初升高 因式分解2
初高中数学衔接因式分解
第二讲 因式分解知识清单一、常用的运算公式1、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±2、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+3、立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4、立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+5、完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+6、三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++7完全立方公式：()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+ 二、常用的因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。
自主练习：问题1：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a能利用平方差公式计算的是问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(aa -的值问题3：立方和（差）公式设0422=+-x x ，求93+x 的值问题4：提取公因式法分解因式：（1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-问题5：公式法分解因式（1）412+-x x （2）162+-a （3）142+-x x 问题6：十字相乘法分解因式：（1）232+-x x （2）2762+-x x问题7：分组分解法分解因式：y x xy x 332+-- 例题讲解例1：化简：)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x例2：已知4,4=++=++ca bc ab c b a ，求222c b a ++的值例3、把下列各式分解因式（1）22)()23(y x y x --- （2）22338b ab a -+例4：把下列各式分解因式：（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）22)24(4+--x x巩固拓展1、⋅+=-)3121(419122a b b a （___________） 2、若 k mx x ++212是一个完全平方式，则k= 3、已知2)(,8)(22=+=-n m n m ，则=+22n m 4、不论a ，b 为何实数，84222+--+b a b a 的值（ ）A 、总是正数B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数5、若实数x ，y ，z 满足 (x-z)2-4(x-y)(y-z)=0 ，则下列式子一定成立的是（ ）A 、x+y+z=0B 、x+y-2z=0C 、y+z-2x=0D 、x+z-2y=06、化简：20172016)23()23(-⋅+7.在多项式中①x 2+7x+6；②x 2+4x+3；③x 2+6x+8；④x 2+7x+10；⑤x 2+15x+44，有相同因式的是（ ）A 、只有①②B 、只有③④C 、只有③⑤D 、①和②；③和④；③和⑤8、若多项式x 2-3x+a 可分解为(x-5)(x-b)，则a 、b 的值分别是（ ）A 、10,2B 、10,-2C 、-10,-2D 、-10,29、多项式2x 2-xy-15x 2 的一个因式是（ ）A 、2x-5yB 、x-3yC 、x+3yD 、x-5y10、把下列各式分解因式：（1）523623913x b a x ab -- （2）z y x z y x m ++---)(（3）3132-x （4）338b a -（5）3762+-x x （6）12--x x（7）913424+-x x （8）1222-+-b ab a10、已知：052422=+--+b a b a ，求ab a ab b a ++-4)(2的值 因式分解练习题一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是（）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．－a2＋b2 C．－a2－b2D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24 C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得（）A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为（）A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为（）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得（）A．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得（）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得（）A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得（）A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得（）A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1) C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1) 14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（）A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是（）A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（）A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是（）A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1) 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为（）A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数C．相等的数D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是（）A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为（）A．(a2＋b2＋ab)2B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab) C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果（）A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解为（）A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b) C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b) 24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为（）A．