屏蔽数据在新型截尾样本下系统的可靠性分析
・９８ ・ （ 总第 ３ —９ ２ ７ ３）
火 力 与 指 挥 控 制
２１ ０ ２年
第 ５期
当前 基 于屏蔽 数据 的研究 已有 了一定 的成果 。文献
对 于逐 步增加 Ⅱ型截 尾寿命 试 验 ， 文献 Ｅ ３ 出 ８给
了 如式 （ ） ２ 的似然 函数 ：
［ — ］ 别 考 虑 了 串联 系 统 中 部件 服从 指 数 分 布 、 ５７ 分
ｍ
．．．
－
具有 随机 移走 逐 步 增 加 Ⅱ型截 尾 的试 验 中 ， 被
移 走的系统个数服从二项分布Ｂ 一 ∑ｒ （一 ，
ｐ 。即 Ｐ ｒ ：ｉ ） （） 、 。
＇ ． ，
Ｉ （－ｐ一 ・ （ ｒ 户 １ ） 一 Ｐ 『一， ， ｆ
Ｉ
—
—
独立且服从Ｂ ｎ ｍ－ ∑ｒ，）ｒ ， （－ － 』户 ， ０即每个未 ０
Ｐ ｒｔ 布和 几何 分 布 时 ， 数 和 可靠 性 指标 的极 ａｅｏ分 参 大 似然 估计 和 Ｂ ｙ ｓ ａ ｅ 估计 。而关 于未 完全 失效 的屏 蔽 系统 ， 内外 都很少 研究 。 国 本 文 讨 论 了 具 有 随 机移 走 逐 步 增 加 Ⅱ型 截尾
Ｌ＝ １ ｇｘ） １ Ｇｘ ］ － （ ［－ （ 。 ［ ）
屏 蔽 数 据 在 新型 截 尾 样 本 下 系统 的可 靠性 分 析
顾 昕 ， 义 民， 师 谭
（ 北工业 大学 ， 安 西 西
伟
７０２） １ １ ９
摘
要 ： 系 统 含 有 屏 蔽 数 据 时 ， 具 有 随 机 移 走 逐 步 增 加 Ⅱ型 截 尾 模 型 下 ， 论 了 部 件 寿 命 服 从 双 参 数 指 数 分 布 的 串 当 在 讨
（ ［ 一 （ ））） Ⅱ １ ｚ ］。
（） × ｚ］
（） ３
统 中有 ｒ 个被移 走 ， ≤，≤ Ｏ ． 一 ； 在第 ２个 失效 时
刻 ｘ 未 失 效 的 一２ 系 统 有 ｒ 个 被 移 走 ， ， ～ｒ 个 ０ 。 一 一ｒ； 第 个失效 时刻 Ｘ ， ≤ｒ≤ 在 剩余 系统 全 部 被 移 走 ， 验停 止 ，ｍ 试 ｒ — 一 一ｒ… ・ 卅 一ｒ 一 。 Ｘ一 （ ， ， ， ） 。 。 … Ｘ 为该 截 尾 寿命 试 验 的 １个 样 本 。其 中 ｍ 预先 给定 ， ， ， ～１ 与 ｘ。 互 （＝１ … ） 相
Ｖｏ ．３ Ｎｏ ５ １ ７． ．
Ｍａ ２ １ ｙ， ０ ２
火 力 与 指 挥 控 制
Ｆ ｒ ｏ ｔｏ ＆ Ｃ ｍｍａ ｄ Ｃｏ ｔｏ ｉ Ｃ ｎｒｌ ｅ ｏ ｎ ｎｒｌ
第３ ７卷 第 ５期 ２１ ０ ２年 ５月
文 章 编 号 ：０ ２Ｏ ４ （Ｏ ２ Ｏ— ０ ７Ｏ １ ０ 一６ Ｏ ２ ｌ ） ５０ ９ 一５
ｊ ＝ｏ
…１ Ｌ － － ］（ 户 一 ，＝ｎＩ ｊ户１ 壹 ｒ Ｔ Ｊ Ｉ 一） 喜 ） ｒ Ｉ 。 … ０
… ， ：
失 效 系 统 的移 走 概 率 为 户， Ｐ为依 赖 于试 验 环境 的
待估参数。
其中 Ｏ ｒ ≤ ｉ 一 一 （１ ２ ≤ ｒ＋ｒ ＋… ＋ｒ １ ，一１ ２ … ， Ｉ ）ｉ ， ， 一
分支， 文献 ［—］ ３４ 分别 讨论 了逐 步增加 Ⅱ型截 尾下 冷
贮 备 串联 系统 和 中取 串连 续 是失效 系统 的可
领 域 。文 献 ［—］ 别 研 究 了逐步 增 加 Ⅱ型 截 尾 下 １２ 分
收 稿 日期 ；０ １０— ９ ２ １ —３２ 修 回 日期 ：０ １０— ８ ２ １—５２
联系统可靠性估计 问题 。设 随机移走系 统数服从 二项分布 ， 利用极 大似然方法 ， ａ ｅ Ｂ ｙ ｓ理论及方法 ， 推导 出双参数指 数部件参 数、 系统可靠性 函数 、 失效率 函数及 移走 概率的极大似然估 计和 Ｂ ｙ ｓ ａ ｅ 估计 。 并利用 Ｍｏ ｔ ａｌ ｎｅＣ ｒ ｏ方法对两种估计结果进行 了 比较 ， 明 Ｂ ｙｓ估计较极 大似然估计效果更优 。 表 ａｅ
ｅ ｔｍａ ｉ ｎ． ｓ ｉ ｔｏ
Ｋｅ ｒ ｓ ｍ ａ ｋ ｄ ｄ ｔ ｐ ｏ ｒ ｓ ｉｅ ｃ ｎ ｏ ｉ ｇ ｗｉｈ ｒ ｎ ｏ ｒ ｍｏ ａ ｓ ｔ － ａ ａ ｅ ｅ ｓ ｅ ｐ ｎ ｎ ｉｌ ｙ ｗｏ ｄ ： ｓ ｅ ａ ａ， ｒ ｇ ｅ ｓｖ ｅ ｓ ｒｎ ｔ ａ ｄ ｍ ｅ ｖ ｌ ， ｗｏ ｐ ｒ ｍ ｔ ｒ ｘ ｏ ｅ ｔ ａ ｃ ｍｐ ｎ ｎ ｓ Ｂ ｙ ｓ ｅ ｔｍ ａ ｉ ｎ， ｅｉ ｂ ｌ ｙ ａ ａ ｙ ｉ ｏ ｙ ｔ ｍ ｏ ｏ ｅ ｔ ， ａ ｅ ｓｉ ｔ ｏ ｒ ｌ ｉ ｔ ｎ ｌ ｓｓ ｆｓ ｓ ｅ ａ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｒｅ ｉｂ ｌ ｙ ｅ ｔｍａ ｉ ｎ ｆｔ ｅ ｔ － ａ ａ ｔ ｒ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｏ ｐ ｎ ｎ ｓ ｉ ｅ ｉｓ ｓ ｓ ｅ ｂ ｓ ｄ ｓ ｒ ｃ ￣ ｌ ｉ ｔ ｓ ｉ ｔ ｓｏ ｈ ｗｏ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｓ ｅ ｐ ｎ ｎ ｉ ｍ ｏ ｅ ｔ ｎ ｓ ｒｅ ｙ ｔ ｍ ａ ｅ ａ ｉ ｏ ａ ｃ ｏ ｒ ｇ ｅ ｓｖ ｌ ｙ ｅ ｎ ｐ ｏ ｒ ｓ ｉ ｅ ｙ ｔ ｐ 一Ⅱ ｃ ｎ ｏ ｅ ｄ ｌｗｉｈ ｒ ｎ ｏ ｒ ｍ ｏ ａ ｓ ａ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｗｈ ｎ ｕ ｉ ｇ ｍａ ｋ ｄ ｄ ｔ ． ｅ ｓ ｒ ｄ ｍｏ ｅ ｔ ａ ｄ ｍ ｅ ｖ ｌ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ｅ ｓ ｎ ｓ ｅ ａ ａ Ｃｏ ｓｄ ｒｎ ｈ ｔ ｔ ｅ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｙ ｔ ｍ ｓ ｒ ｍｏ ｅ ｔ ｅ ｃ ａｌ ｒ ｉ ｏ ｌ ｗｓ ａ ｂ ｎ ｍｉ ｌｄ ｓ ｒｂ ｔ ｎ， ｈ ｎ ｉｅ ｉｇ ｔ ａ ｈ ｕ ｅ ｆ ｓ ｓ ｅ ｅ ｖ ｄ ａ ａ ｈ ｆ ｉ ｅ ｔｍｅ ｆ ｌ ｕ ｏ ｉ ｏ ａ ｉ ｔ ｉ ｕ ｉ ｔ ｅ ｏ
１ 基本 假 设 与模 型 的建 立
