高二数学必修五知识点：排列组合公式
高中数学排列组合公式
高中数学排列组合公式排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
高中数学排列组合公式1排列组合定义从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。
2排列组合公式A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!C-Combination 组合数A-Arrangement 排列数n-元素的总个数m-参与选择的元素个数!-阶乘3排列组合基本计数原理加法原理与分布计数法1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
3、分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
乘法原理与分布计数法1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
2、合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
(完整word版)排列组合公式(全)(word文档良心出品)
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列组合基本公式大全
排列组合基本公式大全排列和组合是数学中常用的概念，用于计算在特定条件下的可能性和选择数。
掌握排列组合的基本公式是解决许多与计数有关的问题的关键。
下面将提供一些常见的排列组合基本公式，以帮助读者更好地理解和应用它们。
一、排列排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列。
常见的排列基本公式有：1. 全排列公式：对于n个元素的全排列，共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1。
例如，对于3个元素的全排列，共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种不同的排列方式。
2. 部分排列公式：对于n个元素中选取m个进行有序排列，共有A(n, m)种排列方式，其中A(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行有序排列的总数，计算公式如下： A(n, m) = n! / (n-m)!例如，从5个元素中选取3个进行有序排列，共有A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60种不同的排列方式。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个进行无序组合。
常见的组合基本公式有：1. 无重复元素组合公式：对于n个不重复元素中选取m个进行无序组合，共有C(n, m)种组合方式，其中C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行无序组合的总数，计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)例如，从8个不重复元素中选取4个进行无序组合，共有C(8, 4) = 8! / (4! ×(8-4)!) = 70种不同的组合方式。
2. 有重复元素组合公式：当元素中存在重复元素时，选取m个进行无序组合的总数可以通过排列数除以重复元素的排列数得到。
计算公式如下：有重复元素组合总数 = 无重复元素组合总数 / 重复元素的排列数例如，从6个元素中选取3个进行无序组合，其中2个元素重复，共有C(6,3) / 2! = (6! / (3! × (6-3)!)) / 2! = 10种不同的组合方式。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。
本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。
一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。
排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。
3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。
4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。
二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。
3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。
4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。
高中数学排列组合相关公式3篇
高中数学排列组合相关公式第一篇：排列组合基本概念和公式排列和组合是数学中的重要概念，属于初中和高中数学中的基础知识。
这两个概念通常用于处理有关选择或安排事物的问题。
排列：从n个不同的元素中任选r个元素排成一列，称为从n个不同元素中选r个元素的排列。
排列的基本公式如下：An^r = n(n-1)(n-2) …… (n-r+1)其中An^r表示从n个不同的元素中任选r个元素排成一列的方案数。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素排成一列，即为5选3的排列。
根据排列的基本公式，5选3的排列数为An^r=5×4×3=60。
组合：从n个不同的元素中任选r个元素，不考虑元素之间的顺序，称为从n个不同元素中选r个元素的组合。
组合的基本公式如下：Cn^r = n!/r!(n-r)!其中Cn^r表示从n个不同的元素中任选r个元素的组合方案数。
n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×……×2×1。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素的组合数，即为5选3的组合。
根据组合的基本公式，5选3的组合数为C5^3=5!/(3!2!)=10。
排列和组合的关系：排列和组合有很多类似的性质，但是也有不同点。
其中最重要的一点是：一个排列中，每个元素的位置不同，导致不同的排列。
而在一个组合中，元素之间是不考虑顺序的，所以如果元素相同，不同的顺序算作同一种组合。
第二篇：排列组合的应用排列组合在数学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子。
1. 生日问题如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？将每一个人的生日当做一个元素，一共有365个不同的生日（不考虑闰年的情况）。
这时我们要求的其实是在这23个人中选取2个或2个以上有相同生日的概率，也就是不出现任何两个人生日相同的概率。
按照组合的计算方法，我们可以得到不出现任何两个人生日相同的概率为：P = C365^23/365^23 ≈ 0.493所以至少有两个人生日相同的概率为：1-P ≈ 0.5072. 球队比赛现在有5个球队进行比赛，每个球队需要和其他球队各打一场比赛，问总共需要打几场？我们可以将这个问题看作是5个不同的元素进行排列组合。
高中数学知识点总结排列组合问题的应用与计算
高中数学知识点总结排列组合问题的应用与计算高中数学知识点总结：排列组合问题的应用与计算在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具，用于解决各种实际问题。
本文将总结排列组合的基本概念以及其在实际问题中的应用和计算方法。
一、排列与组合的基本概念排列和组合都是从一组对象中选择若干个对象进行排列或组合，以求解不同的问题。
1. 排列：从n个不同元素中选取r个元素，按照一定顺序排列的方式称为排列。
