基于截尾样本不同损失函数下艾拉姆咖分布参数的Bayes估计

第３４卷第６期　青岛科技大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．６　２０１３年１２月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌ０ｇｙ（Ｎａｔｕｒａ１　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ．２０１３　

文章编号：１６７２—６９８７（２０１３）０６—０６３９—０４　

基于截尾样本不同损失函数下　艾拉姆咖分布参数的Ｂａｙｅｓ估计　

龙　兵　（荆楚理工学院数理学院，湖北荆门４４８０００）　

摘要：给出了艾拉姆咖分布参数在定数截尾样本下的极大似然估计；在Ｌｉｎｅｘ损失、二　次损失、平方损失和平衡损失函数下，给出了参数的Ｂａｙｅｓ估计，并证明了所给估计都是　容许的；通过实例，对所给的几个估计的优良性进行了分析。　关键词：艾拉姆咖分布；损失函数；Ｂａｙｅｓ估计　中图分类号：Ｏ　２１２．８　文献标志码：Ａ　

Ｂａｙｅｓｉａｎ　Ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｏｆ　Ｄｐａａｎｒａ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｕｎｄｅｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　Ｌｏｓｓ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｃｅｎｓｏｒｅｄ　Ｓａｍｐｌｅｓ　

ＬＯＮＧ　Ｂｉｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ。Ｊｉｎｇｃｈｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｎｇｍｅｎ　４４８０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｘｉｍｕｍ　ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｕｎｄｅｒ　ｔｙｐｅ—ＩＩ　ｃｅｎｓｏ—　ｒｉｎｇ　ｓａｍｐｌｅｓ　ｏｎ　Ｄｐａａｕｒａ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　Ｂａｙｅｓｉａｎ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｕｎｄｅｒ　Ｌｉｎｅｘ、ｑｕａｄｒａｔｉｃ、ｓｑｕａｒｅ　ａｎｄ　ｂａｌａｎｃｅｄ　ｌｏｓｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｗｅ　ｈａｖｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ａｒｅ　ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅ；Ａｔ　ｌａｓｔ，ｗｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｅｓｔｉｍａ—　ｔｏｒｓ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｓｐｅｃｉｆｉｃ　ｅｘａｍｐｌｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＤｐａａＨｒａ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｌｏｓｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｂａｙｅｓｉａｎ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　

俄罗斯在研究武器装备的维修时间时引入了　艾拉姆咖分布，此分布在装备的维修理论中具有　重要的作用。我国对这类分布统计性质进行研究　的文献很少。文献［１］对艾拉姆咖分布的特点进　行了分析，在全样本场合下运用极大似然法对分　布的参数进行了估计，并通过实例验证了这种分　布的可行性和实用性。文献［２］研究了艾拉姆咖　分布的小样本区间估计和检验问题，并运用实例　指出在对装备维修工时的估计时，用艾拉姆咖分　布进行估计的精度比用指数分布高。文献［３］在　定数截尾样本下研究了参数的极大似然估计，并　在全样本场合下给出了参数的精确区间估计和近　收稿日期：２０１３—０３—０１　基金项目：湖北省教育厅重点科研项目（Ｄ２０１３４３０１）　作者简介：龙兵（１９７３一），男。副教授．　似区间估计，最后用实例说明精确区间估计优于　近似区间估计。然而，关于艾拉姆咖分布参数的　Ｂａｙｅｓ估计的讨论尚未见到，本文在不同损失函　数下，给出了参数的Ｂａｙｅｓ估计，最后通过实例进　行了分析。　

１参数０的极大似然估计　艾拉姆咖分布的分布函数和密度函数分别为　Ｆ（￡，　）＝＝：１一（１＋２０ｔ）ｅ　，　（１）　ｆ（ｔ，　）一４０　ｔｅ　，　（２）　式中ｔ＞Ｏ，参数０＞０。　设ｔ㈩≤ｔ（２）≤…≤ｔ（　）为来自艾拉姆咖分布　容量为　的随机样本中前ｍ个最小观察值（为方便　６４０　青岛科技大学学报（自然科学版）　第３４卷　起见，可将ｔ㈨的下标数字省略括号，下文的ｔ　表示　第ｉ个最小观察值），当ｍ—ｎ时为全样本情形。　令ｔ一（　，ｔ　，…，ｔ　），样本ｔ的似然函数为　

