专题33分布列、期望及方差、正态分布(学生版)
2013年高考数学一轮复习11.5离散型随机变量的期望与方差、正态分布精品教学案(学生版)新人教版
（ I ）工期延误天数 Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量 X至少是 300的条件下，工期延误不超过 【考题回放】
6天的概率。
1. (2010 年高考数学湖北卷理科 14） 某射手射击所得环数 的分布列如下：
已知 的期望 E 8.9 ，则 y 的值为
．
2． (2012 年高考浙江卷理科 19 ) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2
(1) 定义 : 若离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2 …
xi
…
xn
P p1
p2 …
pi
…
pn
则称 E ( Xห้องสมุดไป่ตู้) x1 p1 x2 p2
xn pn 为随机变量 X 的均值或数学期望 .
称 D(X )
n
X i [ xi
i1
E ( X )] 2 pi 为随机变量 X的方差 .
(2) 性质 : (1) E( C) ＝C( C为常数 )
例 1.(2011 年高考浙江卷理科 15) 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公
司投递了个
人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为
2 ，得到乙、丙两公司面试的概率为 3
司是否让其面试是相互独立的。记
为该毕业生得到面试得公司个数。若 P( 0)
p ，且三个公 1
，则随机
12
变量 的数学期望 E
4． (2012 年高考湖北卷理科 20) 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量 X（单位： mm）对工期的
影响如下表：
降水量 X
X<300
300≤ X<700
700≤ X<900
正态分布-讲义(学生版)
正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则 ．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为 ．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（ ）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（ ）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（ ）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若 ，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数 ，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（ ）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。
均值、方差、正态分布__学生用
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．163．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．题型一 离散型随机变量的均值、方差例1 (2013·浙江)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．题型二二项分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．题型三正态分布的应用例3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率． 规范解答解 (1)设甲袋中红球的个数为x ，依题意得x ＝10×25＝4.[3分](2)由已知，得25m ＋2mP 23m ＝13，解得P 2＝310.[6分](3)ξ的所有可能值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝35×45×45＝48125，P (ξ＝1)＝25×45×45＋35×C 12×15×45＝56125， P (ξ＝2)＝25×C 12×15×45＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝19125， P (ξ＝3)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2125.[8分]所以ξ的分布列为[10分]所以E(ξ)＝0×48125＋1×56125＋2×19125＋3×2125＝45. [12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求每一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．方法与技巧1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (x <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． (3)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．失误与防范1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.A 组 专项基础训练一、选择题1．正态总体N (1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m ，n ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定2．已知某一随机变量X( )A.5B ．6C ．7D ．83．(2013·湖北) 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65 C.168125D.754．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4005．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4二、填空题6．从装有3个红球、2X 个红球，则随机变量X 的分布列为7．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝2k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．三、解答题9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．。
专题33 分布列、期望与方差、正态分布(学生版)
1. 设两个正态分布()211,N μσ（10σ>）和()222,N μσ（20σ>）的密度函数的图像如图所示，则有（ ）2. 设随机变量ξ服标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则()1.96P ξ<=（ ）A. 0.025B. 0.050C. 0.950D. 0.975 3. 离散型随机变量X 的分布列为X 123P35310110则X 的数学期望EX =（ ）A. 32B. 2C. 52D. 34. 某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A. 100B. 200C. 300D. 400 5. 设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ，若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=．随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x xx x +++++的概率也均为0.2．若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（ ） A. 12D D ξξ> B. 12D D ξξ= C. 12D D ξξ< D. 12D D ξξ与的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关7. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个 同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX =（ ）A. 126125B. 65C. 168125D. 75A. 1212,μμσσ<<B. 1212,μμσσ<>C. 1212,μμσσ><D. 1212,μμσσ>>8. 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知9. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：10. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若0,1EX DX ==，则a =_____，b =______.11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则ξ的期望E ξ=_____（结果用最简分数表示）. 12.