人教版数学选修1-23.1.1 数系的扩充和复数的概念

2x－t＝－y ① 解：由题意可得 . －t－y＝1 ②
①－②得 2x＋y＝－y－1， 即 2x＋2y＋1＝0. ∴点(x，y)的轨迹为直线 2x＋2y＋1＝0.
方法感悟 方法技巧 1．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是 根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等 式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要 全面． 2．两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对 应相等．要先确定是否为代数形式，确定实部、 虚部后再应用.
3．复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，则 a＝c，b＝d ； a＋bi＝c＋di⇔___________ a＝b＝0 a＋bi＝0⇔________.
问题探究 1．复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？ 提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部， n才是虚部． 2．复数就是虚数吗？ 提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所见的 所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分．
3．1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
学习目标
1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数系的
扩充过程．
2．了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数
集出现的一些基本概念．
3．掌握复数代数形式的表示方法及复数相等
的充要条件．
课前自主学案
温故夯基
2± 5 1． 方程 x2－4x－1＝0 的解为 x＝_____.
3．两个复数能否比较大小？ 提示：对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0时能 比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个不 全是实数的复数不能比较大小．
课堂互动讲练
考点突破 复数的概念和性质 规定i与实数可以进行四则运算，在进行 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立， 即与原数集不矛盾．
例1
解析：对复数 z＝a＋bi(a、b∈R)
实数(b＝0) 纯虚数(a＝0)， 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0)，
故由此分析可知各命题的真假．
在①中，若x＝－1，则不成立；
②若a＝0，则ai不是纯虚数．
虚数集与实数集的并集．
互动探究 2 将本例改成： 是否存在实数 m，
2 m ＋m－6 2 使 z＝(m －2m)＋ i 是纯虚数？ m 2 m ＋m－6 2 解： 由 z＝(m －2m)＋ i 是纯虚数， m m2－2m＝0 得m2＋m－6 ，解得：m∈∅. ≠ 0 m
即 不 存 在 实 数 m ， 使 z ＝ (m2 － 2m) ＋ m ＋m－6 i 是纯虚数． m
2x－1＝－y， 1＝y－3. 3 x＝－ ， 2 解得 y＝4.
3 ∴x＝－ ，y＝4. 2
【思维总结】 一般根据复数相等的充要条件， 可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组， 从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重 要思想，化复数问题为实数问题得以解决．
互动探究3 若本例条件变为x、y∈R，且满足 (2x－t)＋i＝－y－(t＋y)i.求点(x，y)满足的轨迹．
2
复数相等及应用 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相 等，虚部与虚部相等列方程组． 例3 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－ y－(3－y)i，求x与y. 【思路点拨】 两个复数相等时，应分清两复数 的实部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部 与虚部相等．
【解】
由复数相等的充要条件得
2． 方程 x ＋x＋1＝0 在实数集内解集为
2
∅ ，因为方程的_____. __ Δ<0
知新益能 1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b是 实数 实部 ____，i叫做虚数单位 ________，a叫做复数的 ____，b叫 虚部 做复数的 ____． ②表示方法：复数通常用z表示，即z＝ a ＋bi(a、b∈R) ． _____________
【思维总结】 数集从实数集扩充到复数集后， 某些结论不再成立． 如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．
变式训练1 下列命题： ①若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x＝〒1； ②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对 应； ③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集． 其中真命题的个数是________．
判断下列说法是否正确． (1)当z∈C时，z2≥0. (2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数． (3)若a>b，则a＋i>b＋i. (4)若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y ＝1. 【思路点拨】 根据复数的概念可以判定．
【解】 (1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立． 若z＝i，则z2＝－1<0. (2)错误．当a＝－1时， (a＋1)i＝(－1＋1)i＝0· i＝0∈R. (3)错误．两个虚数不能比较大小． (4)错误．当且仅当x，y∈R时，x，y才是x＋yi的 实部和虚部．此时x＋yi＝1＋i的充要条件才是x＝ y＝1.
答案：0
复数的分类 复数z＝a＋bi(a、b∈R)，根据a，b的取值可分为 实数、虚数及纯虚数．
例2 当 实 数 m 为 何 值 时 ， 复 数 z ＝
m2＋m－6 2 ＋ ( m － 2 m )i 为 (1) 实数； (2) 虚数； m (3)纯虚数．
【思路点拨】
据复数的分类标准
→ 列出式子 → 解出m → 结论
【解】
m2－2m＝0 (1)当 ， m≠0
即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当 m2－2m≠0， 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数；
m2＋m－6 ＝0 m (3)当 2 m －2m≠0
，
即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．
【思维总结】 利用复数的代数形式进行分类时， 主要依据是实部、虚部应满足的条件，求参数时， 可据此列出方程组求解．
(2)复数集 全体复数 所构成的集合叫做复数集． ①定义：由________ ②表示：通常用大写字母 __ C 表示． 2．复数的分类及包含关系
复数(a＋bi，a、b∈
____b＝0 实数 纯虚数a ____ ＝0 R) 虚数 ____b≠0 a ≠0 非纯虚数____