为 了对 文 中系统 进行 可 靠性 分 析 ， 首先 给 出 如
下假 设 ：
表达 式为 ：， （）Ｉ ∑ ［ 五 Ｉ
（）； 第ｉ ］在 个失
效 时刻 Ｘ 有 ， 个被 移走 未 失效 串联 系 统 的似然 表 ， ．
（） １ 个 相 同的 系统 同时进行 截尾 寿命 试 验 ， 试 验 在 已观测 到 个 系统失 效后停 止 。 （） ２ 每个 系统 由 ｋ个 相互 独 立但 不 完 全相 同的 部 件 串联 而成 。
（） ３ 在第 １ 失效 时刻 Ｘ，未 失效 的 一１ 系 个 ， 个
达式为（ ［ 一 （ ］ 因此由式（） 知， Ⅱ １ ）） 。 ２ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 样
本 Ｘ一（ ， ， ， ） 似然 函数 为 ： ｘ Ｘ。… Ｘ 的
厶－ ｛ Ｅ ｆ ￣ Ｉ － Ⅱ ∑ｊＥｊ ｆ Ａ ： （） ａ ｉ
关 键 词 ： 蔽 数 据 ， 有 随 机 移 走 逐 步增 加 Ⅱ型 截 尾 试 验 ， 参 数 指 数 部 件 ，ａ ｅ 估 计 ， 统 可 靠 性 分 析 屏 具 双 Ｂｙｓ 系
中 图分 类 号 ： １ ４ ３ ０２ ３ ２ ＴＢ １ ． ， １． 文献标识码 ： Ａ
Ｒｅ ｉ ｂ ｌｔ ｎ ｌ ｓ ｓ ｏ ｓ ｅ Ｂａ ｅ ｎ Ｎ ｅ Ｔｙ ｅ ｌａ ｉｉ ｙ Ａ ａ ｙ ｉ ｆ Ｓｙ ｔ ｍ ｓ ｄ ｏ ｗ ｐ
ｐ ｐ ｒｄ ｄ ｃ ｓｔ ｅＭ ＬＥ ａ ｄ Ｂ ｙ ｓｅ ｔ ａ ｉｎ ｆｕ ｋ ｏ ａ ａ ｔｒ ，ｐ ｏ ａ ｉｔ ｆｒ ｍｏ ａｓ ｅｉｂｌ ｙ ａ ｅ ｅ ｕ ｅ ｈ ｎ ａ ｅ ｓ ｉ ｔ ｓｏ ｎ ｎ ｗｎ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓ ｒ ｂ ｂｌ ｙ ｏ ｅ ｖ ｌ ，ｒ ｌ ｉ ｔ ｍ ｏ ｉ ａ ｉ
ａ ｈａ ａ ｄ ｕｎｃ ｉ ｎ ｆ ｈ ｓ ｔ ｍ ． Ａ ｌｏ， Ｃｏｍｐａ ｉｏｎ ｆ ｈｅ ＷＯ ｓ ｉ ｔｏｎ ｎｄ ｚ ｒ ｆ ｔｏ ｏ ｔ ｅ ｙｓ ｅ ｓ ｒｓ ｏ ｔ ｔ ｅ ｔｍａ ｉ ｍｅ ｈｏ ｉ ｇ ｖｅ ｆ ｏ ｔ ｄ ｓ ｉ ｎ ｒ ｍ
ｎ ｍｅ ｉａ ｉ ｕ ａ ｉ ｎ ａ ｐ ｙ ｎ ｈ ｏ ｔ ｒｏ ｍ ｅ ｈ ｄ，ｗｈ ｃ ｎ ｉ ａ ｅ ｈ ｔＢ ｙ ｓ ｅ ｔｍａ ｅ ｉ ｅ ｔ ｒｔ ａ ｕ ｒ ｌｓｍ ｌ ｔｏ ｐ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｍ ｎ ｅ Ｃａ ｌ ｔ ｏ ｃ ｉｈｉ ｄｃ ｔｓｔ ａ ａ ｅ ｓ ｉ ｔ ｂ ｔｅ ｈ ｎ ｓ Ｍ ＬＥ． Ａ ｔ ｌ ｓ ， ｔ ｄ ｓ ｕ ｓ ｓ ｔ ｅ ｅ ｆ ｃ ｆ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｐ ｏ ａ ｉ ｔ ｆ ｍ ａ ｋ ｎ ｎ ｅ ｖ ｌ ｏ ａ ｃ ｒ ｃ ｆ ａ ｔ ｉ ｉｃ ｓ ｅ ｈ ｆｅ ｔ ｏ ｉ ｒ ｎ ｒ ｂ ｂ ｌ ｙ ｏ ｓ ｉ ｇ ａ ｄ ｒ ｍｏ ａ ｓ ｃ ｕ ａ ｙ ｏ ｆ ｉ ｔ
… …
故 似然 函数 为 ：
ｍ 一 １。
（ ） 表示 在 失效 时刻 Ｘ 失效 的系统 中部 件 ４ ， ＿ 寿 命 （ １ … ， ） 即 Ｘ ｍｉ １ Ｔ … ， 『的 一 ， ｋ ， — ｎ（ ，
Ｔ ，一（ ， ， ， 。对 于 每一 个 部 件 Ｊ ， ， ）ｉ １ ２ … ｍ） （ 一１ ２
Ｃｅ ｏ ｅ ｓ ｓ Ｕｓｎｇ Ｍ ａ ｋｅ ａ ａ ｎｓ ｒ ｄ Ｔｅ ｔ ｉ ｓ ｄＤ ｔ
ＧＵ ｎ，ＳＨＩＹｉｍ ｉ Ｘｉ — ｎ，ＴＡＮ ｅ Ｗ ｉ
（ ｏ ｔ ｗｅ ｔｒ ｌ ｔｃ ｎ ｃ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉ Ｎ ｒ ｈ ｓｅ ｎ Ｐｏｙ ｅ ｈ ｉ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｙ，Ｘｉ ａ １ １ ９ ’ ｎ ７ ０ ２ ，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
引 言
在 产 品寿命 试 验 中 ， 由于试 验设 备 、 观测 方法 或 其 他 方面 的 困难 造 成某 些试 验 数据 缺失 ， 因此 ， 不 对 完 全数 据 的统计 分 析 已成 为可靠 性 分析 的一 个重 要
Ｗｅ ｕ ｉ Ｕ分 布的 统计分 析 和 Ｂ ｙ ｓ估计 问题 ； 而对 ｂ ａｅ 然 于 随机 移走 未失 效产 品 的情形 ， 内外 都很 少涉 及 。 国 系 统可 靠性 研究 是 可靠性 工 程理论 研究 的重 要
可靠性试验
可靠性试验讲义1.基本概念可靠性：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。
产品：指作为单独研究和分别试验对象的任何元件、设备或系统，可以是零件、部件，也可以是由它们装配而成的机器，或由许多机器组成的机组和成套设备，甚至还把人的作用也包括在内。
在具体使用“产品”这一词时，其确切含义应加以说明。
例如汽车板簧、汽车发动机、汽车整车等。
规定条件：一般指的是使用条件,环境条件。
包括应力温度、湿度、尘砂、腐蚀等，也包括操作技术、维修方法等条件。
规定时间：是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，一般也可认为可靠性是产品功能在时间上的稳定程度。
因此以数学形式表示的可靠性各特征量都是时间的函数。
这里的时间概念不限于一般的年、月、日、分、秒，也可以是与时间成比例的次数、距离。
例如应力循环次数、汽车行驶里程。
规定功能：道德要明确具体产品的功能是什么，怎样才算是完成规定功能。
产品丧失规定功能称为失效，对可修复产品通常也称为故障。
怎样才算是失效或故障，有时很容易判定，但更多情况则很难判定。
当产品指的是某个螺杆，显然螺栓断裂就是失效；当产品指的是某个设备，对某个零件损坏而该设备仍能完成规定功能就不能算失效或故障，有时虽有某些零件损坏或松脱，但在规定的短时间内可容易地修复也可不算是失效或故障。
