《物理光学》菲 涅 耳 衍 射

变化， 且为
N
Nm
2 N
R
该波带数称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔衍射效应的很重要 的参量。此后，随着r0的增大，P0点光强不再出现明暗交替的 变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。而当r0很小时，N很大，衍 射效应不明显。当r0小到一定程度时，可视光为直线传播。
(2) N对衍射现象的影响
R和r0一定时，圆孔对P0露出的波带数N与圆孔半径有关， N∝ρ2 N 。 于是，孔大，露出的波带数多，衍射效应不显著； 孔小，露出的波带数少，衍射效应显著。当孔趋于无限大时，
它的一个优点是，适应波段范围广。比如用金属薄片制作的 波带片，由于透明环带没有任何材料，可以在从紫外到软X射 线的波段内作透镜用，而普通的玻璃透镜只能在可见光区内 使用。 此外， 还可制作成声波和微波的波带片。
4.5.1 菲涅耳半波带法
下图绘出了一个单色点光源S照射圆孔衍射的情况， P0是圆孔中 垂线上的一点，在某时刻通过圆孔的波面为MOM′， 半径为R。
M
S
R
P0
M‘
现在以P0为中心，以r1, r2, …, rN为半径，在波面上作圆， 把MOM′分成N个环带， 所选取的半径为 ：
r1
r0
2
r2
r0
2
这样，相邻2个半波带（2，3），（8，9），（14，15）对场 点的贡献彼此抵消，只剩下1，7，13半波带，它们彼此的光程 差为3λ，在场点相干叠加增强，形成一个焦点。 菲涅耳波带片与普通透镜相比，还有另外一个差别：波带片的焦 距与波长密切相关，其数值与波长成反比，这就使得波带片的色 差比普通透镜大得多， 色差较大是波带片的主要缺点。
4.5.2菲涅耳波带片
在利用菲涅耳波带法讨论菲涅耳圆孔衍射时已经知道，由于相 邻波带的相位相反，它们对于观察点的作用相互抵消。因此， 当只露出一个波带时，光轴上P0点的光强是波前未被阻挡时的 四倍。对于一个露出 20 个波带的衍射孔，其作用结果是彼此 抵消，P0为暗点。现在如果让其中的1、3、5、……、19 等 10 个奇数波带通光， 而使 2、 4、 6、 ……、 20 等 10 个偶 数波带不通光， 则P0点的合振幅为
Nr0
N 22
4
将其代入式，
h rN2 r02
2(R r0)
可得
h
Nr0
N 22
4
2(R r0 )
所以，
2 N
Nr0
N 22
4
2r0
Nr0
N 22
4
2(R r0 )
NR
R r0
r0
N
4
一般情况下，均有r0>>Nλ，故
2 N
Nr0
R
R r0
平行光入射时，R→∞，
N r0N N 1
AN=a1+a3+a5+…+a19≈10a1
因波前完全不被遮住时P0点的合振幅为
A
a1 2
所以，挡住偶数带(或奇数带)后，P0点光强约为波前完全不被遮 住时的 400 倍
这种将奇数波带或偶数波带挡住所制成的特殊光阑叫菲涅耳波 带片。由于它类似于透镜，具有聚光作用，又称为菲涅耳透镜。
图给出了奇数波带和偶数波带被挡住(涂黑)的两种菲涅耳波带片。
aN 2
N为偶数时，
AN
a1 2
aN 1 2
aN
当N较大时，aN-1≈aN，故有
AN
a1 2
aN 2
N为偶数时，取负号； N为奇数是，取正号。
下面计算圆孔半径ρN和波带数N之间的关系
2 N
rN2
(r0
h)2
rN2
r02
2r0h
MN
R
θN
rN
因为
ρN
S
O’ O
r0
P
rN2
r0
N
2
2
r02
N
3. 菲涅耳波带片的焦距
聚光作用看，波带片与普通透镜相似。但是，普通透镜是利用 光的折射原理实现聚光的，从物点发出的各光线到像点的光程 相等， 而波带片则是利用光的衍射原理实现聚光的，从物点发 出的光波经波带片的各波带衍射，到达像点的相位差为 2π的 整数倍，产生相干叠加，所以它们之间有实质性的差别。
2.
