《数理统计》第7章_基于截尾样本的.
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概率论与数理统计 第7章
第二节 基于截尾样本的最 大似然估计
一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结
一、基本概念
1. 寿命分布的定义
产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿 产品寿命 是一个随机变量 它的分布称为寿 命分布. 命分布
2. 完全样本的定义
将随机抽取的 n 个产品在时间 t = 0 时, 同时 投入试验直到每个产品 都失效 . 记录每一个产 品的失效时间 , 这样得到的样本 (即由所有产品 的失效时间 0 ≤ t1 ≤ t 2 ≤ ⋯ ≤ t n 所组成的样本 )
利用这一样本估计未知 参数 θ (产品的平均寿命 ).
在时间区间 [0, t m ] 有 m 个产品失效 , 有 n − m 个产品的寿命超过 t m .
估计θ , 利用最大似然估计法来
为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率. 为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.
产品在(ti , ti + dti ] 失效的概率近似地为 f (ti )dti = e θ dti , i = 1, 2,⋯, m. 1
又因为 E ( X ) = D( X ) + [ E ( X )] =
2 2
σ
2
n
+ µ 2,
所以 E (σ 2 ) = E ( A2 − X 2 ) = E ( A2 ) − E ( X 2 ) ˆ
n −1 2 ˆ σ ≠ σ 2 , 所以 σ 2 是有偏的. = n n 若以 乘 σ 2 , 所得到的估， 若 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为总体 X 的一个样本，
θ ∈ Θ 是包含在总体 X 的分布中的待估参数 , (Θ 是 θ 的取值范围 )
ˆ 若估计量θ = θ( X1, X2 ,⋯, Xn ) 的数学期望 ˆ ˆ E(θ ) 存在, 且对于任意θ ∈Θ 有E(θ ) = θ , 则称 ˆ θ 是θ 的无偏估计量.
一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结
一、基本概念
1. 寿命分布的定义
产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿 产品寿命 是一个随机变量 它的分布称为寿 命分布. 命分布
2. 完全样本的定义
将随机抽取的 n 个产品在时间 t = 0 时, 同时 投入试验直到每个产品 都失效 . 记录每一个产 品的失效时间 , 这样得到的样本 (即由所有产品 的失效时间 0 ≤ t1 ≤ t 2 ≤ ⋯ ≤ t n 所组成的样本 )
利用这一样本估计未知 参数 θ (产品的平均寿命 ).
在时间区间 [0, t m ] 有 m 个产品失效 , 有 n − m 个产品的寿命超过 t m .
估计θ , 利用最大似然估计法来
为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率. 为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.
产品在(ti , ti + dti ] 失效的概率近似地为 f (ti )dti = e θ dti , i = 1, 2,⋯, m. 1
又因为 E ( X ) = D( X ) + [ E ( X )] =
2 2
σ
2
n
+ µ 2,
所以 E (σ 2 ) = E ( A2 − X 2 ) = E ( A2 ) − E ( X 2 ) ˆ
n −1 2 ˆ σ ≠ σ 2 , 所以 σ 2 是有偏的. = n n 若以 乘 σ 2 , 所得到的估， 若 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为总体 X 的一个样本，
θ ∈ Θ 是包含在总体 X 的分布中的待估参数 , (Θ 是 θ 的取值范围 )
ˆ 若估计量θ = θ( X1, X2 ,⋯, Xn ) 的数学期望 ˆ ˆ E(θ ) 存在, 且对于任意θ ∈Θ 有E(θ ) = θ , 则称 ˆ θ 是θ 的无偏估计量.
