2-4 转动刚体的角速度和角加速度_图文.ppt
刚体的转动
§3-2 力矩 转动定律 转动惯量 本节主要内容
力矩的概念 转动定律 转动惯量
经验告诉我们： 外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关， 而且还与力的方向和力的作用点的位置有关。
F
所以，我们需要引入力矩这个物理量来描述 外力对刚体转动的作用
一.力矩
力臂： d r sin θ
力矩的定义: 力F 的大小和力臂d 的乘积 称为力F 对转轴OZ的力矩
解： (1)
d
dt
3Bt2
(2) d 6Bt
dt
(3)距轴为r的一质点加速度
at r 6Brt an r 2 9B2rt 4
a
a
2 n
a
2 t
(9 B 2 rt 4 ) 2 ( 6 Brt ) 2
tg an 3 Bt 3 （ 为加速度与速度的夹角 ）
l
细棒转轴通过 中心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过 端点与棒垂直
J ml 2 m( l )2 ml 2
12
2
3
讨论
影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的质量； (2)质量的分布(含大小和形状)； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。 （同一个刚体对不同的轴转动惯量不同）
转动 非定轴转动
ω
刚体的一般运动：
质心的平动 + 绕质心的转动 定轴转动的特点：
在刚体中取垂直于轴线的平面称为转动平面
刚体中所有的点都绕同一直线（轴）在各自的 转动平面内做圆周运动。
刚体转动的描述
§3-1角速度和角加速度
z
⊿
1.角坐标（角位置）
定轴转动刚体内各点的速度和加速度
a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布 规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向 加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t， 的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一 点M的速度和加速度。如果在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子， 绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】 由圆轮的转动方程，可得其在任 一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不 可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一 瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例6.3】 如图所示，一半径r
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。
考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。
在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。
又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。
同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。
又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。
如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。
如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。
4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。
1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。
飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。
即木制飞轮动能较大。
刚体转动及角动量守恒ppt
匀直细杆对端垂轴旳
平行移轴定理
对质心轴旳转动惯量 对新轴旳转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴旳平移量
新轴 质心轴
代入可得 端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算旳 例
取半径为 微宽为 旳窄环带旳质量为质元
球体算例 匀质实心球对心轴旳 可看成是许多半径不同旳共轴 薄圆盘旳转动惯量 旳迭加 距 为 、半径为 、微厚为 旳薄圆盘旳转动惯量为
a = Rb
T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
及
I
=
1 2
mR2
得
b=
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m
2)
常量
故
由
m2
a
G2
m1
a
G1
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m 2)
t (m1-m2)g
g 2 (rad)
R(m1+ m2+ m 2)
两匀直细杆
q
转动定两律者瞬例时题角加五速度之比
与 时刻相应，何时
则何时
，
何时 恒定 则何时 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例转题动 二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
力矩旳功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩旳功旳大小
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
刚体的基本运动
2
0.556,
29
转动刚体内各点得速度和加速度
例题2
vM at
a
M
O an
α ω
A
vA aA
vM r 0.36 m s－1
aτ r 0.36 m s－2
an r 2 0.648 m s－2
A点:
vA vM 0.36 m s－1 aA aτ 0.36 m s－2
O1 l A
刚体得平行移动
例题1
O2 l
M
B
已知:O1A＝ O2B ＝l;
0
sin
π 4
t
求:当t = 0和t = 2 s时,荡木 得中点 M 得速度和加速 度。
刚体得平行移动
例题1
O1
l
A O
(+)
O2
0
sin
π 4
t
l
解: 1、 分析荡木得运
M
B
动 AB平动
2、 求A点得运动
A点得运动方程
lim
t0 t
d
dt
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
第6章 刚体得简单运动
转动刚体内各点得 速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
转动刚体内各点得速度和加速度
P点得运动方程
s = r ( t )
aP
AO
a
n P
vP
r
a
τ P
s
P
B
aP r 2 4
aPτ aPn
arctan 2
继续保持安静
刚体得平行移动 速 度
刚体得平行移动 加 速 度
平动刚体上各点得加速度
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
第五章刚体的转动
34 第五章 刚体的转动§5-1、刚体定轴转动定律【基本内容】一、刚体的运动1、平动刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。
刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。
2、定轴转动刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。
描述刚体转动的物理量角位移θ∆角速度ω角加速度β刚体匀变速转动公式βθωωβωωβωθ221202020=-+=+=tt t 二、刚体所受的力矩力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。
F r M ⨯= 式中F为力在转动平面的投影，r为轴指向力的作用点。
结论1 力矩是矢量，对于定轴，力矩的方向在转轴上； 结论2 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。
三、刚体定轴转动定律定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即βJ M =四、转动惯量35定义：对于质点系∑=iii rm J 2对于刚体⎰=dm r J 2线分布：λλ,dx dm =是质量线密度。
面分布：σσ,dS dm =是质量面密度。
体分布：ρρ,dV dm =是质量体密度。
决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。
【典型题例】【例5-1】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m ，半径为r 。
绳的两端分别悬挂质量为m １和m ２的物体，m １＜m ２，如图例2-4所示。
设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。
【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T ２′＞T 1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T １＝T 1′，Ｔ２＝T ２′。
T １、T 1′和T ２、T ２′都是绳中的张力。
绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m １与m ２有大小相同的加速度a ，且都等于滑轮边缘的切向加速度。