4月16日两大乘法公式和图形的关系学案
两位数乘法的几何意义探究
两位数乘法的几何意义探究在数学学习的过程中，乘法是一个基础而重要的概念。
而两位数乘法更是乘法运算中的重要部分。
然而，学生往往只停留在机械记忆的层面，没有深入理解乘法的意义和几何背景。
本文将探究两位数乘法的几何意义，从而帮助学生更好地理解和运用乘法。
一、方格模型解释方格模型是解释两位数乘法的常用方法之一。
我们可以通过绘制方格模型的方式，帮助学生直观地理解乘法的意义。
以27 × 15为例，我们可以绘制27行15列的方格，即将27个长方形按照15列排列。
然后，我们计算方格中每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加，即得到27 × 15的值。
利用方格模型解释乘法的过程，可以帮助学生将乘法运算和几何形状相联系，从而更好地理解两者之间的关系。
这种方法可以帮助学生形成乘法的直观印象，同时也提供了一种具体的思维方式，启发学生的空间思维能力。
二、矩阵模型解释除了方格模型，矩阵模型也是解释两位数乘法的一种有力工具。
我们可以将两个两位数看作矩阵的维度，然后利用矩阵相乘的规则，计算两个矩阵相乘的结果。
以32 × 18为例，我们可以将32看作一个2行1列的矩阵，将18看作一个1行2列的矩阵。
然后，根据矩阵相乘的规则，我们可以计算两个矩阵相乘得到一个2行2列的结果矩阵。
最后，我们将结果矩阵中的元素相加，即得到32 × 18的值。
通过矩阵模型解释乘法，可以引导学生理解矩阵乘法的概念和规则，同时也将乘法问题与线性代数中的矩阵运算相联系，帮助学生拓展数学的思维视野。
三、面积模型解释面积模型是解释两位数乘法的另一种常用方法。
我们可以将两个两位数看作一个矩形的长和宽，通过计算矩形的面积，得到乘法的结果。
例如，我们要计算45 × 37，可以将45看作一个长为45的矩形的长，37看作一个宽为37的矩形的宽。
然后，我们计算矩形的面积，即45 ×37的值。
通过面积模型解释乘法，可以帮助学生将乘法运算与几何形状相结合。
乘法公式 课件（22张PPT）学案
浙教版 七年级下
新知导入
靠垫是舒适实用的家庭小点 缀， 一些心灵手巧的人喜 欢自己动手制作靠垫. 图中 右下角的靠垫面子用5块布 料拼合而成，应用了哪些数 学知识？
复习导入
请计算：（ａ＋b）（ａ－b）＝__________ . 比较等号两边的代数式，它们在系数和字母方 面各有什么特点？
课堂练习
解：(1)依题意，得第4个算式为：52-42=9； (2)根据几个等式的规律可知，第n个式子为： (n+1)2-n2=2n+1； (3)由(2)的规律可知， 1+3+5+7+⋯+2005+2007 =1+(22-12)+(32-22)+(42-32)+⋯+(10042-10032) =10042．
（2） 1 b a 1 b a 2 2
新知讲解
解 （1）（3ｘ＋5ｙ）（3ｘ－5ｙ） ＝（3ｘ）2－（5ｙ）2 ＝9ｘ2－25ｙ2
新知讲解
（2） 1 b a 1 b a 2 2
a 1 b a 1 b 2 2
a2
1
2
b
2
a2 1 b2 4
中考链接
已知：
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1……
(1)填空：(x-1)(xn+xn-1+⋯+x2+x+1)=______．
(2)求：36+35+34+33+32+31+1的值．
《图形之间的关系》教学设计
《认识图形-图形之间的关系》整理与复习教学设计教学内容：新北师大版小学数学六年级下册89页第1、2两个问题：《图形的认识》——《图形之间的关系》学习目标：1.系统整理学过的图形，沟通图形之间的联系，构建“图形与几何”知识网络. 2。
结合具体的图形，引导学生明确立体图形与平面图形之间、平面图形与平面图形之间的联系,发展学生的空间观念。
3。
引导学生交流整理知识的方法，培养学生反思和整理知识的能力。
4、在分享互动中培养学生质疑和小组合作的核心素养.学习重点：引导学生系统整理学过的图形，沟通图形之间的联系，形成知识网络。
学习难点：交流、展示知识网络；教学准备：PPT、以正方体、圆柱为例体会面从体上来的微课、各种图形。
学生课前准备：1、让学生回想一下，都学过哪些图形，这些图形各有什么特征,图形之间有哪些联系？2、将这些图形进行分类、整理，尝试根据图形的特征用自己最喜欢的方法整理这些图形之间的关系。
3、你是用什么方法整理的？是怎样整理的？这种整理方法的优点是什么？教学流程：初步分享小组交流，分享互动一深入理解，分享互动二质疑小结学习过程:图圆锥形 ..。
..师：掌声欢送这一组的同学。
2、还有没有其他的整理方法。
听听他们是怎么整理的。
板书:或生1：我们组采用集合图的方法表示图形之间的关系，三角形包含了等腰三角形,等腰三角形包含了等边三角形，三角形包含了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，平行四边形包含了长方形，长方形包含了正方形，立体图形包含了长方体、正方体、圆柱、圆锥.组长问：我们组有没有质疑或补充，同组质疑补充完后，问：其他组有没有质疑或补充。
