北京市北京101中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案
北京市北京101中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题共8小题每小题5分共40分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项1.复数z 11i i -=+，则|z |=( )A. 1B. 2 【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C【解析】 ,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin A a-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin b B， ∵sin sin A b a B -=﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3.已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2=2z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4.椭圆24x +y 2=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. arctan2【答案】A【解析】【分析】结合题意画出满足条件的图象,利用图象直观分析,找到二面角的平面角,然后解三角形求出二面角的大小.【详解】由题意画出满足条件的图象如图所示:点1A 在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点,所以1FOA ∠即为所求二面角的平面角,因为椭圆标准方程为2214x y +=,所以12OA =,OF =,11cos 2OF FOA OA ∠==,所以1=30FOA ∠︒. 故选A【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小,结合椭圆的翻折,能够画出或者直观看出二面角的平面角,并结合解三角形求出结果,需要掌握解题方法.5.已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A. 2216448x y -= B. 2214864x x += C. 2214864x y -= D. 2216448x y += 【答案】D【解析】【分析】 设出动圆半径为r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去r ，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程．【详解】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，圆M 与圆1C ：22(4)169x y -+=内切，与圆2C ：22(4)9x y ++=外切， 113MC r ∴=-，23MC r =+，12|168MC MC ∴+=，由椭圆的定义，M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，可得8a =，4c =；则22248b a c =-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程：2216448x y +=，故选D ． 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.6.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A. 34B. 1C. 54D. 74【答案】C【解析】【分析】 抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离. 【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A. 1+C. D. 【答案】B【解析】【详解】动点P 的轨迹为如图三角形MEF,3322322+=选B. 8.设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. （123]B. （1223，+∞） 2+∞）【答案】B【解析】【分析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1b a ≤,则双曲线的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+≤ ⎪⎝⎭又1e >,则12e <≤故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式2222221c c a b b e a a a a +⎛⎫====+ ⎪⎝⎭考查了理解能力和转化能力. 二、填空题共6小题每小题5分共30分9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px =的焦点pp ,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.【答案】1【解析】【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11.已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.【答案】①②③【解析】【分析】设点M 坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为: ①②③【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____ 【答案】4105【解析】【分析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b -<<.222641616168011225525b b b AB --+=+⋅-=⋅，当0b =时，max 804102255AB =⋅=. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足5≤|A 1P |6≤的点P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】 (1).4π (2). 43【解析】【分析】 结合题意先找到满足条件156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =,1A P ≤≤,可计算得1AP ≤≤,又因为点P 在正方形ABCD的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为1之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W的面积是2211]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43 【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答共5小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证明过程15.已知复数z 满足|z|=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ； （2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z的表达式. （2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R ;由|z|=得x 2+y 2=2; 又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16.如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【答案】（1）13；（225. 【解析】【分析】 （1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =（0,1,0）,CD =（﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914 OBOB CDCD⋅===⋅⨯,∴异面直线OB与CD所成角的余弦值为13.（2）OB=（0,1,0）,OC=（1,0,0）,OD=（0,12,1）,设平面COD的法向量n=（x,y,z）,则12n OC xn OD y z⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取2y=,得n=（0,2,﹣1）,设直线OB与平面COD所成角为θ,则直线OB与平面COD所成角的正弦值为:sinθ255OB nOB n⋅==⋅=.【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC-（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P ABC-中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM CP λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】 试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意2PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =3cos ,31n OB n OB nOB ⋅===⋅⋅ 由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为33（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）. （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p --=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-= 因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）22 1.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8． 【解析】（Ⅰ）因为314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立． 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=． （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ①又由,{20,y kx m x y =+-=可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k-++．由原点O 到直线PQ 的距离为d =和P Q PQ x =-，可得22111222222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8． 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8． 考点：本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．。
2020-2021学年北京市101中学高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市101中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3 7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟二、填空题（共6小题）.11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝．12．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为．三、解答题（共4小题）.17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝；f（4）﹣5f（2）g（2）＝；f（9）﹣5f（3）g（3）＝；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知函数f（x）＝lg（4﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N ＝（）A．M B．N C．{4}D．∅解：根据题意得，M＝{x|x＜4}，N{x|x≥4}，∴M∩N＝∅．故选：D．2．sin2021°可化简为（）A．sin41°B．﹣sin41°C．cos41°D．﹣cos41°解：sin2021°＝sin（360°×60﹣139°）＝sin（﹣1390）＝﹣sin139°＝﹣sin41°．故选：B．3．向量“，不共线”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当向量“，不共线”时，由向量三角形性质得“”成立，即充分性成立，反之当向量“，方向相反时，满足“”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，即向量“，不共线”是“”的充分不必要条件，故选：A．4．函数y＝sin（x+），x∈（﹣，]的值域为（）A．B．C．D．解：y＝sin（x+）＝cos x，因为x∈（﹣，]，所以cos x∈[﹣，1]，即函数的值域为[﹣，1]．故选：B．5．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，若a＝f（1），b＝f（2），，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为a＝f（1），b＝f（2），＝f（），又2＞1＞＞0，则b＞a＞c．故选：C．6．甲、乙两人解关于x的方程：log2x+b+c log x2＝0，甲写错了常数b，得到根为，；乙写错了常数c，得到根为，x＝64．那么原方程的根正确的是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝4或x＝8D．x＝2或x＝3解：原方程可变形为：，因为甲写错了常数b，得到根为，，所以，又因为乙写错了常数c，得到根为，x＝64，所以，所以原方程为，解得log2x＝2或3，所以x＝4或8．故选：C．7．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（﹣，﹣π），那么tanα的值为（）A．2B．﹣2C．D．解：因为2cos2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，可得sin2α＝，cos2α＝，因为α∈（﹣，﹣π），所以sinα＝，cosα＝﹣，可得tanα＝＝﹣．