第二章 控制系统的数学模型
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第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
基本要求-控制系统数学模型
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第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
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线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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电气系统三元件（知识补充）
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2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章控制系统数学模型
s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章 控制系统的数学模型
= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制工程基础 第二章 控制系统的数学模型
R1 ui C1 K
R2 C2 uc
U c ( s) K U i ( s ) ( R1C1s 1)( R2C2 s 1)
有源网络：
Ur R0
R1
C1 +12V
+
-12V
Uc
U c ( s) R1C1s 1 U r ( s) R0C1s
2-3 典型环节及其传递函数
环节：具有某种确定信息传递关系的元 件、元件组或元件的一部分称为一个环 节。 系统传递函数可写为：
例2 电学系统： 其中：电阻为R，电感为L，电容为C。
＋ ur(t) － i
＋ uc(t) －
解：系统的微分方程如下
d U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
2
拉氏变换后（零初始条件下）
U c ( s) 1 2 U r ( s ) LCs RCs 1
2 2
1 1 1 , 2 2 s Ts 1, T s 2Ts 1
各典型环节名称：
比例环节：K 一阶微分环节：s 1 2 2 s 二阶微分环节： 2 s 1 1 积分环节： s 1 惯性环节： 1 Ts 1 二阶振荡环节：2 s 2 2Ts 1 T
传递函数的性质： （1）传递函数只取决于系统或元件的结构和 参数，与输入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统， 具有复变函数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式， 即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
传递函数的性质： （5）传递函数与真正的物理系统不存在一 一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多 项式的系数均为实数，故零点和极点可以是 实数，也可以是成对的共轭复数。
2控制系统的数学模型(拉氏变换)
第二章 控制系统数学模型
一、数学模型的基本概念 1、数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
将F(s)的分母多项式A(s)进行因式分解得 A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn) 式中， si(i=1,2,…,n)为A(s)=0 的根。下面分两 )=0有n个不等根，此时F(s)可分解为：
F ( s) c1 c c 2 ... n s s1 s s2 s sn
式中 cr+1,cr+2,…,cn为单根部分的待定系数由式 （2-14）计算。而重根部分的计算公式如下
cr lim( s s1 ) F ( s)
r s s1
（2-17）
14
cr j
1 dj lim j [( s s1 ) r F ( s)] j! ds
s s1
1 d r 1 c1 lim r 1 [( s s1 ) r F ( s)] (r 1)! ds
4
1、定义 函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：
0 st
F (s) L f (t ) f (t )e dt
式中：s=+j（，均为实数）称为拉普拉斯算子； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是 一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；
L为拉氏变换的符号。
2 1 3t f (t ) 0.5te 0.75e e 3 12
t t
16
5
f（0）
一、数学模型的基本概念 1、数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
将F(s)的分母多项式A(s)进行因式分解得 A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn) 式中， si(i=1,2,…,n)为A(s)=0 的根。下面分两 )=0有n个不等根，此时F(s)可分解为：
F ( s) c1 c c 2 ... n s s1 s s2 s sn
式中 cr+1,cr+2,…,cn为单根部分的待定系数由式 （2-14）计算。而重根部分的计算公式如下
cr lim( s s1 ) F ( s)
r s s1
（2-17）
14
cr j
1 dj lim j [( s s1 ) r F ( s)] j! ds
s s1
1 d r 1 c1 lim r 1 [( s s1 ) r F ( s)] (r 1)! ds
4
1、定义 函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：
0 st
F (s) L f (t ) f (t )e dt
式中：s=+j（，均为实数）称为拉普拉斯算子； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是 一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；
L为拉氏变换的符号。
2 1 3t f (t ) 0.5te 0.75e e 3 12
t t
16
5
f（0）
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T n1 n1
d n1c(t) dt n1
T1
dc(t) c(t) dt
Km
d mr(t) dt m
K m1
d m1r(t) dt m1
K1
dr(t) dt
K0r(t)
其中 Tn
n
， an
a0
Tn1
n 1
an1 a0
，…， T1
a1 a0
Km
bm a0
， K m1
bm1 a0
，…，K1
b1 a0
θr
操纵手柄
W1
ur
uε
u
放大器 ua
电机 θm
减 速
θc
器
电动机输 出转角
ut uc
测速电机
W2
7) Tm
d 2m (t) dt 2
dm (t ) dt
kmua (t )
8)
c
(t
)
1 i
m
(t
)
负载
说明
线性系统输入量与输出量之间的数学表达式可 以用一个线性常系数微分方程表述，具有以下特点：
• 物理、化学过程不同的系统，但数学模型的推导过程 和建立的数学模型却很相似。
