第3节 找规律、定义新运算和程序运算
第三节找规律、定义新运算和程序运算
1．找规律
解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：
(1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系．
(2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系．
(3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系．
(4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．
(5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论，
常见的数列规律：
(1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）．
(2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）．
(3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）．
(4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）．
(5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）．
(6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）．
(7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）．
(8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）．
(9)特殊数列：
①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．
②三角形数：1，3，6，10，15，21，…，
[]1
2
n n+
．
2．定义新运算
(1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算，
(2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序．
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．
3．程序计算
解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题．
4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．
本节重点讲解：两大能力，三种题型（找规律、定义新运算和程序计算）．
三、全能突破 基础演练
1. 根据图2－3－1中数字的规律，在图形中填空．
2． 观察下面一列整式：12x 2y ,－
16x 4y 4, 112
x 8y 9，－12x 16 y 16，…，照此规律第6个整式是 ， 第n 个(n ≥1且为整数)整式是 ．
3． 正整数按图2－3－2中的规律排列．请写出第45行，第46列的数字 ．
4． 图2－3－3所示是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板 砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和 6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此递推，第10层 中含有正三角形个数是 个． 5． 如图2－3－4所示，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从 某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针行走，顶点编号的数字是几，就走 几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小宇在编号为3的顶点时， 那么他应走3 个边长，即从3→4→5→1为第一次”移位”，这时他到达 编号为1的顶点； 然后从1→2为第二次“移位”，若小宇从编号为 2的顶点开始，第10次“移 位”后，则他所处顶点的编号是 ； 笫2012次“移位”后，则他所处顶 点的编号是 ． 6．观察下列等式：
① 42－12＝3×5； ② 52－22＝3×7； ③ 62－32＝3×9； ④ 72－42＝3×11 ……
则第n （n 是正整数）个等式为 ．
7．我们规定一种运算：a b
c d
＝ad－bc，若
42
1
x x
＝0，则x＝．
8．魔术师为大家表演魔术，他请观众想一个数，然后将这个数按图2－3－5所示的步骤操作: 乘以3 减去6 除以3 加上7 告诉魔术师结果
图2-3-5
魔术师立刻说出观众想的那个数．
(1) 如果小明想的数是－1，那么他告诉魔术师的结果应该是；
(2) 如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数
是；
(3) 观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．
能力提升
9．已知：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，…，以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6，…，按照上面的研究方法确定20062007＋20072006的个位数字为( )
A．3B．4C．5D．6
10．如图2－3－6所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．
11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图2－3－7(a)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2－3－7(b)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．15B．25C．55D．1225
12．(1) 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数，先把这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字立方再求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T
是．
(2) 任取一个自然数串，数出这个数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，用这3
个数组成下一个数字串，重复上述程序，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，则这个固定的数为．
13．在下表中，我们把第i行第j列的数记为a i,j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i,j规定如下：当i≥j时，a i,j＝1；当i＜j时，a i,j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i,j＝a2,1 ＝1．按此规定，a1,3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1,1·a i,1＋a1,2·a i,2＋a1,3·a i,3＋a1,4·a i,4＋a1,5·a i,5的值为．
14．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接
收方由密文→明文（解密），已知加密规则如图2－3－8所示，例如，
明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，
28时，则解密得到的明文为．
15．已知，m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将m n进行如图2－3－9
所示方式的“分解”，那么下列三个叙述：
①在25的“分解”中最大的数是11．②在43的“分解”中最小的数是
13．③若m3的“分解”中最小的数是23，则m等于5．
其中正确的是．
11
a
，12
a
，13
a
，14
a
，15
a
，
21
a
，22
a
，23
a
，24
a
，25
a
，
31
a
，32
a
，33
a
，3,4
a
3,5
a
4,1
a
4,2
a
4,3
a
4,4
a
4,5
a
5,1
a
5,2
a
5,3
a
5,4
a
5,5
a
16．有一个运算程序，当aΘb＝n（n为常数）时，则(a＋1)b＝n＋1，a(b＋1)＝n－2，若1Θ1＝2则2012Θ2012＝．
17．按图2－3－10所示的程序计算：
是
x+的值>500 输出结果
输入x计算51
否
图2-3-10
若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x的可能值为．
18. 如图2－3－11所示，从左到右，在每个小格子中都填人一个整数，使得其中任意三个相邻格子
中所填整数之和都相等．
9 ＆＃x6- 2 ……
图2-3-11
(1) 可求得x＝，第2012个格子中的数为．
(2) 判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2012？若能，求出m的值；若不能，请说
明理由．
19．阅读图2－3－12并回答下列问题：
(1)若A为785，则E＝；
(2)按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果
相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值；
(3)将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数
A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于
．．2”，其余的步
骤不变，请猜想E的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证
明．
中考链接
20．（2010．北京）图2－3－13所示为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方
式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是；
当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n＋1次出
现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．
21．（贵阳市中考题改编）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： ①f (1)＝0，f (2)＝1，f (3)＝2，f (4)＝3，… ②
12f ??
