截尾泊松分布参数MLE的渐近有效性
第３２卷第２期 ２０１４年０３月 佳木斯大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｍｕｓｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．３２ Ｎｏ．２ Ｍａｒ． ２０１４ 文章编号：１００８—１４０２（２０１４）０２—０３１６—０２ 截尾泊松分布参数ＭＬＥ的渐近有效性① 叶晓晨 （吉林师范大学数学学院．吉林四平１３６０００） 摘要： 进一步研究了截尾泊松分布参数ＭＬＥ的大样本性质，证明该估计具有渐近有效性． 关键词：截尾泊松分布；ＭＬＥ；渐近有效性 中图分类号：Ｏ２１２ 文献标识码：Ａ １ 问题的提出 Ａ） 关于泊松分布参数估计已有许多的研究，在文 献［１］中研究截尾泊松分布参数的ＭＬＥ，并给出估 计的强相合性和渐近正态性．本文在此基础上，得 到ＭＬＥ的又一大样本性质一渐近有效性． ２截尾泊松分布参数的ＭＬＥ 设总体 服从泊松分布Ｐ（Ａ），其中Ａ＞０为 参数，抽取简单随机样本 。， ，…以，设 ＞０是 事先给定的常数（阈值），在试验得到的观测值不 是， ｌ， ２，… ，而是 １Ａ ，Ｘ２ＡＫｏ，…， ，这里 ａＡｂ＝ｒａｉｎ｛口，６｝，这种情况可以看成是截尾试验． 本文主要基于截尾样本 以 ， ：以 ，…， ， 讨论Ａ的ＭＬＥ的渐近有效性． 为方便，记 ‘＝五Ａ （ｉ＝１，２，…，ｎ），则 。… 是一列独立同分布随机变量，且 ｌ Ｐ（ １＝ ）＝ ｅ～， ＝０，１，２，…， 一１ ∞ 、 杨一１、 Ｐ（田 ＝ ） ＝ 一 ０ ＃： ： ＝ ； 令 ：ｆ ， ；（ ：１，２，…，ｎ），则似然函数为 Ｌ０，７／ ＜ｋｏ Ｌｎ（ 【（ ） 吨（ ＝Ｘ＇－Ｔｅ ） 】 对数似然函数为 （ 砉［（１－ （鲁 ）忡（轰筹ｅ ）】． 对上式求一阶偏导数，令 ：ｏ，解得Ａ的 ＭＬＥ，用Ｊｊ【表示． 在 中已经证明 的强相合性，即 １．．ｉｍ Ｘ＝ ＝１，（ 一Ａ，ａ，Ｓ）和渐近正态性，即 一Ａ） Ｊ７ｖ（０， ）ｎ ∞），其中 为 渐近方差．下面讨论 的渐近有效性． ３ 的渐近有效性 在大样本理论中，估计的有效性是一个重要概 念，它刻划了估计收敛于真值的速度，其定义也有 好几种，通常称达到Ｃ—Ｒ下界的渐近正态估计为 渐近有效估计 】． 用Ａ。表示未知的真实参数， 表示参数空间， 假设 ＝｛Ａ，Ａ≤Ａ≤Ｂ｝，其中Ａ，Ｂ为已知正数， Ａｏ是 的内点．此外，设 （叼 ， ）＝（１一 ・ｎ（筹ｅ ） ・ｎ（轰 ），易见ｌｎｈ（Ａ）＝ ∑ （’７ ， ）． ∑ （ ， 不妨设 是 的内点，故 三Ｌ Ｉ一：ａ ０，于是有下面的Ｔａｙｉｏｒ展式 主ｉ＝１ Ｉ ： ＝ １ ０＝ｅ ｃ 一 ６｝２ 、 ），这里占介于 与 之间，注意到 ｌ口：幻， 其均值为 ｏ， 方差为 Ｅ（ ） Ｉ ． 根据强大数定律有 — 一耋 Ｉ ：％—＋ Ｉ。： ＝一Ｅ（ ） Ｉ～ ａ ／ ①收稿日期：２０１３—１２－２３ 作者简介：叶晓晨（１９８８一），女，辽宁沈阳人，吉林师范大学数学学院在校研究生，
硕士 第２期 叶晓晨：截尾泊松分布参数ＭＬＥ的渐近有效性 ３ｌ７ 和 两边 于是有 ，所以有 圳到 Ｅ（— 一； ； ｌ ：舶－－－－￣Ｅ（ ！ ｌ ：旬） ＝Ｅ 幻 根据Ｃｒａｍｅｒ—Ｒａｏ不等式，即有Ｄ（ ）≥Ｓ～，即有 ｃ （ ）～ 这里 ｓ＝ｎＥ（ ０ ０） ＝Ｅ（ ００ ）～ ， 、 ， ＝一Ｅ（宣２＿ 考 ），（ｎ＝１）． ＝一 （ ）＝一 （ ］ ＝一 【Ｅ（耋 ） ，（ ） ｌ，而这里的极大似然估计 的方差达到了 方差下界，即 １ ｅ（ ）＝ ｌｉｍ。 ∞ ∞上，Ｉ ｆ７， ｌ ：ｌｉｍ—ｎＩ—（ Ｏ一）：１ 一＋∞ ｜） 故 为０的渐近有效估计，可得到如下定理． 