几何最值及路径长讲义及答案
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-2024年中考数学常见几何模型及参考答案
最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。
《解析几何》第5讲 圆的最值与轨迹问题
平面解析几何
第4课时 圆的最值与轨迹问题
第八章
平面解析几何
2 2 例题1.实数x,y满足x +y -4x+1=0.
(1) 求y-x的最值．
(2) 求y/x的最值．
(3)求x2+y2的最值．
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第八章
平面解析几何
y －b (1) 形如 u＝ 型的最值问题， x－a 可转化为过点(a， b)和点(x， y)的直线的斜率． (2) 形如 t＝ax＋by 型的最值问题， 可转化为动直线的截距． (3) 形如(x－a) ＋(y－b) 型的最值问题， 可转化为动点到定点的距离平方．
栏目 导引
第八章
平面解析几何
解析：圆 x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 1＝ 0 的圆心为(－1， 2)，半径 r ＝ 2. 因为直线被截得的弦长为 4，则圆心在直线 2ax－ by＋ 2＝ 0 上，所以－ 2a－2b＋ 2＝ 0，即 a＋ b＝ 1. a＋b 2 1 1 所以 ab≤ ( ) ＝ ，当且仅当 a＝ b＝ 时取等号． 2 4 2 1 故 (ab)max＝ . 4
栏目 导引
2
2
第八章
平面解析几何
例题2.已知点A(2,0)在圆x2＋y2＝4上， B(1,1)在圆内，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PQ 经过点B，求线段PQ中点 的轨迹方程． (3)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点 的轨迹方程．
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第八章
平面解析几何
求与圆有关的轨迹常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的 关系式等．
几何最值与路径长(讲义及答案)
OC
Dx
第 1 题图
第 2 题图
2. （2020 荆门）在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴
上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（ ）
A． 2 5
B． 2 10
C． 6 2
D． 3 5
3. （2019 锦州）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，M 是 AD 边的中点，N 是 AB
是（ ）
y
A．3 C． 7
2
B． 41 2
D．4
P QC
A
OBx
12. 如图，边长为 6 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点，连接 EC，将 线段 EC 绕点 C 逆时针转 60°得到 FC，连接 DF．则在点 E 运动过程中，DF 的最小 值是________．
A
E
B D
C
9. 如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，且满足 AE=DF．连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，连接 DH．若正方形的边长为 2，则 DH 长度的最小 值是_________．
A EF D H G
A
E F
B
C
BD
C
第 9 题图
第 10 题图
10. （2020 鄂尔多斯）如图，在等边△ABC 中，AB=6，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，
边上的动点，将△AMN 沿 MN 所在直线折叠，得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 的最
小值是________．
D
C
A1
A Q
M
立体几何中的最值问题答案
立体几何中的最值问题答案立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22AN AM +＝22)12(1++＝10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2.则MN ＝??-+120cos 222AN AM AN AM ＝21312)3(122++＝34+∵34+＜10 ∴m in MN ＝34+.例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。
解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。
∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴2==BF AC ,21,21a BQ a CP ==, 即2aBQ CP ==, ∴=+-==22)1(BQ CP PQ MN )20(21)22()2()21(222<<+-=+-a a a a （2）由（1）知: 2222==MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,, 22的长最小，最小值为MN(3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。
又46==BG AG ，所以由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=?-+=α。
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线； 1．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，2），点M 的坐标为39(1,)44m m −−−(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．OACB ．．．．的面积，求点C 的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交边BC 或CD 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为___________.ABDCEFPM ABDCEFPM yxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。
几何最值问题(讲义及答案)