若随机变量()2,XN μσ，则()P X μ≤=_____.13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利0012；一旦失败，一年后将丧失全部资金的0050．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：14.设S是不等式260--≤的解集，整数,m n Sx x∈.（Ⅰ）记“使得0m n+=成立的有序数组(),m n”为事件A，试列举A包含的基本事件；ξ=，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.（Ⅱ）设2m15.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率.（Ⅰ）求当天商店不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.16.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望和方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.17.某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此+道试题，其中有n道A类型试题和次调题工作结束．试题库中现共有n mm道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量.（Ⅰ）求2=+的概率；X n=，求X的分布列和均值（数学期望）.（Ⅱ）设m n18. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以X （单位：吨，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率），求T 的数学期望.19. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队. （Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.20.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为01，一等品率0提高为070．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等0品率最多是多少？21.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理业务的顾客人数，求X的分布列和数学期望.22.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.（Ⅰ）当3,2,1a b c===时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若55,39E Dηη==，求::a b c .。
离散型随机变量的分布列,期望与方差(高三复习)(精选)PPT18页
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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专题33 分布列、期望与方差、正态分布(学生版)
1. 设两个正态分布()211,N μσ（10σ>）和()222,N μσ（20σ>）的密度函数的图像如图所示，则有（ ）2. 设随机变量ξ服标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则()1.96P ξ<=（ ）A. 0.025B. 0.050C. 0.950D. 0.975 3. 离散型随机变量X 的分布列为则X A. 32 B. 2 C. 52D. 34. 某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A. 100B. 200C. 300D. 400 5. 设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ，若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=．随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x xx x +++++的概率也均为0.2．若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（ ） A. 12D D ξξ> B. 12D D ξξ= C. 12D D ξξ< D. 12D D ξξ与的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关7. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个 同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX =（ ）A. 126125B. 65 C. 168125 D. 75A. 1212,μμσσ<<B. 1212,μμσσ<>C. 1212,μμσσ><D. 1212,μμσσ>>8. 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知9. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：10. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若0,1EX DX ==，则a =_____，b =______.11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则ξ的期望E ξ=_____（结果用最简分数表示）. 12.若随机变量()2,XN μσ，则()P X μ≤=_____.13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利0012；一旦失败，一年后将丧失全部资金的0050．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：14.设S 是不等式260x x --≤的解集，整数,m n S ∈.（Ⅰ）记“使得0m n +=成立的有序数组(),m n ”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；（Ⅱ）设2m ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ. 15.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率. （Ⅰ）求当天商店不进货的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望.16.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望和方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.17.某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此+道试题，其中有n道A类型试题和次调题工作结束．试题库中现共有n mm道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量.（Ⅰ）求2=+的概率；X n=，求X的分布列和均值（数学期望）.（Ⅱ）设m n18. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以X （单位：吨，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率），求T 的数学期望.19. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队. （Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.20.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为01，一等品率0提高为070．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等0品率最多是多少？21.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理业务的顾客人数，求X的分布列和数学期望.22.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.（Ⅰ）当3,2,1a b c===时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若55,39E Dηη==，求::a b c .。
高中数学 概率与分布列归类(学生版)
高中数学 概率与分布列归类目录【题型一】 超几何分布型分布列【题型二】二项分布型分布列【题型三】正态分布型【题型四】分布列均值与方差【题型五】竞技比赛型分布列【题型六】多人比赛竞技型分布列【题型七】递推数列型【题型八】三人传球递推数列型【题型九】导数计算型分布列最值【题型十】机器人跳棋模式求分布列【题型一】超几何分布型分布列总数为N的两类物品，其中一类为M件，从N中取n件恰含M中的m件，m=0,1,2⋯,k，其中k为M与n的较小者，Pξ=m=C m M C n-mN-MC n N，称ξ服从参数为N,M,n的超几何分布，记作ξ~H N,M,n，此时有公式Eξ=nM N。
