11 函数的图象(解析版)
函数的图象
1．（2020?浙江）函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点． 【解答】解：()cos sin y f x x x x ==+， 则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-，
()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，
当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ， 故选：A ．
2．（2019秋?蜀山区校级月考）已知f (x )＝???－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，
则下列函数的图象错误的是( )
【解析】在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定
义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.
3．（2019?新课标Ⅰ）函数2
sin ()cos x x
f x x x +=
+在[π-，]π的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】由()f x 的解析式知()f x 为奇函数可排除A ，然后计算()f π，判断正负即可排除B ，C ． 【解答】解：
2
sin ()cos x x
f x x x
+=
+，[x π∈-，]π， 22
sin sin ()()cos()cos x x x x
f x f x x x x x --+∴-==-=--++，
()f x ∴为[π-，]π上的奇函数，因此排除A ；
又22
sin ()0cos 1f πππ
ππππ+=
=>+-+，因此排除B ，C ；
故选：D ．
4．（2020?宁波模拟）已知某函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（其中e 为自然对数的底）
( )
A ．1()sin 1x x e f x x e -=+
B ．1()sin 1x
x e f x x e -=+
C ．1
()cos 1
x x e f x x e -=+
D ．1()cos 1
x
x e f x x e -=+
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势即可判断． 【解答】解：由图象可知函数为奇函数，
因为sin y x =为奇函数，cos y x =为偶函数，
1()1x x e y g x e -==+，则11()()11x x
x x
e e g x g x e e -----===-++，则()y g x =为奇函数， 同理可得1()1
x
x e y g x e -==+为奇函数，
所以1sin 1x x e y x e -=+为偶函数，1
cos 1
x x e y x e -=+为奇函数，
1sin 1x x e y x e -=+为偶函数，1cos 1x
x e y x e -=+为奇函数，故排除A ，B
当01x <<时，101x x e y e -=>+，101
x
x e y e -=<+，cos 0y x =>，
故当01x <<时，1cos 01x x e y x e -=>+，1cos 01
x
x e y x e -=<+，故排除D ，
故选：C ．
5. （2019·济南质检）如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，点P 以1 cm/s 的速度沿A →B →C 的路径向C 移动，点Q 以2 cm/s 的速度沿B →C →A 的路径向A 移动，当点Q 到达A 点时，P ，Q 两点同时停止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间t 的函数为S ＝f (t )，则f (t )的图象大致为( )
【解析】当0≤t ≤4时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，此时PB ＝6－t ，CQ ＝8－2t ，则S ＝f (t )＝12QC ×BP ＝
1
2(8－2t )×(6－t )＝t 2－10t ＋24；当4＜t ≤6时，点P 在AB 上，点Q 在CA 上，此时AP ＝t ，P 到AC 的距离为
4
5t ，CQ ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×45t ＝12(2t －8)×45t ＝4
5(t 2－4t )；当6＜t ≤9时，点P 在BC 上，点Q 在CA 上，
此时CP ＝14－t ，QC ＝2t －8，则S ＝f (t )＝12QC ×CP sin ∠ACB ＝12(2t －8)(14－t )×35＝3
5(t －4)(14－t )．综上，
函数f (t )对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A ，故选A.
