由三角函数的图像求解析式
三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习
(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
三角函数图像平移变换及图像解析式
三角函数图像题（本人精心整理）-------图像求解析式及平移变换一．根据图像求解析式1.图1 是函数的图象上的一段，则（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．已知函数，（其中 ），其部分图像如图5所示．求函数的解析式；练习1下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ）（B ） （C ）（D ） 2．已知函数的部分图象如右上图所示，则（）A.B.C.D.3.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 A. B. C. D.4、函数的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 ） 5已知函数（， ，）的一段图 象如图所示，求函数的解析式；6.为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到 原来的2倍，纵坐标不变sin()6y x π=+cos(2)6y x π=-cos(4)3y x π=-sin(2)6y x π=-()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx y 6,1πϕω==6,1πϕω-==6,2πϕω==6,2πϕω-==3π12(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 (D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变二．图像平移变换问题相位变换：① 将图像沿轴向左平移个单位 ② 将图像沿轴向右平移个单位周期变换： ① 将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍②将图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 振幅变换：①将图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍 ②将图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍 【特别提醒】由y ＝sin x 的图象变换出y ＝Asin(＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现/wxc/途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(＞0)或向右（）平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的倍(＞0)，再沿x 轴向左(＞0)或向右平移个单位，便得y ＝sin(＋)的图象【特别提醒】若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位1.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ） （A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数3.设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 3 4.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）sin y x =w 1sin y x =sin y x =A x ωϕϕϕω1ωϕϕϕsin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+4π4π2π2π振幅 变换 相位 变换 周期 变换y ＝sin x（A ） （B ） （C ） （D ）5.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）6、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）（A ）向左平移个单位 （B ）向右平移个单位 （C ）向左平移个单位 （D ）向右平移个单位7、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+)的图象（A) 向右平移 个单位 (B) 向左平移 个单位（C ）向右平移 个单位 （D ）向左平移 个单位8．将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位，得到的函数解析式为（ ）9、把函数的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ） （B ） （C ） （D ）11．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度12 将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图形沿轴正向平移，得到的新曲线与函数的图象重合，则（ ） A. B. C. D.5为了得到函数的图象,可以将函数的图象( ) A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度13.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）6π6π218π4π)62sin(π-=x y x y 2cos =6π3π6π3π（A ） （B ） （C ） （D ）14.函数f(x)= 的最小正周期为（ ） A.B.xC.2D.415.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位 17.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向左平移个单位 18.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度19.把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A ，B ，C ，D ，20.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 （C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位21.已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度22.函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于B23.将函数y=sinx 的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin 的图象，则等于A ．B ． C. D.24.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为D A ． B. C. D.25.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于C （A ） （B ） （C ） （D ）26.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（ C ）A ．B ．C ．D ．27.将函数的图象F 按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是AA. B. C. D.28.将函数y=3sin （x -θ）的图象F 按向量（，3）平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线x=,则θ的一5π126π3πx R ∈x R ∈x R ∈x R ∈4π2πϕϕsin(2)3y x π=+α(,0)12π-α(,0)12π-(,0)6π-(,0)12π(,0)6πF 'π125π125-π1211个可能取值是A. B. C. D. A29．将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（ ）A ．B ．C ．D ． C 29为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（A ）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B ）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） （C ）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）综合1.(2004全国Ⅰ卷文、理)为了得到函数的图象,可以将函数的图象( ) A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度 2（2006四川文、理）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ） （B ） （C ） （D ）二.填空题: （每小题5分，计20分） 3. (2008辽宁理)已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________． 4．(2008陕西理)已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 5.（2008安徽文、理）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数在区间上的值域6.(2005全国Ⅰ文)设函数图像的一条对称轴是直线. (Ⅰ)求； (Ⅱ)求函数的单调增区间；7.（四川卷理）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是( ) A. B. C. D.8．（重庆卷理）已知函数的部分图象如右上图所示，则（ ） A. B. C. D.9．（天津卷理）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，求的值。
根据图像求三角函数解析
或y3cos(2x－5)
6
练 习 3 .函 数 yA sin ( x ),(A 0 , 0 ,|| )
的 部 分 图 像 如 图 所 示 ,求 该 函 数 的 解 析 式 。
y2sin(2x) 3
y 2
o 3
5 6
x
-2
例3： 求f(x)=Asin(ωx+φ)+B型的解析式
-2
ππ 42
3π 2
5π 2
7π 2
x
4
例2：如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.
练 习 1.函 数 yA sin(x),(A0,0,||)
2 的 图 像 如 图 所 示 ,求 该 函 数 的 解 析 式 。y
3
y3sin(2x) 3
2
3
o
6
x
-3
变 式 .函 数 yA cos(x),(A0,0,||)
巧记·主干知识
突破·重点要点
题型二 由图象求函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋
φ)(其中 ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是
π，且 f(0)＝ 3，则( )
A.ω＝12，φ＝π6 C.ω＝2，φ＝π6
B.ω＝12，φ＝π3 D.ω＝2，φ＝π3
1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,
|φ|< )的图象的一部分如图所示： （1）求2f(x)的表达式；
（2）试写出f（x）的对称轴方程.
