隧道围岩温度场变化规律理论分析

θm =
2 τ0
∫
τ0
0
f (τ ) sin
2πnτ dτ τ0
解（14）的微分方程可得如下的解：
∞ θ0 nπ T ( z ,τ ) = + ∑ exp − 2 n =1 aτ 0
2πnτ nπ 2πnτ nπ [ z θ cos( − z ) + θ sin( − z )] n m τ a τ τ a τ 0 0 0 0
λ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ∆t ( 2 + 2 + 2) = ρC ∂x ∂y ∂z ∆τ
上式当 ∆τ 趋近于零时，
（11）
∆t ∂t 写成微分形式 ，则有： ∆τ ∂τ
λ ∂2t ∂2t ∂2t ∂t ( 2 + 2 + 2)= ρ C ∂x ∂y ∂z ∂τ
若设：导温系数 a =
（12）
∂T ( ∞, τ ) =0 ∂z （恒温带）
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（17）
石家庄铁路职业技术学院学报 ２００６ 年第 ２ 期
因为隧道外的大气温度是呈周期性变化的，那么边界条件式（15）中的衬砌表面温度受外界气 温影响也按周期性变化，则 f（τ）可以表示为傅里叶级数形式，即
（9）
由于这种热量的增加，使微小立方体温度上升。如果设岩石的密度为ρ比热为 C，温度上升为
26
第2期
王海彦，等
隧道围岩温度场变化规律理论分析
∆t ，对无内热源的稳态温度场，则岩石立方体内的热量增加应为：
∆Q = ρC ∆x∆y∆z ∆t
（10）
根据能量守衡，微小立方体储存的热量与所增加的热量相等，因此，由式（9） 、 （10）相等且 两边同除以 ∆x∆y∆z 可得：
（19）
式（19）即为微分方程（14）在边界条件式（15）情况下的解，即隧道围岩受隧道内周期变化 的气温影响时，任意点 z 在任意时刻τ的温度分布。由于该解为级数形式，实用上很不方便，且不 易直观地看出隧道围岩温度场分布的规律，因此有必要对隧道围岩温度分布表达式进行简化。 如果对隧道内气温变化规律进行简化，认为其以简谐函数周期性变化。且假设隧道衬砌表面平 均温度与该位置洞内气温近似相等。不考虑相位的影响，则衬砌表面的温度可以表示为：
２ 隧道围岩体的热传递规律
2.1 围岩体的热传递方式 热力学第二定律指出，在一个物体内部或物系之间，只要存在着温度差，热量总是自发地由高 温处传向低温处。这种靠温差推动的能量传递称为热传递过程。由于温度差在自然界和生产领域中 广泛存在着，故热量传递就成为自然界和生产领域中一种普遍现象。 从热量传递的机理上说，有三种基本热传递方式，即热传导、热对流和热辐射。 热传导简称导热，它是指热量由物体的高温部分向低温部分的传递，或者由一个高温物体向与 其接触的低温物体的传递。这种传热过程是依靠物质微观质点的能量传递而实现的，与宏观运动无 关。导热是物质的本能，尽管导热能力有所差异，但任何物质不论处于固态、液态或气态都能进行 热传导。 借助于流体宏观运动传递热量的过程称为热对流或对流换热。对流换热通常是流体与固体表面 之间的传热。 热辐射是另一种热传递方式。它是指物体由于自身温度的原因而向外发射可见的和不可见的射 线（称电磁波或光子）来传递热量的方式。热传导和热对流都要通过物质进行热传递，而辐射传热 机理则完全不同，它是借助于电磁辐射波传递热量的，在完全真空的地方热辐射仍能进行。 隧道周围岩体中的热量传递方式也是传导、对流、辐射三种方式或者是其综合。理论上，只要 有温差，不论物体间有无接触或介质存在，都有热辐射发生。但是由于隧道工程位于地壳浅层，围 岩的温度变化辐度较小，而热辐射的量值与物体绝对温度的四次方的差值成正比，故其值较小，可 以忽略不计。所以在隧道工程的围岩温度场研究中只需考虑导热与对流，其中传导是岩体内部的热 量传递的主要方式；对流传热主要发生在隧道内表面与隧道内流动空气之间。 2.2 围岩体的导热微分方程的推导 岩体内部的温度分布不均匀时， 若将岩体内部相同温度的点连接起来则形成一个面， 即为等温 面。等温面与平面相截可以得到一簇等温线，热流沿着与等温线垂直的方向流动，如图 1 所示。在 等温面上取微小面积ΔS，则在时间Δτ内通过ΔS 的热量ΔQ 为：
（2）
（3）
为了求得岩体中热传导的微分方程，设有一均质岩体，从均质岩体中取出如图 2 所示的微小立 方体 ∆x∆y∆z ，取直角坐标系，小立方体各面与各坐标轴平行或垂直，热流可以沿立方体的任意方 向流动，但在此主要研究 x, y, z 方向的热流。若取中心点的温度为 t，则距中心面 ∆x / 2 的左侧面的 温度为：
如果研究与 x 方向成直角的ΔS1 面上的热流量，ΔS1 与等温线成φ角，因为 ∆S1 = ∆S / cos φ ， 所以要流过微小面积ΔS 的热量ΔQ，式（1）就变为：