=
???2，13f ??
= ???3，14f ??
= ??? 4，15f ??
= ???
5，… 利用以上规律计算：12012f ??
???
－f (2012)＝ ．
22．(1)（2009年．咸宁）如图2－3－14所示的运算程序中，若开始输入的x 值为96，我们发现第 1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2009次输出的结果为 ．
(2)(山东临沂中考)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F
共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示
例如，用十六进制表示：5＋A ＝F ，3＋F ＝12，E ＋D ＝1B ，则A ×C ＝ ．
巅峰突破
23．图2－3－15所示是一个流程图，图中“结束”处的计算结果 是 ．
24．对于两数a 和b ，给定一种运算“#”：a #b ＝a ＋b －ab ，则在下列等 式中：①a #b ＝b #a ； ②a #0＝a ； ③(a #b )#c ＝a #(b #c )． 正确的是 (填序号)．
25．正整数n 小于100，并满足等式236n n n ??????++????????????
＝n ，其中[x ]表示
不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有多少个？
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A
B
C
D
E
F
十进制 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
第07讲_定义新运算与找规律(二)_例题
定义新运算与找规律（二）整式的加减100％
课程预览 定义新运算与找规律（二） 定义新运算 找规律 趣味课堂
定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 例1． （1）若A ?B 表示()()3A B A B +?-，则()3 2-?() 23-=________． （2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______． （3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1b a b a ?=--， 那么()()42112??⊕⊕=????__________． （5）定义运算“?”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ?=-+， 则()()2211m m ?-??=????________． * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 4 4 3 2 1 课堂笔记 点点精讲 定义符号 定义符号 定义程序 定义新运算 板块一 定义新运算
第七讲 定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()111 1121a b a a a a b b ?= ++++++-L ， （1）当4 321 x ?=时，x =___________； （2）当2 105 y ?=时，y =___________； （3）当2015 2016 m n ?= 时，m =___________，n =___________． 例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图， 则式子5436⊕-⊕=___________． （2）对正整数n 定义()!11n n n =?-??L ，如图2是求10!的程序框图， 则在判断框内应填的条件是（ ） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤ D ．10i ≤ 定义程序 开始 输入a 、b ()1S a b =+ ()1S b a =+ ?a b > 输出S 结束 是 否 图1 图2 开始 输入n s s i =? 输出S 结束 否 1i =，1s = 1i i =+ 是
找规律程序运算定义新运算
找规律程序运算定义新运 算 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数 的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310- ，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ， 1612，2521，36 32 ，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数 为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++ ++ 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当 7a =时，b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ， 2 a b += 。 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · ·
找规律及定义新运算.
