2018年东师秋季期末试题《概率论与数理统计》

期末作业考核

《概率论与数理统计》

满分100分

一、判断正误，在括号内打√或×（每题2分，共20分） （ × ）1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2

σμN 的样本，则∑==

n

i i

X

n

X 1

1

服从)1,0(N 分布；

（ × ）2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是),(lim y x F y +∞

→；

（ √ ）3．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； （ × ）4．若0)(=AB P ，则AB 一定是空集； （ × ）5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； （ × ）6．设C B A 、、表示3个事件，则C B A 表示“C B A 、、中不多于一个发生”； （ √ ）7．B A 、为两个事件，则A B A AB = ； （ √ ）8．已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,

8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ；

（ √ ）9．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则3216

3

6161?X X X ++=μ

是μ的无偏估计量；

（ √ ）10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量 之间是否存在某种相关关系。 二、填空题（每题3分，共30分）

1．设C B A 、、是3个随机事件，则“三个事件都不发生”用C B A 、、表示为 2．若事件C B A 、、相互独立，则)(C B A P = P(A)+P(B) +P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC) +P(ABC) ； 3．设离散型随机变量X 的概率分布为

除了要求每个≥k p 0之外，这些k p 还应满足 1p +2p +…k p =1；

4．若随机变量X 服从区间[]π2,0上的均匀分布，则=)(X E π ；

5．设随机变量X 的概率分布列为)0,2

,1,0(!

)(>===-λλλ； k e k k X P k

，则=)(X D ；

6．),(Y X 为二维随机向量，其协方差),cov(Y X 与相互系数XY ρ的关系为

C

B A

7．已知3)(=X E ，5)(=X D ，则=+2)2(X E 30 ； 8．设离散型随机变量X 的概率分布为

其分布函数为)(x F ，则=)3(F 1 ；

9．设n X X X ,,,21 为总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，若方差2

σ未知，则μ的)1(α-的置信

区间为

10．设样本1X ，2X ，…，n X 来自),(2σμN ，且69.12=σ，则对检验：0H ：35=μ，采用统计量

是

三、计算题(每题5分,共35分)

1．设)4,3(~2-N X ，试求X 的概率密度为)(x f 。

2．随机变量ξ的密度函数为??

?∈=其他

,

0)

,0(,2)(A x x x p ，其中A 为正的常数，试求A 。

3．设随机变量ξ服从二项分布，即),(~p n B ξ，且3=ξE ，7

1

=

p ，试求n 。

4．已知一元线性回归直线方程为x a y

4??+=，且3=x ，6=y ，试求a ?。

5．设随机变量X 与Y 相互独立，且4)(,

3)(==Y D X D ，求)4(Y X D -。

6．设总体X 的概率密度为???<<+=,0,

10,)1();(其它，

x x x f θθθ 式中θ>－1是未知参数，n X X X ,,,21 是

来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求θ的估计量。

7．设

n X X X ,,,21 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，其中0>σ未知。已知估计量

∑==n

i i

X k 1

2

2

?σ

是

2σ的无偏估计量，试求常数k 。

四、证明题(共15分)

1．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。(8分)

2．若事件B A ?，则)()(B P A P ≤。 (7分)