6．(2020·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0 A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(1，2) 【解析】作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)． 7．(2020·昆明检测)若平面直角坐标系内A 、B 两点满足：(1)点A 、B 都在f (x )图象上；(2)点A 、B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，已知函数f (x )＝???? ?x 2＋2x （x <0），2e x （x ≥0），则f (x )的“和谐点 对”有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解析】作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2 e x (x ≥0)的图象的交点个数即 可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．选B. 8．（2019秋?安庆校级月考）定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ????－1 2＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为________． 【解析】因为函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ??? ?－1 2＝0， 所以f ???? 12＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减， 因为当x ＜0，若－1 2 ＜x ＜0时，f (x )＜0，此时xf (x )＞0， 当x ＞0，若0＜x ＜1 2时，f (x )＞0，此时xf (x )＞0，综上xf (x )＞0的解集为????－12，0∪????0，12. 【答案】????－12，0∪??? ?0，1 2 9．（2019秋?天心区校级月考）已知函数21 ()2(0)2 x f x x x =+-<与22()log ()g x x x a =++的图象上存在关于 y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ． 【分析】先求出函数()f x 关于y 轴对称的函数，进而把问题转化为两函数有交点问题． 【解答】解：函数21 ()2(0)2 x f x x x =+-<关于y 轴对称的函数为21()2(0)2x h x x x -=+->， 由题意，函数()g x 与函数()h x 在(0,)+∞上有交点，即21 2()2 x log x a -- =+在(0,)+∞上有解， 而函数122x y -=-为减函数，且其在[0，)+∞上的最大值为1 2 ；函数2log ()y x a =+为增函数， 令21 2 log a = ，解得2a =，故只需2a <即可． 故答案为：(,2)-∞． 10．（2019?无锡市校级月考）给定min{a ，b }＝???? ?a ，a ≤b ，b ，b ＜a ， 已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直 线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________． 【解析】函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交 点，数形结合可得m 的取值范围为(4，5)． 11．（2020·扬州调研）直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17 x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝________． 【解析】因为y ＝5x ＋17x ＋3＝2 x ＋3＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y ＝k (x ＋3)＋5过点(－3，5)，如图 所示．所以A ，B 关于点(－3，5)对称，所以x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10. 所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4. 12．（2019?辽宁校级月考）已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4| ＝? ????x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4， －x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4， f(x)的图象如图所示． (3)f(x)的单调递减区间是[2，4]． (4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 第7讲 函数的图象 一、选择题 1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( ) A.向右平行移动2个单位长度 B.向右平行移动1个单位长度 C.向左平行移动2个单位长度 D.向左平行移动1个单位长度 解析 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象. 答案 B 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除 B.故选 C. 答案 C 3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝? ?? ??x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) 解析 (1)因为f (－x )＝? ????－x ＋1x cos(－x )＝－? ?? ??x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝? ?? ??π－1πcos π<0，排除C ，故选D. 答案 D 4.(2017·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( ) 解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当0 第11讲 函数的图象 思维导图 知识梳理 1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称 y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换 ①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象 将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x ) ――→保留y 轴及右边图象，并作其 关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换 ①y ＝f (x ) a ＞1，横坐标缩短为原来的1 a 倍，纵坐标不变 0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1 a 倍，纵坐标不变 →y ＝f (ax )． ②y ＝f (x ) a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )． 题型归纳题型1 作函数的图象 【例1-1】（2019秋?海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-?? =-??->? ． （Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1 () 4 f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域． 【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，直接进行作图即可； （Ⅱ）结合分段函数的表达式，分别进行求解； （Ⅲ）由图象结合函数值域的定义进行求解． 