板块一、找规律 模块一、代数中的找规律 【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且1 1AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……， 依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）． A ．2008、2009- B ．2008-、2009 C ．1004、1005- D ．1004、1004- ⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、 0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）． A ．b a - B ． 1b a - C ．11 a b - D ．2()a b - 【巩固】 ⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，11 4b a ，…(0≠ab )，其中第7个式 子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)． ⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管 . ① ② ③ 【例2】 ⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ， ，，。请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。 ⑵（2010河北中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90?，然后在桌面上按逆时针方向旋转90?，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） 找规律及定义新运算
五年级奥数专题三：定义新运算
五年级奥数专题三:定义新运算（1） 关键词：运算四则四则运算定义奥数符号意义这些表示年级 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求10△6的值。 3，x>=2，求x的值。 分析与解：按照定义的运算， <1，2，3，x>=2，
x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。 四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？ 分析与解：1！=1， 2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6， 4！=1×2×3×4=24， 5！=1×2×3×4×5=120， 6！=1×2×3×4×5×6=720， …… 由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位数字都是0 所以，要求1！+2！+3！+…+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。
小升初专项复习一 定义新运算
专题一定义新运算 一、课前热身 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧： 1.对于任意数a、b，定义运算“☆”，使a☆b=2a×b 求:(1)1☆2 (2)2☆1 2.定义一种运算“□”：a□b=3a-2b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2) 二、归纳总结 按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。 1.解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。 2.新定义的的算式中有括号，要先算括号里面的。但它没转化前，是不适合于各种运算定律。 3.注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
三、拓展演练 第一组：直接计算型 1.“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。 2. “◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b 求6◎3和（6◎3）◎2。 3.对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例1.如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？ 例2.“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。按此规律计算：8☆5。 练一练： 1.规定：3☆2=3+33 5☆3=5+55+555 2☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？ 2.根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13 求：（1）5☆10= （2）10☆5=
找规律程序运算定义新运算
找规律程序运算定义新 运算 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么 这一组数的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数 为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12 -，25 ，310 -，417 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正
整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6， 12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项 是 。 【例 5】一组按规律排列的式子：2 b a - ，52 b a ，8 3 b a -，114 b a ，…（0ab ≠），其中第7个 式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ，1612 ，2521 ，3632 ，…中得到巴尔末 公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；
小学四年级奥数__定义新运算及作业
2008年秋季五年级奥数 第二讲定义新运算 第 1 页 共 1 页 定义新运算 一、a 、b 是自然数，规定a ※b=(a+b)÷2,求：3※（4※6）的值。 二、对于任意两个自然数a 、b ，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a ÷b ，求75*5=？，12*4=？ 三、定义运算符“◎”：a ◎b=3a+4b-5，求6◎9=？9◎6=？ 四、定义两种运算“○＋”和“○×”，对于任意两个整数a 、b 规定：a ○＋b=a+b-1，a ○×b=a ×b-1，那么8○× [（6○＋10）○＋（5○×3）]等于多少？ 五、定义运算“○＋”=（a+b ）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋12）哪一个大？大的比小的大多少？ 六、a 、b 是自然数，规定a ⊙b= ab-a-b-10，求8⊙8=？ 七、如果1*2=1+2，2*3=2+3+4，3*4=3+4+5+6，……，请按照此规则计算3*7=？ 八、规定运算a@b=（a+b ）÷2，且3@（x@2）=2，求x=？ 九、规定a △b=ab+2a ， a ▽b=2b-a ，求（8△3）▽（9△5）的值。 十、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。 1、定义新运算“*”：a*b=3a+4b-2，求（1）10*11；（2）11*10。 2、定义新运算“△”：a △b= a ÷b ×3，求（1）24△6；（2）36△9。 3、规定a ○＋b ，表示自然数a 到b 的各个数之和，例如：3 ○＋10=3+4+5+6+7+8+9+10=52，求1○＋200的值。 4、定义新运算“○×”，a ○×b=10a+20b ，求（3○×7）+（4○×8）。 5、定义新运算“△”：a △b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？ 6、规定a*b=（a+b ）÷2，求[（1*9）*9]*3的值。 7、规定a ☆b=3a-2b ，如果x ☆（4☆1）=7，求x 的值。 8、规定X ○＋Y=（X+Y ）÷4求：（1）2○＋（3○＋5），（2）如果X ○＋16=10，求X 的值。 9、规定a ◇＋b=（a+3）×（b+5），求5◇＋（6◇ ＋7）的值。 10、已知a ○－b 表示a 除以3的余数再乘b ，求13○－4的值。 11. 定义新运算“*”：a*b=a+b-1，求7*4。 12、定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。6△（3△4） 13、设a △2b a a b =?-?，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 14、已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ?=-,那么 []4(68)(35)?⊕⊕?= . 15、M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____= 16、规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a 初中数学专题复习16.规律探索与定义新运算