对于一个距离波带面为R的轴上点光源S照明波带片， 有
经过变换可得
2 N
Nr0
R
R r0
1 R
1 r0
N
2 N
菲涅耳波带片
这个关系式与薄透镜成像公式很相似，可视为波带片对轴上物 点的成像公式。
R相应于物距(物点与波带片之间的距离)，r0相应于像距(观察 点与波带片之间的距离)，而焦距为
fN
2 N
S N 1
R
R r0
( N
1)r0
(N
1)2
2
4
两式相减，即得第N个波带的面积为
SN
SN
SN 1
R
R r0
r0
N
1 2
2
由此可见，波带面积随着序数N的增大而增加。但由于通常波 长λ相对于R和r0很小，λ2项可以略去，因此可视各波带面积近 似相等。
(2) 各波带到P0点的距离 rN
与上面的情况不同，如果用一个不透明的圆形板(或一切具 有圆形投影的不透明障碍物)替代圆孔衍射屏，将会产生怎 样的衍射图样?
如图所示，S为单色点光源，MM′为圆屏，P0为观察点。分 析方法与前相同，仍然由P0对波面作波带，只是在圆屏的情 况下，开头的N个波带被挡住，第(N+1)个以外的波带全部通
光。 因此，P0点的合振幅为
由惠更斯—菲涅耳原理可知，各波带在P0点产生的振幅aN 主要由三个因素决定：波带的面积大小ΔSN；波带到P0点的距 离 r-N；波带对P0点连线的倾斜因子D(θ)，且
aN
SN rN
D( )
(1) 波带面积ΔSN
在图中，设圆孔对P0点共露出N个波带，这N个波带相应的波面 面积是：
SN 2Rh
θN
S
O’ O
P
式中，h为OO′长度。
h为OO′长度。
R
MN
θN
rN
ρN
S
O’ O
r0
P
2 N
R2
(R h)2
rN2
(r0
h)2
所以
h rN2 r02
2(R r0)
又由于rN=r0+Nλ/2， 故有
代入两式，得
rN2
r02
Nr0
N 2
2
2
SN
R
R r0
Nr0
N2
2
4
同样也可以求得第(N-1)个波带所对应的波面面积为
则
f1
12
令m＝3，可确定第二焦距：
fm
1 m
N2 N
f3
1 3
12
1 3
f1
假设原来包含3个半波带，序号为1，3，5；当P0点移到f3时， 由于距离下降，导致半波带数上升，变成：
1 1,2,3 3 7,8,9 4 13,14,15
1 1,2,3 3 7,8,9 4 13,14,15
这种差别表现在普通透镜中只有一个焦距，而波带片中则有 多个焦距，即用一束平行光照射这种波带片时，除了上述P0 点(主焦点)为亮点外，还有一系列光强较小的(次焦点)亮点。 相应各亮点(焦点)的焦距为
fm
1 m
N2 N
m＝(±1, ±3, ±5………)
如图所示。
解释如下： 图
假设平行光入射，
N r0N N 1
AN
a1 2
aN 2
N为偶数时，取负号； N为奇数是，取正号。
由上式，当N为奇数时，对应是亮点；N为偶数时，对应是暗点。 所以，当观察屏前后移动(r0变化)时， P0点的光强将明暗交替 地变化，这是典型的菲涅耳衍射现象。
在ρN和R一定时，随着r0的增大，N减小，菲涅耳衍射效应很
显著。当r0大到一定程度时，可视r0→∞，露出的波带数N不再
A
aN 1
aN2
a
aN 1 2
aN 1 2
aN2
aN 3 2
aN 3 2
aN 4
aN 5 2
aN 1 2
这就是说，只要屏不十分大， (N+1)为不大的有限值，则P0点 的振幅总是刚露出的第一个波带在P0点所产生的光场振幅的一 半， 即P0点永远是亮点，所不同的只是光的强弱有差别而已。 如果圆屏较大，P0点离圆屏较近，N是一个很大的数目，则被 挡住的波带就很多，P0点的光强近似为零，基本上是几何光学 的结论： 几何阴影处光强为零。
2
rN
r0
N
2
M
S
R
r3
r0
3
2
r2 r0
r1 r0 2
P0
M‘
r0
h
因此，相邻两个环带上的相应两点到P0点的光程差为半个波长， 这样的环带叫菲涅耳半波带(或菲涅耳波带)。
设a1, a2, ……, aN分别为第1、 M
r3
r0
3 2
r2 r0
第2、……、第N个波带在P0 S R
r1 r0 2
由于整个装置是轴对称的，在观察屏上离P0点距离相同的 P点都应有同样的光强，因此菲涅耳圆孔衍射图样是一组亮暗 相间的同心圆环条纹，中心可能是亮点，也可能是暗点。
应当指出，上述的讨论仅对点光源才成立，如果不是点光 源，将因有限大小光源中的每一个点源都产生自己的一套衍射 图样，导致干涉图形变得模糊。
3.
点产生光场振幅的绝对值，
P
则由惠更斯—菲涅耳原理，
M‘
r0
0
P0点的光场振幅应为各波带
在P0点产生光场振幅的叠加,