现代设计方法(第三章 有限元法)

1.在有限元法中，将求解对象看成由许多小的、彼此相连的杆和梁、一定形状的板和壳所组成。

在使用有限元法进行分析时，该结构可近似地看成由若干能过节点彼此相连的单元所组成。

根据已知的原始数据，按照有限元法规定的运算步骤，首先可求出各节点位移的数值解，进而可求出整个结构各点的响应。

2.有限元法的基本思路：化整为零，集零为整，把复杂结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体。

3.平衡或稳态问题、特征值问题、瞬态问题；4.平衡问题：若是固体力学问题或结构力学问题，刚需求出稳态时位移和应力的分布；若是热传导问题，则要找出温度或热流量的分布；若是液体力学问题，则要得到压力和速度的分布规律；特征值问题：所获得的解呈周期性变化，它可看成是平衡问题的延伸。

这需求出某些参数的临界值及相应的稳态形态。

在这类问题中，如果研究固体力学或结构力学问题，需求出结构的自然频率以及相应的振型；若是液体力学问题，则是研究层流的稳定特性；对电路问题，是分析其共振特性；瞬态问题与时间相关。

在固体力学问题中，研究在随时间变化的力作用下，物体的响应；在研究热传导问题时，则要找出物体突然受热或冷却时热场的分布等。

5.工程技术人员的任务是：首先，将复杂的工程实际问题简化，分清属哪一类问题，然后，选择合理的、可供使用的计算机程序；下一步，根据程序的说明和要求，准备好并向计算机输入全部所需的数据和信息，最后，一定要检查计算结果的合理性，看所作的简化及所选的程序是否合理。

6.k ij都称为单元刚度系数。

它表示该单元内节点j处产生单位位移时，在节点i处所引起的载荷fi。

7.K ij：在整个结构中除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时，在节点i处所引起的载荷F i.8.有限元法求解问题最重要的几个步骤：1）对整个结构进行简化。

将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连。

2）求出各单元的刚度矩阵；3）集成总体刚度矩阵并写出总体平衡方程；4）引入支承条件，求出每个节点的位移。

5）求出各单元内的应力和应变。

1.平面刚架问题要比前一节的问题复杂些，主要表现在以下两个方面：1）节点位移不再只是轴向位移。

对于一根平面杆件的两个端点，除轴向位移外，还有垂直于轴向的横向位移和角位移。

选定杆的端点为节点，每个节点的位移分量由一个增加到三个。

2）刚架由许多杆件组成，各杆件的取向不同。

将每个杆件看成是一个单元，各单元的轴线方向不再相同。

2.总体刚度矩阵集成步骤：1.对一个有n个节点的结构，将总体刚度矩阵【K】划分成nXn个子区间，然后按节点总码的顺序进行编号。

2.将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子矩阵，根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的子区间内。

3.同一子区间内的子矩阵相加，成为总体刚度矩阵中相应的子矩阵。

3.没有任何约束的结构是一个悬空结构，可以在空间做刚体运动。

4.刚架结构的节点，从支承条件的角度可分成两类：一些是在支承处，另一些是在无支承处。

5.计算机上：在支承处对某处一位移分量的约束可以有两种情况：一种是该位移分量的值为零，另一种是它等于一个已知的非零值。

支承情况：节点n的水平位移Un=0，在总体刚度矩阵中，与位移Un对应的行码和列码均是3n-2。

需对原矩阵作如下修改：1.在矩阵的第3n-2行与列中，将主对角线元素改为1，其余元素改为零。

2.将等式右边力矢量中的第3n-2个元素改为零。

支承情况2：节点的水平位移Un为给定的非零值。

1.主对角线刚度系数K3n-2,3n-2乘以一个大数A。

2. 将等式右边矢量{F}中的第3n-2个元素改为AK3n-2,3n-2U n*；其余各项保持不变。

3.将式中的第3n-2个方程展开后，除包含大数的两项个，其余各项相对比较小，可以忽略不计。

因此，所反映的是给定的支承条件Un=Un*。

6.说明在进行有限元分析时，对刚架单元的非节点载荷的处理原理和计算方法。

载荷移置原理：处理非节点载荷一般可以在整体坐标系进行，其过程包括：将杆单元各自看成是一根两端都固定的梁，各自求出两个固定端的约束反力，然后，将各固定端的约束反力变号，按节点进行集成，获得各节点的等效载荷。

固定端反力和反力矩的计算直接利用材料办学的公式计算。

1.平板问题时存在着两个刚度矩阵：一个是反映平板在其平面内载荷与位移关系的刚度矩阵。

另一个是薄板弯曲的刚度矩阵。

2.节点位置的选择：若结构在几何形状、材料性质和外部条件无突变时，该结构应等分成几个单元，节点呈等距分布。

若存在不连续性，节点应选在这些突变处。

简述有限元分析结果的后处理后处理所显示的结果主要有两类：意识结构的变形，另一类是应力和应变在结构中分布的情况。

一般用结构的三维线框图，采用与结构不同的比例尺，放大地显示其变形的情况，在受动载荷时，也可用动画显示其振动的形态。

结构中应力、应变或唯一的分布用云图或等值线图来显示。

·有限元分析中，为什么要引入支撑条件？总体刚度矩阵[K],它是节点力矢量[F]与节点位移矢量[Φ]之间的转移矩阵[K][Φ]=[F]结构的总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，她的逆矩阵不存在，因而从式中无法求得各节点的位移矢量。

