第二节基于截尾样本的最大似然估计
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
7.2截尾的极大似然估计-PPT课件
d ln L ( ) 0， 解 得 d s(t m ) ˆ m 其 中 s( t m ) t1 t 2 t m ( n m )t m
概率统计
基于截尾样本的最大似然估计
0 t 1 t 2 t n， 称 为 完 全 样 本 。 二 截
尾 样 本 ， ( 1 )定 时 截 t 0时 同 时 投 入 t0停止，停止时共有 随机抽取的 n
t 1 , t 2 , , t m ( 0 t 1 t 2 t m t 0 )， 进行到有 m （事先 得到样本 t1 , t 2 , ,
设产 品的 寿命 分布 是指 数分 布，其概 率密 度为 1 t / e , t0 f (t ) t0 0, 0未知 。设有 n 个产 品投 入定 时截 尾试 验，截尾 时间 为 t 0，得定 时 截尾 样本 0 t 1 t 2 t m t 0。故似 然函 数为 L ( ) 1
第二节基于截尾样本的最大似然估计
产品寿命 T 是一个随机变量，它的 为了对寿命分布进行统 寿命数据。 实验方法：一完全样本 t 0时 ， 同 时 投 入 试 验 ， 直 尾样本，假设将随机抽 试验，试验进行到实现 m 个产品失效，得到样本 称为定时截尾样本。 个产品在时间 规定的截尾数 ，将随机抽取的 n 个产品在时间 到样本 到每个产品都失效，得 取的 n 个产品在时间 规定的截尾时间 分布称为寿命分布。 试验，取得 计推断，则需通过寿命
( 2 )定 数 截 尾 样 本 ， 假 设 将
t 0时 同 时 投 入 试 验 ， 试 验 m n ）个产品失效时停止，
Ⅱ型截尾广义Logistic分布的统计推断
矩估计法
矩估计法：利用分布的数学期望和方差进行参数估计
最大似然估计法：通过最大化似然函数来估计参数
最小二乘法：通过最小化误差平方和来估计参数
贝叶斯估计法：利用先验信息进行参数估计
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法的计算方法和步骤
贝叶斯估计法的结果解释和评价
贝叶斯估计法的基本原理
贝叶斯估计法的优点和缺点
贝叶斯估计法在Ⅱ型截尾广义Logistic分布参数估计中的应用
Ⅱ型截尾广义Logistic分布的假设检验
03
正态性检验
目的：检验Ⅱ型截尾广义Logistic分布的样本是否符合正态分布
方法：使用Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等
结果解释：如果检验结果显著，则说明样本不符合正态分布
应用：在Ⅱ型截尾广义Logistic分布的统计推断中，正态性检验是重要的前提条件
结合机器学习和人工智能技术，开发自动化和智能化的假设检验系统。
深入研究假设检验中的参数和非参数方法，提高检验的准确性和可靠性。
探讨假设检验在多维数据和复杂模型中的应用，以更好地理解和分析数据。
模型选择与诊断技术的创新与发展
模型选择：研究不同模型在Ⅱ型截尾广义Logistic分布中的应用效果
诊断技术：开发新的诊断技术，提高模型诊断的准确性和效率
模型调整：根据评估结果对模型进行优化和调整
模型评估：通过交叉验证、AIC、BIC等方法评估模型的性能
模型选择：根据实际数据和需求选择合适的模型
模型诊断与检验
模型拟合度检验：使用卡方检验、拟合优度检验等方法
模型参数估计：使用极大似然估计、贝叶斯估计等方法
模型预测能力检验：使用预测误差、预测准确率等指标
计算机科学与技术(3+2)-概率统计教学大纲
《概率统计》教学大纲课程名称：《概率统计》英文名称：Probability and Mathematical课程性质：学科教育必修课程课程编号：L132217所属院部：信息科学与工程学院周学时：3学时总学时：48学时学分：3学分教学对象（本课程适合的专业和年级）：计算机科学与技术（3+2）专业（本科）二年级学生预备知识：高等数学、线性代数课程在教学计划中的地位作用：概率统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是计算机本科相关专业的一门重要的基础理论课。
通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
教学方法：讲授法、启发教学法教学目标与要求：本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。
注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。
讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。
每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。
课程教材：盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）.高等教育出版社,2010.11 参考书目：[1]金炳陶.概率论与数理统计.高等教育出版社,2000.8[2]复旦大学.概率论.高等教育出版,1979.4[3]中山大学数学力学系.概率论及数理统计,1980.3[4]万建平.概率论与数理统计学习辅导与习题全解.高等教育出版,2003.8[5]章昕.概率统计辅导.科学技术文献出版社,2000.9考核形式：考试编写日期：2015年1月制定课程内容及学时分配（含教学重点、难点）：（一）概率论的基本概念1．随机试验2．样本空间、随机事件3．频率与概率4．等可能概型（古典概型）5．条件概率6．独立性重点：概率、条件概率与独立性的概念；逆事件概率计算公式；加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。
《数理统计》第7章§2基于截尾样本的最大似然估计.