❖零点用“○”表示，极点用“×”表 示。 传递函数的尾1标准型(时间常数式)
m
( is 1)
G(s) K
i 1 n
系统增益
s (Tj s 1) j 1
j [S]
0
传递函数的局限性
（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息 （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。 线性/非线性，定常/时变系统的辨析
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
a1
dc(t) dt
a0c(t)
bm
d mr(t) dt m
bm1
d m1r(t) dt m1
b1
dr(t) dt
b0r(t)
r(t) 系统输入量
c(t) 系统输出量
r(t) 系统 c(t)
若为常系数，上式描述的系统为定常系统 ai b j 若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统
说明
零初始条件定义的G(s) 反应系统的零状态特性
有两方面的含义: •零输入作用是指t= 0 以后,输入才作用于系统， 系统输入量及各阶导数在t= 0 时的值均为零； •输入作用加入之前，系统相对静止，系统输出 量及各阶导数在T=0时的值也为零。
例2.5 试列写RLC电路的传递函数 Uc(s)/Ur(s). 参见例2-1（６）
解： u (t )为输入量，电机转速 (t )为输出
R
电枢回路：u(t) Ri E ---基尔霍夫 Ｕ i
电枢反电势 E Ce ---楞次定律
电磁力矩 M Cmi ---安培定律 力矩平衡： M J d ---牛顿定律（空载）
dt
消去中间变量 i, M , E ，得：
L SM Ｍ
ω
JL
d 2
ur (t)
令
T1
L R
，T2 RC
，方程整理成标准形式
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
uc (t)
ur (t)
线性定常二阶微分方程
L
C uc(t)
2.2.2 机械系统
基本元件是质量、弹簧和阻尼器，基本定律是牛顿运动定 律和力矩平衡定律。
例2.3弹簧—质量—阻尼器系统，求质量m在外力F作用下位移
已知:
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
T1
L R
T2 RC
i(t) R L
ur(t)
C uc(t)
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
uc (ห้องสมุดไป่ตู้)
ur (t)
解:零初始条件下取拉氏变换：
I(s) R
Ls
Ur(s)
T1T2s2Uc (s) T2sU c (s) Uc (s) U r (s)
Fm
m
d 2 y(t) dt 2
f
y(t)
代入式（2-1）整理得
d 2 y(t) dy(t)
m dt 2 f dt ky(t) F (t) 线性定常二阶微分方程
2.2.3 其他系统
❖机电、热工和化工对象等系统都可以通过物理、化学机理 建立数学模型。
例2.4电枢控制直流电动机系统，求数学模型。
T2
d
dt
Ku
若电阻R和惯量J都很小，又简化为
Ku
转速 和电枢电压 u 成正比。电动机作为测速发电机使用
W1
W2 位置随动系统原理图
θr
θc
θr
E
Ra La
uε
u 放大器 ua
+ _
if
θm Z1
SM
ut
J L fL
TG
+ _
Z2 θc
θr
操纵手柄
W1
ur
uε
uc
u
放大器 ua
电机 θm
减 速
s1
传递函数的零点和极点
传递函数的首1标准型(零极点式)
m
G(s) b0 (s z1)(s z2 ) (s zm ) K * a0 (s p1)(s p2 ) (s pn )
(s zi )
i 1 n
(s pj )
j 1
❖分子多项式的根zi为传递函数的零点；分母多项式的
根pj为极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。
m
K * (s z j )
G(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
m1
m2
( k s 1)
(
2 l
s
2
2
l
s
1)
G(s) K
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
影响系统响应的因素
(1) 输入 u r (t) (2) 初始条件
—— 一般规定 r(t) = 1(t) —— 规定0 初始条件
1/Cs Uc(s)
传递函数： G(s) Uc (s)
1
U r (s) T1T2s2 T2s 1
例2.6 求例2.4直流电动机控制系统的传递函数。
解： 已知系统的微分方程
T1T2
d 2
dt 2
T2
d
dt
Ku
设初始条件为零，对上式拉氏变换
R i Ｕ
L SM Ｍ
ω
（T2T2 s 2 T2 s 1)s KU s
第二章 控制系统的数学模型
2.1 引 言 2.2 线性系统的数学模型 2.3 线性系统的传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.5 信号流图与梅森公式
2.1 引言
1.数学模型：
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式。 2.建模方法：
解析法（理论推倒法） 实验法（实验辨识法） 3.常用数学模型 微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图） 频率特性 状态空间表达式（或状态模型）（现代控制理论课程 ）
(3) 系统的结构参数—— 自身特性决定系统性能
传递函数的性质
1) G(s)是复变量s的有理真分式函数，且n>m； 2) G(s)只与系统自身的结构参数有关,与 输入信号无关； 3) G(s)与系统微分方程直接关联，s d dt 置换即可； 4) G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即G(s) = L[ g(t) ]；
an sn an1sn1 .... a1s a0 C(s) bm sm bm1sm1 ... b1s b0 R(s)
传递函数： C(s)
R(s)
bm sm bm1sm1 ... b1s b0 ansn an1sn1 ... a1s a0
G(s)
⑴ 首1标准型：
⑵ 尾1标准型：
设输入信号是单位脉冲函数，即 r(t) (t)
(t)的定义：
(t)
, 0,
t 0 t0
且
t dt
1
R(s) L t1
输出量的拉氏变换等于系统的传递函数，即
C(s) G(s)R(s) Gs
拉氏反变换 L1C(s) L1G(s) C(t) g(t)
5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。(后面介绍)
传递函数
G(s)
(s) U (s)
T1T2 s 2
K T2 s 1
忽略电枢电路电感L，系统的微分方程为
传递函数
d
T2 dt
Gs
K
Ku
Ts 1
忽略电枢电路电阻R和转动惯量J，微分方程为 Ku
传递函数为Gs K
例2.7 如图,求
1) R=1Ω，C=1F， ur(t)=1(t) v,求零状态下阶跃响应uc(t) ；
2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求 uc(t) ;
3)求脉冲响应g(t)。
i (t) R
解:
1）
G(s)
Uc (s) Ur (s)
1 RCs
1
1 s 1
Uc (s)
Ur (s) s 1
1 s(s 1)
ur(t)
C uc(t)
拉氏反变换即阶跃响应 uc (t) 1 et
2） RCsU c (s) Uc (s) Ur (s)