电磁场基本方程
maxwell方程组及边界条件
CQU
0 （静态场） 当 t
D H J t
B E t B 0 D
恒定场是时变电磁场的特殊形式
H J
E 0 B 0 D
en B2 B1 0
B1n B2 n
H 2t H1t K
en H 2 H1 K
电场：
en E2 E1 0 en D2 D1
E2t E1t
D2 n D1n
静电场
E 0 D
恒定电场 E 0 J 0
恒定磁场 H J B 0
D E
J E
BH
5.3.2
分界面上的衔接条件
CQU
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章相 同，归纳如下： 磁场：
CQU
将电荷守恒定律 J c t
D 0 t
带入上式
D C
时变场中不考虑恒定量，令 C =0
D
磁通连续性原理
B ( B) ( E ) 0 t t
折射定律
tan 1 1 tan 2 2
tan 1 1 tan 2 2
s
高斯定律
s
D dS q
麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从 中推得，由第1方程推导高斯定律。
D H J c v 对第一方程 两边取散度 t D H J c t D 左边为零，右边整理后得 J c D t t
第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
第一章 电磁场基本方程
可能为张量，即D 和E、B和H同向； 多数物质的
ε,µ
µ = µ r µ0；µ r ≈ 1
物质分类：
理想介质 σ = 0 理想导体 σ = ∞ 导电介质
三、边界条件 §2
麦 克 斯 韦 方 程 组
E和H的边界条件（与闭合曲线有关）
E切向连续 H与面电流密度相关
H1t − H 2t = J s
z
解：取点电荷q位于坐标原点，如图示。 取点电荷q 于坐标原点，如图示。 穿出立方体表面的电通量即穿出以a （1）穿出立方体表面的电通量即穿出以a为半径的立方 体内切球面的电通量。 体内切球面的电通量。
q
r r q q ˆ ⇒ D = εE = r y 4πεa 2 4πa 2 r r 2π π q q π 2 ∴ ∫∫ D ⋅ d s = ∫ d θ ∫ a sin ϕ d ϕ = [− cos ϕ ]0 = q 4πa 2 2 S 0 0
−12 −9 0
E = lim
q0 → 0
q0
ˆ =R
4πε 0 R
2
=∫
V
4πε 0 R
2
ρ v (r ′)dv′
电力线：有向曲线上任一点的切线方向与该点的电场强 度同方向
r ˆ ˆ ˆ E = xE x + yE y + zE z r ˆ ˆ ˆ dl = xdx + ydy + zdz
dx dy dz = = Ex E y Ez
r
R
P y
例2. 长为2l的长导线上流过电流I，试计算 它在真空中距导线r的P点的磁感应强度 µ0 I x B= 2πr
-l
r
θ
r dz ′
r R
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程之一。
它是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于19世纪提出的。
亥姆霍兹方程可以表示为：
∇²E + k²E = 0
其中，E代表电场强度，k代表波数，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程描述了电磁波在空间中传播时所满足的条件。
它告诉我们，
电场强度在传播过程中会受到拉普拉斯算子和波数的影响。
当波数为
零时，即没有任何介质存在时，这个方程退化为普通的拉普拉斯方程。
亥姆霍兹方程可以应用于许多领域，比如无线通信、雷达、天线等。
在这些应用中，我们需要了解电磁波在介质中传播的特性，以便更好
地设计和优化相应的设备和系统。
总之，电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程
之一。
它对于许多领域都有着广泛的应用，是我们理解电磁波传播特
性的基础之一。
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括波动方程、电磁场连续性方程和电磁场力方程。
下面是麦克斯韦方程组的推导过程：首先，我们考虑电磁场的波动方程。
波动方程描述了电磁场的振荡现象，可以用电场E和磁场H的函数来表示。
根据电磁场波动方程的表达式，我们可以将其分为两部分：一部分是电荷密度ρ，另一部分是电流密度J。
其中，电荷密度ρ表示电磁场中的电荷分布情况，而电流密度J 则表示电磁场中的电流分布情况。
波动方程中的变量E和H则表示电磁场中的电场强度和磁场强度。
接下来，我们考虑电磁场连续性方程。
电磁场连续性方程描述了电磁场的变化规律，它与电荷守恒定律和麦克斯韦方程组密切相关。
根据电磁场连续性方程的表达式，我们可以将其分为两部分：一部分是电荷守恒定律，另一部分是麦克斯韦方程组。
其中，电荷守恒定律表示电荷在时间t内的变化量等于电流密度J在时间t内的变化量。
而麦克斯韦方程组则表示电荷密度ρ在时间t内的变化量等于电场强度E在时间t内的变化量加上磁场强度H在时间t内的变化量。
最后，我们考虑电磁场力方程。
电磁场力方程描述了电磁场对带电粒子的作用力，它可以用库仑定律和安培定律来表示。
根据电磁场力方程的表达式，我们可以将其分为两部分：一部分是库仑定律，另一部分是安培定律。
其中，库仑定律表示两个点电荷之间的作用力与它们之间的距离的平方成反比，与它们的电荷量成正比。
而安培定律则表示电流密度J与磁场强度H之间的关系，它表示了电流在磁场中受到的作用力与电流密度J和磁场强度H之间的关系。
综上所述，麦克斯韦方程组的推导过程需要结合波动方程、电磁场连续性方程和电磁场力方程，通过这些方程的组合推导出麦克斯韦方程组。
这个推导过程需要用到一些数学知识和物理概念，如微积分、向量运算等。
通过推导麦克斯韦方程组，我们可以更好地理解电磁场的性质和规律，从而更好地应用于科学研究和实际应用中。
麦克斯韦方程组数学表达式
