为当前层的虚拟点，没人配它，看能否为它找到和它匹配的点ζ、如果能匹配到它的伴侣，令它们成对被匹配最后输出最大权匹配。
算法优缺点优点：相比于暴力求解二分图最大权匹配来说，匈牙利算法具有优秀的解决效率和高效的时间复杂度，可以在多项式时间（O(n^3)）内解决二分图最大权匹配问题。
缺点：当二分图较大时，匈牙利算法还是有很大的计算复杂度，复杂度不佳，算法有效性差。
此时就需要改进算法或者使用其他算法。
总结匈牙利算法是一个常见的解决二分图最大权匹配问题的算法，由于其简洁、易用、效率优秀等特性，广泛应用于学术和实际问题中。
匈牙利算法虽然在处理较大规模问题时效率不佳，但仍然是一种值得掌握的经典算法。
匈牙利算法离散数学
匈牙利算法离散数学
匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法，属于离散数学中图论的内容。
在二分图中，顶点集被分为左右两个部分，边连接两个部分的顶点。
最大匹配问题就是要找到一种最大的匹配方案，使得尽可能多的顶点能够被匹配。
匈牙利算法的基本思想是通过寻找增广路径来不断增加匹配的顶点数。
增广路径是指从左边的未匹配顶点出发，交替经过未匹配边和已匹配边，最终到达右边的未匹配顶点的路径。
通过不断寻找增广路径，并将路径上的边进行匹配和取消匹配，最终可以得到一个最大匹配。
具体实现时，匈牙利算法采用了深度优先搜索的方式来寻找增广路径。
首先从左边的每个未匹配顶点出发，依次进行深度优先搜索，尝试与右边的未匹配顶点进行匹配。
如果找到了增广路径，则将路径上的边进行匹配和取消匹配，继续寻找下一个增广路径。
如果无法找到增广路径，则返回当前匹配的顶点数，即为最大匹配数。
匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是顶点数，E是边数。
通
过优化算法，如路径压缩和交替路径优化，可以进一步提高算法的效率。
匈牙利算法在实际应用中有广泛的应用，比如在求解任务分配问题、
婚姻匹配问题等方面都可以使用。
其应用领域还包括网络流问题、图像处理、人工智能等。
总之，匈牙利算法是离散数学中图论领域一个重要的算法，用于解决二分图最大匹配问题。
其基本思想是通过寻找增广路径来不断增加匹配的顶点数，从而得到一个最大匹配。
通过优化算法，可以提高算法的效率。
该算法在实际应用中有广泛的应用。
匈牙利算法
匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。
美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。
此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry的工作之上创建起来的。
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
二分图：二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
图一就是一个二分图。
匈牙利算法：匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
Hall定理：二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y; X={X1, X2, X3,X4, .........,Xm}, Y={y1, y2, y3, y4 , .........,yn}, G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。
（1≤k≤m)匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
图一中红线为就是一组匹配。
未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。
如图一中的a 3、b1。
设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。
匈牙利算法
匈牙利算法是一种组合优化算法，用于解决多项式时间内的任务分配问题，并推广了后来的原始对偶方法。
美国数学家Harold Kuhn在1955年提出了该算法。
之所以将该算法称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerv áry的先前工作。
匈牙利算法是一种组合优化算法，用于解决多项式时间内的任务分配问题，并推广了后来的原始对偶方法。
美国数学家Harold Kuhn在1955年提出了该算法。
之所以将该算法称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerv áry的先前工作。
众所周知，匈牙利是一个国家的名称，与算法的发明者有关。
匈牙利算法的发明者埃德蒙兹（Edmonds）于1965年提出了匈牙利算法。
我不知道为什么匈牙利算法的发明者是匈牙利算法，而且我从未见过其他以国家命名的算法。
是因为匈牙利人提出的算法太少了吗？
匈牙利算法的核心原理非常简单，即找到增强路径以实现最大匹配。