规律探索与定义新运算 一、规律探索 1.图形的变化 2.数字的变化 3.与代数知识相结合 4.与几何知识相结合 5.综合问题 二、定义新运算 一、规律探索 1.图形的变化 1.【易】（初二数学期末）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此 规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（） 【答案】B 2.【易】（2010深圳外国语初一上联合测）如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请 仔细观察，按此规律第2010个图案是（） A．B．C．D． 【答案】B 3.【易】（北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷）把全体自然数按下面的 方式进行排列： 按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应为（）． A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓．
【答案】C 4. 【易】（2012届九年级第一模拟试题）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： 第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有________个小圆． 【答案】46 5. 【易】（哈尔滨中考）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9 个图形中共有________个★ 【答案】20 6. 【易】(河南郑州市2009-2010年初一上期末)用同样大小的黑色五角星按图所示的方式 摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星 个． 【答案】150 7. 【易】(2009-2010年辽宁沈阳崇文中学初一上期末)一串有黑有白，其排列有一定规律 的珠子，被盒子遮住一部分（如图所示），则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗． 【答案】24 8. 【易】（密云区一模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小方形， 称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10 个 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 …
第三讲：化简绝对值-找规律-定义新运算
第三讲:化简值绝对、定义新运算、找规律 一、【化简绝对值】 Ⅰ、根据题设条件 例1 设化简的结果是（ )。 （A）（B） (C)（D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(Ｂ）. 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路． Ⅱ、借助教轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ). (Ａ）（B）（C) (D) 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清： １.原点的左边都是负数，右边都是正数．
2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． Ⅲ、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定,由于ｘ是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解 令得零点:；令得零点:，把数轴上的数分为三个 部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时,， ∴原式 ③当时，， ∴原式 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1.求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）. ∴
2.分段:根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定. ３.在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案. 二、【定义新运算】 1.在有理数集上定义运算“*”,其规则为ａ＊b= b a b a 22+-,求(3＊1）*(2*2) 2．在有理数上定义运算“?”,其规则为a ?b=2a+b,若ｘ ? (3?2)=4，求ｘ的值 ３．“*”是一种新运算，定义为：a*b=2 2b a + 。解方程3*|x|=４ 4．设a ，ｂ是两个整数，定义运算“*”,其规则为:当a ≥b 时,a*b= b 2-1；当ａ四年级奥数第23讲 定义新运算
第二十三周定义新运算 专题简析： 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2 和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a △b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。 5△6=5×3－6×2=3 6△5=6×3－5×2=8 显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。 练习一 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。 6⊕2=6×2＋6＋2=20 练习二 1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 3，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25 练习三 1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，计算：3。 2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。
第09讲_定义新运算与找规律(一)_例题
定义新运算与找规律（一）整式的加减66.7％
定义新运算 找规律 定义新运算与找规律（一）课程预览 趣味课堂
第九讲 定义新运算与找规律（一） 定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 例1． （1）若A B *表示3A B +，则57=*________． （2）定义一种运算：a b b a =，则 2 3= ________， () 5-3=________． （3）定义新运算为()1a b a b ?=+÷，则()634??=_______． （4）定义运算“△”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ?=-+，例如： ()323232615-?=-?--+=-+=-，则()()11m -?-=________． （5）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：1a b a b ⊕=+-，2a b ab ?=-， 那么()()6835⊕⊕?=__________． 例2． （1）如果()2a b a b ?=-?，例如()34=3244?-?=，那么，当530a ?=时，a =_____． （2）规定新运算※：32a b a b =-※，若()417x =※※，则x =_________， 当5x ※比5x ※大5时，x =_________． （3）定义新运算为1 a a b b φ+=， ①求()234φφ的值；②若4 1.35x φ=，则x 的值为多少？ 课堂笔记 点点精讲 定义符号 定义符号 定义程序 定义新运算 板块一 定义新运算