解 （1）由图象可知，函数的最大值M=3，
y=Asin(wx+φ)+k图像运用题型练习2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
y ＝A sin （wx +φ）+k 图像运用题型练习一．【图像的伸缩、平移变换】 例：函数1)32sin(5++=πx y 的图像可由x y sin =的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？方法一（先平移后伸缩）：方法二（先伸缩后平移）：1．为得到函数f （x ）＝sin2x +cos2x 的图象，只需将函数g （x ）＝sin2x ﹣cos2x 的图象（ ） A ．向左平移个单位长度 B ．向左平移个单位长度 C ．向右平移个单位长度D ．向右平移个单位长度2．将函数y ＝sin （x ﹣）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，则所得图象对应的解析式为 .3．要得到函数f （x ）＝cos （2x +）的图象，只需将函数g （x ）＝sin （2x +）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度4．已知曲线C 1：y ＝sin （2x ﹣），C 2：y ＝cos x ，则下面结论正确的是（ ）A ．先将曲线C 2向左平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 1B ．先将曲线C 2向右平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 1C ．先将曲线C 2向左平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 1 D ．先将曲线C 2向右平移个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标保持不变，便得到曲线C 15．若函数g（x）的图象是由函数f（x）＝cos（x﹣）+cos（x+π）的图象向右平移个单位长度得到的，则函数g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[，]D．[﹣，]6．将函数f（x）＝sin（wx+）（w＞0）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在[0，]上单调递增，则函数f（x）的最小正周期为（）A．B．πC．D．2π二．【由三角函数图像求其解析式】例：如图所示的是函数y=A sin（wx+φ）（A>0，w>0，|φ|<π）的图像，根据图中条件，写出该函数解析式.①【基础练习】7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（﹣）＝．7 8 98．函数f（x）＝sin（2x+φ），（|φ|）的部分图象如图所示，则的值为．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）＝．②【结合三角函数性质】10．（多选）如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象经过点和，则（）A．ω＝1B．C．函数f（x）的图象关于直线对称D．若，则sin2α﹣cos2α＝11．（多选）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）的解析式可以表示为B．函数y＝f（x）的图象关于直线对称C．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象D．函数y＝f（x）在单调递减11 1212．（多选）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2B．把y＝f（x）图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝2cos2x的图象C．f（x）在区间[，]上单调递减D．（，0）是y＝f（x）图象的一个对称中心③【辅助角公式运用】13．若cos（﹣α）＝，则cos2α﹣sin2α的值为．14．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．15．已知函数f（x）＝4sin（x﹣）cos x+．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若m﹣3＜f（x）＜m+3，对任意x∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．16．已知f（x）＝2sin x cos x+2cos（x﹣）cos（x+）．（1）求函数f（x）的单调递减区间：（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[]上有唯一零点，求实数k的取值范围．。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
4.4 三角函数的图象 解析式Microsoft Word 文档
4.4 三角函数的图象 解析式一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二．建构知识网络1．三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:“若0<α<2π则 sin α＜α＜tan α”; 画三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象；2．y=Asin(ωx+φ)的图象：①用五点法作图:五点取法由ωx +ϕ=0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.③A---振幅ϖπ2=T ----周期πω21==Tf ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ3．图象的对称性①y=sinx 图象的对称中心(k π,0), 对称轴x=k π+2π; y=cosx 呢? ②y=tanx 图象的对称中心(2k π,0), 渐近线x= k π+2π;③ y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=k π+2π,即x=? (k ∈Z).由ωx+φ=k π得对称中心为:(ωφπ-k ,0), k ∈Z.4.给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题，一般先找“五点”中的第一零点或第一个最大值点确定ω或φ.三、双基题目练练手1.在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是 ( ) A .（4π，2π）∪（π，4π5） B .（4π，π） C .（4π，4π5）D .（4π，π）∪（4π5，2π3）2.函数y =cos （x +3π4）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是 ( )A .3π4 B .3π2 C .3π D .3π53. (2006天津)已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ）A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 4.（2005湖北）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ5.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是______________6.（2005湖南）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .✿简答:1-4.CBDC; 1.利用三角函数线; 2.设平移后:y =cos （x +3π4+ϕ），则3π4+ϕ=k π.ϕ=k π－3π4＞0.∴k ＞34.∴k =2.∴ϕ=3π2;3.()),f x x ϕ=-可取35,424πππϕϕ-==-得,∴5())4f x x π=+,3())4f x x x ππ-=-=4.利用图象可得解.5.平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，答案sin(2)3y x π=+。
三角函数解析式的求法教师版
第5页（共17页）