质疑：1、三角形的两种分类方法为什么不同？（第一幅图是按边分，三者之间是包含关系，第二幅图是按角分是并列关系，是平等的），2、立体图形也要把正方体包含在长方体里，不能和其他三个图形构成并列关系。
动、质疑、补充，在辨白中更加明了图形之间的关系，从而培养学生的核心素养。
乘法公式与几何图形 导学案
甲乙乘法公式与几何图形 导学案日期： 第 页 姓名：1.如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________.2.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲， 我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2．你根据图乙 能得到的数学公式是（ ） A. a 2- b 2=（a-b ）2B.（a+b ）2= a 2+2ab+b2C.（a-b ）2= a 2-2ab+b2D. a 2- b 2=（a +b ）（a-b ）3.如图3（1）是一个长为2m ，宽为2n （2）形状拼成一个正方形。
（1） 你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 三个代数式：（m+n ）2，（m －n ）2，mn 。
（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题： 若a+b=7，ab=5，求（a －b ）的值。
4.阅读材料并解答问题：我们已经知道，也可以用这种形式表示，例如：()()22322a b a ba ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表示。
（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：()()a b a b a a b b ++=++34322（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。
5、乘法公式的探究及应用．（1）将左图阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（右图所示），那么这个长方形的宽是 ，长是 ，面积是．（2）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）6、如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，请利用甲、乙两图验证我们本学期学过的一个乘法公式．7、乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）8、乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（用式子表达）（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．9、将下列左图剪切拼成右图，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）．（2）运用你所得到的乘法公式，计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）．10、如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）根据（2）中的结论，若x+y=5，x•y=，则x﹣y=；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？．11、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为．（2）若m+2n=7，mn=3，利用（1）的结论求m﹣2n的值．12、已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？．（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．方法一：；方法二：．（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？（m+n）2；（m﹣n）2；mm（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．13、如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．①图2中的阴影部分的面积为；②观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；③根据（2）中的结论，若x+y=5，x•y=，则（x﹣y）2=；④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是．。
