汽车振动学—随机振动

可以推论，在确定一个系统对随机激励的响应时，不可能期望对响应的 了解比对激励的描述更加详尽。由此可见，确定一个系统对随机激励的响应 时，目标是建立系统的随机响应统计特性与激励的统计特性之间的关系。
一、随机过程
发现线性系统受到的激励与其响应的统计特性之间的联系，正是“统 计动力学”的重大突破，也是分析系统在随机激励下的响应与行为的基础。
二、 随机过程的统计特性
1、时域（幅值域）特性－－平均值、方差和均方值 2、相关域特性－－相关函数 3、频率域特性－－功率谱密度 4、几种典型的随机过程 5、随机过程的概率描述＊
1、时域（幅值域）特性－－平均值、方差和均方值
（1）均值（一次矩） 对于连续随机过程
对于离散随机过程
x
lim 1 T T
了ti和 ti 时刻两个随机变量 X1 xk (ti ), X2 xk (ti ) 之间的统计联
系。
（2）平稳随机过程
一随机过程的总体均值和自相关函数一般与时刻有关，这表明此过 程的统计特性是随时间变化的，这种过程称为“非平稳的”。
如果随机过程的一、二阶平均值均与时刻无关，则称为（弱）平稳随机
X (ti ) xk (ti )
它是随机过程在某时刻的状态
1、总体平均与平稳随机过程
随机过程的某一个样本函数 xk (t)只是一次偶然的实现，它并不足以代
表这一过程的特性和本质。为了揭示其特性和本质，必须从所有的样本函
数的总体出发，计算其某些平均量。
（1）总体平均 是在各样本函数之间进行的，即是各样本函数在某时刻的取值的平均值。
(t)
xk
(t
)
lim
T
1 T
T
0 xk (t)xk (t )dt
时间均值与时间自相关函数一般会随样本函数而异，即是样本编号k的 函数。由于某一个样本函数并不足以反映一个随机过程的全貌，故基于某 一个样本函数的时间平均一般也不能代表整个随机过程的统计特性。但是 在所谓的“各态历经”假设下，却可以用一个样本函数来有效地代表整个 随机过程的特性。
这里所谓的“统计性规律”是指激励或响应的 某些“平均数”，如均值、自相关函数等。 随机振动：由随机激励激起的机械或结构系统的振动。
样本函数：重复的试验记录
xk (t) (k 1, 2,L , n)
随机过程：所有样本函数的集合
X (t) xk (t)
它是随机激励与响应的数学模型
随机变量：在任意时刻各个样本函数的取值
方差的平方根值——标准差。
（3）均方值和均方根值（二次矩和有效值）
对于连续随机过程
2 x
1 lim T T
T x2 (t)dt
0
对于离散随机过程
2 x
lim
N
1 N
N
xi 2
i 1
它反映了随机信号的动态和静态的总的平均能量水平，即信号的强度。
均方根值：均方值的平方根值，又称有效值。
过程。平稳随机过程的均值是常数，记为 x ，而自相关函数仅是时间
的函数，记为 Rx ( ) 。
2、时间平均与各态历经随机过程
（1）时间平均 是就某一样本函数 xk (t) 在时间上的取值的平均值。
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①时间均值
x
(k
)
xk
(t)
lim
T
1 T
T
0 xk (t)dt
②时间自相关函数
Rx
(k,
)
xk
（2）各态历经随机过程
客观上存在某些随机过程，其样本在空间上分布的统计特性与其中任 一样本在时间上发展的统计特性之间，有着深刻的相似之处。
对于这类过程来说，可以认为其总体平均与时间平均相等，即
x (ti ) x (k) Rx (ti ,ti ) Rx (k, )
满足此条件的过程则称为各态历经随机过程。
也就是说，过程各态历经，必须有：总体平均与时间无关（过程是平 稳的），且时间平均与k无关（各样本时间平均相同）。由此可见，各态 历经过程一定是平稳的，反之则不然，即平稳过程未必是各态历经的。
随机过程的各态历经性具有十分重要的工程实际意义。它可以用少量 的样本函数估计整个随机过程的统计特性。研究一个样本函数的统计特性 就可以掌握其全部样本的统计特性，而避免采集大量样本和计算总体平均 的麻烦，从而使得对随机过程的记录、分析工作大为简化。
T
x(t)dt
0
x
lim 1 N N
N
xi
i 1
它说明了随机过程信号的平均位置，反映了信号的静态分量。
（2）方差（二次中心矩）和标准差
对于连续随机过程
2 x
lim
T
1 T
T 0
(
x(t
)
x
)2dt
对于离散随机过程
2 x
lim
N
1 N
N
(xi x )2
i 1
它描述了信号在均值附近的波动的程度，反映了信号的动态部分。
汽车振动学
第五章 随机振动概述 （2学时）
2009年8月
第五章 随机振动概述
一、随机过程 1、总体平均与平稳随机过程 2、时间平均与各态历经随机过程
二、随机过程的统计特性 1、时域（幅值域）特征－－平均值、均方差和方差 2、相关域特征－－相关函数 3、频率域特征－－功率谱密度 4、几种典型的随机过程 5、随机过程的概率描述
三、线性系统对随机激励的响应 1、激励与响应的统计特性之间的关系 2、单自由度线性系统对于随机激励的响应 3、随机过程的联合性质＊ 4、多自由度系统对随机激励的响应＊
一 、 随机过程 1、总体平均与平稳随机过程 2、时间平均与各态历经随机过程
确定性激励（deterministic excitation）：谐波激励、周期激励、非周期激励
不确定性激励（nondeterministic excitation）或随机激励(random excitation) 变化规律是不确定的，即无法用一种确定的时间与空间坐标的函数关
系来完整描述其数值。 不再企求描述激励随时间的变化规律，而是退而求其次，即只要求掌握
激励的某些“统计性规律”，同时也不去追求获得响应的时间历程，而是满 足于对响应的“统计性规律”的掌握与运用。
①总体均值（一阶平均）
x (ti ) E
xk (ti )
lim
n
1 n
n k 1
xk
(ti )
总体均值一般是时刻 ti 的函数。
②自相关函数（二阶平均）
Rx (ti ,ti ) E
xk (ti )xk (ti )
lim
n
1 n
n k 1
xk (ti )xk
(ti
)
一般而言，总体自相关函数依赖所选定的起始时刻 ti与时移 它反映