【解答】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图； （Ⅱ）当1x <-时，满足1 () 4 f x ， 已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（ ） （A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2π 3，于是【解析】选B.由图象可得最小正周期为f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对 称，所以 f(2π3)＝－f(π2)＝2 3. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。 【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故 （2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) 二次函数表达式、图象、性质 及计算（讲义） 一、知识点睛 1． 一般地，形如__________________（_______________）的 函数叫做x 的二次函数． 2． 表达式、图象及性质： ①由一般式通过______________可推导出顶点式． 顶点式：________________（其中h =______，k =_________）． ②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a_______时，函数有最_____值，是____________； 当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图 象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____． c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3． 二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________． 平移口诀主要针对二次函数_________________． 二、精讲精练 1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号） ①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21 32 y x =-+； ④2 22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252 y x x =-+； ⑦215s t t =++；⑧2 20x y -+=． 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数，则a =（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式（ ） A ．2 (3)5y x =-- B ．2 (3)5y x =+- C ．2 2(3)5y x =-+ D ．2 2(3)5y x =-- 第7讲 函数的图象 [考纲解读] 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题. 2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点) 3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2021年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解. 1．利用描点法作函数图象的流程 2．变换法作图 (1)平移变换 提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝□03 －f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝□04f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝□05 －f (－x )； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝□06log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换 ①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象 将x 轴下方图象翻折上去 y ＝□07|f (x )|； ②y ＝f (x ) ―――――――――→保留y 轴右边图象，并作其 关于y 轴对称的图象 y ＝□ 08f (|x |)． (4)伸缩变换 y ＝□09f (ax )； ②y ＝f (x )―――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0 第十一讲 函数的图象 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( ) 解析：将函数y ＝ln x 的图象关于y 轴对称，得到y ＝ln(－x )的图象，再向右平移1个单位即得y ＝ln(1－x )的图象． 答案：C 2．为了得到函数y ＝3×????13x 的图象，可以把函数y ＝????13x 的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 解析：y ＝3×????13x ＝????13－1·????13x ＝????13x －1，故它的图象是把函数y ＝ ????13x 的图象向右平移1个单位长度得到的． 答案：D 3．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( ) A ．①甲，②乙，③丙，④丁 B. ①乙，②丙，③甲，④丁 C. ①丙，②甲，③乙，④丁 D. ①丁，②甲，③乙，④丙 解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①. 答案：D 4．函数y＝f(x)的曲线如图(1)所示，那么函数y＝f(2－x)的曲线是图(2)中的() (1) (2) 解析：把y＝f(x)的图象向左平移2个单位得到y＝f(x＋2)的图象，再作关于y轴对称的变换得到y＝f(－x＋2)＝f(2－x)的图象，故选C. 答案：C 第7 讲函数的图象 最新考纲 1.理解点的坐标与函数图象的关系； 2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题． 知识梳理 1．函数图象的作法 (1) 描点法作图：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质( 如单调性、奇偶性、周期性) 画出图象． (2) 图象变换法作图：一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中要求学生掌握三种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换) ． 2．函数图象间的变换 (1) 平移变换 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2) 对称变换 (3) 伸缩变换 断自测 精彩PPT 展示 图象相同.(X) ⑵ 函数y = f (x )与y = — f (x )的图象关于原点对称.(X) ⑶ 若函数y = f (x )满足f (1 + x ) = f (1 — x )，则函数f (x )的图象关于直线 x = 1对 称.(V) y =f (x ) 各点横坐标变纵坐标不变 a a a > 0 倍y = f (ax ). 横坐标不变 i A y = f (x ) 各点纵坐标变为原来苗 A > 0 倍 y = Af (x ). 判 断正误 括号内打 或 “x”) (1)当x € (0 ,+s )时，函数 y = | f (x )| 与 y = f (| x |)的 ⑷若函数y = f(x)满足f(x—1) = f(x + 1)，则函数f(x)的图象关于直线x= 1对称. ( X) (5)将函数y = f( —x)的图象向右平移1个单位得到函数y= f ( —x—1)的图象.(X) 2. (2014 ?浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x) = x a(x>0), g( x) = log a x的图象可 能是( ) 解析■/ a>0，且1,二f (x) = x a在(0 ,+s)上单调递增，二排除A；当0v a v 1 或a> 1时，B, C中f(x)与g(x)的图象矛盾，故选D. 答案D 3. (2014 ?山东卷)已知函数y = log a(x+ c)( a, c为常数，其中a> 0, a* 1)的图象如 图,则下列结论成立的是( ) 根据函数图象求解析式 给出函数sin()y A x k ω?=++在一个周期内的图象，求它的解析式，关键在于观察给出的图象，从图象给出的信息中确定A k ω?，，，．求解的一般步骤如下： 1．观察图象的最高点与最低点，设其纵坐标分别为M m ，，则22 M m M m A k -+= =，； 2．由始点到终点的横坐标01x x ，求周期，即10T x x =-（也可由中间点确定）； 3．由公式2π T ω=，求出ω； 4．通过图象的平移或“五点法”求?． 下面通过例题加以说明． 例1 如图1是函数sin()y A x ω?=+的图象的一段，试确定其解析式． 解：由图象可知，5ππ3π66A T ??==--= ???，，所以2π2T ω==． 又因为点π06??- ??? ，是五点中的第一个点， 所以π206????-+= ??? ，即π3?=． 故所求函数的解析式是π3sin 23y x ??=+ ?? ?． 例2 如图2是函数π2sin()2y x ω????=+< ???的图象，那么（ ） Ａ．10π116ω?==， Ｂ．10π116 ω?==-， Ｃ．π26ω?==， Ｄ．π23 ω?==， 解：观察图象可知(01)，点在图象上，把点(01)，代入函数关系式，得12sin ?=， 即 1sin 2 ?=， 又π2?< ，所以π6 ?=． 又由图象知，11π012?? ???，是第五个关键点， 所以11ππ2π126 ω+=·． 所以2ω=．故选（Ｃ）． 例3已知函数sin()(00)y A x k A ω?ω=++>>，在同一个周期内，当5π3x = 时，y 有最大值为73；当11π3x =时，y 有最小值为23 -．求此函数的解析式． 解：由题意，7233 M m ==-，， 学生做题前请先回答以下问题 问题1：二次函数的一般式通过_______可推导出顶点式 ______________________． 问题2：想一想什么特征下设二次函数解析式为顶点式，如何设？ 问题3：想一想什么特征下设二次函数解析式为交点式，如何设？ 问题4：二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在坐标； ②图象平移的口诀：__________，__________． 平移口诀主要针对____________． 二次函数的表达式、图象、性质及计算（二）（人 教版） 一、单选题(共12道，每道8分) 1.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2.抛物线如何平移可得到抛物线( ) A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位 3.要得到二次函数的图象，需将的图象( ) A.向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位 4.抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b，c的值分别为( ) A. B. C. D. 5.若把函数的图象记作，把函数的图象记作，则 可以由______平移得到．( ) A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 6.如图，把抛物线沿直线向上平移个单位后，其顶点在直线上的点A 处，则平移后的抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线C：，将抛物线C平移到．若两条抛物线C，关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是( ) A.将抛物线C向右平移个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位 C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位 8.把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，则b的值为( ) [课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．设x ∈R ，定义符号函数sgn(x )＝???? ? 1，x ＞0，0，x ＝0， －1，x ＜0，则函数f (x )＝|x |sgn(x )的图象大致是 ( ) 解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，选C. 答案：C 2．(2020·东北三校一模)函数f (x )＝|x |＋a x (其中a ∈R )的图象不可能是( ) 解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |，则其图象为A ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1 －a x 2＝x 2 －a x 2，若a ＞0，函数f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，选项B 满足；若a ＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，选项D 满足，而选项C 中的图象都不满足，故选C. 答案：C 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )·e x 的图象为( ) 解析：由图象知，当x ＜－1或x ＞1时，g (x )＞0；当－1＜x ＜1时，g (x )＜0，由选项可知选A. 答案：A 4．(2020·辽宁大连测试)下列函数f (x )的图象中，满足f ???? 14＞f (3)＞f (2)的只可能是( ) 解析：因为f ????14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ????14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ????14＜f (3)，排除C ，故选D. 答案：D 5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( ) 解析：因为y ＝f (1－x )的图象过点(1，a )，故f (0)＝a .所以y ＝f (1＋x )的图象过点(－1，a )，选B. 答案：B 6．函数f (x )＝5 x －x 的图象大致为( ) 由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 的 图象求解析式 一、知识回顾 1、五点作图：y ＝Asin(ωx ＋φ) 2、图像变换: y=sinx 到 y=Asin(ωx+?) 方法1:(按φ、ω、A 顺序变换) 方法1:(按ω、φ、A 顺序变换) 3. 巩固练习： 【练习1】已知函数 2sin(2x )3y π =+ (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3) 3 2sin(2x )y π=+的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得？ 要得到y=cos2x 的图象,只需把函数y=sin(2x -π/3 ) 的图象向______平移______个单位得到. 二、探究新知： 例1、函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0， 0<φ<π)的部分图象如图所示，则函数的解析式？ 小结：知图求式的方法 （1)由最值确定A; (2)由T 确定ω； (3)由图象上的对应点确定φ. 变式训练 1、如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式． 例2 sin()(0,0,)2y A x B A πωφωφ=++>>< 如图是函数的部分图像，求它的解析式 例3 已知函数()sin(),0,0 2 f x A x x R π ω?ω? ?? =+∈><< ? ?? 的部分图象如图所示.求函 数的解析式； 三、课堂小结：谈谈你的收获！ 