故选：D．8．如图是函数y＝sin x（0≤x≤π）的图象，A（x，y）是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合）．设线段AB的长为f（x），则函数f（x）的图象是（）A．B．C．D．解：当x＝时，A，B两点重合，此时f（x）＝0，故排除C，D；当x∈（0，）时，f（x）＝π﹣2x是关于x的一次函数，其图象是一条线段，故选：A．9．已知3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝﹣，则cosα﹣sinα的取值可以为（）A．B．C．D．解：因为3sin（﹣α）﹣sin（π+α）＝3cosα+sinα＝﹣，所以，整理得，所以，①当时，，则②当cos时，，则故选：C．10．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮天轮中心O的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间大约是（）A．8分钟B．10分钟C．12分钟D．14分钟解：由题意知，在t时摩天轮上某人所转过的角为t＝t，所以在t时此人相对于地面的高度为h＝10sin（t﹣）+12（t≥0）；由10sin（t﹣）+12≥17，得sin（t﹣）≥，解得≤t﹣≤，即5≤t≤15；所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 m．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量＝（1，﹣2），＝（x，4），且∥，则实数x＝﹣2．解：由已知，且，所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，故答案为：﹣212．若角β与角的终边关于直线y＝x对称，则角β的终边上的所有角的集合可以写为{}．解：角α的取值集合是{α|α＝2kπ+，k∈Z}，角β与角的终边关于直线y＝x对称，可得β＝2kπ+﹣2×（﹣）＝﹣+2kπ，k∈Z，可得角β的取值集合是{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}，故答案为：{β|β＝﹣+2kπ，k∈Z}．13．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为0解：由题意得：m﹣1＝±1，解得：m＝0或m＝2，m＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）递增，符合题意，m＝2时，f（x）＝1，是常函数，不合题意，故答案为：0．14．在如图所示的方格纸中，向量，，的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若与x+y（x，y为非零实数）共线，则的值为．解：设图中每个小正方形的边长为1，则＝（2，1），＝（﹣2，﹣2），＝（1，﹣2），∴x+y＝（2x﹣2y，x﹣2y），∵与x+y共线，∴﹣2（2x﹣2y）＝x﹣2y，∴5x＝6y，即＝故答案为：15．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t （分钟）之间存在函数关系y＝27﹣mt（m为常数）．求得m＝；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，那么至少需要排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．解：（1）∵函数y＝27﹣mt（m为常数）经过点（4，64），∴64＝27﹣4m，解得m＝；（2）由（1）得y＝，由，解得t≥32．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．故答案为：（1）；（2）32．16．已知△ABC，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），给出以下命题：①若，，则P为△ABC的内心；②若λ＝μ＝1，则直线AP经过△ABC的重心；③若λ+μ＝1，且μ＞0，则点P在线段BC上；④若λ+μ＞1，则点P在△ABC外；⑤若0＜λ+μ＜1，则点P在△ABC内．其中真命题为②④．解：对于①，，此时P点在∠BAC平分线上，但未必在△ABC 的内心，则①错；对于②，由λ＝μ＝1知，AP＝，由向量加法法则知APBC中点，AP经过△ABC的重心，则②对；对于③，λ+μ＝1⇒λ＝1﹣μ⇒＝，当μ＞1，P点在BC延长线上，不在BC边上，则③错；对于④，令t＝λ+μ＞1，＝t，t＞1，由向量加法法则知，P点在△ABC外，则④对；对于⑤，取λ═﹣1/4，μ＝1/2，λ+μ＝1/4，0＜λ+μ＜1，但P点在△ABC外，则⑤错；故答案为：②④．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．已知函数．（1）求函数f（x）的值域：（2）若函数g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象有交点，请直接写出实数a的取值范围．解：（1）函数．则f（x）＝，因为y＝1﹣x在（﹣2，0）单调递减，可得f（x）值域为[1，3）．（2）当0＜a＜1，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x的图象与函数f（x）的图象恒有交点，当1＜a时，当0＜x≤2时，g（x）＝log a x是单调递增函数，则log a2≥1，可得a≤2．则1＜a≤2．故得实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a≤2．18．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，．（1）求实数b的值；（2）求的值．解：（1）∵方程的两根为sinθ、cosθ，∴sinθ+cosθ＝，sinθcosθ＝＞0，∵，∴θ+∈（，π），即sinθ+cosθ＝sin（θ+）＞0，∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2×＝，解得：b＝（负值舍去），则b＝；（2）∵（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2×＝，∴sinθ﹣cosθ＝，∵sinθ+cosθ＝，∴＝＝＝．19．已知函数，．（1）①直接写出函数f（x）的奇偶性；②写出函数f（x）的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：＝0；f（4）﹣5f（2）g（2）＝0；f（9）﹣5f（3）g（3）＝0；（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．解：（1）①函数f（x）为奇函数．②f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝（﹣）（1+）因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．（2）经过代入计算可得＝0，f（4）﹣5f（2）g（2）＝0，f（9）﹣5f（3）g（3）＝0．（3）由（2）中的各式概括出f（x）和g（x）对所有不等于0的实数x都成立的一个等式为f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0（x≠0），证明：f（x2）﹣5f（x）g（x）＝0＝﹣5••＝﹣＝0．20．设A是由n个实数构成的一个有序数组，记作A＝（a1，a2，…，a i，…，a n）．其中a i（i＝1，2，…，n）称为数组A的“元”，i称为数组A的“元”a i的下标，如果数组S＝（b1，b2，…，b m）（m≤n，m∈N+）中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的“子数组”．定义两个数组A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）的“关系数”为C（A，B）＝a1b1+a2b2+…+a n b n．（1）若，B＝（b1，b2，b3，b4），且B中的任意两个“元”互不相等，B 的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个，分别记为S1，S2，…，S p．①p＝6；②若b j∈N+，1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），记，求X的最大值与最小值；（2）若，B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1，S为B的含有三个“元”的“子数组”，求C（A，S）的最大值．解：（1）①根据“子数组”的定义可得，B的含有两个“元”的不同“子数组”有（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共6个，∴p＝6；②不妨设b1＜b2＜b3＜b4，＝，∵1≤b j≤101（j＝1，2，3，4），则当b1＝1，b2＝2，b3＝100，b4＝101时，X取得最大值为，当b1，b2，b3，b4是连续的四个整数时，X取得最小值为；（2）由B＝（0，a，b，c），且a2+b2+c2＝1可知，实数a，b，c具有对称性，故分为S中含0和不含0两种情况进行分类讨论，①当0是S中的“元”时，由于中的三个“元”都相等及B中三个“元”a，b，c的对称性，可只计算的最大值，∵a2+b2+c2＝1，则（a+b）2≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）＝2，可得，故当时a+b达到最大值，故；②当0不是S中的“元”时，，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，则，当且仅当时，取到最大值，故C（A，S）max＝1，综上，C（A，S）max＝1．。
北京市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷与答案
北京市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知{}n a 为等差数列，54a =，则46(a a +=)A ．4B ．6C ．8D ．102．曲线()x y f x e ==的倾斜角为6π的切线的切点坐标为()A ．1(32ln -，3)3B ．1(32ln ，3)C ．1(32ln ，3)3D ．1(32ln -，3)3．已知点(M a ，2)(0)a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则实数(a =)A ．21-B ．2C ．22-D ．21+4．《周伸算经》中有这么一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为()A ．25.5尺B ．34.5尺C ．37.5尺D ．96尺5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是DP 的中点．已知DA a = ，DC b =，DP c =，则(BE = )A ．12a b c++ B ．12a b c--+ C ．12a b c-+ D ．12a b c-++ 6．已知数列{}n a 满足12a =，m n m n a a a +=+，若1210310k k k a a a ++++++= ，则(k =)A ．10B ．15C ．20D ．257．设O 为坐标原点，A ，B 是抛物线2:2(0)C x py p =>与圆222:(8)(0)E x y r r +-=>关于y 轴对称的两个交点，若||||AB OA r ==，则(p =)A ．4B ．2C ．43D ．238．已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈有两个极值点1x ，212()x x x <，则()A ．3a <-3a >B ．1x 是()f x 的极小值点C ．1213x x +=D ．1213x x =-9．若过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y 轴于点(0，3)(c c为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是()AB ．223C ．103D10．斐波那契数列*{}()n F n N ∈在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：121F F ==，当2n >时，12.n n n F F F --=+若2222123100mmF F F F F F ++++=，则(m =)A ．98B ．99C ．100D ．101二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知平面α的法向量为(1n = ，2，2)-，直线l 的方向向量为(2u =-，m ，4)，且l α⊥，则实数m =．12．过圆22:(1)1C x y ++=的圆心且与直线0x y -=平行的直线的方程是．13．椭圆2222:1(0)1x y C m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，短轴端点为P ，若1223F PF π∠=，则m =．14．已知{}n a 是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，21220n n a a -+>恒成立，则q 的值可以是.（只需写出一个）15．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且(2)f x +为奇函数，(2)()2f x f x '-+'=，f '（2）2=，则501()i f i ='=∑．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）n T 为数列{}n a 的前n 项积，且211n na T +=．（1）证明：数列{1}n T +是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式．17．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+”．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11(1)n n n n a b S n++=-+，求数列{}n b 的前20项和20T ．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AM PB ⊥，PD BD ⊥，M 为BC 的中点，AD =，1DC =．（1）证明：PD ⊥底面ABCD ；（2）若1PD =，求二面角A MP B --的正弦值．19．（13分）设函数321()313f x x x x =--+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[0x ∈，4]时，求()f x 的最大值与最小值．20．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 经过点1)2p ．