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
广义指数分布参数基于截尾样本在序约束下的极大似然估计
ＨＥ Ｂｉ ａ ｏ， ＬＩ Ｓ ｈ ｕ － ｙ ｏ ｕ， Ｍ Ｉ Ｙｉ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅＣｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ 。 Ｌｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇＵｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｊ ｉ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ１ ２１ ０ ０ １ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ）
ｏ ｒ ｄ ｒ ｅ ｗｅ ｒｅ ｄ ｉ Ｓ Ｃ Ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ， ｗｉ ｈ ｔ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ．
Ｋｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： ｇ ｅ ｎ ｒａ ｅ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｉ ｔ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｔｉ ｕ ｏ ｎ ； ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； Ｅ Ｍ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｍ ； ｈ
Ｍａ ｘ ｉ ｍ ｕｍ Ｌｉ ｋ ｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ Ｅｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ Ｇｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ Ｅｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｉａ ｔ ｌ Ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｉ ｔ ｏ ｎ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｃｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｅ ｄ Ｓ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｏｒ ｄ ｅ ｒ Ｒｅ ｓ ｔ ｒ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
ｅ ｓ ｔ ｉ ａ ｔ ｍ ｉ ｏ ｓ ｎ ｏ ｆ ｐ ａ ｒ ａ ｅ ｔ ｍ ｒｓ ｅ ｏ ｆ ｋ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｓ ｎ ｂ ａ ｓ ｄ ｅ ｏ ｎ ｃ ｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｅ ｄ ｓ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ
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概率论与数理统计-第七章
但是参数 参数估计
， 未知。希望通过抽样估计之。
点估计 —— 给出参数的估计值。
区间估计 —— 给出参数的估计范围
3
§1 参数的点估计
用样本( X1, X2, …, Xn )，对每个未知参数 θi , ( i = 1, 2, …, k) 构造出一个统计量，
作为对参数 θi 的估计。该统计量称为 θi 的估计量。
抽出样本(X1, X2, …, Xn )。求证：对任何总体分布，
证明：X1, X2, …, Xn 独立，且与X同分布
28
例10：对服从均匀分布U(0, b)的总体X，讨论参数 b 的矩估计和极大似然估计的无偏性。 解： 由前面U(a, b)分布的a和b的估计量： (1) 矩估计
令 a=0
是
无偏估计！
xi , 故的取值范围最大不超过x min x1 , x2 ,
另一方面，L , 1n e
1
, xn
xi i 1
n
n
是的增函数，取到最大值时，L达到最大。
故 X 1 min X1 , X 2 ,
dlnL 令 n 12 d
29
(2) 极大似然估计
令 a=0
不是无偏估计
30
纠偏方法
如果 满足 ,则新的估计量 ， 是无偏估计！
例9中：对服从均匀分布U(0, b)的总体X，参数 b 极大似然估计 不是无偏估计。
由于
是一个修正的极大似然估计，是无偏估计。
31
2.有效性 在没有系统误差的前题下，还希望估计量的 随机误差尽量小（对给定的样本容量n）！
推荐三本概率论和数理统计的参考书： （1）《数理统计学简史》， 陈希孺 （2）《概率论札记》， 梁昌洪