(5x－y)2B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)2 25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为（）A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为（）A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为（）A．c(a＋b)2B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是（）A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y) 30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是[ ]A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c) C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c) 三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．。
人教版初高中知识衔接分解因式知识要点
人教版初高中知识衔接分解因式知识要点1.因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．2.因式分解的方法:提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式)、配方法，十字相乘法，分组分解法，拆、添项法，求根法，待定系数法．３．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．４．十字相乘法：2()x p q x pq +++型的因式分解， 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．。
初中中考数学因式分解的九种方法解析
初中中考数学因式分解的九种方法解析初中中考数学因式分解的九种方法解析把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
xx小编整理了初中中考数学因式分解的九种方法，希望能帮助到您。
一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=（a+b）（a-b）a^2+2ab+b^2=（a+b）^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=（a+b）（a-b）2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2 和（a-b）^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=（a+b）^2 和 a^2-2ab+b^2=（a-b）^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
初中数学因式分解的12种方法
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
初升高衔接一一十字相乘法分解因式
初升高衔接一一十字相乘法分解因式因式分解是高中数学常用的变形方式，它能把一个多项式化为几个整式的积。
在以下几个方面应用广泛：1、求解一元二次方程，一元二次不等式常用因式分解2、用定义法证明函数单调性，变形时常用因式分解3、此较大小和不等式证明中，作差后常用因式分解判定符号4、函数求导后因式分解判定符号5、初中数学解决一元二次多项式因式分解局限于二次项系数为1，而高中数学常常是二次项系数不是1，且含有多个字母。
6、因式分解方法很多，这节专讲“十字相乘法'。
“十字相乘法'分解因式，方法是“拆两头凑中间，横写加法，因式相乘”。
题型一、二次项系数为1的二次三项式X^2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)例：题型二、二次项系数≠1的二次三项式因式分解。
思路探寻：以二次项系数是正数为例(如果二次项系数是负教，可以提一个负号变为正数)，二次项分解为两个正因数的积，常数项是正数时，分解为两个同号因数的积，符号与一次项系数符号相同;如果是负数，分解为两个异号因数的积，绝对值较大的数的符号与一次项系数符号相同。
题型三、含有两个字母的二次三项式的因式分解思路探寻：把其中任意一个字母当作“主”元，另一个当作一个数，然后写成“主'元降幂排列的二次三项式。
分解方法仍然是“拆两头，凑中间。
横写加法，因式相乘。
'只是记住写上字母。
题型四、“双十字相乘法”“双十字相乘法”指用此法两次。
方法一、①前三项结合分解成两个因式的积;②把这两个因式当作两个数，再用十字相乘法。
因为有两个字母，所以凑中间时一定要检验每一个字母的系数是否相同。
方法二、把其中一个字母当做“主元”，然后按“主元”降幂排排列写成二次三项式，这时常数项是另外一个字母的二次三项式。
先对常数项用十字相乘法分解，把分解后的两个因式当作两个数再次用“十字相乘法”分解。
题型五、转化为用“十字相乘法”分解的形式。
①分解因式ab+b^2+a一b一2=b^2+(a一1)b+(a一2)思路探寻：转化为关于b的二次三项式，再用“十字相乘法'分解。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
。初高衔接专题2因式分解
3) ．
7．计算 992 99 =
1
二、判断题：（正确的打上“√” ，错误的打上“×” ） 1． 2a2b 4ab2 2ab a b ………………… ( )
2． am bm m m a b ………………… ( )
3． 3x3………… (
)
4． xn x n 1 x n 1 x 1 ……………………… (
（ 3） x2 5x 6 _________________________
（ 4） x2 5x 6 _________________________
（ 5） x2 a 1 x a _____________________
（ 6） x2 11x 18 ________________________
(2) x3 9 3x2 3x = ( x3 3x2) (3 x 9) = x2 ( x 3) 3(x 3) = ( x 3)(x2
【练习提高 2】
一、填空题： 1．多项式 6x2 y 2xy 2 4 xyz中各项的公因式是 _______________。
2． m x y n y x x y __________________。
4．若多项式 x2 3x a 可分解为 x 5 x b ，则 a 、 b 的值是 ( )
A ． a 10 ， b 2 B． a 10 ， b 2 C． a 10 ， b 2 D． a 5．若 x2 mx 10 x a x b 其中 a 、 b 为整数，则 m 的值为 ( )
10 ， b 2
A． 3或 9
若 关 于 x 的 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 的 两 个 实 数 根 是 x1 、 x2 ， 则 二 次 三 项 式 ax 2 bx c( a 0) 就可分解为 a( x x1 )( x x2 ) .