麦克斯韦方程组数学表达式麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别为高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程的数学表达式如下：1. 高斯定律（电场电荷密度定理）：$$ablacdotmathbf{E}=frac{rho}{epsilon_0}$$其中，$ablacdotmathbf{E}$表示电场的散度，$rho$表示电荷密度，$epsilon_0$为真空介电常数。
2. 法拉第电磁感应定律（电动势定理）：$$oint_Cmathbf{E}cdotdmathbf{l}=-frac{d}{dt}int_Smathbf{B}cdot dmathbf{A}$$ 其中，$C$表示一条封闭路径，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$S$表示该路径所围成的面积。
3. 安培环路定理（磁场电流密度定理）：$$ablatimesmathbf{B}=mu_0mathbf{J}+mu_0epsilon_0frac{partialm athbf{E}}{partial t}$$其中，$ablatimesmathbf{B}$表示磁场的旋度，$mathbf{J}$表示电流密度，$mu_0$为真空磁导率，$epsilon_0$为真空介电常数。
4. 法拉第电磁感应定律的积分形式（法拉第电磁感应定律的通量定理）：$$oint_Smathbf{E}cdotdmathbf{A}=-frac{d}{dt}int_Vmathbf{B}cdot dmathbf{V}$$ 其中，$S$表示一个封闭曲面，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$V$表示该曲面所围成的体积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
SD
dS
V
dV
B
LE dl S t dS
SB dS 0
LH
dl
S
j
D t
dS
麦克斯韦方程组物理意义：
1、通过任意闭合面的电位移通量等于该曲面所包围 的自由电荷的代数和。 2、电场强度沿任意闭曲线的线积分等于以该曲线为 边界的任意曲面的磁通量对时间变化量的负值。
3、通过任意闭合面的磁通量恒等于零。
(2)由位移电流密度的定义
Jd
D t
0
E t
0 U
l t
0U0 cost
l
或者 Jd Id R2
(3)因为电容器内 I=0,且磁场分布应具有轴对称性,
由全电流定律得 P
rR
L1 H1 dl S Jd dS Jdr 2
O
O
R
H1
2r
0U0 l
r
2
cost
l
H1
0U0
2l
么电路就连续了。麦克斯韦把这种电流称为位移电流。
定义
Iddedt源自d dtD dS
S
D dS
S t
jd
D t
0
E t
P t
（位移电流密度）
位移电流的方向
位移电流与传导电流方向相同 如放电时
D
t
D
q D
D
t 反向
D
I d 同向
Ic
二、全电流定律
全电流
通过某一截面的全电流是通过这一截面的传导电流、 运流电流和位移电流的代数和.
静电场和稳恒磁场的基本规律
静电场
稳恒磁场
SD dS V dV
E涡
E dl 0
L
SB dS 0
H dl
j dS
Id
L
S
变
B
E dl dS
L
S t
LH
dl
S
j
D t
dS
1、 位移电流
电流的连续性问题:
R
包含电阻、电感线圈的电
I
L
I 路,电流是连续的.
积累随时间变化。
D Q
S
电位移通量 e DS Q
单位时间内极板上电荷增加（或减少）等于通入
（或流出）极板的电流
I dQ de S dD
dt dt
dt
I dQ de S dD
dt dt dt 变化的电场象传导电流一样能产生磁场，从产生磁 场的角度看，变化的电场可以等效为一种电流。
若把最右端电通量的时间变化率看作为一种电流，那
? 包含有电容的电流 是否连续
++++++
I
I
在电流非稳恒状态下 , 安培环路定理是否正确 ?
对S面 l H dl I
对S 面 l H dl 0
矛盾
Sl
++ +
++
+
I
S I
电容器破坏了电路中传导电流的连续性。
q0
D
q0
I
+++++++++
I
电容器上极板在充放电过程中，造成极板上电荷
cost
r
B1
0 H1
U0
2lc2
cost
r
rR
L2 H2 dl Id JdR2
P
O
O
R
H2
Id
2r
0
R2U 2l
0
cos
t
1 r
l
B2 0H2
R2U0
2lc2
cost
1 r
P
O
O
R
l
解： (1)由于l«R,故平板 间可作匀强电场处理,
E U U0 sint
l
l
根据位移电流的定义
P
O
O
R
l
Id
de
dt
dDS
dt
0
dE R2
dt
0R2
l
U0 cost
另解
dQ dCU dU
Id dt
dt
C dt
平性板电容器的电容 C 0R2
l
代入,可得同样结果.
在任一时刻,电路中的全电流总是连续的. 在非稳恒的电路中,安培环路定律仍然成立.
全电流定律
l H dl
I0
Id
I0
S
D
dS
t
l
H
dl
I0
S
D t
dS
j dS
S
D
dS
S t
位移电流和传导电流一样，都能激发磁场
传导电流 电荷的定向移动 通过电流产生焦耳热
位移电流 电场的变化 真空中无热效应
4、稳恒磁场沿任意闭合曲线的线积分等于穿过以该 曲线为边界的曲面的全电流。
麦克斯韦方程组(微分形式):
D
E 0
B 0
H j
D
E
B
t
B 0
D
H j
t
例 半径为R,相距l(l«R)的圆形空气平板电容器,两端
加上交变电压U=U0sint,求电容器极板间的:
(1)位移电流; (2)位移电流密度的大小; (3)位移电流激发的磁场分布B(r),r为圆板的中心距离.
传导电流和位移电流在激发磁场上是等效．
B
l Ei dl S t dS
L Hd dl
D
dS
S t
B
D
t
t
Ei 左旋
右旋 H d
对称美
三、麦克斯韦方程组
麦克斯韦认为静电场的高斯定理和磁场的高斯定
理也适用于一般电磁场.所以,可以将电磁场的基本规
律写成麦克斯韦方程组(积分形式):