定理：（渐近有效性） 是０的一个最大似然 估计，则 为０的渐近有效估计 参考文献： ［１］ 刘银萍，宋立新．ＩＩ型截尾情形下泊松分布参数的估计［Ｊ］． 吉林大学学报理学版，２０Ｏ７，４５（６）：９４１—９４４． ［２］成平．论极大似然估计的Ｃｒｏｍｅｒ渐近有效性［Ｊ］．科学通报， １９８０，２５：１０５７—１０６０． ［３］薛红旗，宋立新．分组数据下参数极大似然估计渐近有效性 ［Ｊ］．系统科学与数学，２００１。２１（２）；２５０－２５６． －－，－Ｅ 舶 ） Ｔｒｕｎｃａｔｅｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ＭＬＥ 擂Ｘｉａｏ—ｃｈｅｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＪｆｌｌｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｌｐｔｎｇ１３６０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｓａｍｐｌｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ＭＬＥ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｏｆ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｖａｌｉｄｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｒｕｎｃａｔｅｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ＭＬＥ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ （上接３１５页） 参考文献： ［１］韩旭里，刘圣军．二次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线的扩展［Ｊ］．中南工业大学学 报（自然科学版），２００３，３４（２）：２１４—２１７． ． Ｅ２］吴晓勤，韩旭里．三次Ｂ￣ｚｉｅｒ曲线的扩展［Ｊ］．工程图学学报， ２００５，２６（６）：９８—１０２． ［３］严兰兰，梁炯丰．形状可调二次Ｂｒｉｅｒ曲线［Ｊ］．东华理工大学 学报（自然科学版）。２００８，３１（１）：９３—９７． ［４］张贵仓，师利红．带多个形状参数的Ｂｒｚ￣ｅｒ曲线［Ｊ］．西北师范 大学学报（自然科学版），２０１０，４６（４）：２４—２７． ［５］秦新强，胡钢，张素霞．三次Ｂｒｚｉｅｒ曲线的新扩展及其应用 ［Ｊ］．计算机工程与应用，２００８，４４（２）：１１２—１１５． Ｅ６３朱秀梅，郭清伟，朱功勤．含多参数的四次Ｂｒｚｌｅｒ曲线的扩展 ［Ｊ］．合肥工业大学学报，２００８，３１（４）：６７１—６７４． ［７］张念娟，秦新强，胡钢，党发宁．带多个形状参数的四次 髓曲 线的新扩展［Ｊ］．武汉理工大学学报，２Ｏ０９。３１（２０）：１５６一ｌｆｉ０． ［８］姜岳道，植物．Ｂｒｉｅｒ曲线的扩展种类［Ｊ］．内蒙古民族大学 学报，２０１ｌ，２６（４）：３７８—３８１． Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｑｕｉｎｔｉｅ Ｂｅ ｚｌ。