第七章
参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计
2/4
预先规定好试验时间 0 T 随机取 n 件产品,从 t 0 时刻开始进行试验, 到截尾 开始时间 截尾时间 时刻 t T 试验停止,依次记录下失效时间和失效个数 ,从而 获得定时截尾样本
0 t1 t 2 t m T
第七章 参数估计
s(180) 115 119 172 (50 15) 180 8550
115,119,131,138,142,147,148,155, 158,159,163,166,167,170,172
求得 的最大似然估计值为
ˆ 8550 570 (小时) 15
t
3/4
设产品寿命服从指数分布,其概率密度为
1 e ,t 0 f (t ) 0 , t0 定时截尾时间为 T . 任取 n 件产品进行寿命试验,截尾 样本为 0 t1 t m T . 试求平均寿命 的最大似然估计. 似然函数为 任一产品在时刻 (t i , t i dt ] 失效的概率近似为
1e dt (i 1, , m) L( ) n m令 T 的概率为 件产品寿命超过 t1 tm ( n m )T lnL m n m ( n m ) T t 1 0 2 e T e dt 似然函数 求得 的最大似然估计为 故截尾样本观察值出现的概率近似为 s (T ) ˆ t1 t m ( n m )T ( n m )T ti m m 1e t m 1 e m e dt1dtm C d C i 总试验时间 n n 为 . t t ( n m ) T 其中 s(T ) 1 m m i 1
工程应用数学D模块教学大纲
工程应用数学D模块教学大纲模块编号：M071300模块名称：工程应用数学D理论学时：44实践学时：4总学时数：48总学分：3先修模块：工程应用数学A, 工程应用数学B一、说明部分1．模块性质本模块是工科类本科各专业的学科专业基础模块，授课对象是大学二年级学生。
2．教学目标及意义通过本模块的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养学生综合运用所学的知识分析和解决实际问题的能力。
3．教学内容及教学要求教学内容：概率论：随机事件、概率的概念与性质，随机变量及其分布，数字特征，大数定理和中心极限定理等；数理统计：统计量及其分布，参数估计，假设检验等。
教学要求：（1）掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，了解它的方法；（2）初步学会处理随机现象的基本思想和方法，分析和解决实际问题；4．教学重点、难点（一）随机事件及概率重点：事件的定义，概率性质，古典概型，独立性；难点：古典概型，独立性。
（二）一维随机变量及其分布重点：随机变量（离散、连续型）、分布函数的定义，几种常见的随机变量的分布，随机变量函数的分布；难点：随机变量和分布函数的定义（三）二维随机变量及其分布重点：联合分布，边缘分布，条件分布的定义，两个独立随机变量的定义，两个随机变量函数的分布；难点：联合分布、边缘分布、独立性的关系及其性质（四）随机变量的数字特征重点：期望、方差的性质与定义，随机变量函数的期望，切比雪夫不等式，协方差与相关系数；难点：独立与不相关的关系（五）大数定理与中心极限定理重点：中心极限定理，拉普拉斯定理难点：中心极限定理与拉普拉斯定理在实际中的应用(六)样本及抽样分布重点：X2分布和T 分布和 F分布的定义难点：抽样分布，三大分布(七)参数估计重点：矩估计，极大似然估计，参数的区间估计难点：矩估计与极大似然估计的方法与理论依据(八)假设检验重点：单侧双侧检验，Z检验，T检验，X2检验，F检验难点：假设检验的理论依据与基本步骤5．教学方法与手段本模块的特点是理论性强，比较抽象，思维方式比较独特，应用广泛，与相关专业课联系较多。
定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.
