匈牙利算法示例ppt
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匈牙利算的优化
例
指派问题及其解法
有甲、乙、丙、丁、戊五位工人被指派去 完成A、B 、 C 、 D 、 E五项任务，每个 人完成任务所需的工时各不相同，见下表。 求应如何指派人员才能使得所用工时最少？
解
1, xij 0，
分配第i个人做j工作时 不分配第i个人做j工作时
目标函数为
12 x
11
7 x12 9 x13 7 x14 9 x15 8 x21 9 x22
6 x23 6 x24 6 x25 7 x31 17 x32 12 x33 14 x34 9 x35 15 x41 14 x42 6 x43 6 x44 10 x45 4 x51 10 x 52 7 x53 10 x54 9 x55
7 ◎ 2 Ø 2 4 3 ◎ Ø Ø Ø 8 3 5 ◎ 11 8 Ø ◎ 4 ◎ 4 1 4 3
或
7 ◎ 2 Ø 2 4 3 Ø◎ Ø Ø 8 3 5 ◎ 11 8 ◎ Ø 4 4 1 4 3 ◎
8 0 3 1 4 2 0 0 3 10 6 8 11 7 0 0 0 3 1 4
3 0 3 0 3
0 0
3 0 0
8 4 0 11 0
0 3 1 3 2 0 0 0 7 3 5 0 7 0 0 0 3 1 4 3
解矩阵得到2个最优指派方案；（1）甲-B，乙-C， 丙--E，丁-D,戊-A；（2）甲-B，乙-D，丙-E,丁-C， 戊-A。所需时间为minz=7+6+9+6+4=32
3 匈牙利法的改进
实际上很多效率矩阵用上述匈牙利法进行求解时必 须经要经历第（3）和第（4），但在这些效率矩阵 中有很大部分用改进后的匈牙利法就不需要经历第 （3）和第（4）步即可求解。
0 5 ◎ 2 2 3 0 Ø 0 10 5 ◎ 9 8 ◎ 0 Ø 6 3 0 ×
0 Ø 2 0 0 Ø◎
√
7 2 √ -2 0 Ø 4 6 5 -2 √
+2
第四步；在没有被直线覆盖的部分中找出 最小元素。然后在行打√行每个元素减去这 一最小元素，而在打√列的每个元素都加上 这一最小元素，以保证原来0元素不变。这 样得到新系数矩阵。若得到n个独立的0元素， 则已得到最优解，否则回到第3）。
上面矩阵有5个独立0元素，这就得到相应的最优解。
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
或
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9
Min 4 7 6 6 6
从上面可以看到列中最小个数之和为7，而行中最小个数之 和为9,。即应该先从系数矩阵的每列元素中减去该列的最小 元素。
第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个 独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的 元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素， 常用的步骤为： (1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素 加圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素， 记作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再 考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记 作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素 都被圈出和划掉为止。
由解矩阵得到2个最优指派方案；（1）甲-B， 乙-D，丙-E，丁-C，戊-A；(2)甲-B，乙-C，丙E，丁-C，戊-A。所需总时间 Minz=7+6+9+6+4=32
4 结论
• a 改进后的匈牙利法比原来的匈牙利法大大 减少了计算量，并节省了一些很累赘的步 骤，在实际工作中可以为决策者与决策团 队节约宝贵的时间以及信息的时效性。 • b 2种方法计算结果完全一致，说明改进的 匈牙利法可以达到与原匈牙利法一样的效 果。 • c即使遇上了少数改进的匈牙利法无法改进 的系数矩阵时，也可按原匈牙利法的步骤 进行解析，不影响结果的正确性。
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
2 0 2 4 5
5 2 ◎ 9 Ø
◎
3 10 8 6
2 Ø Ø ◎ 5 7 2 ◎ Ø 4 3 6 5 2
Ø
第三步；作最少的直线覆盖所有0元素，以确 定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数。 （1）对没有◎的行打√ （2）在已经打√的行中所含有的0元素打√号（3） √ 在已经打√号的列中含◎元素的行打√；（4）重复 （2）（3）直到得不出打√的行列为止（5）对没有 打√的行画一横线，有打√的列画一纵线，这就覆盖 所有0元素的最少直线数。令这一直线数为l。若 l<n,说明必须再换当前的系数矩阵，才能找到n个 独立的0元素，为此转到第四步；若l=n，而m<n， 应回到（2）（4）另行试探。