ｅｒ Ｃｕｒｖｅｓ、）ｌ，ｉｔｈ Ｓｈａｐｅ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｚＨＡＮＧ Ｄａｎ—ｄａｎ （Ａｎｑｈ￣ｇ Ｃａｍｐｕｓ，Ａｎｈｎｉ Ｒａｄｉｏ ａｎｄ Ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｎｑ￣ｇ ２４６００１，Ｏｌｌｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ５ｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｗｉｔｈ ｓｈａｐｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ， ａｎｄ ６ｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｗｉｔｈ ｓｈａｐｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ，卢， ｗｅｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｑｕｉｎｔｉｃ Ｂｅｍｓｔｅｉｎ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｔｗｏ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｃｕｒｖｅｓ ｗｉｔｈ ｓｈａｐｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐａｒａｍｅ． ｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｃｕｒｖｅｓ ｉｎｈｅｒｉｔ出ｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｌｌｅ ｑｕｉｎｔｉｃ Ｂ６ｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ａｌｌｏｗ ｆｏｒ ｇｒｅａｔｅｒ ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｑｕｉｎｔｉｃ Ｂｒｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ；ｓｈａｐｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ｃｕｒｖｅ ｄｅｓｉｇｎ；ｃｏｎｔｉｎｕｉｔ
ｙ
MATLAB常用的基本数学函数解读
MATLAB常用的基本数学函数解读
基本运算与函数
下表即为 MATLAB 常用的基本数学函数及三角函数:小整理:MATLAB 常用的基本数学函数
abs(x:纯量的绝对值或向量的长度
angle(z:复数 z 的相角 (Phase angle
sqrt(x:开平方
real(z:复数 z 的实部
imag(z:复数 z 的虚部
conj(z:复数 z 的共轭复数
round(x:四舍五入至最近整数
fix(x:无论正负,舍去小数至最近整数
floor(x:地板函数,即舍去正小数至最近整数 ceil(x:天花板函数,即加入正小数至最近整数 rat(x:将实数 x 化为分数表示
rats(x:将实数 x 化为多项分数展开
sign(x:符号函数 (Signum function。
当 x<0时, sign(x=-1;
当 x=0时, sign(x=0;
当 x>0时, sign(x=1。
> 小整理 :MATLAB 常用的三角函数
sin(x:正弦函数
cos(x:馀弦函数
tan(x:正切函数
asin(x:反正弦函数
acos(x:反馀弦函数
atan(x:反正切函数
atan2(x,y:四象限的反正切函数
sinh(x:超越正弦函数
cosh(x:超越馀弦函数 tanh(x:超越正切函数
asinh(x:反超越正弦函数
acosh(x:反超越馀弦函数 atanh(x:反超越正切函数
其他函数:
sy msum(f(x , n,a, b 求级数