统计基础课程标准
《统计基础》课程标准1.概述1.1课程的性质统计基础是专业基础课，是概率论的后续课程，在现实中的应用性很强，是各种统计理论的数学基础分析理论，先期完成的课程必须有高等代数、数学分析和概率论。
统计是数学的一个有特色且又十分活跃的分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻;另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。
由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，目前已发展成为一门独立的一级学科。
统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制、时间序列分析应用于石油勘测和经济管理、马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等，同时他又向基础学科、工科学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是统计发展的一个新趋势。
通过对统计基础的学习，使学生掌握统计基础的基本概念、基本理论及基本思想和方法，而且能够熟练地应用这些方法解决科学研究和实际工作中实际问题，并为今后学习后续课程打下必需的基础。
1.2课程设计理念●着重基础、着重标准，在我国迄今为止，有关统计理论的教材不少，这些教材和理论参考文献各自保持了自己的特色，只有着重基础、着重标准，才能与国际先进的理论研究趋势保持一致；●力求在简洁的基础上使学生能从总体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如的应用这些理论。
1.3课程开发思路●以《概率论与数理统计》（第三版）浙江大学盛骤谢式千编，高等教育出版社,2001为蓝本，极力用较为通俗的语言阐释统计基础的思想和方法；●紧密结合实际应用与计算机应用加以阐述和学习；●理论和方法相结合，以强调统计基础理论的应用价值，总之，强调理论与实际生活应用相结合的特点，力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的学习打下良好的基础；●针对课程特点，形成了新的教学指导思想，即以学生为本，注重学生基础数学理论培养，使学生掌握“统计”的基本概念和方法，培养学生解决相关实际问题的能力。
随机截尾情形下几何分布的参数估计
随机截尾情形下几何分布的参数估计何朝兵;刘华文【摘要】得到了随机截尾情形下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(035)001【总页数】4页(P29-32)【关键词】随机截尾;几何分布;最大似然估计;置信区间;中心极限定理【作者】何朝兵;刘华文【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455000;山东大学数学学院,山东济南250100【正文语种】中文【中图分类】O213.2几何分布是一种很重要的离散型寿命分布,并且与指数分布有许多相似性,例如都具有无记忆性等.对几何分布的研究虽然没有指数分布那么成熟,但也有一些研究成果,可参看文献[1～10].文献[11～13]研究了随机截尾试验下连续型分布的参数估计,而对于几何分布情形还没有文献研究.本文得到了随机截尾试验下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.1 离散型寿命随机截尾试验模型设受试产品寿命X1,X2,…是相互独立、同分布且取正整数的随机变量序列,Xi的分布律为P(Xi=m)=P(m;p),i=1,2,…,这里p是参数.寿命截尾时间Y1,Y2,…是相互独立、取正整数的随机变量序列,Yi的分布律为P(Yi=m)=gi(m),i=1,2,…,gi(m)与参数p无关.假定Xi与Yi相互独立.现在有n个产品进行寿命试验.设观察到的数据为{Zi},i=1,2,…,n.每个Zi如下取值.(1) 当Xi≤Yi时,产品在截尾之前失效,此时知道产品寿命的确切值,故取Zi=Xi;(2) 当Xi>Yi时,产品寿命大于截尾时间,此时只知道截尾时间而不知道产品寿命,故取Zi=Yi.综上知Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi).再取i=1,2,…,n.在试验结束时,可得到n组观察值:(m1,δ1),(m2,δ2),…,(mn,δn),这就是我们能获得的随机截尾试验数据.为求似然函数,先求Zi与δi的联合分布律.P(Zi=mi,δi=0) =P(Yi=mi,Xi≥mi+1)=P(Yi=mi)P(Xi≥(k;p),P(Zi=mi,δi=1)=P(Xi=mi,Yi≥mi)=P(Xi=mi)P(Yi≥mi)=P(mi;,故Li(p) =[P(mi;δi(k;p)]1-δi,mi=1,2,… ; δi=0,1.则似然函数,由于截尾时间分布中不含未知参数p,故若记,则.2 随机截尾情形下几何分布参数的极大似然估计当产品寿命Xi服从几何分布Geo(p)时,(Z1,δ1),(Z2,δ2),…,(Zn,δn)的联合分布律,即似然函数为,对上述似然函数求对数,令其导数为零可得p的极大似然估计为δi/,而平均寿命θ=1/p的极大似然估计为/δi.