电磁场基本方程
第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程
电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程之一。
它是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于19世纪提出的。
亥姆霍兹方程可以表示为：
∇²E + k²E = 0
其中，E代表电场强度，k代表波数，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程描述了电磁波在空间中传播时所满足的条件。
它告诉我们，
电场强度在传播过程中会受到拉普拉斯算子和波数的影响。
当波数为
零时，即没有任何介质存在时，这个方程退化为普通的拉普拉斯方程。
亥姆霍兹方程可以应用于许多领域，比如无线通信、雷达、天线等。
在这些应用中，我们需要了解电磁波在介质中传播的特性，以便更好
地设计和优化相应的设备和系统。
总之，电磁场的亥姆霍兹方程是描述电磁波在介质中传播的重要方程
之一。
它对于许多领域都有着广泛的应用，是我们理解电磁波传播特
性的基础之一。
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
麦克斯韦方程组数学表达式
麦克斯韦方程组数学表达式麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别为高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程的数学表达式如下：1. 高斯定律（电场电荷密度定理）：$$ablacdotmathbf{E}=frac{rho}{epsilon_0}$$其中，$ablacdotmathbf{E}$表示电场的散度，$rho$表示电荷密度，$epsilon_0$为真空介电常数。
2. 法拉第电磁感应定律（电动势定理）：$$oint_Cmathbf{E}cdotdmathbf{l}=-frac{d}{dt}int_Smathbf{B}cdot dmathbf{A}$$ 其中，$C$表示一条封闭路径，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$S$表示该路径所围成的面积。
3. 安培环路定理（磁场电流密度定理）：$$ablatimesmathbf{B}=mu_0mathbf{J}+mu_0epsilon_0frac{partialm athbf{E}}{partial t}$$其中，$ablatimesmathbf{B}$表示磁场的旋度，$mathbf{J}$表示电流密度，$mu_0$为真空磁导率，$epsilon_0$为真空介电常数。
4. 法拉第电磁感应定律的积分形式（法拉第电磁感应定律的通量定理）：$$oint_Smathbf{E}cdotdmathbf{A}=-frac{d}{dt}int_Vmathbf{B}cdot dmathbf{V}$$ 其中，$S$表示一个封闭曲面，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$V$表示该曲面所围成的体积。
《电磁场理论》5.2 恒定磁场的基本方程
两边取旋度
2
l
0
B 0 J
( B) 2 B 0 B
0
B ( B) B
2 B 0 B
直接求解法在理论上可以求出空间磁场分布，但一般 7 不采用此法(难于求解)，而利用辅助函数求解。
可ห้องสมุดไป่ตู้，
1 J (r) 1 ( ) J (r ) ( ) J (r) R R R
R R R
已知： J (r) 0
0 B 4
J (r ) V ' ( R )dV '
J (r ) v ' ( R )dV '
3
对上式两边分别取旋度，得
5.2
真空中磁场的基本方程
静磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围形 成的一个特殊的矢量场分布。通过对磁感应强度的散 度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布的 特性，进而得出静磁场的一般性质。 一、 B 的散度和通量 设恒定电流分布在体积V内，电流密度为 J ( r )，空间任 意点 r 的磁感应强度为
0 B 4
v'
1 R 3 0 J (r ) R R R B dV 3
R
1 J (r ) ( )dV 4 v ' R
对上式两边分别取散度，有 0 1 B [ J (r ) ( )]dV 4 v ' R
1
0 B 4
S
A dS
0 J (r ) 2 1 { ( )dV ' J (r ) ( )dV '} v ' v' 4 R R
0 J (r ) 2 1 { d S ' J (r ) ( )dV '} S ' v' 4 R R
电磁场基本方程
（1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E
的面，使其成为闭合面。
（4）分别求出
D ds
s
，从而求得 D 及 E 。
qi
S内
16
高等教育出版社出版
2.1.3 电流密度，电荷守恒定律
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即
E
EdS S
4 r2E
01o 43Vr0d3V
E 0r ,Do0r
a
r
3o
3
高等教育出版社出版
13
例2 如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a 和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的 电流为I，外导体返回的电流为-I。