因为，没有任何约束的结构运算是一个悬空结构，可以在空间坐刚体运动。

这是，即使各节点力量是已知的，各节点位移矢量也不存在唯一确定的解。

所以，还必须引入支撑条件。

·在有限元分析中，为什么要采用半带存储？1）单元尺寸越小，单元数越多，分析计算净度越高。

单元数越多，总刚度矩阵的阶数越高，所需计算机的内存量和计算量越大2）总刚度矩阵具有对称性、稀疏性以及非零元素带型分布规律 3)只储存对焦线元素以及上（或下）三角矩阵中宽为NB的斜带形区内的元素，可以大大减小所需内存量。

·简述有限元分析过程中，求总体刚度矩阵的两种主要方法和特点1）直接根据总体刚度矩阵系数的电议分别求出它们，从而写出总体刚度矩阵，概念清晰，但是在分析复杂结构式运算极其复杂。

2）分别求出各单元的刚度矩阵，然后根据叠加原理，利用集成的方法，求出总体刚度矩阵。

从单元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求法统一，简单明了，但总体刚度需要集成·有限元分析过程中，如何决定单元数量？单元数量取决于要求的精度、单元的尺寸、以及自由度的数量，虽然，单元的数量越多精密度越高，但是也存在一个界限，超过这个值，精度的提高就不明显。

单元数量大，自自由度数也越大，计算机内存量有时会不够·在现有的有限元分析程序中，其前处理程序一般包含哪些主要功能？1）单元的自动分割生成网格 2）单元和节点的自动优化编码实现带宽最小。

3）各节点坐标值确定 4）可以使用图形系统显示单元分割情况·简述平面应力和平面应变的区别1）应力状态不用：平面应力问题中平板的厚度与长度、高度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平面内并沿厚度方向均匀分布，可以认为沿厚度方向的应力为零平面应力问题中由于Z项尺寸大，该方向上的变形是被约束住的，沿Z项应变为零 2）弹性矩阵不同：将平面应力问题弹性矩阵中的E换成、把Πμ换成μ/(1-μ)，就成为平面应变问题的弹性矩阵。

在有限元分析中，对结构划分的单元数是否越多越好？为什么？答：不是。

单元的数量取决于要求的精度、单元的尺寸和自由度数。

虽然一般单元的数量越多精度越高，但也有一个界限，超过这个值，精度的提高就不明显。

简述有限元法的前处理主要包括哪些内容？（1）单元的自动分割生成网格(2)节点的自动优化编码(3)使用图形系统显示单元分割情况(4)带宽优化(5)节点坐标的确定(6)检查单元分割的合理性(7)局部网格的自适应加密(8)有限元模型的尺寸优化在有限元分析时,什么情况下适合选择一维、二维和三维单元?答：（1）当几何形状、材料性质及其它参数能用一个坐标描述时，选用一维单元；（2）当几何形状、材料性质及其它参数需要用两个相互独立的坐标描述，选用二维单元；（3）当几何形状、材料性质及其它参数需要用三个相互独立的坐标描述，选用三维单元。

单元刚度矩阵所具有的共同特性是什么？解释产生这些特性的力学上的原因。

单元刚度矩阵和总体刚度矩阵所具有的共同特性：对称性和奇异性具有对称性是因为材料力学中的位移互等定理：对于一个构件，作用在点j的力引起i点的挠度等于同样大小的力作用在i点而引起j点的挠度。

具有奇异性是因为单元或结构在没有约束之前，除本身产生弹性变形外，还可以做任意的刚体位移。

在有限元分析时，何谓对称结构？一般如何处理？1）当结构的几何形状、尺寸、载荷和约束条件对称于某一平面（对平面问题对称于某一直线），其结构内部的应力及位移也对称于该平面（线），这类结构称为对称结构。

2）对于对称结构一般按如下方法处理：当对称结构只有一个对称平面（线）时，只研究它的一半。

若对称结构有两个相互垂直的对称平面（线）时，则只研究它的四分之一。

试述总体刚度矩阵的建立方法求总体刚度矩阵的两种主要方法：直接根据总体刚度系数的定义分别求出它们，从而写出总体刚度矩阵，概念清晰，但是在分析复杂结构时运算极其复杂。

分别先求出各单元的刚度矩阵，然后根据叠加原理，利用集成的方法，求出总体刚度矩阵，从单元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求法统一，简单明了，但总体刚度矩阵需要集成。

有限元分析过程中，当划分单元时如何决定单元尺寸？单元尺寸的概念包括两个方面：一方面是单元本身的大小，另一方面指一单元内自身几个尺寸之间的比率。

单元本身尺寸小，所得到的精度高，但是所需的计算量大。

为减少计算量，有时对一个结构要用不同的尺寸的单元离散。

一个单元中最大与最小的尺寸要尽量接近。

例如，对于三角形单元，其三条边长应尽量接近；对于矩形单元，长度和宽度不宜相差太大。

简述可靠性设计传统设计方法的区别。

答：传统设计是将设计变量视为确定性单值变量，并通过确定性函数进行运算。

而可靠性设计则将设计变量视为随机变量，并运用随机方法对设计变量进行描述和运算。

1.可靠性：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的能力。

可靠度：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率。

是对产品可靠性的概率度量。

可靠度是对产品可靠性的概率度量。

2）可靠性工程领域主要包括以下三方面的内容：1.可靠性设计。

它包括了设计方案的分析、对比与评价，必要时也包括可靠性试验、生产制造中的质量控制设计及使用维修规程的设计等。

2.可靠性分析。

它主要是指失效分析，也包括必要的可靠性试验和故障分析。

这方面的工作为可靠性设计提供依据，也为重大事故提供科学的责任分析报告。

3.可靠性数学。

这是数理统计方法在开展可靠性工作中发展起来的一个数学分支。

可靠性设计具有以下特点：1.传统设计方法是将安全系数作为衡量安全与否的指标，但安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩，这就有很大盲目性。