如果Yi服从几何分布Geo(p0),可以求出的数学期望与方差定理在随机截尾寿命试验中,若产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),产品平均寿命为θ=1/p,为θ的极大似然估计,则;,其中 , b=qq0 , ,q=1-p,q0=1-p0.证明此时,则似然函数,令 , b=qq0 , ,则.的数学期望为的数学期望为3 随机截尾情形下几何分布参数的区间估计假设产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),下面讨论p的区间估计.设δi,则N服从二项分布b(n,p1).若N=r,由文献[14]知p1的1-α置信区间为,,其中,,而Fα/2(2r+2,2n-2r)是F分布F(2r+2,2n-2r)的下α/2分位点.由,得,则p的1-α置信区间为,,其中,上面求置信区间时只用了(δ1,δ2,…,δn),而未用(Z1,Z2,…,Zn),下面我们利用(Z1,Z2,…,Zn)再求出一个置信区间,然后取它们的并集作为最后的置信区间,这样一来,样本的信息都用到了.由于Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi)服从几何分布Geo(p2),p2=1-qq0,所以E(Zi)=1/p2,Var(Zi)=q2/.由中心极限定理知～AN(n/p2,nq2/,则≤,zα/2为标准正态分布的上α/2分位点.经过简单计算,得p2的1-α置信区间为[x1,x2],x1<x2,其中x1,x2是下面方程的根, .由p2=1-qq0,得,则p的1-α置信区间为,.设,,∪,,则P(p∈,≥1-α,所以,为p的1-α近似置信区间.参考文献[1] BHOJ D, ABSANULLAH M.Estimation of the generalized geometric distribution using ranked set sampling[J]. Biometrics,1996(52):685-694. [2] FERGUSON T S. A characterization of the geometric distribution[J].Amer Math Mothly,1972,27(2):256-260.[3] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布的统计特征[J].数学年刊A辑(中文版),1998,19(2):155-164.[4] 毛用才.基于顺序统计量的几何分布特征的进一步结果[J].纯粹数学与应用数学,1995,11(2):115-119.[5] 徐晓岭,费鹤良,王蓉华.几何分布的两个统计特征[J].应用概率统计,2006,22(1):10-20.[6] 杨振海,王松桂.几何分布的参数估计及应用[J].应用概率统计,1998,14(1)：31-37.[7] 吴绍敏,程细玉.几何分布恒加应力寿命试验下的混合数据分析[J].华侨大学学报,1997,18(1):6-10.[8] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布产品定数截尾场合下参数的点估计[J].强度与环境,2009,36(2):51-63.[9] 魏立力,张文修.几何分布的一类贝叶斯停止判决法则[J].应用数学学报,2003,26(3):181-185.[10] 刘银萍.截断情形下几何分布的参数估计[J].东北师大学报(自然科学版),2009,41(3):14-16.[11] 陈家鼎.随机截尾情形下Weibull分布参数的最大似然估计的相合性[J].应用概率统计,1989,5(3):226-233.[12] 杨纪龙,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE的相合性及渐近正态性[J].应用概率统计,2000,16(1):9-19.[13] 陈怡南,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE[J].数理统计与应用概率,1996,11(4):353-363.[14] 茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计[M].北京:高等教育出版社,2008:128.。
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(2) 定数截尾寿命试验
假设将随机抽取的n 个产品在时间t 0 时 同时投入试验, 试验进行到有m 个(m 是事先规 定的, m n) 产品失效时停止, m 个产品的失效 时间分别为 0 t1 t2 tm , 这里 tm 是第m 个产品的失效时间, 所得的样本t1, t2 , , tm 称 为定数截尾样本.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验
(1) 定时截尾寿命试验
假设将随机抽取的n 个产品在时间t 0 时 同时投入试验, 试验进行到事先规定的截尾时 间 t0 停止, 如试验截止时共有m 个产品失效, 它们的失效时间分别为0 t1 t2 tm t0 , 此时 m 是一个随机变量, 所得的样本t1, t2 , , tm 称为定时截尾样本.