若产品指的是某个具有性能指标要求的机器，当性能下降到规定的指标后，虽然仍能继续运转，但已应算是失效或故障。
究竟怎样算是失效或故障，有时要涉及厂商与用户不同看法的协商，有时要涉及当时的技术水平和经济政策等而作出合理的规定。
能力：只是定性的理解是比较抽象的，为了衡量检验，后面将加以定量描述。
产品的失效或故障均具有偶然性，一个产品在某段时间内的工作情况并不很好地反映该产品可靠性的高低，而应该观察大量该种产品的工作情况并进行合理的处理后才能正确的反映该产品的可靠性，因此对能力的定量需用概率和数理统计的方法。
按产品可靠性的形成，可靠性可分为固有可靠性和使用可靠性。
Weibull分布下基于矩法的小样本量定时截尾数据的估计
分布 的建立和确认 。根据样本 （ 试验结 果 ） 估计 母体 时 ， 普 遍认为投入试验 的试件 越多 ， 估计结 果越精 确 。然 而在实 际情况 中， 品 的可靠 性试 验 由于受 时 间和资 金 的限 制 ， 产
不 仅 不 能 保 证 较 大 的试 验 样 本 量 ， 必 须 采 取 截 尾 试 验 方 还
第３ 卷 ｌ
第 ３期
四 川 兵 工 学 报
２１ ０ ０年 ３月
【 制造技术】
Ｗｅ ｕ１ 布 下 基 于 矩 法 的 小 样 本 量 ｉ ｌ分 ｂ 定 时 截 尾 数 据 的估 计 来
冯 自立 ，陈 晓 阳 ，顾 家铭
（ ．上 海 大 学 轴 承 研 究 室 ， 海 １ 上 ２ ０ ７ ；． 海 天 安 轴 承 有 限公 司 ， 海 ００２２上 上 ２０３ ） ０ ２３
案 。实践 中， 可靠性试 验以定时截尾方案居 多。Ｗｅ ｕ１ ｉ ｌ分 ｂ 布是可靠性 中常用的失效分 布 ， 多机 械零部 件产 品的失 许
效 分 布 都 是 Ｗｅ ｕ 分 布 。本 文 中 通 过 ＭｏｔＣ ｒ ｉｌ ｂ１ ｎｅ ａｌ 法 研 ｏ方
究 基 于 矩 估 计 方 法 的 Ｗｅｂｌ分 布 下 小 样 本 量 （ 文 中 ， ｉｕ１ 本 小
基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断
基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断作者：季丹丹闫在在来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第03期摘要：近几年，针对缺失数据的处理这方面的应用研究大量涌现，使得缺失数据下的可靠性理论迅速发展.而在可靠性试验和寿命试验中，截尾方案能在试验所花费的总时间、单元个数和基于试验结果的统计推断效率之间取得平衡.在这种情况下，一种自适应的截尾方案被提出来，并且被许多专家学者研究应用.因此本文讨论，基于自适应逐次II型截尾样本，提出了EIG分布的统计推断理论等问题.对于未知参数，提出了极大似然估计（MLEs）.利用MLEs的渐近正态性得到参数的近似置信区间.并运用一组真实数据进行模拟讨论.关键词：EIG分布；截尾数据；极大似然估计；自适应逐次II型截尾中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2019）03-0013-051 引言许多情形下，考虑到费用和时间的原因，寿命测试验通常在所有测试单元都失败前终止.这种情况下，人们只能得到部分样本的失效时间，这些数据即为截尾数据.在过去的50年里，一些专家学者已经在研究和讨论基于截尾样本的参数统计推断问题.最常见的截尾方案大体分两种，I型（定时）截尾和II型（定量）截尾.其中I型截尾表示寿命试验在规定的时间T内终止，II型截尾则表示寿命试验在第m次失效时终止，其中m是提前设定的.逐次II型截尾方案是II型截尾方案的推广形式，表示假设有n个单元置于寿命试验中，而只有m个失效单元被观测到.在观测到第一个失效单元时，在剩余的未失效单元中随机移除R1个单元.同样的，在观测到第二个失效时间时，R2个单元被随机移除.寿命试验将在m个失效单元都被观测到终止，最后将Rm=n-R1-R2-…-Rm-1个未失效单元全部移除.产生逐次型截尾样本数据的原因很多，如有些航空航天、核反应堆等零部件，其试验消耗成本过高，为节约时间和费用，通过检验后，人们通常会在未失效的产品中取出一部分作为他用.这样即节约了成本又知道了产品的特性.再如，对某些产品进行跟踪调查时，出于某些原因，使得一些使用者在某个时间后失联，因而我们对这批产品也就只掌握了部分数据.对于逐次截尾的广泛的回顾与讨论，读者们可以参考Aggarwala（1998）[1]、alakrishnan（2008）[2]、Fernandez（2004）[3]、Soliman （2008）[4]和Chansoo K和Keunhee H（2009）[5].2 自适应逐次II型截尾试验Ng et al.[7]提出一个自适应逐次II型截尾方案，它是I型截尾和II型逐次截尾的混合，既节约了试验成本，又增加了统计分析效率.6 结语本文介绍了截尾樣本的由来及种类，并由广义逐次II型截尾试验，引入并阐述了自适应逐次II型截尾试验的实施过程.由于截尾数据的广泛应用性，本文基于自适应逐次II型截尾样本，讨论了EIG分布所含参数的极大似然估计和近似置信区间，并运用真实例子模拟讨论.参考文献：〔1〕Aggarwala R.， Balakrishnan N.. Some properties of progressive censored order statistics from arbitrary and uniform distributions with applications to inference and simulation[J]. Statist. Plann. Inference， 1998，70（1）：35-49.〔2〕Balakrishnan N.， Anna Dembinska. Progressively Type-II right censored order statistics from discrete distributions[J]. Journal of Statistical Planning and Inference，2008，138（4）：845–856.