《数理统计》第7章§2基于截尾样本的最大似然估计.
第七章
参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计
2/4
预先规定好试验时间 0 T 随机取 n 件产品,从 t 0 时刻开始进行试验, 到截尾 开始时间 截尾时间 时刻 t T 试验停止,依次记录下失效时间和失效个数 ,从而 获得定时截尾样本
0 t1 t 2 t m T
第七章 参数估计
s(180) 115 119 172 (50 15) 180 8550
115,119,131,138,142,147,148,155, 158,159,163,166,167,170,172
求得 的最大似然估计值为
ˆ 8550 570 (小时) 15
t
3/4
设产品寿命服从指数分布,其概率密度为
1 e ,t 0 f (t ) 0 , t0 定时截尾时间为 T . 任取 n 件产品进行寿命试验,截尾 样本为 0 t1 t m T . 试求平均寿命 的最大似然估计. 似然函数为 任一产品在时刻 (t i , t i dt ] 失效的概率近似为
1e dt (i 1, , m) L( ) n m令 T 的概率为 件产品寿命超过 t1 tm ( n m )T lnL m n m ( n m ) T t 1 0 2 e T e dt 似然函数 求得 的最大似然估计为 故截尾样本观察值出现的概率近似为 s (T ) ˆ t1 t m ( n m )T ( n m )T ti m m 1e t m 1 e m e dt1dtm C d C i 总试验时间 n n 为 . t t ( n m ) T 其中 s(T ) 1 m m i 1
预先规定好失效个数 m 0 时刻开始进行试验, 随机取 n (n m) 件产品,从 t 试验停止时 产品失效个数 到出现 m个产品失效时试验停止 ,依次记录下失效时间,从 而获得定数截尾样本
0 t1 t 2 t m
怎样根据截尾样本估计产品平均寿命尾样本的最大似然估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计
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随机取 n 件产品,从 t 0 时刻开始进行试验 依次记录下失效时间,从而获得样本
0 t1 t 2 t n
则产品的平均寿命估计值是
n 1 ˆ t n ti i 1
完全样本
获得完全样本的时间周期较长,花费 较大,在实际中很难实现.
第七章 参数估计
t i
§2 基于截尾样本的最大似然估计
t 1 e ,t 0 f (t ) 0 , t0
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设电池寿命服从指数分布,其概率密度为
任取50只进行定时截尾寿命试验,截尾时间为180小时. 试验进行到规定时间时共有15只失效,其失效时间分别为 单位:小时.试求电池平均寿命 的最大似然估计值. 本题中 n 50, m 15, T 180
最大似然估计概述
最大似然估计概述最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。
这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。
“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。
故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。
最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。
最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。
该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。
最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。
通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。
举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。
我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。
现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。
这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。
假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？我想很多人立马有答案：70%。
这个答案是正确的。
可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。
在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。
在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。
由于被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的计算变得复杂；又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换，并且不是所有的位点都是相互独立，概率计算的复杂度进一步加大。
尽管如此，还是能用客观标准来计算每个位点的概率，计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
7.2截尾的极大似然估计-PPT课件
d ln L ( ) 0， 解 得 d s(t m ) ˆ m 其 中 s( t m ) t1 t 2 t m ( n m )t m
概率统计
基于截尾样本的最大似然估计
0 t 1 t 2 t n， 称 为 完 全 样 本 。 二 截
尾 样 本 ， ( 1 )定 时 截 t 0时 同 时 投 入 t0停止，停止时共有 随机抽取的 n
t 1 , t 2 , , t m ( 0 t 1 t 2 t m t 0 )， 进行到有 m （事先 得到样本 t1 , t 2 , ,
设产 品的 寿命 分布 是指 数分 布，其概 率密 度为 1 t / e , t0 f (t ) t0 0, 0未知 。设有 n 个产 品投 入定 时截 尾试 验，截尾 时间 为 t 0，得定 时 截尾 样本 0 t 1 t 2 t m t 0。故似 然函 数为 L ( ) 1
第二节基于截尾样本的最大似然估计
产品寿命 T 是一个随机变量，它的 为了对寿命分布进行统 寿命数据。 实验方法：一完全样本 t 0时 ， 同 时 投 入 试 验 ， 直 尾样本，假设将随机抽 试验，试验进行到实现 m 个产品失效，得到样本 称为定时截尾样本。 个产品在时间 规定的截尾数 ，将随机抽取的 n 个产品在时间 到样本 到每个产品都失效，得 取的 n 个产品在时间 规定的截尾时间 分布称为寿命分布。 试验，取得 计推断，则需通过寿命
( 2 )定 数 截 尾 样 本 ， 假 设 将
t 0时 同 时 投 入 试 验 ， 试 验 m n ）个产品失效时停止，
概率论与数理统计 第七章 参数估计
设X1,…Xn是取自 N (, 2 )的样本，
求参数 2 的置信度为 1的置信区间.