sum(x :
sum([1:10],运行结果一定是 55
sum(A 的用法,是对矩阵 A ,按列计算,得到每一列的和工具箱函数汇总Ⅰ .1统计工具箱函数
表Ⅰ -1概率密度函数
函数名对应分布的概率密度函数
betapd f 贝塔分布的概率密度函数
binopd f 二项分布的概率密度函数
chi2pd f 卡方分布的概率密度函数
exppd f 指数分布的概率密度函数
利用广义pareto分布(gpd)拟合超阈值_概述说明
利用广义pareto分布(gpd)拟合超阈值 概述说明
1. 引言
1.1 概述
本文旨在介绍利用广义Pareto分布（Generalized Pareto Distribution, GPD）来拟合超阈值数据的方法与步骤。超阈值统计方法被广泛应用于风险管理、金融领域以及自然灾害研究等多个领域。GPD作为一种常见的概率分布函数，能够有效地描述高于某个阈值的极端事件，并提供了一种可行的方式来估计这些极端事件的可能性。
1.2 文章结构
本文主要分为六个部分。首先是引言部分，对该文章的主题进行了简要介绍和概述。其次是广义Pareto分布（GPD）概述，包括定义、特性以及应用领域的介绍。接下来是超阈值统计方法介绍，具体包括超阈值数据的定义和意义、统计方法原理以及模型选择准则方面内容。然后将详细讲解利用GPD拟合超阈值数据的步骤和算法，包括数据预处理、截尾参数估计方法选择、GPD参数估计方法介绍与比较以及模型拟合评估指标及其计算方法等方面。随后，通过案例研究与实证分析，将详细展示数据来源与描述统计分析、利用GPD拟合超阈值数据的过程和结果，并对结果进行解读和讨论，包括模型适用性等方面的考察。最后，文章总结主要研究发现并指出存在的问题与不足，同时对进一步的研究展望进行探讨。
1.3 目的
本文旨在提供一个全面而清晰的介绍关于如何利用广义Pareto分布来拟合超阈值数据的方法和步骤。通过对GPD的概述以及超阈值统计方法的介绍，读者将能够理解该方法在极端事件建模中的应用，并学会使用相应算法来分析和处理超阈值数据。通过案例研究与实证分析，我们将验证该方法在实际问题中的有效性，并探讨其适用范围和局限性。最终，本文为相关领域的从业人员和研究者提供了一个重要参考资料，并为未来深入研究提供了新方向。
2. 广义pareto分布概述
2.1 广义pareto分布定义
广义pareto分布（Generalized Pareto Distribution，简称GPD）是一种用于描述超阈值数据的统计分布模型。它是由Von Mises于1928年引入的，并在过去几十年中得到了广泛应用和研究。
离散分布
离散分布
原木系列分布
原木系列分布,有时也称为对数分布(虽然这工作储备这一项截然不同的分布),是分布的级数展开的关于。它的概率密度函数
(1)
(2)
在哪里是不完整的测试功能.
实现为原木系列分布LogSeriesDistribution(θ)。
这是正确的规范化
(3)
的th生的时刻是由
(4)
在哪里是一个polylogarithm.
的的意思是,方差,偏态,峰度
(5)
(6)
(7)
(8)
参见:
Zipf分布
Zipf分布,有时也称为ζ分布,是一种常用的离散分布在语言学,保险,和罕见的造型活动。它有概率密度函数
(1)
在哪里是一个积极的参数和是黎曼ζ函数,分布函数
(2)
在哪里是一个广义的谐波数.
Zipf分布的实现Wolfram语言作为ZipfDistribution(ρ)。
的th生的时刻是
(3)
给的意思是和方差作为
(4)
(5)
分布有平均偏差
(6)
在哪里是一个赫维茨ζ函数和上面给出的平均方程(4). ,
ZipfDistribution
ZipfDistribution[ρ]
代表一个ζ分布与参数 ρ.
ZipfDistribution[n,ρ]
代表一个Zipf分布范围 n.