〔3〕Fernandez A. J. On estimating exponential parameters with general type-II progressive censoring[J]. Journal of Statistical Planning and Inference， 2004，121（1）：135-147.〔4〕Soliman， Ahmed A. Estimations for pareto model using general progressive censored data and symmetric loss[J]. Communications in statistics-theory and methods， 2008，37（9）：1353-1370.〔5〕Chansoo K.， Keunhee H. Estimation of the scale parameter of the Rayleigh distribution under general progressive censoring[J]. Journal of the Korean Statistical Society， 2009，38（3）：239-246.〔6〕季丹丹.一种拓展的逆高斯分布的性质及应用[D].内蒙古：内蒙古工业大学，2017.〔7〕D. Kundu， A. Joarder， Analysis of Type-II progressively hybrid censored data[J]，Comput. Stat. Data Anal. 2006，（50） 2258–2509.〔8〕H.K.T. Ng， D. Kundu， P.S. Chan， Statistical analysis of exponential lifetimes under an adaptive Type-II progressive censoring scheme[J]， Naval Res. Logist.2009，（56） 687–698.〔9〕Rezapour M.， Alamatsaz M. H. On properties of progressively Type-II censored order statistics arising from dependent and non-identical random variables[J]. Statistical Methodology，2013，10（1）：58-71.〔10〕Mashail M. AL Sobhi， Ahmed A. Soliman. Estimation for the exponentiated Weibull model with adaptive Type-II progressive censored schemes[J]. Applied Mathematical Modelling，2016，40（2）：1180–1192.〔11〕Nassar M. Estimation of the inverse Weibull parameters under adaptive type-II progressive hybrid censoring scheme[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2017，315：228–239.〔12〕魏宗舒.概率論与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2008.〔13〕N.Balakrishnan， Rita Aggarwala， Progressive Censoring Theory，methods and Applications[M]. Statistics for industry and technology， 1956.〔14〕Rezaei S， Tahmasbi R， Mahmoodi M. Estimation of P[Y < X] for generalized Pareto distribution [J]. J Statist Plan Inference. 2010，140：480-494.〔15〕Greene W H. Econometric Analysis： Fourth Edition [C]. Upper Saddle River， NJ. 2000.〔16〕Alan A. Categorical Data Analysis （2nd Ed.） [J]. Journal of the Royal Statistical Society， 2002， 40（4）.〔17〕Valiollahi R， Asgharzadeh A， Raqab MZ.Estimation of P[Y〔18〕Saracoglua B， Kinacia I， Kundu D. （2012） On estimation of R=P[Y〔19〕 Childs A， Chandrasekhar B， Balakrishnan N， Kundu D.Exact inference based on type-I and type-II hybrid censored samples from the exponential distribution[J]. Ann Inst Stat Math 2003，55：319-330.〔20〕Balakrishnan，Cramer，Kamps. Bounds for Means and Variances of Progressive Type II Censored Order Statistics[J]. Statist Probab. Lett.2001，54，301-315.〔21〕Balakrishnan，N.，Cramer，E.，Progressive censoring from heterogeneous distributions with applications to robustness[J]. Ann.Inst.Statist.Math.2008，60：151-171.〔22〕Guilbaud. Exact non-parametric confidence intervals for quantiles with progressive type-II censoring[J].Scand.J. Statist. 2001，28：699-713.〔23〕Guilbaud O.， Exact non-parametric confidence， prediction and tolerance intervals with progressive type-II censoring[J]. Scand. J.Statist.2004，31：265–281.〔24〕U Balasooriya， N Balakrishnan. Reliability sampling plans for lognormal distribution based on progressively censoredSamples[J]. IEEE Trans. Reliab. 2000，49：199–203.。