四、课后思考： sin()(0,0,)2, 212 y A x A P Q PQ ππ ωφωφ =+>>< 设函数图像上一最高点的坐标为（，），且与它相邻的最低点又 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函 数2y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 知识点拨 二次函数图象的几何变换 第7讲 函数图像 一、选择题 1．函数＝ln 1 |2x －3| 的大致图像为(如图所示) ( )． 解析 y ＝－ln|2x －3|＝????? －ln (2x －3)，x >3 2， －ln (3－2x )，x <3 2， 故当x >32时，函数为减函数，当x <3 2时，函数为增函数． 答案 A 2．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是( )． A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 解析 ①当x ≥0且y ≥0时，x 2＋y 2＝1，②当x >0且y <0时，x 2－y 2＝1， ③当x <0且y >0时，y 2－x 2＝1， ④当x <0且y <0时，无意义． 由以上讨论作图如上图，易知是减函数． 答案 B 3．已知函数f (x )＝? ????1e x －tan x ? ????－π 2 A ．大于1 B ．大于0 C ．小于0 D ．不大于0 解析 分别作出函数y ＝? ????1e x 与y ＝tan x 在区间? ???? －π2，π2上的图象，得到 0 龙文教育学科导学 教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移；待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容： 知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 （1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交 点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛 物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系 二次函数的常规解法： 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。 例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。 说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。 例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。 说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。 例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。 说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用 或 例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。 说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数 注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习： 2021届江西省高考理科数学总复习 第11讲：函数的图象 [最新考纲] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题． 1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象―――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图 象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象 ―――――――――――――――――― ―――――→a ＞1，横坐标缩短为原来的1a ，纵坐标不变 0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )的图象； ②y ＝f (x )的图象 ――――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变 y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变 y ＝f (|x |)的图象． [常用结论] 1．关于对称的三个重要结论 (1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称． (3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 2．函数图象平移变换八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( ) (2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( ) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对 已知三角函数图象求解析式方法例析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 已知三角函数图象求解析式方法例析 已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下． 一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半． 二、 ω值的确定方法： 方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝T π2求得 ω的值． 方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值． 三、 φ值的确定方法： 方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2 π、π、2 3π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝ 0、 ωx 2+φ＝2 π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝2 3π、ωx 5+φ＝ 2π,由此可求出φ的值。 方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值． 方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）． 四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值． 另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2 π)的 图象，那么正确的是（ ） Ａ.ω＝11 10, φ＝6 π Ｂ．ω＝11 10, φ＝－6 π Ｃ．ω＝２，φ＝6 π Ｄ．ω＝２，φ＝－6 π , 解：可用“筛选选项法”． 题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0 排除B 和D ，由A,C 知φ＝6 π； ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1 因点（12 11π,0）是“五点法”中的第五个点， ∴ω·12 11π +6 π＝2π 解得ω＝２， 故选C ． 例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段, 12 11π1211πx y 2 - 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0 3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0第7讲函数的图象 (1)
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