确定分位数 12 / 2 (n 1), 2 / 2 (n 1) 使
二、有效性
设 ˆ1 ˆ1(X1,, X n )和 ˆ2 ˆ2( X1,, Xn)
都是参数 的无偏估计量，若有
D(ˆ1) D(ˆ2 ) 则称 ˆ1 较 ˆ2 有效 .
如果对固定的n, D(ˆ1) min(D(ˆ)) 则称ˆ1是ˆ的有效估计。
例1：设X1,X2, X3是来自某总体X的样本，且 E(X)=μ,讨论μ的以下估计量的无偏性和一致性。
缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 .
极大似然估计
例： 设一箱中装有若干个白色和黑色的球， 已知两种球的数目之比为3:1或1:3，现有放回 地任取3个球，有两个白球，问：白球所占的 比例p是多少？
如果只知道0<p<1,并且实 测记录是X=k (0 ≤ k≤ n),又 应如何估计p呢?
(4) 结论
区间(ˆ1,ˆ2 )就是的一个 置信度为1的置信区间.
方差未知，求期望的区间估计
例2：随机地从一批服从正态分布N(μ, σ2)的零件 16个，分别测得其长度为： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间 (α=0.05)
例3. 已知某产品的不合格率为p,有简单随机样本 X1 ,X2 ,…, Xn，求p的极大似然估计量。 若抽取100件产品，发现10件次品，试估计p.
概率论与数理统计PPT课件第七章最大似然估计
• 最大似然估计的概述 • 最大似然估计的数学基础 • 最大似然估计的实现 • 最大似然估计的应用 • 最大似然估计的扩展
01
最大似然估计的概述
定义与性质
定义
最大似然估计是一种参数估计方法， 通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数。
性质
最大似然估计是一种非线性、非参数 的统计方法，具有一致性、无偏性和 有效性等优良性质。
无偏性
在某些条件下，最大似然估计的参数估计值是无偏的，即其期望值等于真实值。
最大似然估计的优缺点
• 有效性：在某些条件下，最大似然估计具有最小方差性质， 即其方差达到最小。
最大似然估计的优缺点
非线性
01
最大似然估计是非线性估计方法，对参数的估计可能存在局部
最优解而非全局最优解。
对初值敏感
02
最大似然估计对初值的选择敏感，不同的初值可能导致不同的
04
最大似然估计的应用
在回归分析中的应用
线性回归
最大似然估计常用于线性回归模型的参数估计，通过最大化似然函 数来估计回归系数。
非线性回归
对于非线性回归模型，最大似然估计同样适用，通过将非线性模型 转换为似然函数的形式进行参数估计。
多元回归
在多元回归分析中，最大似然估计能够处理多个自变量对因变量的影 响，并给出最佳参数估计。
最大熵原理与最大似然估计在某些方面具有相似性，例如都追求最大化某种度量， 但在应用场景和约束条件上有所不同。
THANKS
感谢观看
连续型随机变量的概率密度函数
然函数
基于样本数据和假设的概率模型， 计算样本数据在该模型下的可能 性。
似然函数的性质
非负性、归一化、随着样本数据的 增加而增加。
概率论与数理统计第七章
13
二、最大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 ,
然而，这个方法常归功于英国 统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一 方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
Gauss
Fisher
信息管理学院 徐晔
选择适当的 i , i 1,2,, m
使得样本 ( X 1, X 2 ,, X n ) 作为一个随机变量，得 到观察值 ( x1, x2 ,, xn ) 的可能性最大。
信息管理学院 徐晔
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当总体 X 为离散型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维离散型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是联合概率事件
14
最大似然估计法的基本思想
先看一个简单例子：
某位同学与一位猎人一起外出打猎 .