排列的数目用符号P表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：从n个不同元素中选取r个元素，不考虑排列顺序的方式称为组合。
组合的数目用符号C表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r!*(n-r)!)二、排列组合问题的应用排列组合在实际问题中的应用非常广泛，涉及到各个领域，以下是一些典型的应用场景。
1. 选组委会：从n个人中选取r个人作为组委会成员，这是一个典型的组合问题。
2. 分配座位：在一列座位中，n个人按照一定顺序坐下，这是一个排列问题。
3. 分配任务：将n项任务分配给r个人来完成，这是一个组合问题。
4. 排队问题：n个人按照一定规则排成一列，这是一个排列问题。
5. 抽奖问题：从n个参与者中抽取r个人作为获奖者，这是一个组合问题。
三、排列组合问题的计算方法在计算排列和组合的数目时，可以借助计算机软件、公式或者计算器来简化计算过程。
下面将介绍一些常用的计算方法。
1. 阶乘计算：n!表示n的阶乘，即从1到n的连乘积。
可以使用计算器来计算阶乘，或者使用编程语言中的阶乘函数。
2. 计算排列数：根据排列的定义，可以通过阶乘计算公式来求解排列数。
3. 计算组合数：根据组合的定义，可以利用排列的公式来求解组合数。
四、排列组合问题的解题步骤解决排列组合问题的关键是确定问题类型以及适用的计算方法，以下是一些解题的基本步骤。
1. 确定问题类型：首先要明确问题是一个排列还是组合问题，根据问题中的条件来判断。
高二数学必修五知识点：排列组合公式
高二数学必修五知识点：排列组合公式排列P------和顺序相关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"把5本书分给3个人，有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n！/(n1！*n2！*...*nk！).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-0813：30公式P是指排列，从N个元素取R个实行排列。
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高二数学必修五知识点：排列组合公式
排列P------和顺序有关
组合C-------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序，组合不分
例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.〞排列〞
把5本书分给3个人，有几种分法〞组合〞
1．排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.
p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n！/(n-m)！(规定0！=1).
2．组合及计算公式
c(n，m)表示.
c(n，m)=p(n，m)/m！=n！/((n-m)！*m！)；c(n，m)=c(n，n-m)；
3．其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n-r)！.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为
n！/(n1！*n2！*...*nk！).
k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).
排列〔Pnm(n为下标，m为上标)〕
Pnm=n×〔n-1〕....〔n-m+1〕；Pnm=n！/〔n-m〕！〔注：！是阶乘符号〕；Pnn〔两个n分别为上标和下标〕=n！；0！=1；Pn1〔n为下标1为上标〕=n
组合〔Cnm(n为下标，m为上标)〕
Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！〔n-m〕！；Cnn〔两个n分别为上标和下标〕=1；Cn1〔n为下标1为上标〕=n；Cnm=Cnn-m
2022-07-0813：30
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*〔n-1)*(n-2)..(n-r+1)；
因为从n到〔n-r+1)个数为n－〔n-r+1)＝r
举例：
Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1：123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P〞计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数那么应该有9-1种可能，个位数那么应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P〔3，9)＝9*8*7，(从9倒数3个的乘积〕
Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟〞，可以组合成多少个“三国联盟〞？
A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C〞计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有3名学生和4个课外小组．〔1〕每名学生都只参加一个课外小组；〔2〕每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？
解〔1〕由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
〔2〕由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？
解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图〞的方式逐一排出：
∴符合题意的不同排法共有9种．
点评按照分“类〞的思路，此题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图〞是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
例３判断以下问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
〔1〕高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
〔2〕高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？〔3〕有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
〔4〕有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
分析〔1〕①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
〔1〕①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手〔次〕．
〔2〕①是排列问题，共有〔种〕不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．
〔3〕①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．〔4〕①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．
证明左式
右式．
∴等式成立．
点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．
例5化简．
解法一原式
解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．
例6解方程：〔1〕；〔2〕．
解〔1〕原方程
解得．
〔2〕原方程可变为
∵，，
∴原方程可化为．
即，解得。