（1）求椭圆的标准方程C ；（2）若直线y kx m =+与轨迹C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，试探求OMN ∆的面积是否为定值，并说明理由．21．（14分）已知函数()1f x alnx ax =-+，a R ∈．（1）若经过点(0,0)的直线与函数()f x 的图像相切于点(2，f （2）)，求实数a 的值；（2）设21()()12g x f x x =+-，若函数()g x 在区间3(,4)2为严格递减函数时，求实数a 的取值范围；（3）对于（2）中的函数()g x ，若函数()g x 有两个极值点为1x ，212()x x x ≠，且不等式1212()()()g x g x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．北京市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷答案1．{}n a 为等差数列，54a =，46528a a a ∴+==．故选：C ．2．()x y f x e == ，x y e ∴'=，设0(P x ，0)y ，则_00|x y x x e '==，又曲线x y e =上的点P 处的切线的倾斜角为6π，_0x e ∴=0132x ln =-．132033ln y e-∴==．∴点P 的坐标为1(32ln -，33．故选：A ．31=，因为0a >，解得1a =-+或1a =--)．故选：A ．4．设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为14731.5a a a ++=，小寒、雨水、清明日影长之和为25828.5a a a ++=，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为369a a a ++，所以3692581472()()25.5a a a a a a a a a ++=++-++=．故选：A ．5． 底面ABCD 是平行四边形，点E 是DP 的中点，DA a = ，DC b = ，DP c =，∴1122BE BA AD DE DC DA DP a b c =++=--+=--+ ，故选：B ．6．依题意，由m n m n a a a +=+，令1m =，则112n n n a a a a +=+=+，即12n n a a +-=，12a = ，∴数列{}n a 是首项和公差均为2的等差数列，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，*n N ∈，∴12102(1)2(10)103102k k k k k a a a +++++++++=⨯= ，解得10k =．故选：A ．7．不妨设点A 在第一象限，则OAB ∆为等边三角形，故(2r A ．代入222(8)x y r +-=中，解得r =A ，将A 代入抛物线方程可得：1683p =，解得23p =．故选：D ．8．若函数32()1()f x x ax x a R =+++∈有两个极值点1x ，212()x x x <，则2()321f x x ax '=++有2个不同零点，则△24120a =->，解得a >a <A 正确，由于30>，则函数()f x '的图像开口向上，则1x 是()f x 的极大值点，故B 错误，由1213x x ⋅=，1223ax x +=-，则CD 错误，故选：A ．9．如图，不妨设双曲线的一个焦点为(,0)F c ，渐近线为by x a=，则过点(,0)F c 且与直线b y x a =垂直的直线方程为()ay x c b=--，令0x =，得ac y b =，则3ac c b =，∴13b a =，∴双曲线的离心率是c a ==故选：C ．10．由已知得2121F F F =⋅，且12n n n F F F --=-，所以222312321()F F F F F F F F =⋅-=⋅-⋅，233424332()F F F F F F F F =⋅-=⋅-⋅，.......．211131()m m m m m m m F F F F F F F F +-+-=⋅-=⋅-⋅，累加整理可得222121.....mm m F F F F F ++++=⋅；又因为22221231001m m mF F F F F F F +++++== ．即1m F +是该数列的第100项，所以99m =，所以B 选项正确．故选：B ．11．根据题意，若l α⊥，则//n u，必有12224m -==-，解可得4m =-，故答案为：4-．12．因为圆22:(1)1C x y ++=的圆心为(1,0)-，故过圆心(1,0)-且与直线0x y -=平行的直线为1y x =+，即10x y -+=．故答案为：10x y -+=．13．椭圆2222:1(0)1x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，短轴端点为P ，则23OPF π∠=，(O 为原点），又2||PF a ==2||1OF c ==，||OP b m ===，则1tan3c b mπ==，即33m =．故答案为：33．14．依题意，2221221112(2)0n n n a q a q a q q ---+=+>，又221210,()0n n a q q --<=>，则20q +<，即2q <-，所以q 的值可以是3-．故答案为：3-（答案不唯一）．15．因为(2)()2f x f x ''-+=，令1x =，得(21)f f ''-+（1）2=，所以f '（1）1=．由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x +=--+，所以(2)(2)f x f x ''+=-+，故()(4)f x f x ''=-+①．令1x =，得f '（1）f '=（3）1=．因为(2)()2f x f x ''-+=②，f '（2）2=，令0x =，得f '（2）(0)2f '+=，所以(0)0f '=．由①和②得(2)(4)2f x f x ''-+-+=，即(2)(22)2f x f x ''-+-+=，所以()(2)2f x f x ''++=③，故(2)(4)2f x f x ''+++=④．由③-④得()(4)0f x f x ''-+=，即()(4)f x f x ''=+，所以函数()f x '是以4为周期的周期函数，故f '（4）(0)0f '==，所以f '（1）f '+（2）f '+（3）f '+（4）12104=+++=．又501242=⨯+，所以501()124i f i f ='=⨯+'∑（1）f +'（2）481251=++=．16．（1）证明：由题意可得121n n n T a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，当1n =时，则11211T T +=，可得13T =，当2n时，1n n n T a T -=，所以1211n n nT T T -+=，即121n n T T -+=，因为1111211211n n n n T T T T ---+++==++，所以可证得{1}n T +为等比数列；（2）由（1）可得{1}n T +为等比数列，且首项11314T +=+=，公比2q =，所以111422n n n T -++=⨯=，可得121n n T +=-，将n T 代入211n na T +=中，所以121121n n a +=--，解得12121n n n a +-=-．17．（1） 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，∴111n n S S n n +-=+，而1111Sa ==，∴1(1)1nS n n n=+-⨯=，即2n S n =，当2n时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，显然11a =也满足上式，21n a n ∴=-．（2）由（1）知，2n S n =，121n a n +=+，∴1122111(1)(1)()1n n n n b n n n n +++=-⋅=-+++，∴20111111111120(1()(()()122334192020212121T =+-++++++-+=-=．18．（1）证明：设AM ，BD 交于E ，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AD =，1DC =，M 为BC 的中点，则AD ABAB BM==，故Rt DAB Rt ABM ∆∆∽，则ADB BAM ∠=∠，而2ADB ABD π∠+∠=，则2BAM ABD π∠+∠=，故2AEB π∠=，故AM BD ⊥，又AM PB ⊥，且BD PB B = ，BD ，PB ⊂平面PBD ，故AM ⊥平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，故AM PD ⊥，又PD BD ⊥，AM BD E = ，AM ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥底面ABCD ；（2）解：以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则A，B ，2(,1,0)2M ，(0P ，0，1)，则(2AM =-，(1),(22PM BM =-=- ，设平面PAM 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则20202n AM x y n PM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩ ，令1y =，可得n = ，设平面PBM 的一个法向量为(m a =，b ，)c ，则202202m PM b c m BM ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，令1b =，可得(0m = ，1，1)，则cos ,||||14m n m n m n ⋅<>===，由于二面角A MP B --的取值范围为[0，]π，7014=．19．【解析】（Ⅰ）定义域为R ，2()23(1)(3)f x x x x x '=--=+-，()01f x x '>⇒<-或3x >，()013f x x '<⇒-<<，故()f x 的单调递减区间为(1,3)-，单调递增区间为(,1)-∞-，(3,)+∞；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在[0，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，故()min f x f =（3）8=-，由(0)1f f =>（4）173=-，故()1max f x =．20．（1）因为离心率等于32且椭圆C经过点1)2p ，所以222223114c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，21b =，则椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）不妨设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，此时△2222644(14)(44)0k m k m =-+->，即2241k m +>，由韦达定理得2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++，①因为直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，所以14OM ON k k ⋅=-，即121214y y x x =-，此时1212()()14kx m kx m x x ++=-，整理得22121212()14k x x km x x m x x +++=-，②联立①②，可得22241m k =+，又||MN=而O点到直线MN的距离d=，所以1||2OMNS d MN∆==1=，故OMN∆的面积为定值，定值为1．21．（1）已知()1f x alnx ax=-+，函数定义域为(0,)+∞，可得()af x ax'=-，此时f'（2）2a=-，因为经过点(2，f（2）)的切线经过原点，所以(2)22f ak==-，即22122aln a a-+=-，解得112aln=-；（2）因为2211()()122g x f x x alnx x ax=+-=+-，函数定义域为(0,)+∞，可得()ag x x ax'=+-，若函数()g x在区间3(,4)2为严格递减函数，此时()0ag x x ax'=+- 在区间3(,4)2上恒成立，即21xax-在区间3(,4)2上恒成立，不妨设2()1xh xx=-，函数定义域为3(,4)2，可得222()(1)x xh xx-'=-，当322x<<时，()0h x'<，()h x单调递减；当24x<<时，()0h x'>，()h x单调递增，所以当2x=时，函数()h x取得极小值，又39(22h=，h（4）163=，所以163a >，则实数a 的取值范围为16(3，)+∞；（3）若函数()g x 有两个极值点为1x ，212()x x x ≠，即2()0x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，需满足△240a a =->，且120x x a +=>，120x x a =>，解得4a >，若不等式1212()()()g x g x x x λ+<+恒成立，即1212()()g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()()()22g x g x a lnx x x a lnx x x +=-++-+2221212121212121211()()()[()2]22alnx x a x x x x alnx x a x x x x x x =-+++=-+++-212alna a a =--，不妨设k （a ）212121()()1212alna a a g x g x lna a x x a --+===--+，函数定义域为(0,)+∞，可得k '（a ）11222a a a-=-=，因为4a >，所以k '（a ）0<，k （a ）单调递减，此时k （a ）k <（4）223ln =-，则223ln λ-，故实数λ的取值范围为[223ln -，)+∞．。
高中数学选择性必修二 北京市朝阳区高二上学期期末考试数学试题(含答案)
故答案为：①③④
16.把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N*）组里有________个数；第9组中的所有数之和为________.
【答案】①. ②.2465
【解析】
②函数 在 和 分别单调递减，故②错误；
③因为 ，则当 时， ，故 时的瞬时速度是10 m/s，故③正确；
④ ， ，由 解得 ，由 解得 ，
所以当 时， 的图象更“陡峭”，当 时， 的图象更“陡峭”，故④错误.
故选：A.
8.如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）
点 在抛物线上，
所以 ，
则 ，又 ，
所以直线 方程为 ，
联立抛物线方程 得到 ，
解得 或 ，
因为点 在 轴下方，所以 ,
由焦半径公式得： ，
故选：D.