a)设内外导体上单位长度的带电量分别为
作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 D相平行，因而没有通量
穿过，不必考虑。
于是
sD d sD ˆ2l ll
得
D ˆ l , 2
E D ˆ l
ab
2
14
高等教育出版社出版
b) UlEd la b2 l d2 l ln b a 故
利用斯托克斯定理 E dS E dl
S
C
导出： E0
表明静电场是无旋场。
静电场的基本性质 （1）静电场是由通量源、不是 由旋涡源产生的场； （2）静电场是有源无旋场。
高等教育出版社出版
12
例1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已
知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。
电磁波麦克斯韦方程组的解释
电磁波麦克斯韦方程组的解释麦克斯韦方程组是描述电磁场行为的基本物理方程，它由四个方程组成：电场高斯定律、电场的法拉第电磁感应定律、磁场高斯定律和安培环路定律。
这些方程集合起来，揭示了电磁波的解释和性质。
电场高斯定律是其中之一，描述了电场的分布与内部的电荷分布之间的关系。
它说明了电通量通过一个闭合曲面的大小与该曲面所包围的总电荷量之间的关系。
数学表达式如下：∮ E·dA = Q/ε0其中，∮ E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示该曲面所包围的电荷量，ε0是真空介电常数。
电场的法拉第电磁感应定律描述了磁场的变化如何引起电场的变化。
它表明，磁场的变化会在空间中产生一个环绕变化磁场的电场，数学表达式如下：∮ E·dl = - dΦB/dt其中，∮ E·dl表示电场E沿着一个闭合回路的线积分，dΦB/dt表示磁通量的变化率。
磁场高斯定律是磁场的另一个重要方程，它描述了磁场的分布与内部的磁荷分布之间的关系。
然而，目前并没有发现存在磁荷的宏观粒子，所以磁场高斯定律的应用相对有限。
安培环路定律是最后一个方程，描述了沿着闭合回路的磁场B沿着环路的环绕电流的线积分等于该回路所包围的电流总和的倍数。
数学表达式如下：∮ B·dl = μ0I其中，∮ B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，I表示该回路所包围的电流总和，μ0是真空磁导率。
通过这些麦克斯韦方程组的数学表达式，我们可以揭示电磁波的性质。
根据这些方程组，可以求解出电场E和磁场B的分布情况，并进一步了解电磁波的传播特性和行为规律。
电磁波是由振荡的电场和磁场相互作用而产生的，通过空间的传播，具有能量和动量。
总之，电磁波麦克斯韦方程组提供了电磁场行为的基本物理方程。
它们的解释和应用不仅在电磁学领域具有重要意义，也对通信、电子技术等行业的发展起到了重要的促进作用。
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➢若媒质参数与位置无关，称为均匀媒质； ➢若媒质参数与场强大小无关，称为线性媒质； ➢若媒质参数与场强方向无关，称为各向同性媒质； ➢若媒质参数与场强频率无关，称为非色散媒质； 反之称为色散媒质。
第二章 电磁场基本方程
3 表中各式变形
利用本构关系，可得
E H t
H J E t
E v H
E ( E) E ( H ) t
即
E
E t
E E
t
( H ) H
H t
0
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
2.3.2 本构关系和波动方程
1 本构关系 对于简单媒质，其本构关系为
D E( f ) B H(g) J E(h)
对于真空(或空气)
， Байду номын сангаас，
第二章 电磁场基本方程
2 媒质分类 ➢ 的媒质称为理想介质 ➢ =0 的媒质称为理想导体
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F
r
K
qq r
其中，K是比例常数，r是两
点电荷间的距离，r为从q1指 向 q2 的 单 位 矢 量 。 若 q1 和 q2 同号，该力是斥力，异号时
为吸力。 两点电荷间的作用力
第二章 电磁场基本方程
(
H
)
J
D t
H J D t
第二章 电磁场基本方程
4 位移电流密度即J d
Jd
D t
应用斯托克斯定理，便得到其积分形式：
说明：
Ñl H
dl
S
J
D t
dS
磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲
面上的全电流。
第二章 电磁场基本方程
2.1.5 两个补充的基本方程 1 基本方程一 静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零:
利用斯托克斯定理得Ñl E dl
E 0
说明： ➢静电场是无旋场即保守场 ➢静电场的保守性质符合能量守恒定律，与重力场 性质相似 ➢物体在重力场中有一定的位能
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
2.2.3 全电流连续性原理
Jt Jc Jv Jd (Jc Jv Jd )
对任意封闭面S有
Ñ S (Jc Jv Jd ) dS V (Jc Jv Jd )dV
即
Ic Iv Id
穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。 2.3 麦克斯韦方程组 2.3.1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式