7.2截尾的极大似然估计-PPT课件
1 [ t1 t 2 t m ( n m ) t m ]me Nhomakorabea
d ln L ( ) 0， 解 得 d s(t m ) ˆ m 其 中 s( t m ) t1 t 2 t m ( n m )t m
概率统计
基于截尾样本的最大似然估计
0 t 1 t 2 t n， 称 为 完 全 样 本 。 二 截
尾 样 本 ， ( 1 )定 时 截 t 0时 同 时 投 入 t0停止，停止时共有 随机抽取的 n
t 1 , t 2 , , t m ( 0 t 1 t 2 t m t 0 )， 进行到有 m （事先 得到样本 t1 , t 2 , ,
设产 品的 寿命 分布 是指 数分 布，其概 率密 度为 1 t / e , t0 f (t ) t0 0, 0未知 。设有 n 个产 品投 入定 时截 尾试 验，截尾 时间 为 t 0，得定 时 截尾 样本 0 t 1 t 2 t m t 0。故似 然函 数为 L ( ) 1
第二节基于截尾样本的最大似然估计
产品寿命 T 是一个随机变量，它的 为了对寿命分布进行统 寿命数据。 实验方法：一完全样本 t 0时 ， 同 时 投 入 试 验 ， 直 尾样本，假设将随机抽 试验，试验进行到实现 m 个产品失效，得到样本 称为定时截尾样本。 个产品在时间 规定的截尾数 ，将随机抽取的 n 个产品在时间 到样本 到每个产品都失效，得 取的 n 个产品在时间 规定的截尾时间 分布称为寿命分布。 试验，取得 计推断，则需通过寿命
( 2 )定 数 截 尾 样 本 ， 假 设 将
t 0时 同 时 投 入 试 验 ， 试 验 m n ）个产品失效时停止，
d ln L ( ) 0， 解 得 d s(t m ) ˆ m 其 中 s( t m ) t1 t 2 t m ( n m )t m
概率统计
基于截尾样本的最大似然估计
0 t 1 t 2 t n， 称 为 完 全 样 本 。 二 截
尾 样 本 ， ( 1 )定 时 截 t 0时 同 时 投 入 t0停止，停止时共有 随机抽取的 n
t 1 , t 2 , , t m ( 0 t 1 t 2 t m t 0 )， 进行到有 m （事先 得到样本 t1 , t 2 , ,
设产 品的 寿命 分布 是指 数分 布，其概 率密 度为 1 t / e , t0 f (t ) t0 0, 0未知 。设有 n 个产 品投 入定 时截 尾试 验，截尾 时间 为 t 0，得定 时 截尾 样本 0 t 1 t 2 t m t 0。故似 然函 数为 L ( ) 1
第二节基于截尾样本的最大似然估计
产品寿命 T 是一个随机变量，它的 为了对寿命分布进行统 寿命数据。 实验方法：一完全样本 t 0时 ， 同 时 投 入 试 验 ， 直 尾样本，假设将随机抽 试验，试验进行到实现 m 个产品失效，得到样本 称为定时截尾样本。 个产品在时间 规定的截尾数 ，将随机抽取的 n 个产品在时间 到样本 到每个产品都失效，得 取的 n 个产品在时间 规定的截尾时间 分布称为寿命分布。 试验，取得 计推断，则需通过寿命
( 2 )定 数 截 尾 样 本 ， 假 设 将
t 0时 同 时 投 入 试 验 ， 试 验 m n ）个产品失效时停止，
概率论与数理统计浙大四版 第七章 第七章3讲
一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
第四节
区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2]
内，就是说，概率P{ˆ1ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根
据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{ˆ||}1
称 为ˆ 与之间的误差限 .
只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ：
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
参数 (这样我们才能确定一个大概率区间).
而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
这里，我们主要讨论总体分布为正态 的情形. 若样本容量很大，即使总体分布 未知，应用中心极限定理，可得总体的近 似分布，于是也可以近似求得参数的区间 估计.
第四节
区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
内. 这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2]
内，就是说，概率P{ˆ1ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度.
P {ˆ1ˆ2}1
称区间 [ˆ1,ˆ2]为 的 置信水平为1 的
置信区间.
寻找置信区间的方法,一般是从确定 误差限入手.
我们选取未知参数的某个估计量 ˆ，根
据置信水平1 ，可以找到一个正数 ，
使得 P{ˆ||}1
称 为ˆ 与之间的误差限 .
只要知道 ˆ 的概率分布，确定误差限并不难.
由不等式 |ˆ | 可以解出 ：
S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
《数理统计》第7章§2基于截尾样本的最大似然估计.