7.下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：
②函数 在定义域上单调递减；
③某质点沿直线运动，位移 （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 则 时的瞬时速度是10 m/s；
（II）选①：当直线 斜率不存在时， 的方程为 ，恰好与圆相切，满足题意；
当直线 斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上，直线 的方程为 或 ；
选②，可得 在圆上，即 为切点，
则切点与圆心连线斜率为 ，则切线斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
10.如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a0，b0，c0，则 （）
北京市海淀区2021-2022学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
海淀区高二班级第一学期期末练习 数学（理科）学校： 班级： 姓名： 成果： 本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12.在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（ ） A ．(1,1,1) B ．(2,1,1) C ．(1,1,2) D ．(1,2,3)3.已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于( )A ．32-B ．1-C ．1D ．324.鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简洁，却分散着不平凡的才智.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A ．32B ．34 C.36 D ．405.已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中假命题．．．是（ ） A.若m α⊥，m β⊥，则//αβ B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥ C.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ D ．若//m α，//αβ，n β⊂，则//m n6.椭圆C ：2211612x y +=的焦点为1F ，2F，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最大角为（ ）A ．90︒B ．105︒ C.120︒ D ．150︒7.“0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.平面α，β，γ两两相互垂直，在平面α内有一点A 到平面β，平面γ的距离都等于1.则在平面α内与点A ，平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.直线l ：10x y +-=的倾斜角为 ，经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为 ．10.310x y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为 ． 11.请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是 ．（只需写出一组）12.在平面直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若A 、B 、C 三点共线，则x y += ．13.已知椭圆1C 和双曲线2C 的中点均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为 .x4 26y222-2214.曲线W 的方程为22322()8x y x y +=. ①请写出曲线W 的两条对称轴方程 ； ②请写出曲线W 上的两个点的坐标 ；③曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题 ：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥上，且22OC =.（I ）求圆C 的方程；（II ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.16.如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且点D 、E 分别是BC ，PB 的中点.（I ）求证：//DE 平面PAC ； （II ）求证：平面ABC ⊥平面PAD .17.如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中////AB FC ED ，且122AB BC FC ===，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.（I ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．； （II ）求二面角O EG F --的余弦值；（III ）在线段CD 上是否存在点H ，使得//BH 平面EGO ？假如存在，求出DH 的长度，假如不存在，请说明理由.18.已知抛物线W ：24y x =，直线4x =与抛物线W 交于A ，B 两点.点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线PA ，PB 分别与x 轴交于M ，N .（I ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标； （II ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；（III ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.海淀区高二班级第一学期期末练习 数学（理科） 参考答案及评分标准 一、选择题1-5:DBBCD 6、7、8、：ACB 二、填空题9.34π，20x y +-=11.1,,,A A B C（此答案不唯一） 12.12-13.14.①0x =，0y =，y x =，y x =-中的任意两条都对 ②(0,0)，(1,1)此答案不唯一③说明：9题每空2分，14题中①②空 各给1分，③给2分 三、解答题15.解：（I ）设圆心(,)C a a，则OC ==解得2a =，2a =-所以圆C ：22(2)(2)1x y -+-= （II ）①若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 ②若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-， 即0kx y k --=由题意，圆心到直线的距离1d ==解得34k =所以直线l 的方程为3430x y --=综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=. 16.解：（I ）证明：在PBC ∆中， 由于D ，E 分别是BC ，PB 的中点， 所以//DE PC由于DE ∉平面PAC ，PC ⊂平面PAC 所以//DE 平面PAC .（II ）证明：由于PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点， 所以PD BC ⊥，AD BC ⊥ 由于PDAD D =，PD ，AD ⊂平面PAD所以BC ⊥平面PAD 由于BC ⊂平面ABC 所以平面ABC ⊥平面PAD 17.解：法一：向量法 （I ）F ，D 点为所求的点. 证明如下：由于四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点， 所以OG FC ⊥.又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF 平面FCDE =FC ，所以OG ⊥平面FCDE同理取DE 的中点H ，则OH ⊥平面ABCF .分别以边OG ，OC ，OH 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由2AB =，得(3,0,0)G ，(0,1,3)D ，(0,1,3)E -，(0,2,0)F -， 则(0,3,3)FD =，(3,0,0)OG =，(0,1,3)OE =-. 所以0FD OG ⋅=，0FD OE ⋅= 又EOOG O =，所以FD ⊥平面EGO（II ）由（I ）知平面EGO 的一个法向量为(0,3,3)FD =. 设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30320y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令3y =，则1z =-，2x =-所以(2,3,1)m =--所以cos ,FD m <>=(2,3,1)(0,3,3)24431093--⋅=++⋅++ 所以二面角O EG F --的余弦值为24-（III ）假设存在点H ，使得BH //平面EOG . 设DH DC λ=所以BH BD DH =+BD DC λ=+，所以0FD BH ⋅= 而计算可得3FD BH ⋅= 这与0FD BH ⋅=冲突所以在线段CD 上不存在点H ，使得BH //平面EOG 法二：（I ）证明如下：由于四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点， 所以OG FC ⊥又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF 平面FCDE FC =，所以OG ⊥平面FCDE由于FD ⊂平面FCDE ，所以OG FD ⊥， 又//ED FO ，且EF ED =， 所以EFOD 为菱形，所以FD EO ⊥ 由于EOOG O =，所以FD ⊥平面EGO .（III ）假设存在点H ，使得//BH 平面EOG 由//ED OC ，所以EOCD 为平行四边形， 所以//EO DC 由于EO ⊂平面EOG 所以//DC 平面EOG 又BHDC H =，所以平面//EOG 平面BCD ，所以//BC 平面EOG ，所以//BC OG ， 所以GBCO 为平行四边形，所以GB CO =，冲突所以不存在点H ，使得//BH 平面EOG18.（I ）把4x =代入抛物线方程，得到4y =± 所以不妨设(4,4)A ，(4,4)B -， 所以8AB =由于12PAB S AB d ∆=⋅1842d =⋅⋅=，所以点P 到直线AB 的距离1d = 所以点P 的横坐标03x =代入抛物线方程得(3,P（II ）由于PA PB ⊥，所以0AP BP ⋅= 所以0000(4)(4)(4)(4)0x x y y --+-+=，所以22000816160x x y -++-=， 把2004y x =代入得到20040x x -=所以00x =，04x =（舍）所以00y =，PA =（III ）直线PA 的方程为0044(4)4y y x x --=--04(4)4x y =-+，点M 横坐标0004(4)44M x x y y --=+=-- 同理PB 的方程为0044(4)4y y x x ++=--04(4)4x y =-+，点N 横坐标0004(4)44N x x y y -=+=+由于PMNPABS S ∆∆=，所以0011422MN y AB x ⋅=⋅-所以2004(4)y x =-，解得02x =所以8PMN PAB S S ∆∆==。
2020-2021学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．60°D．120°3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）A．1B．C．D．24．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或06．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）设复数z满足，则|z|的最大值为（）A．B．2C．D．49．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）复数z＝，则|z|＝．12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为．13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k＝．14．（5分）直线l：y＝kx+与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是．三、解答题共5小题，共45分。
北京市101中学(一零一中学)2020-2021学年第一学期初一期末数学试卷及答案
2021北京101中学初一（上）期末数 学一、选择题：本大题共12小题，共24分。
1. 月球与地球的距离大约是384400千米，用科学记数法表示为（ ）千米。
A. 3384.410⨯B. 63.84410⨯C. 60.384410⨯D. 53.84410⨯2. 下列关于单项式2x 2y 的说法正确的是（ ）A. 系数是1，次数是2B. 系数是2，次数是2C. 系数是1，次数是3D. 系数是2，次数是33. 下列式子的变形中，正确的是（ ）A. 由6+x =10得x =10+6B. 由3x +5=4x 得3x -4x =-5C. 由8x =4-3x 得8x -3x =4D. 由2(x -1)= 3得2x -1=34. 方程x ＋y =6的正整数解有（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 无数个5. 下图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看得到的平面图形是（ ）A.B.C.D.6. 将一副三角板按如下图所示位置摆放，已知∠α=30°14′，则∠β的度数为（ ）A. 75°14′B. 59°86′C. 59°46′D. 14°46′7. 根据“ x 的3倍比x 的13多2”可列方程为（ ）A. 1323x x =- B. 1323x x =+ C. 1323x x += D. 13(2)3x x =+ 8. 若方程3,26x y x y +=-=和7kx y +=有公共解，则k 的值是（ ）A. 1B. -1C. 2D. -29. 有理数a 、b 、c 、d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A. 4a <-B. 0bd >C. 0b c +>D. ||||a b >10. 如下图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，且∠BOE =140°，则∠BOC 为（ ）A. 140°B. 100°C. 80°D. 40°11. 在某场CBA 比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示：②总得分=两分球得分+三分球得分+罚球得分。
精品解析：北京市海淀区101中学2020-2021学年高二(上)期中物理试题(解析版)
9. 测定压力变化的电容式传感器如图所示， A 为固定电极， B 为可动电极，组成一个电容大小可变的电容
器．可动电极两端固定，当待测压力施加在可动电极上时，可动电极发生形变，从而改变了电容器的电容．现 将此电容式传感器连接到如图所示的电路中，当待测压力增大时（ ）
A. 电容器的电容将减小
C. 电阻 R 中有从 a 流向 b 的电流
解．
3. 静电场中某点的电场强度 （
）
A. 其方向跟电荷在该点所受的电场力的方向一致
B. 跟电荷在该点所受的电场力的大小成正比
C. 跟放于该点的电荷的电量成反比