∂t ∆τ ∂n ∂t ∂t ∂t 如果设 为 x 方向的温度梯度，由于 = cos φ ，所以ΔS1 面上的热流量为： ∂x ∂x ∂n ∆Q = −λ∆S1 cos φ ∆ Q x = − λ ∆ S1 ∂t ∆τ ∂x
T ( 0,τ ) = f (τ ) =
θ0 ∞ 2πnτ 2πnτ + ∑ (θ n cos + θ m sin ) 2 n=1 τ0 τ0
（18）
式中 τ0——表面温度变化周期；θ0——τ0 期间的平均温度； θn、θm——分波的振幅，且
θn =
2 τ0
∫
τ0
0
f (τ ) cos
2πnτ dτ τ0
∆Q = −λ∆S ∂t ∆τ ∂n
（1）
ｚ
ｙ
热 流 线
ｔ１
Δｚ
ｔ３ ｔ２
ΔＱ ｘ Ｌ
Δ
ΔＱ ｘＲ
Δ ｔ φ ｎ
线 温 等
ｙ
Δｘ
Δｙ
Δ
ｓ
Δｓ１
Δ ｔ Δｘ
ｏ
图 １ 等温线和热流线
ｘ
ｏ
图 ２ 微小立方体内的导热 25０６ 年第 ２ 期
图 ３ 隧道围岩温度场示意图
隧道 增温带 变温带 变温带 恒温带
∂ 2 t 1 ∂T = ∂z 2 a ∂τ
(τ＞0， 0≤z＜∞＝) （14） 由于隧道施工后，围岩与外界的热交换过程已持续了很长时间，因此，原有的温度分布已失去 了对当前围岩传热过程的影响，同时，现在也无法准确地确定围岩的初始状态的温度场，因此在讨 论的问题中，初始状态已失去了它的意义。所以，该问题属于准稳态的热波问题。边界条件为： 当 z = 0 时， T （0,τ）= （τ） f （衬砌表面） z =∞时，T（∞, τ）≠∞ （15） （16）
T ( 0,τ ) = f (τ ) = A cos
式中
2πτ + T0 τ0
（20）
T 0 ——衬砌表面的平均温度； A——衬砌表面的振幅； τ0 ——振动的周期，可按昼夜，也可按年计算。
４ 结论
在式（15） 、 （16） 、 （17）的条件下，解式（14）所示的偏微分方程，根据所讨论的问题的物理 意义去掉不合适的解，最终求得对应于上述边界条件的解为：
= λ∆x∆y∆z
∂2t ∆τ ∂x 2
（8）
同样，y 方向、z 方向也可以得到类似的热量公式。如果把三个方向的热量相加，就可以得微小 立方体内储存的全部热量为：
∆Q = ∆Qx + ∆Qy + ∆Qz = λ∆x∆y∆z (
∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t + + ) ∆τ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
摘要： 通过对隧道内二次衬砌表面温度及二次衬砌背后一定深度的围岩体温度场的理论分析， 得出隧道内不同部位的温度变化规律，为寒区隧道采用抗防冻措施提供理论依据。 关键词： 隧道 围岩 温度场 等温面 热传导 中图分类号： Ｕ４５２．１ 文献标识码： Ａ 文章编号： １６７３－１８１６（２００６）０２－００２４－０６
１ 地壳温度场概述
隧道工程、岩土工程等都是建筑在地壳中或地壳表面的构筑物，因此，要研究这些构筑物的温 度特征，必须研究地壳温度场及其对构筑物温度场的影响。 地壳内部的温度场受地球内部热源、太阳辐射能量、地壳形变、岩浆入侵、地理纬度、地形、 地貌、气候、植被及岩石热物理性质的影响。在地壳浅层温度主要决定于太阳辐射到地表上的能量 和地表辐射回太空的能量之间的平衡。由于太阳辐射到地球表面的能量随时间作周期变化，因此， 地壳表层的温度也随时间而变化。但地球表面的温度的波动一般影响深度较浅，只有在考虑长期的 地球气候变化时，才对地球深部的温度产生影响。根据地温测量数据，正常情况下地壳浅层深度过 ７ km 以内，其温度分布可以分为变温带、恒温带、增温带。 由于太阳辐射到地表的能量随时间作周期变化，因此，变温带实际上是一个准稳定温度场，其 温度变化幅度按一定规律随深度递减。变温带以下即为恒温带。恒温带实际上是一个均匀分布的温 度场，恒温带的厚度一般比较薄。由于地表和岩层的温度与大气圈系统的热交换，因而将产生日恒 温带、年恒温带、多年恒温带、永久恒温带。恒温带以下，越向深处温度越高，其温度分布和热状 态主要受地球内部的热量所控制，这就是增温带。增温带中温度稳定地向着地球中心方向递增，它 不随时间变化，增温带是一个稳定的温度场。 物体内部空间中各点的瞬间温度值的总合称为物体的温度场。如果取 ｘ，ｙ，ｚ 直角坐标系，则温 度场是坐标和时间的函数，其数学表达式为： T = f ( x , y , z ,τ ) 式中 Ｔ——物体空间中某点在瞬间τ时的温度值； ｘ，ｙ，ｚ——该点的空间坐标； τ——时间。 由于温度是一个标量，所以温度场是一个非向量场。根据温度随时间变化与否，可将温度场分
∂t xL ∂ ∂t ∆ x ∆τ = −λ∆y∆z (t − ⋅ ) ∆τ ∂x ∂x ∂x 2
（6）
同样，从右侧流出的热量为：
Q xR = −λ∆y∆z
∂ ∂t ∆ x ( t + ⋅ )∆τ ∂x ∂x 2