图形之间的关系教案
图形之间的关系教案教案标题：图形之间的关系教案教案目标：1. 学生能够理解和识别不同图形之间的关系，包括相似、对称、平行和垂直等。
2. 学生能够应用所学的图形关系知识，解决与图形关系相关的问题。
教案步骤：引入活动：1. 引入活动：展示一些简单的图形，例如正方形、长方形、圆形等，并提问学生这些图形之间是否有任何相似之处。
知识讲解：2. 讲解相似关系：解释相似图形的定义和特征，包括形状相同但大小不同。
3. 讲解对称关系：解释对称图形的定义和特征，包括两侧镜像对称。
4. 讲解平行和垂直关系：解释平行和垂直线的定义和特征，包括平行线永远不会相交，而垂直线会形成直角。
示例练习：5. 给学生展示一些图形，并要求他们识别出其中的相似、对称、平行和垂直关系。
6. 提供一些练习题，让学生应用所学的知识，解决与图形关系相关的问题。
拓展活动：7. 给学生一些更复杂的图形，要求他们描述图形之间的关系，并解释他们的答案。
总结：8. 总结所学的图形关系知识，并强调学生在日常生活中如何应用这些知识。
评估：9. 给学生一份小测验，以评估他们对图形关系的理解程度。
教案扩展：- 可以引入更多的图形关系，如平行四边形、正三角形等，以提高学生的认知能力。
- 可以设计一些实际应用场景的问题，让学生将所学的图形关系知识应用到实际问题中。
教案注意事项：- 在讲解时，使用具体的图形示例和生活中的实际场景，以帮助学生更好地理解和记忆。
- 鼓励学生互相交流和讨论，以促进他们对图形关系的深入理解。
- 针对不同年龄段的学生，教学内容和练习题的难度可以适当调整。
乘法的图形理解与认识教案
乘法的图形理解与认识教案一、教学目标。
1. 知识与技能，学生能够通过图形理解和认识乘法运算的基本概念和方法。
2. 过程与方法，通过教师引导和学生自主探究相结合的方式，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观，激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和创造力。
二、教学重点与难点。
重点，通过图形理解和认识乘法运算的基本概念和方法。
难点，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
三、教学过程。
1. 导入新课。
教师出示一张乘法表，让学生观察并回答问题，你们发现乘法表有什么规律？为什么要学乘法？通过学习乘法，我们能够更快地计算大数字的乘积，这对我们日常生活和学习都非常有帮助。
2. 学习新知识。
（1）教师引导学生观察图形，并通过图形认识乘法的基本概念。
比如，让学生画出一个3行4列的矩形，然后问学生这个矩形有多少个小正方形？学生可以通过数数的方法得出答案是12个小正方形。
这时，教师可以引导学生发现，3乘以4等于12，即3×4=12。
（2）教师引导学生观察图形，并通过图形理解乘法的基本方法。
比如，让学生画出一个2行5列的矩形，然后问学生这个矩形有多少个小正方形？学生可以通过数数的方法得出答案是10个小正方形。
这时，教师可以引导学生发现，2乘以5等于10，即2×5=10。
3. 拓展练习。
（1）教师出示一些图形，让学生通过观察图形，用乘法的方法计算出图形中的小正方形个数。
（2）教师出示一些乘法算式，让学生通过乘法的方法画出对应的图形。
4. 归纳总结。
教师引导学生将所学的知识进行总结归纳，强化学生对乘法的图形理解和认识。
5. 练习检测。
布置习题让学生进行练习，巩固所学知识。
6. 课堂小结。
教师对本节课的内容进行总结，强调乘法的图形理解和认识在日常生活和学习中的重要性，并鼓励学生多加练习，掌握好乘法运算的基本概念和方法。
四、教学反思。
通过本节课的教学，学生能够通过图形理解和认识乘法运算的基本概念和方法，培养了学生的思维能力和解决问题的能力。
《乘、除法的意义和各部分间的关系》教案
《乘、除法的意义和各部分间的关系》教案
1.提问：你能说说乘、除法中各部分之间有什么关系吗？
出示学习任务：乘、除法各部分之间有什么关系？请你想一想、写一写。
2.反馈交流：
学生作品1：乘法各部分间的关系。
学生作品2：除法各部分间的关系。
追问：在有余数的除法里，被除数与商、除数和余数之间有什么关系？
引导学生借助具体实例，呈现有余数除法算式，思考如何求被除数，进而概括出关系式：被除数=商×除数＋余数。
呈现有余数除法的验算，引导学生观察验算方法，发现有余数除法就是用“商×除数＋余数=被除数”来验算的。
结合具体的例子，发现（被除数-余数）÷商=除数。
小结：借助具体的例子和已经学过的知识，弄清楚了有余数除法里各部分间的关系，同时也解决了上节课提出的问题。
三、沟通四则运算间的联系
（一）自主提问
学生提出疑问：加、减、乘、除之间有什么关系？
（二）反馈交流
学生作品1：用表格整理四则运算的意义。
学生作品2：画图整理四则运算的关系。
在表达交流中强化对四则运算意义和关系的理解。
小结：通过前面的讨论发现，加、减、乘、除四则运算间存在着紧密的联系，下面做几个练习。
《乘、除法各部分间的关系》数学教案设计