D. 跟放于该点的电荷的电量及所受电场力的大小无关
【答案】D 【解析】 【详解】A．电场强度的方向与正电荷所受电场力方向相同，与负电荷所受电场力方向相反，故 A 错误； BCD．电场中某点的电场强度由电场本身的性质决定，与放入电场中的电荷，以及电荷所受的电场力无关， 故 BC 错误，D 正确． 4. 有甲、乙两根材料不同，长度和横截面积都相同的金属丝，在温度一定的情况下，甲金属丝的电阻率是 乙金属丝电阻率的 2 倍．以下有关它们电阻值的说法正确的是（ ） A. 甲、乙的两根金属丝电阻值的相等 B. 甲金属丝的电阻值是乙金属线电阻值的 2 倍 C. 乙金属丝的电阻值是甲金属丝电阻值的 2 倍 D. 甲金属丝的电阻值是乙金属丝电阻值的 4 倍
可知，电容器电容 C 减小，根据
Q=CU
可知，两板间电势差 U 变大，即静电计指针偏角变大。
故选 C。
7. 一台国产封闭型贮水式电热水器的铭牌上所列的主要参数如下图表所示，根据表中提供的数据，计算出
此电热水器在额定电压下工作时，通过热水器的电流约为（ ）
额定容量
54L
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题(解析版)
2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知为等差数列，，则（ ） {}n a 54a =46a a +=A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】由等差数列性质，，求出式子的值. 4652a a a +=【详解】因为是等差数列，所以. {}n a 4652248a a a +==⨯=故选：C.2．已知点到直线的距离为，则等于（ ） (,2)(0)a a >:30l x y -+=1aA B ．CD211【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】． 1=解得， 1a =-+1a =-0a > 1a ∴=-故选：C.3．设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） ()ln f x x x =+()y f x =(1,(1))f A ． B ． C ． D ．10x y --=210x y --=20x y --=220x y --=【答案】B【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，进而即可得切线方程. 1x =【详解】因为，所以，所以， ()ln f x x x =+1()1f x x'=+(1)2f '=即在处切线方程的斜率为，()y f x =1x =2又因为，所以切线方程为，整理得， (1)1f =12(1)y x -=-210x y --=故选：B4．已知F 是抛物线的焦点，点在抛物线C 上，则（ ） 2:4C y x =()03,P y ||PF =A ．B ．C ．3D ．41【答案】D【分析】根据抛物线的定义可得：，代入数据即可求解. 2P pPF x =+【详解】因为抛物线方程为，所以， 2:4C y x =12p=又因为点在抛物线C 上，由抛物线的定义可得：()03,P y ， 3142P pPF x =+=+=故选：.D 5．已知直线，直线，则“”是“”的（ ） 1:10l x ay ++=2:(2)310l a x y ++-=1a =12l l ∥A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线的平行的判定即可求解. 【详解】等价于， 12l l ∥11231a a =≠+-解得， 2230a a +-=所以， (3)(1)0a a +-=解得或，3a =-1a =当时，，，此时重合， 3a =-1:310l x y -+=2:310l x y -+-=12,l l 故“”是“”的充分必要条件. 1a =12l l ∥故选：C.6．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ）OABC G BC OA a = OB b = OC c = =AGA ．B ．C ．D ．1122a b c -- 1122a b c -++12a b c -++12a b c -- 【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．ABAC AG 【详解】解：， AC OC OA c a =-=-，AB OB OA b a =-=- ．()()111122222AG AC AB a b c a b c ∴=+=-++=-++ 故选：B ．7．已知函数有两个极值点，则（ ） 32()1(R)f x x ax x a =+++∈()1212,x x x x <A ．B ．是的极小值点C ．D ．a <a >1x ()f x 1213x x +=1213x x =-【答案】A【分析】根据函数有两个极值点， 32()1(R)f x x ax x a =+++∈则导数为有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.0【详解】因为函数有两个极值点， 32()1(R)f x x ax x a =+++∈()1212,x x x x <所以有两个根, 2()321=0f x x ax '=++()1212,x x x x <所以,,故选项错误; 122+=3ax x 121=3x x CD 因为有两个根,2()321=0f x x ax '=++()1212,x x x x <所以,即得,解得故选项正确; ()2=24310a ∆-⨯⨯>230a ->a <a >A 因为有两个根,2()321=0f x x ax '=++()1212,x x x x <在上单调递增,在上单调递减,所以是的极大值点,故选项错误;()f x ()1,x -∞()12,x x 1x ()f x B 故选: A.8．在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且xOy 12,F F 22:12y C x -=M C ，则的面积为（ ）120MF MF ⋅=12F F M △A B ．2 C D ．4【答案】B【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点在上，是双曲线的两个焦点, M C 12,F F 由双曲线的对称性不妨设，12MF MF >则①， 1222MF MF a -==122F F c ===因为，所以，120MF MF ⋅=12MF MF ⊥由勾股定理得②， 222121212MF MF F F +==①②， 11所以， 1212122F F M S MF MF == 故选：B9．如图，平面平面，，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面内的两点，且α⊥βl αβ= β，，，，，若平面内的动点P 满足，则四棱DA l ⊥CB l ⊥4DA =6AB =8CB =αAPD BPC ∠=∠锥的体积的最大值为（ ）P ABCD -A ．24B ．C ．48D ．【答案】C【分析】根据已知可得，则当四棱锥的高最大，即的高最大即可.根据面面垂36ADCB S =h PAB PE 直的性质得出线线垂直关系结合，可得.设，，在APD BPC ∠=∠2BP AP =APB θ∠=AP m =APB △根据余弦定理结合面积公式得出由三边关系得到，即可得到h =26m <<4h ≤，代入体积公式即可求出结果.【详解】在平面内，由，，可得.βDA l ⊥CB l ⊥//DA BC 又，，所以四边形为直角梯形，.4DA =8CB =ADCB ()()114863622ADCB S AD BC AB =⨯+⨯=⨯+⨯=要使四棱锥的体积的最大值，则只要四棱锥的高最大即可.P ABCD -h 因为平面平面，，过点向作垂线交于，根据面面垂直的性质可得，α⊥βl αβ= P l l E PE α⊥，则.PE h =又是的高，且由，可知，，， PE PAB DA l ⊥CB l ⊥DA α⊥CB α⊥又，，所以，.AP α⊂PB β⊂DA AP ⊥BC PB ⊥在中，.在中，.Rt PAD △tan AD APD AP∠=Rt PBC tan BCBPC BP ∠=又，所以，所以，即. APD BPC ∠=∠AD BCAP BP =4182AP AD BP BC ===2BP AP =设，，在中，由余弦定理可得. APB θ∠=AP m =APB △22222536cos 24AP BP AB m AP BP m θ+--==⋅因为，所以sin 0θ>sinθ===则，又，1sin 2PAB S PA PB θ=⋅V 132PAB S AB h h =⋅=V 所以，h =根据三角形三边关系可得，即，66PA PB ABPA PB AB +>=⎧⎨-<=⎩366m m >⎧⎨<⎩所以，. 26m <<2436m <<所以，当时，. 220m =h =4=又四棱锥的体积为，P ABCD -113644833ADCB V S h =⨯⋅≤⨯⨯=所以，四棱锥的体积的最大值为48. P ABCD -故选：C.10．斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：{}()N n F n *∈121F F ==，当时，．若，则（ ）2n >12n n n F F F --=+2222123100m mF F F F F F ++++= m =A ．98 B ．99C ．100D ．101【答案】B【分析】根据题意推出,再利用累加法化简即可求出的值.21111()m m m m m m m m F F F F F F F F +-+-=-=-m【详解】由题意得，，因为,，2121F F F =3,N n n *≥∈12n n n F F F --=-所以，222312321()F F F F F F F F =-=-，233423432()F F F F F F F F =-=-，L ，21111()m m m m m m m m F F F F F F F F +-+-=-=-累加得，222121m m m F F F F F ++++= 因为，所以22221231100m m m m mF F F F F F F F F +++++== 1100m F F +=当,,是递增数列. 2,N n n *≥∈121n n n n F F F F ---=+>{}n F 所以，所以. 1100m +=99m =故选：.B二、填空题11．函数的导函数______. ()x f x xe =()f x '=【答案】(1)x x e +⋅【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果. 【详解】∵，()x f x xe =∴.()()1x x xf x e xe x e '=+=+故答案为：.(1)x x e +⋅12．已知平面的法向量为，直线l 的方向向量为，且，则实数α(1,2,2)n =-(2,,4)u m =- l α⊥m =_________． 【答案】4-【分析】根据直线与平面垂直可得直线l 的方向向量与平面的法向量平行，利用两向量平行的充α要条件即可求解.【详解】因为平面的法向量为，直线l 的方向向量为，且，所以α(1,2,2)n =-(2,,4)u m =- l α⊥，则存在实数使得，//n u λu n λ=也即，解得：，， (2,,4)(,2,2)m λλλ-=-2λ=-4m =-故答案为：.4-13．过圆的圆心且与直线平行的直线的方程是__． 22:(1)1C x y ++=0x y -=【答案】10x y -+=【分析】设出与直线平行的直线，将圆心代入即可. 0x y -=【详解】由的圆心为， 22:(1)1C x y ++=()1,0-设与直线平行的直线为：0x y -=，0x y a -+=因为过圆心， 0x y a -+=()1,0-所以， 1001a a --+=⇒=故所求直线为：， 10x y -+=故答案为：.10x y -+=14．已知是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，恒成立，{}n a 21220n n a a -+>则q 的值可以是____________________．（只需写出一个） 【答案】-3（答案不唯一，即可） 2q <-【分析】根据已知可推出恒成立，进而得到，.()22120n a qq -+>20q +<2q <-【详解】由可得，恒成立， 21220n n a a -+>()222122111220n n n a qa q a q q ---+=+>因为，显然有， 0q ≠()22210n n q q --=>又，所以，. 10a <20q +<2q <-故答案为：-3.15．数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线在平面直角坐标系中的方程为D xOy ．当时，给出下列四个结论：3330x y axy +-=1a =①曲线不经过第三象限； D ②曲线关于直线轴对称；D y x =③对任意，曲线与直线一定有公共点； R k ∈D y x k =-+④对任意，曲线与直线一定有公共点． R k ∈D y k =其中所有正确结论的序号是________________． 【答案】①②④【分析】当时，判断是否成；点(y ，x )代入方程，判断与原方程是否相同； ,0x y <3330x y xy +-=联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解分别逐一判断选项即可. 【详解】当时, 方程为1a =3330x y xy +-=当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确； ,0x y <3330x y xy +-<将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，②正确；(),y x 3330x y xy +-=y x =当,联立其中，1k =-3330,1,x y xy x y ⎧+-=⎨+=-⎩()()3322330x y xy x y x y xy xy +-=++--=将代入得，即，则方程组无解， 1x y +=-2()0x y -+=0x y +=故曲线与直线无公共点，③错误;D 1x y +=-联立可得有解,3330,x y xy y k⎧+-=⎨=⎩3330x k xk +-=设, ,()333t x x k xk =+-()(2333t x x k x x '=-=当时, 在单调递增, 单调递减,值域为所以成立,0k >()t x (),,-∞+∞(R ()0t x =当时成立.0k =()00t =当时, ,单调递增,0k <()2330t x x k '=->()t x ,所以成立,()()33233230,30t k k k k t k k k k -=-++>=+-<()()00,,0x k k t x ∃∈-=所以曲线与直线一定有公共点 D y k =故④选项正确. 故答案为：①②④.三、双空题16．设点分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C 的离心率为______________；经过12,F F 22:12x C y +=原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，当四边形的面积最大时，12PFQF 12PF PF ⋅=_____________．【答案】； . 0【分析】根据已知求出的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，,,a b c 1212022PF QF PF F S S y ==所以为短轴顶点.写出的坐标，即可得到结果. ,P Q 12,,P F F【详解】由已知可得，，所以，则离心率a =1b =1c =c e a ==根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. ,P Q ()00,P x y ()00,Q x y --且， 1212120012222PF QF PF F S S F F y y ==⨯= 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点.0y ,P Q 不妨设.