2013课标版数学考前综合试题一A

2013课标版数学考前综合试题一A一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.（2012·郑州质检）集合A =｛0，1,2｝，B ={21<<-x x }，则=B A （ ）A.｛0｝B.｛1｝C.｛0，1｝D.｛0，1,2｝2.（2012·郑州质检）函数()x x x f 2log 12-=的定义域为（ ） A.()+∞,0 B.()+∞,1 C.()1,0 D.()()+∞,11,03.（2012·山东卷）已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()B A C U ⋃为（ ）A.{}1,2,4B.{}2,3,4C.{}0,2,4D.{}0,2,3,44.[2012·湖南卷]命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ）A.若α≠4π，则tan α≠1B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4π D. 若tan α≠1，则α=4π 5. （2012·太原模拟）已知集合{}2|30M x y x ==-≥，A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10．（2012·昆明第一中学一摸）函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）11.（理）（2012·郑州质检）如图2所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投1000颗豆子（每颗豆子落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），其中不在叶形图的有600颗，则叶形图面积是（ ）A.31B. 43C. 53D. 52（文）（2012·哈尔滨第六中学三模）函数)(x f y =在点),(00y x的切线方程为12+=x y ，则x x x fx f x ∆∆--→∆)2()(lim 000等于（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．412.（理）（2012·昆明第一中学一摸）已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5log 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8（文）（2012·昆明第一中学一摸）已知[1,1]x ∈-，则方程2cos 2πx x -=所有实数根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.13. （2012·唐山二模）14.（2012·郑州质检）定义在R 上的函数()x f 是增函数，则满足()()23f x f x <-的x 取值范围是 .15.[2012·上海卷]若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .16.（2012·保定二模）设集合{}{0<1},|12,A x x B x x =≤=≤≤函数()()[]002()(),4-2x x A f x x A f f x A x x B ⎧∈⎪=∈∈⎨∈⎪⎩，且，则x 0取值区间是 .三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)17．（本小题满分10分） 已知函数1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f 。

（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期：（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值。

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060,2=∠=BAD AB . （Ⅰ）求证：⊥BD 平面PAC（Ⅱ）若AB PA =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.19.（本小题满分12分）（理）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？（文）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

20.（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）21．（本小题满分12分）（理）[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．（文）[2012·北京卷]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）如图7，椭圆()01:22221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长。

（Ⅰ）求2C ，1C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ,B ,直线MA ,MB 分别与1C 相交与D ,E ． （i ）证明：MD ⊥ME ;（ii ）记△MAB ,△MDE 的面积分别是1S ，2S ．问：是否存在直线l ,使得321721=S S ?请说明理由。