BBiblioteka Baidu
7 9 17
C
9 6 12
D
7 6 14
E
9 6 9
甲 乙 丙
丁
戊
15
4
14
10
6
7
6
10
10
9
（二）、匈牙利法的解题步骤：
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为 (bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小 元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去 该列的最小元素。
（1）；查看每行的最小元素的个数总和r和每列的最小元素 的个数总和c。并比较r和c的大小。 （2）使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元 素。当r≥c，则先从系数矩阵的每列减去该列的最小元素，再从 所得系数矩阵的每行元素中减去该行的最小元素。反之如果当 r≤c，则先从系数矩阵的每行中减去该行的最小元素，再从所得 系数矩阵的每行元素中减去该列的最小元素。其他步奏同匈牙利 法。
再从得到系数矩阵的每行元素中减 去该行的最小元素。
根据匈牙利法第二步，很容易得到下面的矩 阵
8 4 Ø 11
◎3
◎
1 3 2 Ø Ø 7 3 5 7 ØØ 3 1 4 3
◎ ◎ 或 ◎
8 4 Ø 11
◎
◎ 3 1 3 2 ◎Ø Ø 7 3 5 ◎ 7 Ø ◎Ø
bij
12 8 (cij ) 7 15 4
7 9 17 14 10
9 7 9 6 6 6 12 14 9 6 6 10 7 10 9
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
2 0 2 4 5
要求每人做一项工作，约束条件为
x
j 1
n
ij
1
(i 1, 2, , n)
要求每项工作只能安排一人，约束条件为
x
i 1
n
ij
1
( j 1, 2, , n)
变量约束为
xij 0或1
(i, j 1, 2,3, 4)
下表所示效率矩阵的指派问题
时间 任务 人员
A
12 8 7
3 1 4 3
它具有n个独立0元素，这就得到了最优解，相应的解矩阵为
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
或
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
例
指派问题及其解法
有甲、乙、丙、丁、戊五位工人被指派去 完成A、B 、 C 、 D 、 E五项任务，每个 人完成任务所需的工时各不相同，见下表。 求应如何指派人员才能使得所用工时最少？
解
1, xij 0，
分配第i个人做j工作时 不分配第i个人做j工作时
目标函数为
12 x
11
7 x12 9 x13 7 x14 9 x15 8 x21 9 x22
6 x23 6 x24 6 x25 7 x31 17 x32 12 x33 14 x34 9 x35 15 x41 14 x42 6 x43 6 x44 10 x45 4 x51 10 x 52 7 x53 10 x54 9 x55
7 ◎ 2 Ø 2 4 3 ◎ Ø Ø Ø 8 3 5 ◎ 11 8 Ø ◎ 4 ◎ 4 1 4 3
或
7 ◎ 2 Ø 2 4 3 Ø◎ Ø Ø 8 3 5 ◎ 11 8 ◎ Ø 4 4 1 4 3 ◎
8 0 3 1 4 2 0 0 3 10 6 8 11 7 0 0 0 3 1 4
3 0 3 0 3
0 0
3 0 0
8 4 0 11 0
0 3 1 3 2 0 0 0 7 3 5 0 7 0 0 0 3 1 4 3
解矩阵得到2个最优指派方案；（1）甲-B，乙-C， 丙--E，丁-D,戊-A；（2）甲-B，乙-D，丙-E,丁-C， 戊-A。所需时间为minz=7+6+9+6+4=32
3 匈牙利法的改进
实际上很多效率矩阵用上述匈牙利法进行求解时必 须经要经历第（3）和第（4），但在这些效率矩阵 中有很大部分用改进后的匈牙利法就不需要经历第 （3）和第（4）步即可求解。
0 5 ◎ 2 2 3 0 Ø 0 10 5 ◎ 9 8 ◎ 0 Ø 6 3 0 ×
0 Ø 2 0 0 Ø◎
√
7 2 √ -2 0 Ø 4 6 5 -2 √
+2
第四步；在没有被直线覆盖的部分中找出 最小元素。然后在行打√行每个元素减去这 一最小元素，而在打√列的每个元素都加上 这一最小元素，以保证原来0元素不变。这 样得到新系数矩阵。若得到n个独立的0元素， 则已得到最优解，否则回到第3）。
上面矩阵有5个独立0元素，这就得到相应的最优解。
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
或
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
12 7 9 7 9 8 9 6 6 6 7 17 12 14 9 15 14 6 6 10 4 10 7 10 9
Min 4 7 6 6 6