，，所以，， ()0,1P ()11,0F -()21,0F ()11,1PF =-- ()21,1PF =-所以. ()()1211110PF PF ⋅=-⨯+-⨯-=；. 0四、解答题 17．设函数． 321()313f x x x x =--+(1)求的单调区间；()f x (2)当时，求的最大值与最小值．[0,4]x ∈()f x 【答案】(1)单调递增区间是,，单调递减区间是 (],1-∞-[)3,+∞()1,3-(2)最大值,最小值 ()01f =()38f =-【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间； （2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【详解】（1），()()()22313f x x x x x '=--=+-当，解得：或，所以函数的单调递增区间是,， ()0f x '≥3x ≥1x ≤-(],1-∞-[)3,+∞当，解得：，所以函数的单调递减区间是， ()0f x '<13x -<<()1,3-所以函数的单调递增区间是,，单调递减区间是； (],1-∞-[)3,+∞()1,3-（2）由（1）可得下表x()0,33()3,4 4()f x '- 0 +()f x1单调递减8-单调递增173-所以函数的最大值是，函数的最小值是()01f =()38f =-18．已知是等差数列，其前n 项和为．{}n a ()15,1,9n S n a a *∈==N (1)求数列的通项公式及；{}n a n S (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前n 项和．{}n b n T 条件①：；2n an b =条件②：；2nn n b a =+条件③：．11n n n b a a +=⋅注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，21n a n =-2n S n =(2)若选①：；21223n n T +-=若选②：；1222n n T n +=-+若选③： 21n nT n =+【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式即可求解；（2）根据等比数列求和公式、分组求和方法、乘公比错位相减法即可分别求解. 【详解】（1）设数列{a n }的公差为.d ，151,9a a ==，514918d a a =-=-=，2d =11,a =所以，1(1)221n a n n =+-⨯=-所以. ()122n n a a n S n +==（2）若选①：，2122n a n n b -==； 12113521122(14)22...222 (2)143n n n n n T b b b +---=+++=++++==-若选②：， 221n n b n =+-()()11212121212(12)...(22...2)135...2122122n nn n n n n T b b b n n +⎡⎤+--⎣⎦⎡⎤=+++=++++++++-=+=-+⎣⎦-.若选③：， ()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭ 1211111111111......2133557792121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112121n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 12221n n ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦. 21n n =+19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，P ABCD -PAB ⊥ABCD //AD BC π2ABC ∠=3PA PB ==，，，，点O 是的中点． 1BC =2AB =3AD =AB(1)求证：；PO CD ⊥(2)求二面角的余弦值；A PO D --(3)在棱上是否存在点M ，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由． PC //BM POD CM CP 【答案】(1)证明过程见解析；； (3)存在，. 14CM CP =【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；（2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1）因为，点O 是的中点，PA PB =AB 所以，因为平面平面，平面平面，PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =所以平面，而平面，PO ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以；PO CD ⊥（2）设为的中点，连接，E CD OE 因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面//AD BC π2ABC ∠=OE AB ⊥PO ⊥ABCD ,AB OE ⊂，所以，ABCD ,PO OE PO AB ⊥⊥因此建立如图所示的空间直角坐标系，，(0,0,(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,1,0),(1,0,0),P O A D C B --因为平面平面，平面平面，，PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =OE AB ⊥所以平面，因此平面的法向量为，OE ⊥PAO APO (0,1,0)OE = 设平面的法向量为，，DPO (,,)n x y z =(0,0,(1,3,0)OP OD ==- 于是有，00(3,1,0)300n OP n x y z n OD ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩二面角A PO D --（3）假设在棱上存在点M ，使得平面，且，可得：PC //BM POD ([0,1])CM CP λλ=∈ ，因此，(1,1,)M λλ--(,1,)BM λλ=-- 由（2）可知平面的法向量为，DPO (3,1,0)n =因为平面，所以， //BM POD 10310[0,1]4BM n BM n λλλ⊥⇒⋅=⇒-+-=⇒=∈ 因此假设成立，. 14CM CP =20．已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C 上． 2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛ ⎝(1)求椭圆C 的方程；(2)过点的直线l 椭圆C 交于两点，且．问：x 轴上是否存在点N (4,0)M ()()1122,,,A x y B x y 120y y ≠使得直线，直线与y 轴围成的三角形始终是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求点N NA NB 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) 2214x y +=(2)存在，()1,0N【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为0后，根据直线与椭圆联立即可求NA NB k k +=解.【详解】（1）因为 ,1224PF PF a +==解得 2.a =所以点 在椭圆 上.P ⎛ ⎝C将 代入 , 得 . ⎛ ⎝22221x y a b +=221314a b +=.1b =从而 .24a =. 22:14x C y +=（2）显然直线 的斜率存在且不为 0 , 设直线的方程为 .l l ()4y k x =-设 .()()1122,,,A x y B x y 假设存在点 ,(),0N t 因为直线 与 轴围成的三角形始终为底边在轴上的等腰三角形，,NA NB y y 0，NA NB k k +=即 , ()()()()()()12121212121212442480NA NB k x k x x x t x x t y y k k k x t x t x t x t x t x t ---++++=+=+=⋅=------即 .()()12122480x x t x x t -+++=由 ()224,14y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去 并整理, 得 .y ()222214326440k x k x k +-+-=由 ,()()()2222324146440k k k ∆=--+->求得 , 21012k <<则 . 2212122232644,1414k k x x x x k k -+==++所以 , ()22226443224801414k k t t k k-⨯-+⨯+=++解得 .1t =于是在 轴上存在定点 , 使得直线 与 轴围成的三角形始终为底边在 轴上x ()1,0N ,NA NB y y 的等腰三角形.21．在无穷数列中，．{}n a 12211,,N n n n a a a a a n *++===-∈(1)求与的值； 41a a 74a a (2)证明：数列中有无穷多项不为0；{}n a (3)证明：数列中的所有项都不为0． {}n a【答案】(1)，411a a =741a a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用递推公式求的值即可；47,a a （2）假设数列中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；{}n a （3）由（2）可得在无穷处能找到一个，利用递推公式可得数列呈周期变化，0n a ≠{}n a ，令即可证明.369123,,,,,0n n n n n k a a a a a +++++⋅⋅⋅≠*(N )k ∈31,2,3n k -=【详解】（1）由可得，12211,,N n n n a a a a a n *++===-∈，，321a a =-4322a a a =-=5433a a a =-=-，，651a a =-7654a a a =-=所以，. 411a a -741a a ==（2）假设数列中有限个项不为0，{}n a 则会存在一个数，当时，，m n m ≥0n a =则，10,0m m a a +==由可得； 11m m m a a a +-=-10m a -=由可得12m m m a a a --=-20m a -=⋅⋅⋅由可得，与题意矛盾，故假设不成立，321a a a =-10a =所以数列中有无穷多项不为0 {}n a （3）由（2）可得在无穷处能找到一个，0n a ≠因为，所以，12n n n a a a --=-12n n a a --≠所以由可得，123n n n a a a ---=-30n a -≠同理可得，69123,,,,0n n n n k a a a a ----⋅⋅⋅≠(30,N)n k k ->∈当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，31n k -=13n k =+N k ∈10a ≠31{}k a +当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，32n k -=23n k =+N k ∈20a ≠32{}k a +当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0，33n k -=33n k =+N k ∈30a ≠33{}k a +综上可得数列中的所有项都不为0．{}n a 【点睛】关键点睛：第（3）问一开始用到了第（2）问的结论，关键是利用递推数列能得到数列的周期变化，考查分析问题与解决问题的能力.。
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角等于（ ） 0x y +=A ． B ． C ． D ．45 90 120 135 【答案】D【分析】由得.0x y +==-+y x【详解】由得，则倾斜角为. 0x y +==-+y x 1-135 故选：D2．抛物线的准线方程为（ ） 24x y =A ． B ． C ． D ．1x ==1x -1y =1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 2p =【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 24x y =2p =()0,11y =-故选：D.3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） O xyz -()()1,3,0,0,3,1A B -A ．直线坐标平面 B ．直线坐标平面 AB xOy AB ⊥xOy C ．直线坐标平面 D ．直线坐标平面AB xOz AB ⊥xOz 【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．ABAB【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是(1,0,1)AB =--xOy (0,0,1)xOz ，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，(0,1,0)yOz (1,0,0)AB但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，(0,1,0)0AB ⋅=,A B xOz AB xOz 故选：C ．4．在的展开式中，的系数为（ ） 4(21)x +2x A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式， 4(21)x +444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=令，得，42k -=2k =所以在的展开式中，的系数为，4(21)x +2x 42242C 4624-=⨯=故选：C5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） 1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1D BC D --ABCD【答案】D【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出1111ABCD A B C D -1D CD ∠1D BC D --的值即可得出答案.1cosD CD ∠【详解】长方体中，，，1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1CD ∴=，平面,平面,,BC CD ∴⊥BC ⊥ 11DCC D 1CD ⊂11DCC D 1BC CD ∴⊥又平面平面，1D BCBCD BC =为二面角所成的平面角，∴1D CD ∠1D BC D --11cos CD D CD CD ∠===所以二面角1D BC D --故选：D.6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 340x y m ++=22(1)1x y ++=m A ． B ． ()(),82,∞∞--⋃+()(),28,∞∞--⋃+C ． D ．