第七章
参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计
2/4
预先规定好试验时间 0 T 随机取 n 件产品,从 t 0 时刻开始进行试验, 到截尾 开始时间 截尾时间 时刻 t T 试验停止,依次记录下失效时间和失效个数 ,从而 获得定时截尾样本
0 t1 t 2 t m T
第七章 参数估计
s(180) 115 119 172 (50 15) 180 8550
115,119,131,138,142,147,148,155, 158,159,163,166,167,170,172
求得 的最大似然估计值为
ˆ 8550 570 (小时) 15
t
3/4
设产品寿命服从指数分布,其概率密度为
1 e ,t 0 f (t ) 0 , t0 定时截尾时间为 T . 任取 n 件产品进行寿命试验,截尾 样本为 0 t1 t m T . 试求平均寿命 的最大似然估计. 似然函数为 任一产品在时刻 (t i , t i dt ] 失效的概率近似为
1e dt (i 1, , m) L( ) n m令 T 的概率为 件产品寿命超过 t1 tm ( n m )T lnL m n m ( n m ) T t 1 0 2 e T e dt 似然函数 求得 的最大似然估计为 故截尾样本观察值出现的概率近似为 s (T ) ˆ t1 t m ( n m )T ( n m )T ti m m 1e t m 1 e m e dt1dtm C d C i 总试验时间 n n 为 . t t ( n m ) T 其中 s(T ) 1 m m i 1
概率论与数理统计第七章
信息管理学院 徐晔
13
二、最大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 ,
然而，这个方法常归功于英国 统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一 方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
Gauss
Fisher
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选择适当的 i , i 1,2,, m
使得样本 ( X 1, X 2 ,, X n ) 作为一个随机变量，得 到观察值 ( x1, x2 ,, xn ) 的可能性最大。
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17
当总体 X 为离散型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维离散型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是联合概率事件
14
最大似然估计法的基本思想
先看一个简单例子：
某位同学与一位猎人一起外出打猎 .
一只野兔从前方窜过 .
只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
信息管理学院 徐晔
15
你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人 射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了最大似然估计 法的基本思想 .
信息管理学院 徐晔
18
n
当总体 X 为连续型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维连续型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是值对于一个极小的 ，联合 概率事件
A ( x1 X 1 x1 , x2 X 2 x2 ,, xn X n xn )
13
二、最大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 ,
然而，这个方法常归功于英国 统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一 方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
Gauss
Fisher
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选择适当的 i , i 1,2,, m
使得样本 ( X 1, X 2 ,, X n ) 作为一个随机变量，得 到观察值 ( x1, x2 ,, xn ) 的可能性最大。
信息管理学院 徐晔
17
当总体 X 为离散型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维离散型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是联合概率事件
14
最大似然估计法的基本思想
先看一个简单例子：
某位同学与一位猎人一起外出打猎 .
一只野兔从前方窜过 .
只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
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15
你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人 射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了最大似然估计 法的基本思想 .
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18
n
当总体 X 为连续型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维连续型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是值对于一个极小的 ，联合 概率事件
A ( x1 X 1 x1 , x2 X 2 x2 ,, xn X n xn )
定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
1n?????lnl2xi?n?0?i1令?nn1?2?lnlx???0i2222?22i1??1n??xix??ni1?2解得?于是?的最大似然估计量为n1??2xi?x2?ni1??x????21n2??xxi?ni1?72基于截尾样本的最大似然估计在研究产品的可靠性时需要研究产品寿命t的各种特征
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.
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0 t1 t2 tm
怎样根据截尾样本估计产品平均寿命
第七章 参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计 3/4
设产品寿命服从指数分布,其概率密度为
定时截尾时间为
f (t) 1 et ,t 0
0 , t 0
任T.取 件产n 品进行寿命试验,截尾样本
为 0 t1 tm T. 试求平均寿命 的最大似然估计.
0
似然函数
nm)T
dt1 dtm
i 1
第七章 参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计 4/4
设电池寿命服从指数分布,其概率密度为
f (t) 1 et ,t 0
0 , t 0
任取50只进行定时截尾寿命试验,截尾时间为180小时. 试验进行到规定时间时共有15只失效,其失效时间分别为
115,119,131,138,142,147,148,155, 158,159,163,166,167,170,172
§2 基于截尾样本的最大似然估计 1/4
随机取 n件产品,从 t 时 0刻开始进行试验 依次记录下失效时间,从而获得样本
0 t1 t2 tn
则产品的平均寿命估计值是
完全样本
ˆ t
1 n
n
ti
i 1
获得完全样本的时间周期较长,花费
较大,在实际中很难实现.