harmonic number
谐波数；[数] 调和数更多释义>>
[网络短语] harmonic number 谐波次数,调和数,harmonic数
harmonic divisor number 欧尔调和数,调和数
harmonic order number 谐波阶数
Zipf定律
英语中,遇到的概率最常见的词大致给出了为到1000年左右。法律分解少的话,自调和级数发散的。皮尔斯的声明(1980,第87页)为是不正确的。Goetz州法律如下:一个词的频率成反比统计排名这样
在哪里是不同的单词的数量。
统计排名
的序数值的列表按指定顺序排列(通常减少)。
泊松过程
泊松过程是一个过程满足以下属性:
高等统计学--New答案1
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中国人民大学接收同等学历人员申请硕士学位考试试题
招生专业： 统计学
考试科目： 高等统计学（数理统计学）
课程代码：123101 考题卷号 ： 1
一、多项选择题（每题4分，一共20分，每题要求：选择正确答案，对选择或未选答案进行简要而清晰的原因解释。将答案填写在答题纸上，填写在试题上无效。得分规则：选对并对答案解释合理，得4分；没有对未选答案解释最多得2分；漏选得1分，选错可参考解释酌情给分；不选得0分）
1. 有关样本的分布，以下陈述正确的是：ABC
A. 如果样本X1,…,Xn独立同分布来自Gamma分布，niiXnX11在大样本下有近似的正态分布；
B.如果样本X1,…,Xn独立同分布来自N(2,)，niiXnX11在大样本情况下有精确分布N(n/,2)；
C.如果样本X1,…,Xn独立同分布来自N(2,)，即使样本量不大，niiXnX11也服从正态分布；
D.如果样本X1,…,Xn来自任意分布，在大样本情况下，由X1,…,Xn组成的数据有近似的正态分布；
2．有关检验的p值，下面说法正确的是：BC
A. 一般为[0,0.1]之间的一个很小的概率；
B. 接受备择假设的最小显著性水平；
C. 如果p值小于显著性水平，则拒绝零假设；
D. 样本统计量的分布函数。
3. 请问以下哪些方法可以用来判断数据可能背离正态分布：B
A. Q-Q图上，如果数据和基线之间几乎吻合；（基线指的是什么？？？）
B. Kolmogrov-Smirnov正态检验中的统计量所对应的p值小于0.05；
C.对数据直方图做光滑后没有发现数据有很大的发散趋势；
D.2拟合优度检验，统计量的值偏小。
4．若抽样误差为5，总体标准差为40，如果样本量足够大，正态分布的0.975分位数近似为2，要估计总体均值的95%的置信区间所需要的样本量大概为：B
第六章点估计
第六章 点估计
教学目的
1、使学员掌握参数点估计的概念及基本思想。
2、使学员牢固掌握求未知参数估计量的两种常用方法：矩法和极大似然法。
3、掌握判断估计量的三个标准：无偏性、一致性和有效性。
4、理解单参数正则分布族C-R不等式的含义，会求有效估计或有效率。
参数点估计的概念
在用数理统计方法解决实际问题时，常会碰到这类问题：由所得资料的分析，我们能基本推断出母体的分布类型，比如其概率函数（密度或概率分布的统称）为f(X,θ)，但其中参数θ(一维或多维)却未知，只知道θ的可能取值范围是，需对θ作出估计或推断。这类问题称为参数估计问题。
这类问题中的称为参数空间，{f(x,θ), θ}称为母体ξ的概率函数族。例如：
1、某灯炮厂生产的灯泡的使用寿命ξ据已有资料分析服从N(μ,σ2)分布，这里θ=(μ,σ2)的具体值未知，只知取值范围为(0,+∞)×(0,+∞)需对θ作估计。
这里参数空间={(μ,σ2)：0＜μ＜+∞，σ2＞0},ξ的概率函数族为
{f(x, μ,σ2)：(μ,σ2)}而f(ξ,μ, σ2)=22221xe -∞＜x＜+∞
2、某纺织厂细纱机上的断头次数可用Poisson分布P(λ)描述，只知λ＞0，不知其值,为掌握每只纱绽在某一时间间隔内断头数K次的概率，需对λ作出推断。
这里参数空间={λ:λ＞0}，ξ的概率函数族为{f(x,λ): λ},其中f(x,λ)=P(ξ=x)=exx!，x=0,1,2……
一个参数估计问题就是通过子样估计出母体分布中的未知参数θ或θ的函数的问题。参数估计根据估计的形式，又分为点估计和区间估计。本章主要讨论点估计：
设母体ξ具有概率函数族{f(x,θ) θ}θ未知待估，ξ1，ξ2，……ξn是取自ξ的子样,如我们构造一个统计量μ(ξ1，……ξn)来估计θ，(要求u的维数与θ的维数相同)，则称该统计量u为θ的估计量。并记为ˆ=u(ξ1，……ξn)，对一组子样观测值(x1，……xn)代入估计量得到的值ˆ=u(x1，……xn)称为θ的估计值。估计值和估计量统称为θ的估计。但估计是估计值(一个具体值)或是估计量(一个随机变量)，可根据具体要求作判断。 像这类用一个统计量来估计未知参数的问题，称为参数的点估计问题。