几何最值问题（讲义）➢ 知识点睛1. 解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点） ②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线） ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）2. 解决几何最值问题的主要方法是________，通过变化过程中____________的分析，利用__________、______________等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的____________进而解决问题． 3. 几何最值问题基本结构分析①利用几何变换进行转化②利用图形性质进行转化DCABONMlll➢ 精讲精练的两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是（ ） A ．10cmB ．5cmC ．D ．PFOABE4.如图1，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥（注意：天桥必须与街道垂直）．请按下面的要求作图．（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？在图1中完成．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？在图2中完成．图2图1DCAB ONM第9题图 第10题图10. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，则在运动过程中，点P 到原点的最大距离是_______．【参考答案】➢ 知识点睛2.转化，不变特征，几何变换、图形性质，基本结构➢精讲精练1.1+2. D3. B4.略5. B6. 47.8. 39. A10.1+。
专题三几何综合-最值及路径长.docx
教学内容：【课前回顾&错题重现】1.如图，A, B为定点、,P为直线/上一点，若点尸恰好使AP^BP最短，请画出点P的位置.提示：①分析定点（/, B）,动点（尸在直线/上动），不变特征②以/为对称轴利用轴对称进行转化③由“两点之间，线段最短”确定位置2.如图，A, E为定点，为直线/上一可以移动的线段，且长度固定，若点M恰好使曲歼临初何最短，请画出点川的位置.提示：①分析定点（/, B）,动点QM, N在/上动，且MV长度固定），不变特征②先平移EV,使平移后的点N与M重合，将其转化为问题1③以/为对称轴利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置3. 如图，ZAOB=60°f点P在的平分线上，（9P=10cm,卓、E, F分别是两边CU, 上的动点，当ZXPEF的周长最小时，点戸到*的距离是・提示：①分析定点（P）,动点（E在Q4上动，F在OB上动），不变特征②分别以Q4，为对称轴，将P对称过去，得到Pi，Pi③连接P*2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解尸到EF的距离.【知识点&考点讲解】1.几何最值问题的处理思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题.转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标.基本定理：两点之间，线段最短（己知两个定点）垂线段最短（己知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（己知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦常用模型、结构示例:©轴对称最值模型求总+彩的最小值, 使点在线异侧求PA-PB的最大值, 使点在线同侧固定长度线段A4N在直线1上滑动，求AM+MN+BN的最小值, 需平移EN（或AM）,转化为AM + MB'解决.②折叠求最值结构求的最小值，转化为求&（+4WVC的最小值（利用4WNC为定值）.2.解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②确定运动路径；A通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证.③设计方案，求出路径长.【乘胜追击(课堂巩固入1.如图，在平面直角坐标系中，RtZ^OAB的直角顶点/在X轴的正半轴上，顶点E的坐标为(3, J5),点C的坐标为(-,0),点P为斜边OE上一动点，则PA+PC的最小值为22.如图，在矩形ABCD中，^5=4, 50=8,三为CQ边的中点.若P, 0为BC边上的两动点，且PQ=2,则当______________________ 时，四边形4P0E的周长最小.3.如图，在中，ZACB=90°9 AB=5f BC=3・ P 是 SB 过上的动点(不与点召重合),将沿CP所在的直线翻折，得到△歹CP,连接则长度的最小值是____________________ ・4. 如图，在边长为2的菱形45CD 中，ZA=60°9 M 是且D 边的中点，N 是4B 边上一动点,将△&MV 沿MV 所在的直线翻折得到△ A fMN,连接4C,则4C 长度的最小值是 _______________ ・5. 如图，有一矩形纸片45CZ ）, AB=S 9 AD=179将此矩形纸片折叠，使顶点/落在EC 边的理处，折痕所在直线同时经过边AB.AD （包括端点），设=丫，则X 的取值范围是 _____________.6. 如图，在'ABC 中，ZABC=90°f 48=6, 50=8, O 为 AC 的 中点，过O 作OE丄OF, OE, OF 分别交射线48, BC 于E, F,连接防，则盯长度的最小值为 ________________________________________ ・第4题图A D 第5题图9. 边EC,盯的中点，直线NG, FC相交于点当/XEFG绕点D旋转时，线段长的最小值是____________________如图，4&是OO的一条弦，ZACB=30°，点乙F分别是/C, BC的中点，直线EF与0O交于G, 7/两点.若OO的半径为7,则GE+FF的最大值为第9题图10.如图，直线/与半径为4的OO相切于点P是OO上的一个动点（不与点乂重合）,过点P作朋丄/,垂足为连接R4 •设PA=x, PB=y,则（x-y）的最大值是_______________ •【课后作业】7.如图，E, F是正方形妞5CZ）的边凡D上的两个动点，且满足AE=DF・连接CF交砂于点G,连接肛交NG于点片，连接DH,若正方形的边长为2,则长度的最小值是___________________ ・如图，△4BC,G如图，边长为2的正方形4SCQ的两条对角线交于点O,把B4与CQ分别绕点占和点C逆时针旋转相同的角度，此时正方形438 随之变成四边形A BCD.设4C, BD交于点OS 若旋转了60。
第二十三讲 平面几何的定值与最值问题(含解答)-
第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos 12∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC 上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC= S△APC =12 AP·CC′,得S 四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC= 12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2 AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AEAD AC=,即AD·AE=AB·AC为定值.如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点,过P 作任一直线交⊙O 1于点E,交⊙O 2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A 引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS 的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC 的周长为2p,在AB 、AC 上分别取点M 和N,使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切.求:MN 的最值.CABMNA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2. 所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:A D=R 1:R 2.。