ｌ　ｏ）一　［　厂（ｔｉ　］　一　。（３）　把式（１），（２）代人式（３），可得　Ｌ（ｔｌ口）＝＝＝Ａ８　（１＋２　）…ｅ一　。　（４）　其中　

Ａ＝＝　ｎ　１４　Ⅱｔ　

Ｔ＝＝＝　￡　＋（　—　）　，　８业０一　０＋　一２Ｔ，—————————————Ｌ——一：＝一－＿卜一一／Ｊ．’１＋２　…　

令　一ｏ，得到如下方程　ｒ７　

２Ｔｔ　０　＋ＩＴ一（　＋ｍ）　］　一ｍ一０。　

解得０的极大似然估计为　

一　。　（５）　其中。△一ｒＴ一（７ｚ＋　）ｔ　］　＋８ｍＴｔ—、　２　参数０的Ｂａｙｅｓ估计　２．１　Ｌｉｎｅｘ损失函数下０的Ｂａｙｅｓ估计　Ｌｉｎｅｘ损失函数的表达式为　Ｌ（　一　）＝＝＝ｂ（ｅｃ（Ｏ－￣　一ｃ（　一　）一１），　

ｆ≠０，ｂ＞０。　关于等式两边对参数０同时求后验期望，得　Ｅ（Ｌ（　一　））一ｂ（ｅ　Ｅ（ｅ一　１￡）＋ｃＥ（　Ｉ　）一　

一１）。　（６）　当式（６）达到最小时，可得０在Ｌｉｎｅｘ损失函数下　的Ｂａｙｅｓ估计　ＢＬ：　ＢＬ一——ｃ一　ｌｎＥ（ｅ一　ｌ　）。　（７）　再由文献［４］知这样的估计是唯一的。　本研究选取０的先验分布为指数分布，其密　度函数为　ｚｒ（０）一Ａｅ　，　＞０。　（８）　这里　＞０为超参数。　由Ｂａｙｅｓ公式，可得０的后验密度函数为　

丌（　ｌ￡）一　—　ｌ　Ｌ（ｔｌ　）丌（　）ｄＯ　

薹（　）　～　

ｍ）　Ｊ　ｅ＿（２～　

）　一　。，　其中Ｂ一　・　（２ｍ＋　）！　（２Ｔ＋　）　ｍ十计　。　

定理１　对于给定的先验分布（８），在Ｌｉｎｅｘ　损失函数下，艾拉姆咖分布参数０的Ｂａｙｅｓ估计为　ＢＩＪ＝＝：一ｃ＿１×　

ｔｎ　薹（　・　］，　

并且该估计是唯一的。　证明　Ｅ（ｅ　ｌ　）一　

（　）　＋ｆ）　∞一　

薹（　（２Ｔ＋　＋ｃ）　件　。　由式（７）得　ＢＬ一一Ｃ叫ｌｎＥ（ｅ　ｌ￡）一　

ｎ　Ｂ－　篓　（２ｔｍ　］。　

２．２　二次损失函数下０的Ｂａｙｅｓ估计　取二次损失函数为　Ｌ（０，　）一（　一　）　／０２。　（１０）　损失函数（１Ｏ）消除了量纲，避免了数据单位的影　响，提高了不同数据分析的可靠程度。　在上述二次损失函数下，对于任何先验分布，　可得０的Ｂａｙｅｓ估计。　引理１［５　在给定０的先验分布和二次损失　函数下，８的唯一Ｂａｙｅｓ估计为　Ｅ（Ｏ－　ｌ　）　ＵＢＱ一瓦　：　。　

定理２　对于给定的先验分布（８），在二次损　失函数下，艾拉姆咖分布参数０的Ｂａｙｅｓ估计为　

Ｂ。一　薹（”＿ｍ）　±二　（２Ｔ＋　）。ｍ＋Ｈ　

证明　Ｅ（ａ－　ｌ￡）＝：＝Ｉ　ｚｒ（０　ｌ　）ｄＯ＝　薹（　，　

Ｅ（ｆｆ－。ｌ　）一１　０－　ｚｒ（０　Ｉ￡）ｄＯ一　ｆ　＿　Ｏ＼　Ｚ　／　由引理１得　

（２ｍ＋ｉ一２）！　（２Ｔ＋　）　一　。　第６期　龙　兵：基于截尾样本不同损失函数下艾拉姆咖分布参数的Ｂａｙｅｓ估计　６４１　０ＢＱ—　—ｍ　Ｚ　（２ｔ，ｏ，　爷　