Chapter8计数模型
实用标准文案
文档 第1章 计数模型
当因变量yi为计数变量，即取事件发生的数目时，应考虑使用计数(Count )模型。模型适用于：因变量是离散的整数且具有数值小，取零的个数较多而自变量大多是表示属性的名义变量的情况。于是需要用能反映这种特点的模型形式来改进普通最小二乘法。比如，因变量yi可以表示妇女曾生育子女的个数、某人在某年被拘捕的次数、一个企业在某年申请专利的个数等。
基于上述计数数据建立的模型主要有：泊松回归模型、负二项回归模型等，其中最为常用的是泊松回归模型。
1.1 泊松回归模型
1.1.1 模型设定与估计
泊松回归模型定义yi服从一个参数为i的泊松分布。模型的基本形式如下：
！iyiiyeyPii， yi =1, 2,…, 1
yi的条件期望和方差均为：
()()iiiiiEyxVaryx 2
由于i表示泊松分布的期望和方差，因此i>0。一般将i表示为指数函数：
()exp()iiiiEyxxβ 3
即
ln()lniiiiEyxxβ 4
根据（3）式，xi对 E(yi|xi) 的边际作用为：
()iiiiEyxβx 5
()1()iiiiiEyEyxβxx 6
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验
在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。今天我们将讨论常⽤的点估计
⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！
⽬录
Part 1：矩法估计
矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,
特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。⼀般地，由n个样本计算出的样
本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.
显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。容易验
证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,
⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。这⾥也可以看到，由于S^2是\mathbb{D}(X)的⽆偏
随机截尾情形下几何分布的参数估计
随机截尾情形下几何分布的参数估计
何朝兵;刘华文
【摘 要】得到了随机截尾情形下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.
【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》
【年(卷),期】2013(035)001
【总页数】4页(P29-32)
【关键词】随机截尾;几何分布;最大似然估计;置信区间;中心极限定理
【作 者】何朝兵;刘华文
【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455000;山东大学数学学院,山东济南250100
【正文语种】中 文
【中图分类】O213.2
几何分布是一种很重要的离散型寿命分布,并且与指数分布有许多相似性,例如都具有无记忆性等.对几何分布的研究虽然没有指数分布那么成熟,但也有一些研究成果,可参看文献[1～10].文献[11～13]研究了随机截尾试验下连续型分布的参数估计,而对于几何分布情形还没有文献研究.本文得到了随机截尾试验下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.
1 离散型寿命随机截尾试验模型 设受试产品寿命X1,X2,…是相互独立、同分布且取正整数的随机变量序列,Xi的分布律为P(Xi=m)=P(m;p),i=1,2,…,这里p是参数.寿命截尾时间Y1,Y2,…是相互独立、取正整数的随机变量序列,Yi的分布律为P(Yi=m)=gi(m),i=1,2,…,gi(m)与参数p无关.
假定Xi与Yi相互独立.现在有n个产品进行寿命试验.设观察到的数据为{Zi},i=1,2,…,n.每个Zi如下取值.
(1) 当Xi≤Yi时,产品在截尾之前失效,此时知道产品寿命的确切值,故取Zi=Xi;
(2) 当Xi>Yi时,产品寿命大于截尾时间,此时只知道截尾时间而不知道产品寿命,故取Zi=Yi.