广义指数分布参数基于截尾样本在序约束下的极大似然估计
（ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅＣｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ 。 Ｌｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇＵｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｊ ｉ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ１ ２１ ０ ０ １ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ）
ｏ ｒ ｄ ｒ ｅ ｗｅ ｒｅ ｄ ｉ Ｓ Ｃ Ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ， ｗｉ ｈ ｔ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ．
Ｋｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： ｇ ｅ ｎ ｒａ ｅ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｉ ｔ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｔｉ ｕ ｏ ｎ ； ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； Ｅ Ｍ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｍ ； ｈ
Ｍａ ｘ ｉ ｍ ｕｍ Ｌｉ ｋ ｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ Ｅｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ Ｇｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ Ｅｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｉａ ｔ ｌ Ｄｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｉ ｔ ｏ ｎ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｃｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｅ ｄ Ｓ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｏｒ ｄ ｅ ｒ Ｒｅ ｓ ｔ ｒ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
ｅ ｓ ｔ ｉ ａ ｔ ｍ ｉ ｏ ｓ ｎ ｏ ｆ ｐ ａ ｒ ａ ｅ ｔ ｍ ｒｓ ｅ ｏ ｆ ｋ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｉ ｏ ｓ ｎ ｂ ａ ｓ ｄ ｅ ｏ ｎ ｃ ｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｅ ｄ ｓ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ
基于Matlab的随机截尾数据下的Weibull分布参数估计
基于Matlab的随机截尾数据下的Weibull分布参数估计史景钊;张峰;陈新昌【摘要】介绍了随机截尾情况下计算样本失效概率的两种方法,并编写了Matlab 函数.提出了利用Matlab的非线性最小二乘曲线拟合函数对服从Weibull分布的随机截尾数据进行曲线拟合和参数估计的方法,并编写了相应程序.计算结果表明,在Matlab中只需少量代码即可获得较好的拟合效果和估计精度,比用其他计算机语言编程更简单而实用.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2010(028)005【总页数】4页(P584-587)【关键词】可靠性;Weibull分布;参数估什;Matlab【作者】史景钊;张峰;陈新昌【作者单位】河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002;河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002;河南农业大学,机电工程学院,郑州,450002【正文语种】中文【中图分类】TB114.3在产品的寿命试验中有完全寿命试验和截尾寿命试验两种类型.其中截尾寿命试验又分为定时截尾、定数截尾和随机截尾等[1].参加试验的部分产品由于某种原因（如人为因素造成产品损坏、统计数据丢失、试验设备失效、根据试验计划有意撤出等）还没有失效就中途退出试验，这样得到的数据即为随机截尾数据（也称为右删失数据）；还有现场可靠性数据，是对实际运行的设备进行寿命考察，由于设备使用情况相差较大，造成观察的结束时间各不相同，也会出现随机截尾的问题.