第七章 参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计 2/4
预先规定好试验时间 0 T 随机取 件n产品,从 时t 刻0开始进行试验, 到截尾 时刻 t 试T 验停止,依次记录下失效时开间始和时失效间个数截,尾从时而间获 得定时截尾样本
0 t1 t2 tm T
预先规定好失效个数 m 随机取 n (n 件m产) 品,从 时t刻试开0验始停进止行时试验, 到出现 m个产品失效时试验停止,产依品次失记效录个下数失效时间,从而 获得定数截尾样本
单位:小时.试求电池平均寿命 的 最大似然估计值. 本题中 n 50, m 15,T 180
s(180) 115 119 172 (50 15)180 8550
求得 的最大似然估计值为 ˆ 8550 570 (小时)
15
第七章 参ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ估计
似任然一函产数品为在时刻 (ti,ti 失dt效] 的概率近似为
L( )
1
e
ti
dt
(i 1,, m)
求其n 得中m故令s件的(TC截产)最nm尾品大te1样寿似(n本命lm然n)观LT超估t察mm过计T值1(m1为Tne的出etˆt概现imt1dd)tt率的Tis(mn为T为概Cm)n总mt率m12试e近m(e(验n似nt1m时为)mT间)tTm.(
怎样根据截尾样本估计产品平均寿命
第七章 参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计 3/4
设产品寿命服从指数分布,其概率密度为
定时截尾时间为
f (t) 1 et ,t 0
0 , t 0
任T.取 件产n 品进行寿命试验,截尾样本
为 0 t1 tm T. 试求平均寿命 的最大似然估计.
0
似然函数
nm)T
dt1 dtm
i 1
第七章 参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计 4/4
设电池寿命服从指数分布,其概率密度为
f (t) 1 et ,t 0
0 , t 0
任取50只进行定时截尾寿命试验,截尾时间为180小时. 试验进行到规定时间时共有15只失效,其失效时间分别为
115,119,131,138,142,147,148,155, 158,159,163,166,167,170,172
§2 基于截尾样本的最大似然估计 1/4
随机取 n件产品,从 t 时 0刻开始进行试验 依次记录下失效时间,从而获得样本
0 t1 t2 tn
则产品的平均寿命估计值是
完全样本
ˆ t
1 n
n
ti
i 1
获得完全样本的时间周期较长,花费
较大,在实际中很难实现.
第七章 参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计 2/4
预先规定好试验时间 0 T 随机取 件n产品,从 时t 刻0开始进行试验, 到截尾 时刻 t 试T 验停止,依次记录下失效时开间始和时失效间个数截,尾从时而间获 得定时截尾样本
0 t1 t2 tm T
预先规定好失效个数 m 随机取 n (n 件m产) 品,从 时t刻试开0验始停进止行时试验, 到出现 m个产品失效时试验停止,产依品次失记效录个下数失效时间,从而 获得定数截尾样本
单位:小时.试求电池平均寿命 的 最大似然估计值. 本题中 n 50, m 15,T 180
s(180) 115 119 172 (50 15)180 8550
求得 的最大似然估计值为 ˆ 8550 570 (小时)
15
第七章 参ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ估计
似任然一函产数品为在时刻 (ti,ti 失dt效] 的概率近似为
L( )
1
e
ti
dt
(i 1,, m)
求其n 得中m故令s件的(TC截产)最nm尾品大te1样寿似(n本命lm然n)观LT超估t察mm过计T值1(m1为Tne的出etˆt概现imt1dd)tt率的Tis(mn为T为概Cm)n总mt率m12试e近m(e(验n似nt1m时为)mT间)tTm.(