综上知Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi).
再取 i=1,2,…,n.
在试验结束时,可得到n组观察值:(m1,δ1),(m2,δ2),…,(mn,δn),这就是我们能获得的随机截尾试验数据.
带有不完全信息随机截尾试验中参数MLE的似然比检验
第２５卷第３期 ２００８年９月 阜阳师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｕｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏ１．２５，Ｎｏ．３ Ｓｅｐ．２００８
带有不完全信息随机截尾试验中 参数ＭＬＥ的似然比检验 刘有新 。，戴 杨 （１．芜湖信息技术职业学院基础部，安徽芜湖２４１００３；２．安徽师范大学数学系，安徽芜湖２４１０００） 摘要：研究了带有不完全信息随机截尾试验数据，当失效显示概率Ｐｉ（ 一１，２，…， ）不相等时，在条件（ ）下，对 参数ＭＬＥ的进行似然比检验，证明了２１ｏｇＡ （ ）依分布收敛于 … 关键词：带有不完全信息；似然比检验；随机截尾 中图分类号：Ｏ２１１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—４３２９（２００８）０３—００１９—０３ １ 模型及引言 设寿命变量ｘ ， 。，…是概率空间（ｎ，Ｆ，Ｐ口）（ ∈＠，０是Ｒ 空间上的开集）上的独立同分布随机变 量序列，其分布函数为Ｆ（ｚ； ），密度函数为ｆ（ｘ； ）． 设截尾变量ｙ ，ｙ。，…是（ ，Ｆ，Ｐ ）上相互独立的正 值随机变量序列，分布函数分别为Ｇ （ｆ），Ｇ。（ｚ），…， 与０无关，并且假定 ，与ｙ，相互独立． 对于 个受试样本（产品寿命）为｛ ，１≤ｉ≤ ｎ｝，观测数据为 ，１≤ｉ≤，ｚ），它们的取值情况如 下： 堇Ｏ ＇ｉ ｈ （１．１） Ｉ ，其它． 其中 ｆ１，若ｚ ＜Ｙ ； １ ０，若．７１７，≥Ｙ ． ，、一』ｏ，若 ＜Ｙｉ ９且失效没有被显示； ｆｉ一＼１，其它． （ 一１，２，…， ） 假定Ｐ （ 一１ Ｉ ：：＝１）一Ｐ ，Ｐ （ 一０ Ｉ嘶一１） 一１一Ｐ，．（ ＝＝＝１，２，…， ）．其中，Ｐ 称为失效显示概 率． ： 这种模型是带有不完全信息的随机截尾试验模 型．是随机截尾试验模型的推广。Ｅｌｐｅｒｉｎ ａｎｄ Ｇｅｒｔｓｂａｋｈ［卜。］首先提出了这种模型，并就单参数指 １ 数场合给出了平均寿命０一÷的ＭＬＥ与区间估计 的随机模拟以及Ｂａｙｅｓ区间估计．而后叶尔桦０ 汪 明上述的ＭＬＥ具有强相合性．陈怡南，叶尔桦 钉将 寿命分布推广到ｗｅｉｂｕｌ１分布，并给出了ＭＬＥ．陈彖 鼎Ｌ５ｊ证明了其相合性．宋毅君，李补喜［６］证明在一般 分布的ＭＬＥ具有相合性和渐近正态性．张晓琴，张 虎明［７］又证明了分布函数为Ｗｅｉｂｕｌ１分布时该估计 的收敛速度符合重对数律．本文研究了带有不完全 信息随机截尾试验数据，当失效显示概率Ｐ ，ｉ一１， ２，…， 不相等时，在条件（ ）下，证明了参数ＭＬＥ 的似然比检验。 ２ 主要结果 基于数据｛（ ，Ｏｌｉ， ）；ｉ一１，２，…， ）的似然函 数为［ ： （ ）ａ Ｌ（Ｏ，ｚ）＝＝＝１－Ｉ 厂（Ｚｉ； ） （ｚ ） ， Ｅｇ（ｚ ）Ｆ（ｚ ； ）（１一Ｐ ）］ ‘ 一 ［－ｇ（ｚｆ）Ｆ（ｚ，； ）］ 一 （２．１） 其中：Ｆ（ｚ ； ）一１一Ｆ（ ； ），Ｇ（ｚｆ）一１一Ｇ（ｚｆ）． 定义：称似然方程正规：若对一切 ≥２，只要 （ ¨Ｃ／ｉ， ）， ＝１，２，…， 不全相等，似然方程组 收稿日期：２００８ ０７—０３ 基金项目：安徽省教育厅基金（２００７ＪＹＸＭ１９５），芜湖信息技术职业学院校内科研基金． 作者简介：刘有新（１９８０一），男，硕士，讲师．研究方向：概率统计．
带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE的重对数律
应用概率统计第十八卷 第 期２００２年２月
律 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎｎｌ ｏｆ Ａｐｐ］ｉｅａ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｅｎｄ Ｓｔａｔ ｉｃｓⅧ１８Ｎｏ ｌ Ｆｅｂ．２００２
带有不完全信息随机截尾试验下Ｗ．ｅｉｂｕｌ１分布
参数的ＭＬＥ的重对数律
张晓琴 张虎明
（山西大学数学系，太原，０３０００６）
摘 要
本文研究了带有不完全信息随机城尾试验模型，证明了Ｗｅｉｂｕｌ１分布参数的ＭＬＥ的收敛速度符合雨对数
关键词：不完全信息随机截尾，Ｗ ｉｂｕｎ分布，ＭＬＥ，重对数律 学科分类号：Ｃｌ２１１．
§１． 引 言
设受试样本（产品寿命）Ｘ１，恐，…是概率 问（ｎ，，，Ｐｏ）（ｏ∈ｅ，ｅ是欧氏空间中的开集）上的ｉ．ｉ．ｄ．随机
变量序列，其分布函数为Ｆ扛： ），密度函数为，（ ； ）．又设截尾时问 ， ，…是（ｎ，，，Ｐ日）卜相互独立墩
值的随机变量序列－ 的分布函数是Ｇ｛（ ）， ＝１，２，…，它们与０无关．且假定｛孔 与｛Ｋ）相互独立．
现对 个受试样品ｆｍ，１ ｉ ），观察到的数据为ｆ ，１ ）．它们取值情况如Ｆ：
当０｛＝１，成：１时 其它． （１－１）
ｎ｛：ｆ ，要鳓 玑； 扇：ｆ？，要兰＜ 且失效未被显示； ：１，２，…．ｎ． ｆｌ＿２） ＝ｌ ０
，若飘 鼽． ＝Ｉ １，其它． ＝ ，２，…‘ｍ ｔ
假定 （照＝１ｌ啦＝１）＝ （ ＝Ｏｌｎ ＝１）＝１一ｐ． ＝１，２…， ．其中，ｐ称为失效显示概率．则
｛（ ，ｎ ， ），１ ｛ ｎ 就是我们所获得的带有不完全信息随机截尾数据．基于观测值的似然函数为【ｌ’
）＝ （ ，ｏｑ，觑，１ ｉ 呐Ⅱｆ，（ ： ）］。 ｆＦ（盈； ）］ ，｛ 一Ａ 【 （ ； ）］ 一 ， （１．３）
其中 与０无关， ＝１一Ｆ．
现假定寿命 一Ⅳ（Ａ，∞（Ｗｅｉｂｎｌ１分布，参数Ａ＞０，６＞０未知），其分布函数与密度函数分别为
Ｆ０； ）：（１一ｅ一＾ ＞０）， ， ； ）：Ａｈ１：６一ｌｅ— ＞ｏ）． （１．４）