例如，考察一个运输公司某种汽车的首次大修里程，得到的就是随机截尾数据，即有些已经大修过，有些尚未大修，如果只记录已经大修的数据，不记录尚未大修的数据，就会使评估的结果偏离实际.随机截尾寿命试验是可靠性寿命试验中最一般的情况，其他寿命试验都可看作它的一个特例.Weibull分布模型能够根据形状参数的变化表现为各种不同的形状，较好地适用于各类寿命试验数据，因而在可靠性分析中应用十分广泛.对于服从Weibull分布的随机截尾寿命数据的参数估计，国内外学者进行了大量的研究，提出了一些参数估计方法，主要有极大似然估计法[1-4]、贝叶斯估计法[5-8]、最小二乘法[9]、图估计法[10]等.本文根据文献［11-12］介绍的计算样本失效概率的方法，编写了Matlab函数，利用Matlab强大的数值计算功能，实现了用非线性最小二乘法对随机截尾寿命数据进行分布拟合和参数估计.假设投入寿命试验的产品数量（即样本容量）为n，产品的寿命为随机变量T，其分布函数为F（t），相应的样本失效概率为F（t），在试验结束时，其中有r个产品发生了失效，其失效时间为x1≤x2≤…≤xr，有k＝n－r个产品由于各种原因中途撤出了试验，其撤出时间分别为y1≤y2≤…≤yk，则观察到的随机截尾寿命数据其时间按从小到大排序后可表示为显然这类数据不能按照完全样本数据的处理方法计算样本失效概率，必须寻找其他合适的方法.1.1 Johnson的平均次序法Johnson认为中途撤出试验的产品会造成失效产品的时间次序发生变化，应该计算失效产品的平均次序号[11]，第r个失效产品的平均次序号为式中：r为产品的失效序号；Jr为第r个失效数据的平均次序号，并假定J0=0；Ir为第r个失效数据平均次序号的增量；i为第r个失效数据的自然序号（包括中途撤出的数据）；计算出平均次序号Jr后，再以Jr通过中位秩算法计算失效数据的样本失效概率. 实现这一算法的Matlab函数（Johnson.m）为：在上述函数中，t为寿命试验数据，包括失效数据及中途撤出数据；State为状态向量，失效时State（i）=1，撤出时State（i）=0；输出参数为失效数据x及其中位秩Fn；1.2 Herd的残存比率法Herd认为在寿命试验中，若中途有撤出试验的样品，则产品在某时刻的可靠度[12]为式中：R（t）i为产品在ti时的可靠度估计值，并假定R（t0）=1，且有F（nt）i=1-R（t）i；S（t）i产品在时间区间（ti-1～t）i内的残存概率故到第r个产品失效时的可靠度估计值为实现这一算法的Matlab函数（Herd.m）为：该函数的输入和输出参数与Johnson算法完全一样.Johnson算法与Herd算法本质上是一样的，在Johnson算法中，若样本分布函数的计算采用平均秩算法，则结果与Herd法一致.2.1 Weibull分布函数及Matlab实现计算出样本分布函数后，利用Matlab的非线性最小二乘曲线拟合函数即可估计分布参数了.Weibull分布的寿命分布函数由下式给出：式中：m称为形状参数，m＞0；η称为尺度参数，η＞0；γ称为位置参数，对于产品寿命有γ≥0，γ=0时即是二参数Weibull分布；t是产品的工作时间，t≥γ.式（7）在Matlab中可用以行内函数的形式实现，若用lsqcurvefit函数进行曲线拟合和参数估计，则实现的语句为函数语句中：p为参数向量；p（1）为形状参数；p（2）为尺度参数；p（3）为位置参数；x为失效时间向量. 若采用2参数Weibull分布，则函数变为2.2 参数估计以下以具体实例说明参数估计的过程.考察某汽车零件的可靠性，投入10件产品进行寿命试验，试验过程中6件发生了失效，中途有4件撤出试验，失效里程及撤出里程如表1所示[13].2.2.1 样本失效概率计算在Matlab中输入试验结果（行驶里程）向量及状态向量：用［x Fn］=Johnson（t，State）或［x Fn］=Herd（t，State）的形式调用样本失效概率的计算函数，各种方法的计算结果如表1所示.2.2.2 分布检验分布检验的目的是判断试验数据是否服从Weibull分布，这里采用Weibull概率纸进行分布检验.把失效时间和对应的样本失效概率（以Johnson 中位秩法为例）在Weibull概率纸上描点，各点基本上在一条直线上，如图1所示，说明试验数据服从2参数Weibull分布.数据点的描绘可以使用Matlab的wblplot函数.2.2.3 曲线拟合与参数估计曲线拟合与参数估计可使用Matlab的lsqcurvefit函数实现，由概率纸描点结果知应以2参数Weibull分布进行参数估计.完整的程序为：程序运行结果为 p＝［1.353 2，14.371 1］，即该批汽车零件服从形状参数为1.353 2，特征寿命为 14.371 1的2参数Weibull分布.有中途撤出的服从Weibull分布的随机截尾数据的参数估计是比较复杂的，用Matlab强大的数学运算功能仅需不多代码即可完成，大大减轻了编程负担，提高了运算效率.计算结果可满足一般工程需要.在Matlab中曲线拟合函数还有nlinfit与lsqnonlin等，这两个函数也是采用的非线性最小二乘法，使用这两个函数进行拟合也可得到类似的结果，只是不同的函数要求Weibull分布函数有不同的形式，其输出参数也稍有不同，由于采用的算法不同，估计结果也可能稍有不同，可根据需要选择.【相关文献】［1］李海波，张正平，胡彦平，等.基于随机截尾数据下Weibull分布的参数极大似然估计与应用［J］.强度与环境，2009，36（4）：60－64.［2］陈家鼎.随机截尾情形下Weibull分布参数的最大似然估计的相合性［J］.应用概率统计，1989，5（3）：226－233.［3］师义民，杨昭军.随机截尾寿命试验三参数Weibull分布的统计分析［J］.西北大学学报：自然科学版，1996，26（4）：285－288.［4］ Balakrishnana N，Kateri M.On the maximum likelihood estimation of parameters of Weibull distribution based on complete and censored data［J］.Statistics and Probability Letters，2008（78）：2971－2975.