专题02分解因式-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）法一： ,
法二：
； ca88 https:// ca88 ；
当陆泽听说南宫沉默而杀气时，他的心很冷，好像他不小心死了一样。他很快就说了一个严肃的开场白：“南宫的老师在哪里，我只是看到美丽的南宫老师亲自加了我的朋友。此刻此刻太兴奋和错误了。”南宫静：“ ..”她首先发现 有些人敢在她面前如此瘦。果然，下次我见面时，铁拳制裁的程度会增加一级。但是现在她忽略了吕泽的话并且说：“等我再重新添加，我是你的导师。此外，一个月后，精英班将接受入学测试，你准备好了，不要死。”泽点点头，回过 头来说：“哦，好吧，我会做好充分的准备..”他只说了一半，突然发现自己听到了一个坏词？他咳嗽哭了起来，确认道：“老师，你说死不对，你的意思是什么？” “吨吨.嗝〜字面意思。”陆泽：“..”听着南宫悄悄地倒了一口酒， 满意的呼吸，冷静地给出了解释，陆泽觉得他的心态已经爆发了。哪所学校的入学考试将会死亡？入门测试不应该比虚拟现实中的比赛更好吗？他抽搐了一下口：“好吧，老师不会惹麻烦，入学考试将会死亡。” “当然，我们联邦大学和 帝国理工学院的入学考试可能已经死亡，但你可以放心，死亡率仍然非常低。只有不到10％。”我吃了！ ！真的死了？陆泽震惊了！他的眉头微微皱起，有些有尊严的问道：“南宫先生，我们的入学考试是什么？”南宫静带着一点酗酒说 道：“啊？没事。只要走到前线。”几场战斗，攻击几个城市，这是联邦大学和皇家学院精英班的传统。
ax 2 bx c 的一次项系数 b ，即
a 1c2 a2c 1 b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 ax 2 bx c a1x c1 a2x c2 .
要点诠释： （1）分解思路为“看两端，凑中间”
a 1x c1 与 a2x c2 之积，即
初高中衔接教材第二讲因式分解(1)
初 高 中 数 学 衔 接 教 材第二讲 因式分解（一） 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】:把下列多项式因式分解：（1）、22)2()(9b a b a ---（2）、2232xy y x x ++（3）、38x + （4）30.12527b -（5）、2b mb ab ma +++ （6）、232+-x x【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例3】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++(3) 2524x x +-(4) 2215x x --【例4】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++(3) 42718x x --(4) 22(2)9x x --课后作业 1．把下列各式分解因式：(1) 327a +(2) 38m - (3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y - (6) 3331121627x y c +2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x + (2) 33n n x x y +- (3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+ 3．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 23736x x ++ (3)21126x x +- (4) 2627x x -- (5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式：(1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --。
初升高预备练习(二)因式分解
初升高预备练习（二）一、填空题（共12题）1.（2017•百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（i）二次项系数2=1×2；（ii）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（iii）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12=________．2.阅读下列文字与例题：将一个型如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如①x2+3x+2=（x+1）（x+2）②x2﹣3x﹣10=（x﹣5）（x+2）．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为________．3.（十字相乘法）分解因式：2x2﹣x﹣15=________．4.分解因式：x3﹣4x2﹣21x=________．5.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），则a+b的值为________．6.）若x2+mx﹣n能分解成（x﹣1）（x+4），则m=________，n=________．7.分解因式：ax2+2ax﹣3a=________．8.已知x2﹣4x+n因式分解的结果为（x+2）（x+m），则n=________．9.分解因式：（a+5）（a﹣5）+7（a+1）=________．10.分解因式：（a+5）（a﹣5）+7（a+1）=________．11.在实数范围内分解因式：x2﹣4x﹣12=________．12.若关于x的多项式x2－px + q能因式分解为：（x－2)(x－3）.则p=________；q=________.二、单选题（共20题；共40分）13.若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A. a=1，b=﹣6B. a=5，b=6C. a=1，b=6D. a=5，b=﹣614.把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A. a=2，b=3B. a=﹣2，b=﹣3C. a=﹣2，b=3D. a=2，b=﹣315.把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A. a=2，b=3B. a=﹣2，b=﹣3C. a=﹣2，b=3D. a=2，b=﹣3A. a=2，b=3B. a=-2，b=-3C. a=-2，b=3D. a=2，b=-317.