()(),22,∞∞--⋃+()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，(1,0)-340x y m ++=1d r =解得或， 2m <-8m >故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种33A 332A 5353A A -35A 【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，22A 2=33A 所以共有 种排法； 332A 故选：B.8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） a R ∈1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.1a =2a =-【详解】直线与直线平行，则，或， 1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y ()12a a +=1a =2a =-验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭l 圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）2m 6m 1mA ．BC ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截22194x y +=1y =得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标x y 系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，22194x y +=当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 1m 1y =1y =把代入椭圆方程可得： 1y =x =所以当水位上升时，水面的宽度为， 1m 故选：.A 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） ()1,0A ()2,3N -:210l x ay a ++-=AM l ⊥M MNA B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为AM l a M ，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．()()22111x y -++=MN ()2,3N -【详解】依题意可得直线的方程为，AM ()1y a x =-联立，消整理得，()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩a ()()22111x y -++=所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， M ()1,1-故的最大值为，MN 16=故选：B ．二、填空题11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. ()()3,2,1,4A B --AB AB 【答案】2310x y --=【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.AB【详解】因为，所以线段的中点，且.()()3,2,1,4A B --AB ()1,1C --()423132AB k --==---所以与垂直的直线的斜率为， AB 112332ABk k =-=-=-所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. AB AB ()2113y x +=+2310x y --=故答案为：2310x y --=12．在的展开式中，常数项为_____．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以令，解得，620k -=3k =所以常数项为3620C =故答案为：．2013．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则F 2:4C y x =A C ()3,0B AF BF =AB =__________.【答案】【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求(),A x y 24y x ==2AF BF =出，即可求出.()1,2A ±AB 【详解】由题意可得，，，设， ()1,0F 2BF =(),A x y 且满足，此时， 24y x =0x >则，2AF ===解得：，此时，所以， 1x =2y =±()1,2A ±故AB ==故答案为：14．记双曲线的离心率为e ，写出满足条件“直线与C 无公共点”的e 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2y x =的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值. by x a =±02b a<≤【详解】解：，所以C 的渐近线方程为,2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b y x a=±结合渐近线的特点，只需，即，02b a <≤224b a ≤可满足条件“直线与C 无公共点”2y x =所以===c e a又因为，所以， 1e >1e <≤故答案为：2（满足 1e <≤15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含1111ABCD A B C D -2,AB E =1DD F 11CDD C 边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：1//B F 1A BE①动点的轨迹是一段圆弧；F ②存在符合条件的点，使得； F 11B F A B ⊥③三棱锥的体积的最大值为；11B D EF -23④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 1B F 11CDD C θtan θ2,⎡⎣其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹； 1//A BE 1MNB F 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，1CC 11D C ,N M MN 1MB 1NB 由正方体性质知，，平面，平面，所以1//MN A B 11//NB EA 1,MN NB ⊂/1A BE 11,A B EA ⊂1A BE 平面,又平面，，所以平面平面，1,//MN NB 1A BE 1,MN NB ⊂1MNB 1MN NB N = 1//A BE 1MNB 当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； F MN 1//B F 1A BE F MN 对于②，当为线段中点时，，， F MN 11MB NB = 1B F MN ∴⊥又，，故②正确；1//MN A B 11B F A B ∴⊥对于③，三棱锥的体积，11B D EF -11111233D EF D EF V S B C S =⋅=又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；1max 12112D EF S =⨯⨯=23对于④，连接，则与平面所成角，则， 11,B F C F 1B F 11CDD C 11FC Bθ=∠12tan C Fθ=，所以的取值范围是，故④正确； 11C F≤tan θ2,⎡⎣故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；37C（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.12214343C C C C +【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种； 37765C 353´´==！（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E AB 点，.2PA AB ==(1)求证：；BC PE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值. PAB PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可PA BC ⊥得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可BC PE ⊥PAB PBD 求得二面角的余弦值【详解】（1）由平面，根据线面垂直的性质定理可知， PA ⊥ABCD PA BC ⊥又因为底面为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥又因为，且PA,BA 含于平面PAB,所以平面；PA BA A = BC ⊥PAB 为线段的中点，平面， E AB PE ⊂PAB 所以，BC PE ⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为轴、轴、轴建立x y z 空间直角坐标系，如下图所示：则；(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则，(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-设平面的一个法向量为，PBD (,,)n x y z =得，令可得，，即；·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 1z =1,1x y ==(1,1,1)n = 易知，是平面的一个法向量， (0,2,0)AD =PAB 设平面与平面的夹角为，PAB PBD θ则cos cos ,n AD n AD n AD θ==== 所以，平面与平面PAB PBD 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值()()1,0,1,0A B -C PA PB 的点组成的集合.()λλ∈R P (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；C λ(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. C e ≥λ【答案】(1)1-(2) [)1+∞，【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化,PA PB (),P x y 简满足圆的条件即可求得的值.λ（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双,PA PB (),Px y 曲线的条件及离心率的取值范围.e ≥λ【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，220x y λλ-++=所以解得.140λλ-=⎧⎨->⎩1λ=-（2）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，()210yx λλ-=≠所以， 222221,,1a b c a b λλ===+=+因为 ce a=≥所以，22211c e a λ+==≥1λ≥所以的取值范围为. λ[)1+∞，19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的方程；C (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，F l C l ,A B 求直线的方程；若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.c 2a b =222a b c =+,a b（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证AB l m ，得结论不存在关于直线对称的两点.Δ0<l 【详解】（1）2222244()c a b a b a c ==∴==-24,2,1a a b ∴===椭圆的方程 C 2214x y +=（2）假设存在关于对称的两点l ,A B的方程为:l y x = AB y x m =-+直线与椭圆的方程联立得 AB C 2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2258440x mx m -+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则， 12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=的中点代入AB 4(,55mm y x =解得 m =此时，216800m ∆=-+<所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.C l ,A B 20．如图，在四棱柱中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1，，ABCD AB CD AD CD ==∥为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.12，AA AB E ==1AA 条件①：；条件②：AD BE ⊥BC =(1)求直线与所成角的余弦值；CE 11B D (2)求点到平面的距离；1C BCE (3)已知点在线段上，直线与平面的长. M 1CC EM 11BCCB CM 【答案】(3)的长为或. CM 1232【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量DA AB ⊥A 方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因平面ABCD ，平面ABCD ，则，1AA ⊥DA ⊂1DA AA ⊥又，平面，平面，，则AD BE ⊥1AA ⊂11ABB A EB ⊂11ABB A 1∩AA EB E =DA ⊥平面，又平面，则；11ABB A AB ⊂11ABB A DA AB ⊥若选择②，做，交AB 于F ，又，则四边形DCFA 是平行四边形，则CF AD ∥AB CD ，又，则.1CD CF AD AF ====2AB =1FB =则在中，，得，又，则.CFB 222CF FB BC +=CF AB ⊥CF AD ∥AD AB ⊥故，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系.11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥则，()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B 得，则直线与所成角的余弦值为： ()()11111120,,，,,CE B D =--=-CE 11B D（2）因，()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C 则. ()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=设平面的法向量为，则， BCE ()111,,x n y z = 111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取，则求点到平面的距离()1,1,2n = 1C BCE d （3）因点在线段上，则设，其中. M 1CC ()11,,M t []0,2t ∈又，则.又， ()0,0,1E ()111,,EM t =-()()11,1,00,0,2CB CC =-= ，设平面法向量为，则， 11BCC B ()222,,m x y z = 222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩取，则直线与平面所成角的正弦值为： ()1,1,0m =u r EM 11BCC B或.12EM mtEM m⋅==⇒=⋅32t=得线段的长为或.CM123221．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.22:116x yCt t+=+-x12(1)求实数的值；t(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合(),P m n12,l l12,l l C P是一个圆.【答案】(1)3t=(2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简k k,km n b¢=-+=即可求解.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解22:116x yCt t+=+-x12()216114t tet+--==+得，3t=（2）当时，椭圆方程为，3t=22143x y+=设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为，y k x b'=+所以，()222223484120143y k x bk x k bx bx y''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'由于相切，所以，化简得—①，()()()222=84344120k b k b¢¢D-+->22430k b¢-+=设过点且斜率为的直线方程为，即，(),P m n0k'≠()y k x m n¢=-+y kx km n=-+所以将代入①得，k k,km n b¢=-+=()22430k km n--++=化简得—②，22224230k n kmn k m -+-+=将代入②得，化简得—③， 1k -22221114230n mn m k k k æöç÷-+--+=ç÷èø22224230n k kmn m k ---+=由②③相加得， ()()()2222227117k k m n m n +=++Þ+=当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，12,l l (2P ,±227m n +=综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为(),P m n 227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。