［5］林静，韩玉启，朱慧明.一种随机截尾恒加寿命试验的贝叶斯评估［J］.系统工程与电子技术，2007，29（2）：320－323.［6］周晓东，汤银才，费鹤良.删失数据威布尔分布参数的贝叶斯统计分析［J］.上海师范大学学报：自然科学版，2008，37（1）：28－34.［7］吴云，宋乾坤.三参数Weibul1分布下随机截尾恒加寿命试验的Bayes统计分析［J］.西南民族学院学报：自然科学版，1997，23（2）：144－148.［8］ Abdel-Wahid A A，Winterbottom A.Approximate bayesian estimates for the Weibull reliability function and hazard rate from censored data［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，1987（16）：277－283.［9］ Zhang L F，Xie M，Tang L C.Bias correction for the least squares estimator of Weibull shape parameter with complete and censored data［J］.Reliability Engineering and System Safety，2006（91）：930－939.［10］ Zhang L F，M Xie，Tang L C.A study of two estimation approaches for parameters of Weibull distribution based on WPP［J］.Reliability Engineering and System Safety，2007（92）：360－368.［11］ Johnson L G.Theory and technique of variable research［M］.New York：Elsevier Publishing Co，1964.［12］ Herd G R.Estimation of reliability from incomplete data［C］//Proceedings of the sixth international symposium on reliability and quality control.New York：John Wiley ＆Sons Inc，1960.［13］杨万凯，刘承胤.汽车可靠性理论［M］.北京：人民交通出版社，1986：240－241.。
截尾样本在学生成绩统计中的应用
ｇＹ （ｋ
ｔ １
（ 【 Ｙ 删 Ｉ＿ ｋ ｐ ） ｌ ～ （
（ １ ）
Ｆ（
）， 度 函 数 有 形 式 ， 密 （
） 其 中 （ ∞ ＜ ＜∞） 为 ， 一 称
和 （ 的联 合 密 度 函数 ｇ Ｙ ，ｊ 其 中 ｌ ， ） （ｋＹ）， ≤ｋ＜Ｊ ２ ≤， 。
位 置 参数 ， 盯＞０称 为 尺 度 参 数 。 设 ， 是 来 自 Ｆ ｙ ｐ 的一 个 …， （－ ） 样本 ， ・ 已知 的分 布 函数 Ｋ － 阶矩 存 在 ， 估计 和 （ ＞０ 。 Ｆ（ 为 ） 要 ｃ ） ｒ
样 品 个数 是 多 少 （ 当然 不能 少 于 ２ ， 述 过 程 均 可 类 似 进 行 ）上 当总 体 服 从 正 态 分 布 时 ， 序 统 计 量 为 Ｘ ≤ 次 ｌ ２≤… ≤ ≤Ｘ ｏ，
式 中 ： 一 样 本 大 小 ， 常 ＞２ ｒ 截 尾数 ； 一 样 本 由 小 到 通 ０； 一 ， 大 排 列 的次 序 ； ， 第 ．个 数 值 ； ｋ 一 ， ｎ ｒ 无偏 性 系数 ， 查 寿 命 试 可 验 用 表【 ； （ｒ） 标 准 正 态 分 布 第 ｒ 次 序 统 计 量 的 均 值 ， ４ Ｅ Ｙ ～ 】 ． 个 可 查 寿 命 试 验 用 表 【。 ４ 】 总体 服 从 对 数 正 态 分 布 时 ， 观 测 值 Ｙ取 对 数 ， 将 即 ＝Ｉ ｎＹ， 则 可 用 式 （ ０ 、１ ） 计其 参数 。 １ ） （ １估 ２ ３极大似 然估 计 ． 当 样 本 较 大 时 ， 态 分 布 均 值 和 标 准 差 的 极 大 似 然 估 计 是 具 正 有 良 好 性 质 的 估 计 量 。 体 服 从 正 态 分 布 时 ， 序 统 计 量 为 总 次 ＸＩ≤ Ｘ２ ≤ … ≤ Ｘ ≤Ｘ ， 值 和标 准 差 的极 大 似 然 估 计 分 别 为 ｏ均
第八章可靠性试验案例
n f (t ) ns (t ) n
其它参数可按如下相应公式计算 可靠度
ns (t ) R (t ) n
《机械可靠性设计》
20
第八章 累积失效概率（不可靠度）
可靠性试验
F (t )
失效概率密度
n f (t ) n
n f (t ) n t
f (t )
其中
失效率
n f (t ) n f (t t ) n f (t )
无替换定时截尾试验，记作[n，无，t0]；
有替换定时截尾试验，记作[n，有，t0]； 无替换定数截尾试验，记作[n，无，r]；
有替换定数截尾试验，记作[n，有，r]；
《机械可靠性设计》
11
第八章
可靠性试验
三、寿命试验设计
可靠性寿命试验应根据被试验产品的性质和试验目的 来设计试验方案。但无论试验是否加速，有无替换，定数 还是定时截尾，一般均应包括下列基本内容： 1）明确试验对象 2）确定试验条件 3）拟定失效标准 4）选定测试周期 当产品寿命为指数分布时，累计失效分布函数为：
r 10 n 35.27， 取n 36 F (t ) 0.2835
从上面的计算结果可以看出，要在规定的时间t内观察
到较多的失效数r，则应增加投试样品数n。若要求观测到的 失效数r不变，如能增加投试样品数n，则可以缩短时间。
16
《机械可靠性设计》
第八章
可靠性试验
6）确定试验截止时间
n t0 ln nr
《机械可靠性设计》
第八章
可靠性试验
§8-3
寿命试验结果的统计分析及参数估计
一、一般分布完全寿命试验的数据处理
对n个随机抽取的样品进行寿命试验，直到全部样品 失效为止，这样的试验称为完全寿命试验。 n个随机样品的寿命是n个独立同分布的随机变量。一 次完整试验可以测得n个样品的失效时间。将全部样品失 效时间从小到大顺序排列，其顺序统计量为