（２ｔｉｎ　丰毫　２．３　平方损失函数下８的Ｂａｙｅｓ估计　取平方损失函数为　Ｌ（　，　）一（　一　）。。　由于在平方损失函数下，０的Ｂａｙｅｓ估计为其后验　分布的均值，即　０Ｂｓ—Ｅ（Ｏ　Ｉ　）。　（１１）　定理３　对于给定的先验分布（８），在平方损　失函数下，艾拉姆咖分布参数０的Ｂａｙｅｓ估计为　

一　雾　）…２ｔｍ　，并且　

该估计是唯一的。　证明　由式（１１）得　ＯＢｓ＝＝＝Ｅ（Ｏｌ￡）一　

薹　ｍ）…２ｔｍ　２ｍ＋ｉ＋１　ｅ－（２Ｔ＋ａ）ｏｄ　一　

ｆ　＿ｍ　ｚ＝０＼　Ｚ　／　（２ｍ＋ｉ＋１）！　

（２Ｔ＋　）　升　。　

２．４　平衡损失函数下８的Ｂａｙｅｓ估计　取平衡损失函数为　Ｕ（　，　）一ｗ（Ｏ一　Ｂ。）　＋（１一训）（　一　）。，　其中：　。为二次损失函数下０的Ｂａｙｅｓ估计，Ｗ为　事先给定的权重。　由文献Ｅ５］知，在平衡损失函数下，０的唯一　Ｂａｙｅｓ估计为　０Ｂ一硼ＢＱ＋（１一叫）Ｅ（　１￡）。　（１２）　定理４　对于给定的先验分布（８），在平衡损　失函数下艾拉姆咖分布参数０的Ｂａｙｅｓ估计为　

０Ｂ一　叫薹（　ｍ）　

（２ｔｉｎ）￣　ｃ　一　薹ｉ　０（　ｍ　、　￡　，　

－－－ＪＬ　

（２ｍ＋ｉ＋１）！　（２丁＋　）。卅计　

证明　由式（１２）得　一　Ｑ＋（１一ｗ）Ｅ（Ｏｌ　ｆ）一　ＢＱ＋（１一叫）　Ｂｓ一　

叫　０　／　１　Ａ　．：＼　Ｚ　１－，　

（２ｔｉｎ）￣　＋　

ｃ　…　３　超参数　的估计　（２ｍ＋ｉ＋１）！　

（２Ｔ＋　）　计　。　

对艾拉姆咖分布的密度函数（２），若取式（８）　作为０的先验分布，则　ｒ　。。　（￡）一Ｉ　ｆ（ｔ，　）７ｒ（　）ｄＯ＝＝＝　

Ｊ　ｏ　

）一　一　

８Ａｔ　丽’　

（２ｔ＋　）　。　以ｆ（ｔ　），Ｆ（ｔ　）分别代替式（３）中的　ｆ（ｔ　，口），Ｆ（ｔ　，　），则似然函数（３）可变为　Ｌ（ｔ　Ｉ　）一　，ｚ！　（，ｚ一　）！　２ｔ　Ｊ　Ｌ　２ｔ　ｒ

Ｊ　３）　（　＋　）。　（　＋　）　。…　

灯奴似然凼致力　ｌｎＬ（ｔＩ　）＝　

１ｎ　＋　Ｅｌｎａ＋ｌ　一３ｌｎ（２　＋　（ｎ—　）［１ｍ＋ｌｎ（４ｔ　＋　）一２１ｎ（２ｔ　＋　）］，　一耋ｃ÷一　＋　

ｃ　一酬÷＋　一　一０　ｏ　进而得　７＂／ｌ　一仇　３　Ｉ　２（ｎ—　）　一一＿　二　一　——＿｝＿　翌二　！　

。４ｔ　＋　２ｔ　＋　‘２ｔ　＋　。　

令ｇ】（　）一　＋　ｍ　Ｔ，　

＾　‘土　＾　

一　＋　。　显然　ｇｌ（　）＞０，ｇ２（　）＞０。　当　一０　时，ｇｌ（　）＞ｇ２（　），　ｇｌ（ａ）一　一赫＜ｏ，　

，一　＋　＞ｏ。　所以ｇ　（　）在（Ｏ，＋。。）上为严格单调递减的　下凸函数。　

ｇ　一　一　＜。，　

ｃ　一　ｉ＝１　＋　＞。。　所以ｇｚ（　）在（０，＋。。）上为严格单调递减的　下凸函数。　＃日　

Ⅱ　Ｌ＿　●Ｌ