令 f (0) = 50sin + 60 = 10 ，得 sin = −1 ；
又 [− ， ] ， 所以 = − ；
2 所以函数 y = 50sin( 2 t − ) + 60 ．
32 故选： C ．
变式 1. 如图, 一个大风车的半径长为 8m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为 2m . 若风 车翼片从如图所示的点 P0 处按逆时针方向开始旋转,已知点 P0 离地面 6m ，则该翼片的端点 离地面的距离 y(m) 与时间 x(min) 之间的函数关系是
故所得图象对应的函数为 g(x) = sin(2x + ) + 1， 3
则 g(0) = sin(0 + ) +1 = 1 + 3 ，
3
2
故选： A ．
变 式 1 ． 函 数 f (x) = cos(x + )( 0,| | ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数 2
A． y = 2sin(1 x + ) 66
B． y = 2sin(1 x − ) 36
第4页（共17页）
C． y = 2cos(1 x + ) 33
【答案】B
D． y = 2cos(1 x − ) 63
【解答】解：由图象可知，得函数的周期T = 4 (3.5 − 2 ) = 6 ，
3
3
故选： D ．
变式 3．已知函数 f (x) = Asin(x + )(A 0 ， 0 ，| | ) 在一个周期内的简图如图所示， 2
则方程 f (x) = m(m 为常数且1 m 2) 在[0 ， ] 内所有解的和为 ( )
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由B x A y ++=)sin(ϕω的图像求解析式
知识点归纳:
1. 利用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+图像，设X x ωϕ=+，令X =30,,,
,22
2
π
π
ππ 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象
特 征
图像上升时与x 轴的交点
图像上的“峰点”
图像下降时与x 轴的交点
图像上的“谷点”
图像上升时与x 轴的交点
x
1x
2x 3x
4x 5x
ϕω+x
0 2π
π 2
3π
π2
sin()A x ωϕ+
A
A -
注： 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点（第一个点至第五个点），要注意x 和ϕω+x 之间的对应系
2．函数B x A y ++=)sin(ϕω表达式的确定：A （B ）由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点（上面的关键点）确定
①由图像观察最高点、最低点，B A y +=max 、B A y +-=min ，解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期，再利用T
π
ω2=
，求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ；1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期
2T ；1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4
T
.】 ③ϕ的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，如01=+ϕωx ，2
2π
ϕω=
+x ，πϕω=+3x ，2
34π
ϕω=
+x ，从而根据以上等式，解出
ϕ
考点 确定函数解析式问题
例1.⑴若函数sin()y A x ωϕ=+的图像（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是（ ） A 、1,3
π
ωϕ== B 、1,3
π
ωϕ==-
C 、1,26πωϕ==
D 、1,6
πωϕ==-
⑵已知函数sin(),y A x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为()
2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 .
⑶若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ
<
）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ）
A ．126
ωϕπ
==， B ．123
ωϕπ=
=， C ．26
ωϕπ
==，
D ．23
ωϕπ
==，
例2.⑴某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m
经常期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上的数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 .
⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ωϕ=++,0t =时端
点P 在点0P 处,则()h m 与()min t 之间的函数关系式是 .
练习：
1. 函数)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6
(π
-
和
(,0)2
π
，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ） A 、)4
23sin(2π
+=x y B 、)42sin(2π+=x y
C 、)623sin(2π+=x y
D 、)6
2sin(2π
+=x y
2.
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛
<>>∈+=200πϕωϕω，
，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所()x f 的解析式是
A ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62ππ
Ｂ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫
⎝⎛+=622ππ
Ｃ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫
⎝⎛+=32ππ
Ｄ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛+=322ππ
3. 已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图象与x 轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.
则()f x 的解析式 . 4. 函数sin()y x ωϕ=+(,0x R ω∈>,
02ϕπ≤<)的部分图象如图，则
.A 4
,2
π
ϕπ
ω=
=
.B 6
,3
π
ϕπ
ω=
=
.C 4,4πϕπω== .D 4
5,4π
ϕπω=
=
5.已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><） 的一段图象如下图所示.
则()f x 的解析式 .
6. 函数sin()
y A x
ωϕ=+()2
0,,x R πωϕ><∈
的部分图象如图所示，则函数表达式为 .A )4
8
sin(
4π
π
+
-=x y .B )4
8
sin(
4π
π
-
=x y
.C )48sin(4π
π--=x y .D )4
8sin(4ππ+=x y
7. 已知函数2sin()(0)y x ωϕω=+>)在区间
[]02π，
的图像如图所示：那么ω＝（ ） A ．1
B ．2
C ．
2
1
D ．
3
1 8. 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
.
9. 动点),(y x A 在圆12
2
=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已
知定时t =0时，点A 的坐标是)2
3
,
21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数关系式是()sin y t ωϕ=+,0,02
π
ωϕ><<,则y 关于t 的函数解
析式是 .。