2 基本方程二
静磁场的特性则正好相反，
ÑS B dS 0
说明：
B
➢自然界中并不存在任何单独的磁荷，磁力线总是闭 合的
➢闭合的磁力线穿进封闭面多少条，也必然要穿出同 样多的条数
➢结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零
第二章 电磁场基本方程
2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2.2.1 法拉第电磁感应定律 1 定律内容 导线回路所交链的磁通量随时间改变时，回路中将感 应一电动势，而且感应电动势正比于磁通的时间变化 率。楞次定律指出了感应电动势的极性，即它在回路 中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁 通的变化。 2 定律数学表达式 d m
ε是媒质的介电常数 点电荷q有， 电通量为
，在
Dr
真q空中ε=ε0
r
，则对真空中的
ÑS
D dS
q r
r
q
第二章 电磁场基本方程
通量仅取决于点电荷量q，而与所取球面的半径无关。
根据立体角概念可知， ➢当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过 一个球面的相同，仍为q ➢如果在封闭面内的电荷不止一个，则利用叠加原理， 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量 1 高斯定理积分形式
第二章 电磁场基本方程
2.4 电磁场的边界条件 2.4.1 一般情况
电磁场边界条件
第二章 电磁场基本方程
1 E和H的切向分量边界条件 对此回路应用麦氏旋度方程式，可得
Ñ l
E dl
E l
E
(l)
Etl E2tl
S
B t
dS
0
Ñ l E dl Ht Htl 1
4
l
I
'dl ' r r
0
4
I 'dl ' r l' r
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路 l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力，表征电流回路l′在其周围建立的磁场特 性，称为磁通量密度或磁感应强度。
N Am
V s m
Wb m
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
F q(E v B)
第二章 电磁场基本方程
2.1.4 安培环路定律，磁场强度 对于无限长的载流直导线，若以ρ为半径绕其一周积 分B，可得：
蜒l B dl
l
I
d
I
Ñl B dl I
在简单媒质中，H由下式定义：
H B Am
F Idl B
运动速度为v的电荷Q表示，
Idl = JAdl
= v Adlv
= Qv
第二章 电磁场基本方程
其中A为细导线截面积，得
F Qv B
对于点电荷q，上式变成
F qv B
通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所 受的电场力为qE，因此，当点电荷q以速度v在静止电 荷和电流附近时，它所受的总力为
H J
D v B
2 电荷守恒定律
➢积分形式
ÑS J
dS
dQ dt
第二章 电磁场基本方程
➢ 微分形式
J v
t
3 微分形式的电流连续性方程
( H ) J
H J v t
由于▽×▽φ=0，故引入标量位函数φ(简称标位或电
标位):
E A
t
E A
t
因▽×▽×A=▽(▽·A)-▽2A，上式可改写为
A
J
t
A t
A
A t
J
A
t
S
D t
dS
J s l
得到E和H的切向分量边界条件为
Et Et H1t H1t Js
第二章 电磁场基本方程
2 D和B的法向分量边界条件 计算穿出体积元ΔS×Δh表面的D，B通量时，考虑ΔS 很小，则穿出侧壁的通量可忽略，从而得
于是有
ÑS D dS D nS D (nS) (Dn Dn )S sS ÑS B dS (Bn B2n )S
ÑS D dS Q
第二章 电磁场基本方程
2 高斯定理微分形式 若 封 闭 面 所 包 围 的 体 积 内 的 电 荷 是 以 体 密 度 ρv 分 布 的，则所包围的总电量为
Q V vdV
上式对不V 同 D的dVV都V应vd成V立，则两边被积函数必定相等，
于是，
D v
第二章 电磁场基本方程
2.3.3 电磁场的位函数 由表中的麦氏方程组式知▽·B=0。又▽·(▽×A)=0，
因而可引入下述矢量位函数A(简称矢位或磁矢位)：
B Α
即
H A
而由表中的麦氏方程组式(a)知，
E B 0 t
E
A t
0
第二章 电磁场基本方程
蜒l H
dl
s
J
D t
dS
b'
Ñs D dS Qc'
Ñs B dS d'
Ñs J
dS
dQ e'
dt
法拉第定律 全电流定律 高斯定理 磁通连续性定理 电流连续方程
第二章 电磁场基本方程
四个方程的物理意义 ➢时变磁场将激发电场 ➢电流和时变电场都会激发磁场 ➢穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由 电荷电量 ➢穿过任一封闭面的磁通量恒等于零 此外， 麦氏方程组中的四个方程并不都是独立
第二章 电磁场基本方程
麦克斯韦方程组及电流连续性方程
微分形式
E Βa
t
H J Db
t
D vc
B = d
J v e
t
积分形式
蜒l E
dl
S
B t
dS a'
第二章 电磁场基本方程
本章重点及知识点
➢恒定电流的电场的基本特性 ➢磁感应强度与磁场强度 ➢恒定磁场的基本方程 ➢磁介质中的场方程 ➢自感与互感的计算 ➢磁场能量与能量密度
第二章 电磁场基本方程