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-kN-MC n N，k=m，m+1，m+2，⋯，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布_.E(X)=np.1(2023·湖北·模拟预测)某区域中的物种P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i (i =1,2,⋯,20).设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N ，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E (X i +X j )=E (X i )+E (X j )，D (X i +X j )=D (X i )+D (X j )；(ⅰ)证明：E (X )=E (X 1)，D (X )=120D (X 1)；(ⅱ)该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i (i =1,2,⋯,20).数据x i (i =1,2,⋯,20)的平均值x=40，方差s 2=1.176.采用x和s 2分别代替E (X )和D (X )，给出M ，N 的估计值.2(23·24高三上·江苏南通·阶段练习)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X 个红球，则分得X 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.3(2024·广东广州·二模)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据x i,y i(i=1,2,⋯,20)，其中x i，和y i，分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量(单位：只)，并计算得∑20i=1x i-x2=80,∑20i=1y i-y2=9000,∑20i=1x i-xy i-y=800.(1)求样本x i,y i(i=1,2,⋯,20)的相关系数(精确到0.01)，并推断这种野生动物的数量y(单位：只)和植物覆盖面积x(单位：公顷)的相关程度；(2)已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=∑ni=1x i-xy i-y∑ni=1x i-x2∑ni=1y i-y2,2≈1.414【题型二】二项分布型分布列若在一次实验中事件发生的概率为p0<p<1，则在n次独立重复实验中恰好发生k次概率pξ=k =C k n p k1-p，称ξ服从参数为n,p的二项分布，记作ξ~B n,p，Eξ=np，D i= n-k k=0,1,2,⋯,nnpq.1(2024·云南昆明·一模)聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件X=k(k=0,1,⋯,8)的概率为P(X=k)，求当P(X=k)最大时k的值.2(2024·全国·模拟预测)某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A ，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B ，求P B A ，P B ；(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区(可以重复)，分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．3(2023·广东肇庆·二模)在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X .(1)当n =6时，求P X ≤2(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y ，若其数学期望E Y 和方差D Y 均存在，则对任意正实数a ，有P Y -E Y <a ≥1-D Ya 2.根据该不等式可以对事件“Y -E Y <a ”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值.【题型三】正态分布型(1)若X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为f x =12π⋅σe -x -μ22σ2，x ∈R (其中μ,σ是参数，且σ>0，-∞<μ<+∞)。
离散型随机变量的期望、方差、分布列和正态分布
1．设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望67E ξ=，则口袋中白球的个数为 ． 【考点】离散型随机变量的期望与方差、排列组合． 【答案】 3【分析】设口袋中有白球x 个， 由已知得ξ的可能取值为0，1，2，()2727C 0C x P ξ-==，()11727C C 1C x xP ξ-==， ()227C 2C x P ξ==，∵67E ξ=，∴11272277C C C 62C C 7x x x-+⨯=， 解得x =3．∴口袋中白球的个数为3．2.从4名男同学和3名女同学中随机选出3人参加演讲比赛，则女同学被抽到的数学期望为_______________.【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【答案】97【分析】设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ可能取的值为0，1，2，3，∴P （ξ=0）=033437C C C =435，P （ξ=1）=123437C C C =1835，P （ξ=2）=213437C C C =1235，P （ξ=3）=3337C C =135 ∴Eξ=1835+2×1235+3×135=4535=97．故答案为97．【点评】本题考查离散型随机变量的期望，确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率是关键．3.某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152, 153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的期望是( )克. A.150.2 B.149.8 C.149.4 D.147.8 【答案】B【分析】用这组数据的平均值来估计这车苹果单个重量的期望，有150152153149148146151150152147149.810x +++++++++==.故选B.4.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=_____________. 【答案】47【分析】ξ可取0、1、2，因此2115522277C C C 1010(0),(1),C 21C 21P P ξξ======2227C 1(2)C 21P ξ===，1010140122121217E ξ=⨯+⨯+⨯=.5.已知1(5,)3B ξ ，则E ξ=_____________. 【答案】53【分析】15533E ξ=⨯=. 6.已知23ηξ=+，且13E ξ=-，则E η=_____________. 【答案】73【分析】7233E E ηξ=+=. 7.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(1,2,3,4n =).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若,1,11a b E D ηξηη=+==，试求a b 、的值. 【解】(1)ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P12 120 110 320 15∴ 1.5, 2.75E D ξξ==；(2)由2D a D ηξ=，得22.7511a ⨯=，即2a =±.又E aE b ηξ=+，所以当2a =时，由12 1.5b =⨯+，得2b =-；当2a =-时，由12 1.5b =-⨯+，得4b =.∴22a b =⎧⎨=-⎩或24a b =-⎧⎨=⎩.8.一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.【解】随机变量ξ的可能取值为1,2,3.当ξ=1时，即取出的3只球中最小号码为1，则其他两只球只能在2,3,4,5的4只球中任取两只，故有2435C 3(1)C 5P ξ===;当=2ξ时，即取出的3只球中最小号码为2，则其他两只球只能在3,4,5的3只球中任取两只，故有2335C 3(2)C 10P ξ===;当=3ξ时，即取出的3只球中最小号码为3，则其他两只球只能在4,5的两只球中任取两只，故有2235C 1(3)C 10P ξ===，因此，ξ的分布列如下表所示：ξ1 2 3P35 310 1109.9粒种子分布在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次，每补种一个坑需要费用10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.(精确到0.01)【解】因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为3110.58-=（）.