2013课标版数学考前综合试题一A 参考答案1. C 【解析】{}0,1AB =. 2. D 【解析】由2log 0x ≠，得1x ≠，又0x >，故函数()f x =定义域为()()+∞,11,0 .3. C 【解析】{0,4}U A =,所以{0,24}U A B =（），,选C.4. C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4π”. 5. C 【解析】由题意，集合{}{2|30|M x x x x =-≥=≤≤,{}|31N x x =-≤≤,所以阴影部分为(){}{}{|33|31|3IM N x x x x x x x =<->-≤≤=-≤<或. 6. B 【解析】全称性命题的否定一要否量词，二要否结论，所以原命题的否定为：2,240x x x ∃∈-+>R .7. C 【解析】函数x y 2sin =的最小正周期为22π=π，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为π,x k k =∈Z ,所以命题q 为假，所以q p ∧为假.8． C 【解析】方法一:由函数()f x 是奇函数,得()()()()()221x a x af x f x x-+----==-=-()221x a x ax+---对一切实数R 恒成立,即()()222211x a x ax a x axx---+--=--对一切实数R 恒成立,所以()()2211a x a x --=-对一切实数R 恒成立,故210a-=,解得1a =±.当1a =-时,()211x f x x x x+==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上,1a =.方法二:()()21a f x x a x=-+-,若函数()f x 是奇函数,则210a-=,解得1a =±.当1a =-时,()211x f x x x x+==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上,1a =.9. C 【解析】由线面垂直的定义可知l α⊥,l a l b ⇒⊥⊥，反之只有当a 与b 是两条相交直线时才成立，故“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥” 必要而不充分的条件.10． C 【解析】设()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-，因为()()3lg310,4lg410h h =-<=+>，所以()()340h h <.又函数()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-的图象是连续不断的，所以由零点存在定理得，()h x 的零点在区间()3,4内，即函数()()lg 72f x x g x x==-与图象交点的横坐标所在区间是()3,4.11. （理） D 【解析】由几何概型得，所投的点落在叶形图内部的概率是()332120121d 33011113x x x x x P ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===⨯⎰.（文）D 【解析】由导数的定义得0000000()(2)()(2)1()lim lim22x x f x f x x f x f x x f x x x∆→∆→--∆--∆'==⨯∆∆2,=所以000()(2)lim4x f x f x x x∆→--∆=∆.12.（理）D 【解析】函数()y g x =的零点即为函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的交点的横坐标.作出函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象（如下图），函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象都关于直线1x =对称，且在对称轴的左右两端各有4个交点，故函数()y g x =的所有零点之和为428⨯=.（文）D 【解析】设()2xf x -=，()cos2g x x π=.易知函数()2xf x -=的图象关于y 轴对称，函数()cos2πg x x =的最小正周期为1，作出函数()2xf x -=与函数()cos2πg x x =的图象（如下图所示）.数形结合易知函数()2xf x -=与函数()cos2πg x x =的图象有5个交点，故方程2cos 2πxx-=所有实数根的个数为5.13. ()lg2,+∞【解析】由1020x->,得lg 2x >.14. ()3,+∞【解析】由函数()x f 是增函数，得23x x <-，解得3x >.15.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为集合1{210}|2A x x x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以AB =1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 16.23log ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为001x≤<，所以0122x ≤<.所以()0f x B ∈.所以()00422x f f x =-⋅⎡⎤⎣⎦.由题知004221x ≤-⋅<,可得03222x <≤，解得203log 12x <≤.又001x≤<，所以203log12x <<.17．解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f 1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos 22sin 32-+=x xxx 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（Ⅱ）因为3262646πππππ≤+≤-≤≤-x x ，所以 于是，当6262πππ=≤+x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当6662πππ-=-=+即x ，)(x f 取得最小值—1. 18.解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD. 所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD =O. 因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）.所以).0,32,0(),2,3,1(=-=设PB 与AC 所成角为θ，则4632226cos =⨯=.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC设P （0，－3，t ）（t>0），则),3,1(t --=设平面PBC 的法向量),,(z y x m =, 则0,0=⋅=⋅m m 所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x 令,3=y 则.6,3tz x ==所以)6,3,3(tm =同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(tn -=因为平面PCB ⊥平面PDC, 所以n m ⋅=0，即03662=+-t解得6=t所以PA=619.解：（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P XCC CP XCC CP XCC CP XCP XC===============即X的分布列为………………4分X的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………6分（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS=+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 解：（I ）由频率分布表得0.20.451,a b c ++++=即a+b+c=0.35，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以30.15,20b ==等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==， 从而0.350.1a b c =--= 所以0.1,0.15,0.1.a b c ===（II ）从日用品1212,,,x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：12131112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y ，设事件A 表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率4()0.4.10P A ==20. 解：（1）因为4x =时，21y =，代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--， 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦，从而()()()()2'121122404310626f x xx x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上,0)('>x f，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f，函数)(x f 单调递减，所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点， 所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.21．（理） 解：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f （1）＝g （1），且f ′（1）＝g ′（1），即a＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，解得a ＝3，b ＝3.（2）记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的情况如下： ↗ ↘ ↗所以函数h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，－a 6. 当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－a 2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝1.当－a 6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，－a 6内单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－a 6，－1上单调递增， 又因h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 2＝1.（文）解：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f （1）＝g （1），且f ′（1）＝g ′（1），即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，解得a ＝3，b ＝3. （2）记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28；当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．22. 解 ：（Ⅰ）由题意知.1,2,2,2,23======b a a b b a ac e 解得又从而故C1，C2的方程分别为.1,14222-==+x y y x（Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =. 由⎪⎩⎪⎨⎧-==12x y kxy 得 012=--kx x .设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是 .1,2121-==+x x k x x又点M 的坐标为（0，—1），所以2121212212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MBMA +++=++=+⋅+=⋅.11122-=-++-=k k故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.（ii ）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=1,1,1211x y x k y x k y 由解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1,1021k y k x y x 或则点A 的坐标为)1,(211-kk . 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为).11,1(211--k k于是211111111|||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k解得12121218,140,14114k x k x y k y k ⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩或则点D 的坐标为2112211841(,).1414k k k k -++又直线ME 的斜率为k1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+-于是)4)(1(||)1(32||||2121211212++⋅+=⋅=k k k k ME MD S .因此21122114(417).64S k S k =++由题意知，2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或又由点A 、B 的坐标可知，21211111113,.12k k k k k k k k -==-=±+所以故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==和。