我们将匈牙利算法与Gale-Shapley算法的原理进行了比较，您发现了什么？实际上，这两种算法的核心原理是相同的。
在GS算法中，我们首先开始追求男孩，并尽可能地进行匹配。
然后，单身男孩一次又一次地认罪，如果有更好的比赛，以前的比赛将被打破。
在稳定婚
姻的问题中，我们定义了匹配的质量，而在本地二分匹配的问题中，匹配既不是好事也不是坏事。
如果我们抛开匹配的好坏，而把高品质男生抓住劣等男生的过程当作匹配调整的过程，那么这两种算法的核心几乎是相同的。
匈牙利算法——精选推荐
匈⽛利算法0 - 相关概念0.1 - 匈⽛利算法 匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。
匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆部图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。
0.2 - ⼆分图 若图G的结点集合V(G)可以分成两个⾮空⼦集V1和V2，并且图G的任意边xy关联的两个结点x和y分别属于这两个⼦集，则G是⼆分图。
1 - 基本思想1. 找到当前结点a可以匹配的对象A，若该对象A已被匹配，则转⼊第3步，否则转⼊第2步2. 将该对象A的匹配对象记为当前对象a，转⼊第6步3. 寻找该对象A已经匹配的对象b，寻求其b是否可以匹配另外的对象B，如果可以，转⼊第4步，否则，转⼊第5步4. 将匹配对象b更新为另⼀个对象B，将对象A的匹配对象更新为a，转⼊第6步5. 结点a寻求下⼀个可以匹配的对象，如果存在，则转⼊第1步，否则说明当前结点a没有可以匹配的对象，转⼊第6步6. 转⼊下⼀结点再转⼊第1步2 - 样例解析 上⾯的基本思想看完肯定⼀头雾⽔（很⼤程度是受限于我的表达能⼒），下⾯通过来就匈⽛利算法做⼀个详细的样例解析。
2.1 - 题⽬⼤意 农场主John有N头奶⽜和M个畜栏，每⼀头奶⽜需要在特定的畜栏才能产奶。
第⼀⾏给出N和M，接下来N⾏每⾏代表对应编号的奶⽜，每⾏的第⼀个数值T表⽰该奶⽜可以在多少个畜栏产奶，⽽后的T个数值为对应畜栏的编号，最后输出⼀⾏，表⽰最多可以让多少头奶⽜产奶。
2.1 - 输⼊样例5522532342153125122.2 - 匈⽛利算法解题思路2.2.1 - 构造⼆分图 根据输⼊样例构造如下⼆分图，蓝⾊结点表⽰奶⽜，黄⾊结点表⽰畜栏，连线表⽰对应奶⽜能在对应畜栏产奶。
2.2.2 - 模拟算法流程为结点1（奶⽜）分配畜栏，分配畜栏2（如图(a)加粗红边所⽰）为结点2（奶⽜）分配畜栏，由于畜栏2已经被分配给结点1（奶⽜），所以寻求结点1（奶⽜）是否能够分配别的畜栏，以把畜栏2腾给结点2（奶⽜）。
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
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目录
一、匈牙利算法的概念与基本原理
二、匈牙利算法的应用实例
三、匈牙利算法的优缺点
正文
一、匈牙利算法的概念与基本原理
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家 Mátyásovszky 于 1937 年首次提出。
该算法的基本思想是：通过不断循环寻找图中的偶数长度路径，并将路径中的顶点依次匹配，直到找不到这样的路径为止。
此时，图中的所有顶点都已匹配，即得到了二分图的最大匹配。
二、匈牙利算法的应用实例
匈牙利算法广泛应用于任务分配、资源调度、数据融合等领域。
下面举一个简单的例子来说明匈牙利算法的应用。
假设有 5 个工人和 8 个任务，每个工人完成不同任务的效率不同。
我们需要为每个任务分配一个工人，使得总效率最大。
可以用一个二分图来表示这个问题，其中顶点分为两类：工人和任务。
边表示任务与工人之间的效率关系。
匈牙利算法可以用来求解这个问题，找到最优的任务分配方案。
三、匈牙利算法的优缺点
匈牙利算法的优点是简单、高效，可以解决二分图的最大匹配问题。
然而，它也存在一些缺点：
1.匈牙利算法只能解决无向图的匹配问题，对于有向图，需要将其转
换为无向图才能使用匈牙利算法。
2.当图中存在环时，匈牙利算法无法找到最大匹配。
这时需要使用其他算法，如 Euclidean algorithm（欧几里得算法）来解决。
3.匈牙利算法在实际应用中可能存在数值稳定性问题，即在计算过程中可能出现精度误差。
匈牙利算法求解原理的应用
匈牙利算法求解原理的应用什么是匈牙利算法匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。
所谓二分图，就是一个节点集合可以分为两个不相交的子集，而且每个子集内的节点之间不存在边。
在二分图中，最大匹配问题就是寻找最大的边集合，使得每个节点都和边集合中的某条边相邻接。
匈牙利算法的原理是通过增广路径的方法来求解最大匹配问题。
其中增广路径是指在匹配图中的一条未被匹配的边交替经过未被匹配的节点，最终到达另一个未被匹配的节点的路径。
匈牙利算法的应用匈牙利算法有许多实际应用场景。
以下列举了一些典型的应用案例：1.婚姻匹配问题：假设有n个男人和n个女人，每个人都有一个倾向表，表明他们对各种婚姻选择的偏好程度。