《乘、除法各部分间的关系》数学教案设计《乘、除法各部分间的关系》数学教案设计教学内容：教科书第56页的内容教学目标：1、理解乘除法的意义，理解除法是乘法的逆运算，并会在实际中应用。
2、使学生自己总结乘、除法各部分间的关系，并会应用这些关系进行乘、除法的验算．3、在分析过程中，培养学生的推理、概括能力。
4、培养学生养成良好的验算习惯。
教学重点：掌握乘、除法各部分间的关系，并对乘、除法进行验算。
教学难点：理解乘、除法的互逆关系，以及用除法意义说明一些题为什么用除法解答。
教法设计：引导与讲授相结合。
学法设计：小组讨论、合作交流等方法。
教具准备：教师准备多媒体课件或实物投影仪等。
教学流程：一、谈话导入。
我们已经做过大量的整数乘除法计算和应用题的练习，对于乘除法知识也有了初步的了解．这里我们要在原有的知识基础上，对乘除法的意义加以概括，使同学们能运用这些知识解决实际问题。
二、设置预习案（见练习册第3页第1、2、3题）三、出示学习目标（课件出示）四、检查预习落实情况（学生汇报）五、自主学习合作探究解决疑难问题。
1、乘法的意义出示例1（1）用加法算：3+3+3+3=12用乘法算：3 4=12为什么用乘法呢？那怎样的运算叫做乘法？（小组讨论）根据这两个算式，结合已有的知识讨论并试着用语言表示什么是乘法。
小结：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
（出示乘法的意义）说明乘法各部分名称2、理解除法的意义能不能试着把这道乘法应用题改编成除法应用题呢？出示例2（2）（3）（1）与第（1）题相比，第（2）、（3）题分别是已知什么？求什么？怎样算？列式计算：123=4 124=3（2）怎样的运算是除法？（小组讨论）根据这两个算式，结合已有的`知识讨论并试着用语言表示（3）小结：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。
说明除法各部分名称。
（4）教学除法是乘法的逆运算。
引导学生观察：第②、③与①的已知条件和问题有什么变化？明确：在乘法中是已知的，在除法中是未知的；在乘法中未知的，在除法中变成已知的。
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4月16日初一数学《整式乘法与拼图》课堂学案
姓名：
自我评价： 小组评价：
【学习目标】 通过拼图活动及验证等式的过程，体会数与形之间的密切联系，既可以由数来研究形，也可以由形来研究数，加深对乘法公式的理解，了解公式背后的几何意义.
【自主探究】请你设计一套住房
要求：在一块长为4y ，宽为4x 的长方形
荒地上建成一套两室一厅一厨一卫的房子。
其中，客厅面积6xy ；两卧室面积共为8xy ；
厨房面积为xy ；卫生间面积为xy.
你能尝试着画出平面结构示意图吗？
【慧眼识图】
1、利用如图所示的几何图形的面积可以表示的公式是 .
b
a a b
2、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）如图（1），把余下的部分拼成一个矩形，如图（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的公式是 .
b
a
b
b
（1） （2）
【智慧拼图】
1、请你画出几何图形直观的解释：
（3b ）2=9b 2
2、有足够多的长方形和正方形卡片，如图．
1a a 2b b 3b a （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为
1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重
叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并
运用拼图前后面积之间的关系说明这个长
方形的代数意义；
（2）小明想用类似方法解释多项式乘法
22(3)(2)273a b a b a ab b ++=++，那么需
用2号卡片 张，3号卡片 张．
（3）我是小老师：根据本题内容，模仿（2） 等式： . 需用1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张．
【综合应用】
如图（1）是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形． （1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是多少？
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积；
（3）观察图（2），你能写出三个代数式
2()m n +、2()m n -、mn 之间的等量关系
吗？
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若a +b =7，ab =5，求2
()a b -的值．
m
n
n m
（1）
m
n
（2）。