例 设电池的寿命服从指数分布,
其概率密度为
f
(t
)
1
t
e
,
t 0, 0 未知.
0,
t 0,
随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时
间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
二、基于截尾样本的最大似然
估计
设产品的寿命分布是指数分布,
其概率密度是
f
(t
)
1
t
e
,
0,
t 0, 0 未知.
t 0,
1. 定数截尾样本的最大似然估计
设有n个产品投入定数截尾试验, 截尾数为m,
得定数截尾样本 0 t1 t2 tm ,
利用这一样本估计未知参数 (产品的平均寿命).
1[
1
t1
t
2
tm
(
n
m
)
tm
]
e . m
对数似然函数为
ln
L( )
m ln
1
[t1
t2
tm
(n
m)tm ],
令 d ln L( ) 0, d
则
m
1
2
[t1
t2
tm
(n m)tm ]
0,
得到 的最大似然估计值为 ˆ s(tm ) .
m 其中 s(tm ) t1 t2 tm (n m)tm 称为总 试验时间, 它表示直到时刻tm 为止 n 个产品的 试验时间的总和.
tm
1
t
e
dt
nm
tm
(e
)nm
,
上述观察结果出现的概率近似地为
n m
1
t1
e dt1
1
t2
e dt2
1
tm
e dtm
tm (e
)nm
n m
1
m
e 1[
t1
t2
tm
(
n
m
)
tm
]
dt1dt
2
dtm ,
其中dt1, dt2 , , dtm 为常数.
取似然函数为
L(
)
2. 定时截尾样本的最大似然估计
设定时截尾样本 0 t1 t2 tm t0 , ( 其中 t0 是截尾时间 ) 与上面讨论类似,
得似然函数为
L(
)
1[
1
t1
t
2
tm
(
nm
)
t0
]
e . m
的最大似然估计值为 ˆ s(t0 ) ,
m
其中 s(t0 ) t1 t2 tm (n m)t0 称为总 试验时间, 它表示直到时刻t0 为止 n 个产品的 试验时间的总和.
在时间区间[0, tm ]有 m 个产品失效, 有 n m 个产品的寿命超过tm .
利用最大似然估计法来估计 ,
为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.
产品在 (ti , ti dti ] 失效的概率近似地为
f
(ti )dti
1
e
ti
dt
i
,
i 1,2, ,m.
其余 n m 个产品寿命超过tm 的概率为
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值.
解 n 50, m 15, s(t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
8270,
的最大似然估计值为 ˆ 8270 551.33 (小时).
15
三、小结
两种常见的截尾寿命试验
定时截尾寿命试验 定数截尾寿命试验
第二节 基于截尾样本的最 大似然估计
一、基本概念 二、基于截
产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿 命分布.
2. 完全样本的定义
将随机抽取的n 个产品在时间t 0时,同时 投入试验直到每个产品都失效. 记录每一个产 品的失效时间, 这样得到的样本(即由所有产品 的失效时间 0 t1 t2 tn 所组成的样本) 叫完全样本. (一种典型的寿命试验)
定时截尾样本的最大似然估计: ˆ s(t0 ) ,
m
定数截尾样本的最大似然估计: ˆ s(tm ) .
m