那么如何进行匹配，使得每个人都得到一个满意度最高的选择，同时保证没有不合适的匹配？这就可以使用匈牙利算法进行求解。
2.任务分配问题：假设有m个任务和n个工人，每个任务对于每个工人都有不同的技能要求和报酬。
如何将任务分配给工人，使得任务总报酬最大化，并满足每个任务的要求？这也可以使用匈牙利算法进行求解。
3.运输问题：在某个地区有n个供应点和n个需求点，以及不同供应点到需求点之间的运输成本。
那么如何选择合适的运输方案，使得总运输成本最小？同样可以使用匈牙利算法进行求解。
4.社交网络匹配问题：在一个社交网络中，每个人都有一定的朋友圈和交往偏好。
如何将这些人进行匹配，使得每个人都能够找到最适合的交往对象？匈牙利算法也可以应用于这种情况。
匈牙利算法的实现步骤下面是匈牙利算法的具体实现步骤：1.在匹配图中选择一个未匹配的顶点作为起始点，并为其标记为已访问。
2.对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果该邻接顶点未被匹配，则找到一条增广路径。
如果该邻接顶点已被匹配，但可以通过其他路径找到一条增广路径，则将该邻接顶点的匹配权转移到当前顶点的匹配边上。
3.继续选择下一个未匹配的顶点，重复步骤2，直到无法找到增广路径为止。
4.返回当前匹配图的最大匹配。
匈牙利算法基本原理
匈牙利算法基本原理匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的一种经典算法。
该算法由匈牙利数学家Egerváry Jenő于1930年代初发现，后来由匈牙利的两位数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry进行深入研究和推广，因此得名为匈牙利算法。
二分图是指图的所有顶点可以被分为两个不相交的集合，并且图的所有边连接两个集合中的顶点。
最大匹配问题是在二分图中寻找最大的边集合，使得任意两条边的顶点不相交。
1.初始化：首先，我们需要给定一个二分图，以及两个空的顶点集合U和V，分别用来存储左侧和右侧顶点的匹配状态，初始时，所有顶点均未匹配。
2.寻找增广路径：从左侧的一个未匹配顶点开始，按照深度优先（DFS）的方式，递归地寻找可能的增广路径（即一条由未匹配顶点和已匹配顶点交替组成的路径，路径的首尾顶点未匹配）。
如果找到了增广路径，则将路径上的顶点进行匹配或取消匹配。
如果无法找到增广路径，则转到第3步。
3.寻找增广轨：如果在第2步中无法找到增广路径，则可以说明当前的匹配是最大匹配，因此算法结束。
否则，我们需要进行增广轨的寻找。
-将所有的顶点标记为未访问状态。
-从左侧的任意一个未匹配顶点开始，按照广度优先（BFS）的方式，寻找增广轨。
如果找到了增广轨，则将轨上的顶点进行匹配或取消匹配，并结束算法。
否则，继续遍历直到左侧所有未匹配顶点都被访问过。
总结起来，匈牙利算法是一种解决二分图最大匹配问题的经典算法，通过交替路径的增广来不断更新匹配状态，直到达到最大匹配。
它可以通过深度优先和广度优先的方式来寻找增广路径和增广轨，时间复杂度为O(V*E)。
匈牙利算法在实际问题中有着广泛的应用和研究。
匈牙利算法
匈牙利算法：匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。
美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。
此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerváry 的工作之上创建起来的。
设G=(V,E)是一个无向图。
如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1，V2，选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximalmatchingproblem)。
果一个匹配中，|V1|≤|V2|且匹配数|M|=|V1|，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
特别的当|V1|=|V2|称为完美匹配。
作用：解决指派问题。
所谓的指派问题就比如：甲乙丙三个人去做ABC 三件事情。
每个人做每件事情所花的时间可能不一样。
每个人只能安排一件事情，问怎样安排才能使三个人所工作的时间之和最小？扩展成n个人n件事也可以，但要求是：事情数和人数一样多每人只能做一件事这样的问题就称作指派问题匈牙利算法就是解决这样的问题的。
步骤概括：每行减去此行最小数判断是否达到算法目标，如未达到算法目标，继续下一步。
否则结束。
横纵交替，从行开始。
找出所有还没有选中0的行（具体见步骤实例），在此行后面打钩；把此行中有0的列全打钩。
在打钩的列中，如果有零，又在有0的行打钩，如此交替，直到不能再打钩。
在没有打钩的行和打钩的列上划线，会得到发现所有的0已经被划去，如果没有划去，请检查前面的步骤。
此时剩下的所有元素中，找到最小值，就记为min吧。
在第4步画线的行减去min（此时原来的0变成-min)，再在画线的列加上min(此时矩阵中没有了负数）。
回到第2步。