定数截尾下几类可靠性分布的未知参数的E B估计
ＹＡＮＧ Ｌ ｍ ｉ ａ—Ｗ Ｕ ．Ｒ ｎ Ｈａ —ｐ ｎ ｅ ｌ ｉｇ ，ＸＩ ｅ ＡＦｉ
（ ． ｃｏｌｆＭａｈｍ ｔ ａ ａｄＣ ｍ ｕｅ ｃ ｎｅ Ｙ ｈ ｎＵ ｉ ｒｔ １Ｓｈｏ ｏ ｔｅ ａｉ ｌ ｎ ｏ ｐ ｔ Ｓｉ ｃ ， ｉ ｕ ｎｖ ｓｙ，ＹＣ ｕ ，３６ ０ ｈｎ ； ｃ ｒ ｅ ｃ ｅｉ ｉｈ ｎ ３０ ０Ｃ ｉ ａ ２ Ｎ ｎｈ ｎ ｒｎｈ ｉ ｇＸ ｎ ｅ ｉ Ｓｉ ｅａ ｅｈｏｏｙ ａｃａ ｇ３ ０ １ ｉ ） 、 ａ ａ ｇＢａｃ ，Ｊａ ｉ ｉ ｒ ｔ ｏ ｃ ｎ ｎ Ｔｃｎｌ ，Ｎ ｎｈ ｎ ３０ ３Ｃ ｎ ｃ ｎ Ｕ ｖ ｓｙｆ ｅ ｃ ｄ ｇ ｈ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｕｐ ｓ ｆ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｓ ｔ ｉｅ ｔ ｅｅ ｉ ｃ ｌ ａ ｅ ｓｉ —ａｏ ｆ ｎ ｎ ｗｎ ｐ ｒ ｍｅｅ ｆ ｅ ｅ ａ ｅｉｂ ｅ ｄ ｓ ｉ ｕ ｉｎ ｕ ’ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｅ ｐ ｒ ｏ ｅ ｏ ｉ ａ ｅ ｇｖ ｍｐ ｒ ａ ｙ ｓｅ ｔ ｔ ｉ ｏ ｈ ｉ Ｂ ｍ ｔ ｒ ｋ ｏ ａ ａ ｔｒｏ ｖ ｒｌｒｌａ ｌ ｉｔ ｂ ｔ ｎ ｏｕ ｓ ｒ ｏ
维普资讯
第２ ９卷 第 ２期 ２０ ０ ７年 ４月
宜 春 学 院学 报 （ 自然 科 学 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｉｈｎＵ ｉ ｒｉ （ｏｉ ｃ ｎｅ ｏｒａ ｏ ｃｕ ｎ ｅｓｙ ｓｃ ｌ ｉ ｃ ） Ｙ ｖ ｔ ａ ｓｅ
Weibull分布可靠性序贯验证试验方案选择及分析
Weibull分布可靠性序贯验证试验方案选择及分析李鑫;蔡景;周月;余圣祯【摘要】针对Weibull寿命型产品可靠性序贯验证试验方法的多样性以及不同方案下的试验结果对判决结果的差异较大的问题,研究了Weibull分布函数向指数分布转化的方法以及试验方案截尾数的确定方法,并与GJB 899A-2009中的序贯试验统计方案和非电子产品的序贯验证试验方案作比较,通过实例说明,选择合理的序贯试验方案,能够提高可靠性验证试验的准确性.【期刊名称】《工程与试验》【年(卷),期】2013(053)002【总页数】5页(P4-7,70)【关键词】可靠性验证;Weibull分布;序贯试验【作者】李鑫;蔡景;周月;余圣祯【作者单位】南京航空航天大学民航学院,江苏南京210016;南京航空航天大学民航学院,江苏南京210016;航空机电系统综合航空科技重点实验室,江苏南京211106;航空机电系统综合航空科技重点实验室,江苏南京211106【正文语种】中文【中图分类】TB114.31 引言可靠性验证试验是用来验证设备的可靠性特征值是否符合其规定的可靠性要求，从而为研制阶段的产品提供设计改进措施或对产品的验收提供合理的判决依据等。
可靠性验证试验通常包括可靠性鉴定试验和可靠性验收试验，二者都在数理统计的基础上验证产品的可靠性是否达到要求，因此又称为可靠性统计试验。
对于新研产品、重大改型产品、重要度高但是没有证据证明在使用环境条件下能满足系统分配的可靠性要求的产品和定型的批量生产产品的验收等需要进行可靠性验证试验［1－2］。
同时，可靠性验证试验在航空产品研发生产、航天电子对抗设备、装备以及家用电器可靠性方面得到了广泛的应用［3－6］。
在可靠性验证试验中，由于概率比序贯抽样试验方法能利用试验进程中产生的信息作出判断，而无需将试验进行到规定的时间或失效数为止。
对于平均故障间隔时间（MTBF）很高或很低的产品，概率比序贯试验作出接收或拒收结论的速度要比风险率和鉴别比相同的定时截尾试验方案要快。
可靠性寿命试验
共二十九页
Coffin-Manson Model
ACMD = (ΔTA/ΔTu)2 x (fA/fu) = Du/DA Du= DA*(ΔTA/ΔTu)2 x (fA/fu)
ACMD = Acceleration factor for number of cycles (dimensionless)
盐雾,霉菌,低气压,超高真空,红外谱检测,X射线检测, 辐射等
低温/低压,低温/振动,高温/振动,振动/温循/潮湿试验 等
温度-湿度-气压试验
长期贮存寿命试验
长期工作寿命试验->连续工作寿命试验(动态,静态)
-
>间隙工作寿命试验
恒定应力加速试验,步进应力加速试验等
实际工作试验，现场贮存试验，现场环境试验
解：
n=7, r=6
T=650+450+120+530+600+450+(7-6)*700=3500hrs
置信水平为90%的单侧置信下限为θL=332.32hrs
置信度为80%双侧置信区间[θL, θU]为[332.32,1110.44]
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例4: 设产品寿命服从指数分布.抽其n个样品进行无替换的定时截尾 寿命试验。如果在测试中无失效发生，那么在置信水平0.95下， 为了满足平均寿命的单侧置信下限为1000hrs,总的试验时间
ΔTA = Thermal cycle temperature change in accelerated environment (°K) ΔTu = Thermal cycle temperature change in use environment (°K)
fu = Frequency of thermal cycles in use environment (cycles/day) fA = Frequency of thermal cycles in accelerated environment (cycles/day) Du = Time duration in use environment (days) DA = Time duration in accelerated environment (days)