从上面可以看到列中最小个数之和为7，而行中最小个数之 和为9,。即应该先从系数矩阵的每列元素中减去该列的最小 元素。
第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个 独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的 元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素， 常用的步骤为： (1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素 加圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素， 记作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再 考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记 作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素 都被圈出和划掉为止。
由解矩阵得到2个最优指派方案；（1）甲-B， 乙-D，丙-E，丁-C，戊-A；(2)甲-B，乙-C，丙E，丁-C，戊-A。所需总时间 Minz=7+6+9+6+4=32
4 结论
• a 改进后的匈牙利法比原来的匈牙利法大大 减少了计算量，并节省了一些很累赘的步 骤，在实际工作中可以为决策者与决策团 队节约宝贵的时间以及信息的时效性。 • b 2种方法计算结果完全一致，说明改进的 匈牙利法可以达到与原匈牙利法一样的效 果。 • c即使遇上了少数改进的匈牙利法无法改进 的系数矩阵时，也可按原匈牙利法的步骤 进行解析，不影响结果的正确性。
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
2 0 2 4 5
5 2 ◎ 9 Ø
◎
3 10 8 6
2 Ø Ø ◎ 5 7 2 ◎ Ø 4 3 6 5 2
Ø
第三步；作最少的直线覆盖所有0元素，以确 定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数。 （1）对没有◎的行打√ （2）在已经打√的行中所含有的0元素打√号（3） √ 在已经打√号的列中含◎元素的行打√；（4）重复 （2）（3）直到得不出打√的行列为止（5）对没有 打√的行画一横线，有打√的列画一纵线，这就覆盖 所有0元素的最少直线数。令这一直线数为l。若 l<n,说明必须再换当前的系数矩阵，才能找到n个 独立的0元素，为此转到第四步；若l=n，而m<n， 应回到（2）（4）另行试探。
BBiblioteka Baidu
7 9 17
C
9 6 12
D
7 6 14
E
9 6 9
甲 乙 丙
丁
戊
15
4
14
10
6
7
6
10
10
9
（二）、匈牙利法的解题步骤：
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为 (bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小 元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去 该列的最小元素。
（1）；查看每行的最小元素的个数总和r和每列的最小元素 的个数总和c。并比较r和c的大小。 （2）使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元 素。当r≥c，则先从系数矩阵的每列减去该列的最小元素，再从 所得系数矩阵的每行元素中减去该行的最小元素。反之如果当 r≤c，则先从系数矩阵的每行中减去该行的最小元素，再从所得 系数矩阵的每行元素中减去该列的最小元素。其他步奏同匈牙利 法。
再从得到系数矩阵的每行元素中减 去该行的最小元素。
根据匈牙利法第二步，很容易得到下面的矩 阵
8 4 Ø 11
◎3
◎
1 3 2 Ø Ø 7 3 5 7 ØØ 3 1 4 3
◎ ◎ 或 ◎
8 4 Ø 11
◎
◎ 3 1 3 2 ◎Ø Ø 7 3 5 ◎ 7 Ø ◎Ø
bij
12 8 (cij ) 7 15 4
7 9 17 14 10
9 7 9 6 6 6 12 14 9 6 6 10 7 10 9
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
2 0 2 4 5
要求每人做一项工作，约束条件为
x
j 1
n
ij
1
(i 1, 2, , n)
要求每项工作只能安排一人，约束条件为
x
i 1
n
ij
1
( j 1, 2, , n)
变量约束为
xij 0或1
(i, j 1, 2,3, 4)
下表所示效率矩阵的指派问题
时间 任务 人员
A
12 8 7
3 1 4 3
它具有n个独立0元素，这就得到了最优解，相应的解矩阵为
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
或
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0