第七讲 定义新运算和找规律解题
第七讲 定义新运算和找规律解题 定义新运算 1. 如果对于任意非零有理数a 、b ，定义 运算如下：a ☉b =1+ab ，那么 （—5）☉（+4）☉（—3）=___________。 2. 已知：A □B 表示A 的3倍减去B 的2倍；求：①10□5；②15□5□10；③10□（4□1） 3. 已知:2*1= 4441 3*4,3312*3,21==。求：（6*3）÷（2*6） 4. 已知：433221321??=?，86756453453???=?。计算：=?+?38 5 452 5. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；…。则 100！÷99！=________。 6. “※”定义新运算：对于有理数a 、b 都有：a ※b =12 +b 。那么5※3=________； 当m 为有理数时，m ※（m ※2）=_________。 7. 已知有理数a 、b ，规定一种新运算符号“＃”，a ＃b = ab b a -，请根据＃的意义计 算：（1）4＃2=_______（2）（2＃3）＃（—2）=_________。 8. 形如 d b c a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示是： bc ad d b c a -=， 依此法则计算4 31 2-=_________。 找规律做题 1. 数字解密第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是 17=9+8，…，观察并猜想第六个数是__________________。 2. 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母 为正整数的分数） 第一行 1 1 第二行 21 21 第三行 31 61 3 1
小学数学定义新运算典型例题
小学数学定义新运算典 型例题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312
例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5
找规律及定义新运算学生版
内容 基本要求 略高要求 较高要求 找规律 学会基本的找规律方法 能做常见的找规律题型，能根据题意找出相应的对应关系 能做综合试题 定义新运算 熟悉基本题型 能根据题意进行运算 板块一、找规律 模块一、代数中的找规律 【例1】 点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且1 1AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）． A ．2008、2009- B ．2008-、2009 C ．1004、1005- D ．1004、1004- 【例2】 如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、 0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ） ． A ．b a - B ． 1b a - C ．11 a b - D ．2()a b - 【例3】 一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，11 4b a ，…(0≠ab )，其中第7个式子 是 ， 第n 个式子是 (n 为正整数)． 【例4】 搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这 样的帐篷需要 根钢管. ① ② ③ 【例5】 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，。请你按图中箭头所指方向(即 ...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当 中考要求 找规律及定义新运算
【小升初】六年级下册数学试题-小升初专题练习：定义新运算与找规律全国通用
定义新运算与找规律 1．对于两个数a 与b ，规定a ⊕b=a ×b －(a ＋b)。试计算3⊕5。 2．设a*b=，那么求5*（2*8）。 3． 如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？210*2=？ 4．定义运算※为※，如果3※（5※）＝3，求。 5．对于任意的整数与定义新运算”△”：△= (其中是一个确定的整数)．如果1△2=2，则2△9=_______。 6．找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)18，20，24，30，( )； (2)11，12，14，18，26，( )； (3)2，5，11，23，47，( )，( )。 7．按一定规律排列的一列数依次为…按此规律排列下去，这列数中的第7个数是________。 8．观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； b a 22+a b ()a b a b =?-+x x x y x y 62x y mx y ??+m 111111,,,,,,2310152635
9．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案： 请问第n个图案中有白色纸片的张数为（）。 A．4n+3 B． 3n+1 C．n D．2n+2 10．已知一列数：1,-2,3,-4,5,-6,7…将这列数排成下列形式： 第 1 行 1 第 2 行 -2 3 第 3 行 -4 5 -6 第 4 行 7 -8 9 -10 第 5 行 11 -12 13 -14 15 …… 按照上述规律排列下去，那么第 10 行从左边数第 5 个数等于( ) A．50 B．-50 C．60 D．-60
五年级下册数学试题定义新运算专项练
一、知识要点 掌握定义新运算，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。 注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。 二、范例分析 例1 符号“*”表示一种运算，a * b表示的含义是a与b中较大数与较小数之差，例如(2+3)*(2×3) =5 * 6=6－5=1，求(13×2)*(6+40)。例2 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q－(p+q)÷2。求5△(2△8)。例3 对于任意自然数，定义n！=1×2×3×…×n如4 ！=1×2×3×4，那么1 ！+2 ！+3 ！+4 ！+5 ！= 。 例4 若x⊙y=x+(x+1)+( x+2)+…+(x+y－1)，其中x,y都为自然数。试求l⊙50的值。 例5 规定一种运算是m▽n=m×n+m－n，另一种运算是m△n=m×n －m+n。请计算：6△7－7▽6。 例6定义a☆b=a×b－(a+b)，试求： (1)5☆7；7☆5
(2)12☆(3☆4)；(12☆3)☆4 (3)请问：这个运算有交换律、结合律吗? 三、随堂练习 1、如果规定a※b=13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是( ) 2、如果规定a※b=a×3－b÷2，那么(10※6)※8等于多少? 3、如果1◎5=1+11+111+1111+11111，2◎4=2+22+222+2222，3◎3=3+33+333……那么4◎4等于多少? 4、若a⊙b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，其中a，b都为自然数。试求1⊙25的值。 5、已知：一种运算是a▽b=a×b+a－b，另一种运算是a△b=a×b －a+b。试求5△6—6▽5的值。 6、定义一种新运算“△”，规定a△b=3×a－2×b。 (1)求3△2；2△3。 (2)这个运算有交换律吗? 7、定义a※b=4×b+a÷5。求20※12。 8、规定：A△B=A×2－B×3+A×B，那么5△3=? 9、设P▲Q=(P+Q)÷2，求2009▲(2019▲2019)=
定义新运算