下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）A. m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B. （m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6C. x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8xD. x2+1=x（x+ ）18.下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）A. m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B. （m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6C. x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8xD. x2+1=x（x+ ）19.下列因式分解错误的是( )A. 2a-2b=2(a-b)B. x2-9=(x+3)(x-3)C. a2+4a-4=(a+2)2D. -x2-x+2=-(x-1)(x+2)20.多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A. a（x﹣6）（x+2）B. a（x﹣3）（x+4）C. a（x2﹣4x﹣12）D. a（x+6）（x﹣2）21.若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）A. 100B. 0C. -100D. 5022.已知不论x为何值，x2-kx-15=(x+5)(x-3)，则k值为（）A. 2B. -2C. 5D. -323.下列各式分解因式错误的是（）A. x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）B. x2+5x+6=（x+6）（x+1）C. x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）D. x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）24.若多项式x2﹣3x+a可分解为（x﹣5）（x﹣b），则a、b的值是（）A. a=10，b=2B. a=10，b=﹣2C. a=﹣10，b=﹣2D. a=﹣10，b=225.关于x的二次三项式x2+7x﹣m可分解为（x+3）（x﹣n），则m、n的值为（）A. 30，10B. ﹣12，﹣4C. 12，﹣4D. 不能确定26.已知：x2﹣5xy+4y2=0，且xy≠0，则x：y=（）A. 1或4B. 1或C. ﹣1或﹣4D. ﹣1或﹣27.分解因式x4+2x3﹣35x2，结果为（）A. （x2﹣5x）（x2+7x）B. x2（x2+2x﹣35）C. x2（x+5）（x﹣7）D. x2（x﹣5）（x+7）28.二次三项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值分别为（）A. 3、1B. ﹣6、﹣2C. ﹣6、﹣4D. ﹣4、﹣629.把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A. a=﹣2，b=﹣3B. a=2，b=3C. a=﹣2，b=3D. a=2，b=﹣330.（2012•柳州）你认为方程x2+2x﹣3=0的解应该是（）A. 1B. ﹣3C. 3D. 1或﹣331.对于代数式x2－10x＋24，下列说法：①它是二次三项式；②该代数式的值可能等于2017；③分解因式的结果是(x－4)(x－6)；④该代数式的值可能小于－1．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个A. a=﹣2，b=﹣3B. a=2，b=3C. a=﹣2，b=3D. a=2，b=﹣3三、计算题（共15题；共80分）33.因式分解：x2﹣5x﹣6．34.因式分解：（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．35.分解因式：16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2．36.因式分解：（1）x2﹣xy﹣12y2；（2）a2﹣6a+9﹣b237.因式分解：（1）a4﹣5a2﹣36；（2）x2﹣4x+4﹣4y238.分解因式：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.39.因式分解：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12．40.41.解方程：x2﹣3x+2=0．42.解方程：分式方程和一元二次方程（1）（2）x(x－2)＝3x－643.选择适当的方法分解下列多项式（1）x2+9y2+4z2﹣6xy+4xz﹣12yz （2）（a2+5a+4）（a2+5a+6）﹣120．44.将下列各式因式分解：（1）a3﹣16a；（2）4ab+1﹣a2﹣4b2．（3）9（a﹣b）2+12（a2﹣b2）+4（a+b）2；（4）x2﹣2xy+y2+2x﹣2y+1．（5）（x2﹣2x）2+2x2﹣4x+1．（6）49（x﹣y）2﹣25（x+y）2（7）81x5y5﹣16xy （8）（x2﹣5x）2﹣36．45.因式分解（1）3ax+6ay （2）25m2﹣4n2（3）3a2+a﹣10 （4）ax2+2a2x+a3（6）x3+8y3 （6）b2+c2﹣2bc﹣a2（7）（a2﹣4ab+4b2）﹣（2a﹣4b）+1 （8）（x2﹣x）（x2﹣x﹣8）+12．46.（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24．47.分解因式：（1）x2y2﹣y2 （2）x2﹣4ax﹣5a2．初升高预备练习（二）一、填空题1.【答案】（x+3）（3x﹣4）【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．2.【答案】﹣5，﹣1，1，5【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：∵﹣6=﹣1×6=﹣2×3=1×（﹣6）=2×（﹣3），∴m=﹣1+6=5或m=﹣2+3=1或m=1+（﹣6）=﹣5或m=2+（﹣3）=﹣1，故答案为：﹣5，﹣1，1，5【分析】根据x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）；由﹣6=﹣1×6=﹣2×3=1×（﹣6）=2×（﹣3），得到m=﹣1+6=5或m=﹣2+3=1或m=1+（﹣6）=﹣5或m=2+（﹣3）=﹣1.3.