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几何最值及路径长（讲义）
一、知识点睛
1. 解决几何最值问题的通常思路
①分析定点、动点，寻找不变特征；
②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．
转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．
理论依据：
两点之间，线段最短（已知两个定点） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）
三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定） 过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦
常用模型、结构示例： ①奶站模型
P
A
B
l
B'
B'
l
B
A
P
求P A +PB 的最小值， 求|P A -PB |的最大值， 使点在线异侧 使点在线同侧 ②天桥模型
N
M
B'
l
B
A
固定长度线段MN 在直线l 上滑动，求AM +MN +BN 的最小值，需平移BN （或AM ），转化为奶站模型解决
③折叠求最值结构
A M
A'
N
B
C
求BA ′的最小值，转化为求BA ′+A ′N +NC 的最小值（利用A ′N +NC 为定值） 2. 解决路径长问题的思路
①分析定点、动点，寻找不变特征； ②猜测、验证，确定运动路径； 猜测常通过“起点、终点、特殊点”， 结合不变特征验证． ③设计方案，求出路径长．
二、精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x
轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3)，点C 的坐标为
(1
2
，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA +PC 的最小值 为___________． y
x
P
C
B
A
O
Q
P
E
D C B
A
第1题图 第2题图
2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 边的中点．若
P ，Q 为BC 边上的两动点，且PQ =2，则当BP =_______时，四边形APQE 的周长最小．
3. 如图，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90°，AC =5，
BC =4．过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ．当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M ，N 也随之移动，若限定端点M ，N 分别在AB ，BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值之差为__________．
l
P
C
N
B
M
A
第3题图 第4题图
4. 如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M ，N 两点
分别是边AB ，AC 上的动点，将△AMN 沿MN 翻折，A 点的对应点为A'，连接BA'，则BA'的最小值是___________．
5. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM ，
ON 上，当点B 在ON 上运动时，点A 随之在OM 上运动，且矩形ABCD 的形状和大小保持不变．若AB =2，BC =1，则运动过程中点D 到点O 的最大距离为（ ） A ．2+1
B ．5
C ．
145
5
D ．52
D
C
A
B O
N M F
D E
A
H G
B
C
第5题图 第6题图
6. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满
足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是__________．
A M
A'
N
B
C
7. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上
一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为___________．
M F
E P
C
B
A
第7题图 第8题图
8. 如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =32，⊙O 的半径为1，点
P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 长度的最小值为___________．
9. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且
∠ACB =30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE +FH 的最大值为_________________．
O
H
G
F
E
C
B A
O
O'
D'A'
D
C B
A
第9题图 第10题图
10. 边长为2的正方形ABCD 的两条对角线交于点O ，把BA 与
CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A'BCD'．设A'C ，BD'交于点O'，若旋转了60°，则由点O 运动到点O'所经过的路径长为___________．
P
B
O
A
Q
11. 如图，木棒AB 的长为2a ，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁
ON 上，且与地面的倾斜角（∠ABO ）为60°．当木棒A 端沿NO 向下滑动到A'，B 端沿直线OM 向右滑动到B'，若
(32)AA'=a ，则木棒的中点P 随之运动的路径长
为____________．
N
A'
A P'
P
M B'B O
F
O 2
O 1P K H G
D E
C
B
A
第11题图 第12题图
12. 如图，已知线段AB =10，AC =BD =2，点P 是线段CD 上一
动点，分别以AP ，PB 为边向上、向下作正方形APEF 和正方形PHKB ．设正方形对角线的交点分别为O 1，O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2的中点G 运动的路径长 为_________．
13. 已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点
E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接ED ，以ED 为边在ED 右侧作等边三角形ED
F ．设△EDF 的中心为O ，则点E 由点B 向点A 运动的过程中，点O 运动的路径长为_____________．
三、回顾与思考
O
F
E
D
C
B
A
【参考答案】
1．
312 2．4 3．71- 4．434- 5．A
6．51-
7．
125 8．22 9．
212
10．3
π
11．12a π
12．32
13．
43
3。