第一讲定义新运算 一、教学目标： 1、知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。 2、过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的+、-、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。 3、情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功． 二、教学重难点： 1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。 2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 三、教学方法：引导发现法 四、教学过程： （一）导入： 1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。 2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。 3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。 5（）2=7 6（）3=3 100（）2=50 13（ )3=39 4、趣味引导： 生活中我们都知道羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以当狼和羊在一起时，我们用△符号表示狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼= 在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战胜狼：羊☆狼= 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼= 5、已知符号“#”表示a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13的值？（体现对应思想和解题的三个步骤） 加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72的值？ 小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算 （二）例题引导： 第一类：（直接运算型） 例题引导：①表示求两个平均数的运算，则a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15时，求a①b？ 例1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9的值？ 练习：（1）对定义运算※为a※b=（a+b）×2。求5※7 和17※5的结果？ （2）对于任意的两个数a和b，规定a b= 3a-b÷3。求6 9和9 6的值。
小学数学《找规律与定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《找规律与定义新运算》练习题（含答案）内容概述 1．找规律这类题目，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质数或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，菲波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列。2．定义新运算这类题目要求我们严格按照题目中给出的公式和新运算符号的定义进行计算。某些比较复杂的题也会用到解方程的方法。譬如：已知a*b=2a+3b, 3*x=21, 求x的值；有6+3x=21，则x=5。 例题分析 【例1】（☆）下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： ⑴ 3，5，7，11，15，19，23，…… ⑵ 6，12，3，27，21，10，15，30，…… ⑶ 2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… ⑷ 2，3，5，8，12，16，23，30，…… 分析：这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。因为：⑴除了15其余都是质数；⑵除了10其余都是3的倍数；⑶除了5其余都是偶数；⑷相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。 【例2】（☆）下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数： （1） 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 （）10 10 5 1 1 6 15 （）15 6 1 （2） 1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 ( ) 25 6 12 18 24 30 36 7 ( ) 21 28 35 42 49 分析：（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。（）处分别填上5、20。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 （2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。
第3节 找规律、定义新运算和程序运算
第三节找规律、定义新运算和程序运算 1．找规律 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型： (1)一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系． (2)一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系． (3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系． (4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． (5)数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论， 常见的数列规律： (1)1，3，5，7，9，…，2n－1（n为正整数）． (2)2，4，6，8，10，…，2n（n为正整数）． (3)2，4，8，16，32，…，2n（n为正整数）． (4)2，5，10，17，26，…，n2＋1（n为正整数）． (5)0，3，8，15，24，…，n2－1（n为正整数）． (6)2，6，12，20，…，n(n＋1)（n为正整数）． (7)－x，＋x，x，＋x，－x，＋x，…，(－1)n x（n为正整数）． (8)＋x，－x，＋x，－x，＋x，－x，…，(－1)n＋1x（n为正整数）． (9)特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和． ②三角形数：1，3，6，10，15，21，…， []1 2 n n+ ． 2．定义新运算 (1)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加、减、乘、除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算， (2)注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 3．程序计算 解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 4．数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力．
找规律 程序运算 定义新运算
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12，34，56，7 8 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数的第k 个数是 _______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：3579 24816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310-，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个 式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612 ，2521，36 32，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱 奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=L _________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=L ____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++++L 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时， b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的 一部分，则a = ， 2 a b += 。 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · · a b · · · · · · ·