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北京市西城区2021-2022高二数学上学期期末考试试题试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）A ． C ．6 D ．8 2．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）A ．1x ∀≥,21x ≤B ．1x ∃<,21x >C ．1x ∀<,21x >D ．1x ∃≥,21x >4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）A ．2a b <B ．2ab b <C ．22a b <D ．33a b <5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）A ．B ．6C ．9D ．186．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）A. 1-B. 1C.1 或1-D. 1 或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ） A.6m ≥ B. 32m ≥C. 6m ≤D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为__________. 12. 不等式01xx <-的解集为_________. 13. 能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心率的值是__________.15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元； 当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）. 16. 若1239,,,,x x x x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax =+，a ∈R . （Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=，求AFB ∆的面积.20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=.2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值； （Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.22．（本小题满分13分）若无穷数列123,,,a a a 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.DAB CPE（Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”；（Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-，求p 的所有可能值.北京市西城区2021 — 2021度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2021.1一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3.C4. D5. A6. A7. B8. D9. B 10. C 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.8 12. {01}x x << 13. 1,1-（答案不唯一） 14.2 15.23100n n ++；10 16. 3；21 注：13、15、16题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 为公比为2的等比数列，所以23114a a q a ==，418a a =，5116a a =， ………………3分 依题意得 4352(4)a a a +=+， ………………5分 即1112(84)416a a a +=+， ………………6分 整理得148a =， 解得12a =.………………7分所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. ………………8分 （Ⅱ）依题意 111nn q S a q-=⋅-， ………………10分11222212n n +-=⋅=--. ………………11分所以12262n +-=，整理得1264n +=， ………………12分 解得 5.n =所以n 的值是5. ………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()(1)f a f >得221a a a +>+，整理得2210a a -->， ………………2分 解得1{|2a a <-或1}a >. ………………4分（Ⅱ）()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，则min ()4f x ≥-， ………………6分所以244a -≥-， ………………7分整理得2160a -≤，解得{|44}a a -≤≤. ………………8分 （Ⅲ）解20x ax +=，得120,x x a ==-，①当0a ->时，即0a <时,0x <或 x a >-； ………………10分 ②当0a -<时，即0a >时,x a <-或 0x >； ………………12分 ③当0a -=时，即0a =时,0x ≠ . ………………13分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|0x x <或}x a >-；当0a >时，不等式的解集为{|x x a <-或0}x >；当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠.19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意 1c =，c a =………………2分解得a =1b ， ………………4分 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）设点00(,)B x y ，因为点B 在椭圆上，所以220012x y +=…①， ………………7分因为90AFB ∠=，所以1FA FB k k ⋅=-，得0011yx =-…②， ………………8分由①②消去0y 得，200340x x -=，解得00x=（舍），04 3x=，………………10分代入方程②得01 3y=，所以41(,)33B，………………11分所以||BF=，又||AF………………12分所以AFB∆的面积111=||||2233AFBS AF BF∆⨯⨯=⨯. ………………13分20. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD⊥平面PAB，//BC AD，所以BC⊥平面PAB. ………………1分又因为AE⊂平面PAB，所以AE BC⊥. ………………2分在PAB∆中，PA AB=，E是PB的中点，所以AE PB⊥. ………………3分又因为BC PB B=，所以AE⊥平面PBC. ………………4分（Ⅱ）解：因为AD⊥平面PAB，所以AD AB⊥，AD PA⊥. ………………5分又因为PA AB⊥，所以如图建立空间直角坐标系A xyz-.则(0,0,0)A，(0,2,0)B，(0,2,)C m，(1,1,0)E，(2,0,0)P，(0,0,3)D，(0,2,)AC m=，(1,1,0)AE =. ………6分设平面AEC的法向量为(,,)x y z=n.则0,0,ACAE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn………………7分即20,0.y mzx y+=⎧⎨+=⎩令1x=，则1y=-，2zm=，于是2(1,1,)m=-n. ………………8分因为AD⊥平面PAB，所以AD PB⊥. 又PB AE⊥，所以PB⊥平面AED.又因为(2,2,0)PB=-，所以取平面AED的法向量为(1,1,0)=-m. ………………9分所以cos,||||⋅〈〉==⋅n mn mn m………………10分=21m=.又因为0m>，所以1m=. ………………11分（Ⅲ）结论：不存在.理由如下：证明：设(0,0,)F t(03)t≤≤.当2m=时，(0,2,2)C.(2,0,)PF t=-，(1,1,2)CE=--. ………………12分由PF CE⊥知，0PF CE⋅=，220t--=，1t=-.这与03t≤≤矛盾. ………13分所以，在线段AD上不存在点F，使得PF CE⊥. ………………14分21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以132p+=，解得4p=，………2分所以28y x=，………………3分所以准线方程为2x=-. ………………4分（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)y k x=+(0)k≠，1122(,),(,)A x yB x y.联立得28,(1),y xy k x⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y得2222(28)0k x k x k+-+=. ………………5分由224(28)40k k∆=-->，解得k<.所以k<且0k≠.由韦达定理得212282kx xk-+=，121x x=. ………………7分方法一：直线BF的方程为22(2)2yy xx=--，又1Dx=-，所以2232Dyyx-=-，所以223(1,)2yDx---，………………8分因为//DE AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等. ………………9分又(4,3)E k--，所以221133232ykx yx-+-=--. ………………10分整理得121222y ykx x=+--，即1212(1)(1)22k x k xkx x++=+--，………………11分化简得121211122x xx x++=+--，121212122()412()4x x x xx x x x-+-=-++，即12+7x x=. ………………12分所以2282=7k k-，整理得289k =， ………………13分解得k =经检验，k =.所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 方法二：因为//DE AF ，所以||||||||BA BF BE BD =，所以21222241x x x x x --=++. ………………10分 整理得1212()8x x x x ++=，即2282=7k k-， ………………12分 整理得289k =. ………………13分解得k =k =. 所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 22.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为数列{}n a 为等差数列，所以 对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，有 11i i j j a a a a d +--=-=， ………………2分 所以 11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}n a 为“和谐数列”. ………………4分 （Ⅱ）证明：因为数列{}n a 为“和谐数列”，所以 当1i =,4j =时，只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2314a a a a +=+，即2143a a a a -=-. ………………6分 当1i =，5,6,7,8,9j =时，也只能11i j i j a a a a +-+=+成立，11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2415a a a a +=+，2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,即 21546576a a a a a a a a -=-=-=-=，所以 21435465a a a a a a a a -=-=-=-=. ………………7分令21a a d -=，则数列{}n a 满足1(4)n n a a d n --=≥.所以，数列{}n a 从第3项起为等差数列. ………………8分 （Ⅲ）解：①若1p =，则11p a a ==，与10a =矛盾，不合题意.②若2p =，则10a =，22a =，但1222a a +=≠-，不合题意. ………………9分 ③若3p =，则10a =，33a =，由1233a a a ++=-，得26a =-， 此时数列{}n a 为：0,6,3,3,9,---，符合题意. ………………10分④若4p ≥，设21a a d -=，则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-.所以，(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++=即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=.因为 10p -≠，所以(3)0p d p p d ++--=. ………………11分所以 4p =不合题意.所以 228882444p p d p p p -+===+---. ………………12分 因为p 为整数，所以84p -为整数，所以5,6,8,12p =. 综上所述，p 的所有可能值为3,5,6,8,12. ………………13分。