【答案】（x﹣3）（2x+5）【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：2x2﹣x﹣15=（x﹣3）（2x+5）．故答案为：（x﹣3）（2x+5）．【分析】利用ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而求出即可．4.【答案】x（x+3）（x﹣7）【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：x3﹣4x2﹣21x =x（x2﹣4x﹣21）=x（x+3）（x﹣7）．故答案为：x（x+3）（x﹣7）．【分析】首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．5.【答案】﹣5【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，故a=1，b=﹣6，则a+b=﹣5．故答案为：﹣5．【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案．【解析】【解答】解：由题意得：x2+mx﹣n=（x﹣1）（x+4）=x2+3x﹣4，则m=3，n=4，故答案为：3；4．【分析】利用十字相乘法判断即可确定出m与n的值．7.【答案】a（x+3）（x﹣1）【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：ax2+2ax﹣3a=a（x2+2x﹣3）=a（x+3）（x﹣1）．故答案为：a（x+3）（x﹣1）【分析】原式提取a后利用十字相乘法分解即可．8.【答案】﹣12【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：（x+2）（x+m）=x2+（m+2）x+2m∴m+2=﹣4，n=2m，∴m=﹣6，n=﹣12，故答案为：﹣12【分析】将（x+2）（x+m）展开，然后利用待定系数法即可求出答案．9.【答案】（a﹣2）（a+9）【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：原式=a2﹣25+7a+7=a2+7a﹣18=（a﹣2）（a+9），故答案为：（a﹣2）（a+9）【分析】原式整理后，利用十字相乘法分解即可．10.【答案】（a﹣2）（a+9）【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：原式=a2﹣25+7a+7=a2+7a﹣18=（a﹣2）（a+9），故答案为：（a﹣2）（a+9）【分析】原式整理后，利用十字相乘法分解即可．11.【答案】（x﹣6）（x+2）【考点】因式分解-十字相乘法【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2）．故答案为：（x﹣6）（x+2）．【分析】用十字相乘法分解因式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解2
因式分解步骤：解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：
(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；
(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x 2+(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式；
(3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.
最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
练习：
1、 解方程组⎩⎨⎧=-=-②
①.12,5422y x y x
2、 若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三角形的形状.
3、若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则k= .
4、 分解因式(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10.
5、(1)(x+y)2-9y 2； (2)a 2-b 2+a +b ；
(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2； (4)(a b+b)2-(a +1)2；
(5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.
（7）已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3的值.
（8）已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值
.
6、（1）若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( ) A.3 B.-5 C.7. D.7或-1
（2）若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
（3）把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( )
A.(3a -b)2
B.(3b+a )2
C.(3b-a )2
D.(3a +b)2
4.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )
A.2(5x-2y)2
B.-2(5x-2y)2
C.29(x 2+y 2)
D.以上都不对
7.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( )
A.-12,-9
B.-6,9
C.-9,-9
D.0,-9
答案
2、∵a2+b2+c2-a b-a c-bc=0，
∴2a2+2b2+2c2-2a b-2a c-2bc=0.
即(a2-2a b+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2a c+a2)=0，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.
由平方的非负性可知，
∴a=b=c.
∴这个三角形是等边三角形.
4、解：令x4+x2=m，则原式可化为
(m-4)(m+3)+10
=m2-m-12+10
=m2-m-2
=(m-2)(m+1)
=(x4+x2-2)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).。