一只野兔从前方窜过 .
只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
信息管理学院 徐晔
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你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人 射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了最大似然估计 法的基本思想 .
信息管理学院 徐晔
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n
当总体 X 为连续型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维连续型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是值对于一个极小的 ，联合 概率事件
A ( x1 X 1 x1 , x2 X 2 x2 ,, xn X n xn )
定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.
统计基础课程标准
《统计基础》课程标准1.概述1.1课程的性质统计基础是专业基础课，是概率论的后续课程，在现实中的应用性很强，是各种统计理论的数学基础分析理论，先期完成的课程必须有高等代数、数学分析和概率论。
统计是数学的一个有特色且又十分活跃的分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻;另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。
由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，目前已发展成为一门独立的一级学科。
统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制、时间序列分析应用于石油勘测和经济管理、马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等，同时他又向基础学科、工科学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是统计发展的一个新趋势。
通过对统计基础的学习，使学生掌握统计基础的基本概念、基本理论及基本思想和方法，而且能够熟练地应用这些方法解决科学研究和实际工作中实际问题，并为今后学习后续课程打下必需的基础。
1.2课程设计理念●着重基础、着重标准，在我国迄今为止，有关统计理论的教材不少，这些教材和理论参考文献各自保持了自己的特色，只有着重基础、着重标准，才能与国际先进的理论研究趋势保持一致；●力求在简洁的基础上使学生能从总体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如的应用这些理论。
1.3课程开发思路●以《概率论与数理统计》（第三版）浙江大学盛骤谢式千编，高等教育出版社,2001为蓝本，极力用较为通俗的语言阐释统计基础的思想和方法；●紧密结合实际应用与计算机应用加以阐述和学习；●理论和方法相结合，以强调统计基础理论的应用价值，总之，强调理论与实际生活应用相结合的特点，力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的学习打下良好的基础；●针对课程特点，形成了新的教学指导思想，即以学生为本，注重学生基础数学理论培养，使学生掌握“统计”的基本概念和方法，培养学生解决相关实际问题的能力。
数理统计第七章 参数估计
点估计 估计量的评价标准 充分性与完备性 区间估计 正态总体参数的区间估计
7.1 点估计
一、参数估计的概念
定义 设X1， … ， Xn是总体X的一个样本，其概率函 数为f(x; ), 。其中为未知参数, 为参数空间, f (x; )可表示分布律或密度函数. 若统计量g(X1, … , Xn)
随机误差 系统误差
二、无偏性
设 ( X 1 , , X n )为的估计量, 若E 则称 是的无偏估计量.
易知，样本均值和样本方差分别是总体均值和总体 方差的无偏估计。事实上，
1 n 1 n E ( X ) E ( X i ) EX i E ( X ), n i 1 n i 1
显然，根据均方误差准则，最小方差无偏估计是无偏估计 类中最好的估计。那么，如何寻求最小方差无偏估计呢？究 竟方差小到什么程度才可达到最小值呢？
罗—克拉美不等式给出了无偏估计的方差下界。 2.罗—克拉美(Rao-Cramer)不等式 定理7.2.1 设总体X为连续型随机变量，密度函数为f(x; ), 为未知参数， ，X1, …, Xn为来自该总体得一个样本。 T(X1, …, Xn)为可估计函数g( )的无偏估计量。如果满足下列 正则条件： ln f ( X ; ) 2 (1) I ( ) E[ ] 0; f ( X ; ) f ( X ; ) (2) 存在， 且有 f ( x； )dx dx,
MLE
三、有效性
1. 最小方差无偏估计
ˆ ˆ 设i i ( X 1 ,, X n ), i 1, 2分别是参数 的两个 ˆ ˆ ˆ ˆ 无偏估计, 若D1 D 2 , 则称1比 2有效.