单个坑不需要补种的概率为17188-=，3个坑都不需要补种的概率是030317C 0.67088⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,恰有1个坑需要补种的概率为21317C 0.28788⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，恰有2个坑需要补种的概率为22317C 0.04188⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，3个坑都需要补种的概率是33317C 0.00288⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.补种费用ξ的分布列如下表所示：ξ0 10 20 30 P0.6700.2870.0410.002ξ的数学期望()E ξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.10.在某校组织的一次篮球训练中，规定每人最多投3次，；在A 处每投进一球得3分， 在B 处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ,该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列如下表所示：ξ0 2 3 4 5P0.031P 2P 3P 4P（1）求2q 的值；（2）求随机变量ξ的数学期望()E ξ；（3）试比较该同学都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 【解】（1）该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ,则事件A 、B 相互独立，且P (A )=0.25，()0.75P A =,22(),()1P B q P B q ==-，根据分布列知：当ξ=0时，22()()()()0.75(1)0.03P ABB P A P B P B q ==-=，所以210.2q -=，20.8q =；（2）当=2ξ时，1()()()P P ABB ABB P ABB P ABB =+=+()()()()()()P A P B P B P A P B P B =+=22220.75(1)2 1.5(1)0.24q q q q -⨯=-=；当=3ξ时，222()()()()0.25(1)0.01P P ABB P A P B P B q ===-=； 当=4ξ时，232()()()()0.750.48P P ABB P A P B P B q ====；当=5ξ时，4()()()()()()P P ABB AB P A P B P B P A P B =+=+=2220.25(1)0.250.24q q q -+=.所以随机变量ξ的分布列如下：ξ0 2 3 4 5 P0.030.240.010.480.24随机变量ξ的数学期望()E ξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63; （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++=()()()P BBB P BBB P BB ++=222222(1)0.896q q q -+=；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.11.随机变量ξ的分布列如下：ξ-10 1 Pabc其中a ， b ，c 成等差数列，若()E ξ=13，则()D ξ的值是________. 【答案】59【分析】由题意可知,+1123a b c b a c b+=⎧⇒=⎨+=⎩,则2ξ的分布列为:2ξ0 1 Pba +c22()()[()]D E E ξξξ=-=101()9b a c ⨯+⨯+-=1152999a cb +-=-=.12.在有奖摸彩中，一期（发行10000张彩票为一期）有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的，在不考虑获利的情况下，一张彩票的合理价格是_____元.【答案】0.2【分析】设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0,5,25,100.依题意，可得ξ的分布列为：ξ0 5 25 100P391400 150150012000()E ξ=39111105251000.2400505002000⨯+⨯+⨯+⨯=. 答：一张彩票的合理价格是0.2元.13.某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶，若其瓶内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. （1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望()E ξ.【解】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C 、，那么：1()()()6P A P B P C ===, 21525()()()()66216P A B C P A P B P C ⎛⎫⋅⋅==⋅=⎪⎝⎭；（2）ξ的可能值为0,1,2,3，3315()=C (0,1,2,3),66kkk P k k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以中奖人数ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P125216 2572572 1216()E ξ=125255110+1+2+3=21672722162⨯⨯⨯⨯. 14.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75. （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望.【解】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ,（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123213312()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++=0.50.40.6⨯⨯ 0.50.60.6+⨯⨯+0.50.40.40.38⨯⨯=；（2）解法一：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A ，B ，C ，则()()()0.3P A P B P C ===,所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===，于是，()E ξ=10.441+20.189+30.027=0.9⨯⨯⨯；解法二：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以(30.3)B ξ ，,故()30.30.9E np ξ==⨯=. 15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列如下表所示：ξ1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润.(1) 求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； (2) 求η的分布列及期望E (η).【解】（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，知A 表示 “购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，3()(10.4)0.216P A =-=,()1()10.2160.784P A P A =-=-=；(2) η的可能取值为200元，250元，300元.(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=， (300)(4)(5)0.10.10.2P P P ηξξ===+==+=.所以η的分布列为η200 250 300 P0.40.40.2E (η)=2000.4+2500.43000.2240⨯⨯+⨯=（元）.16.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）.（1）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望.【解】（1）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实根”为事件C ，则={(,)|,=1,2b c bc Ω ，Ω的基本事件总数为36个，2{(,)|40,,1,2,,6}A b c b c b c =-<= ，B 中的基本事件总数为2个； 2{(,)|40,,1,2,,6},C b c b c b c =->= C 中的基本事件总数为17个；又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率21719()()363636P P B P C =+=+=； （2）由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则17117(0)(1)(2)361836P P P ξξξ======，，,故ξ的分布列如下表所示：ξ0 1 2P17361181736所以ξ的数学期望()E ξ=171170+1+2=1361836⨯⨯⨯.17.如图所示：由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T ，，，,电流能通过123T T T ，，的概率都是p ，电流能通过4T 的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 123T T T ，，中至少有一个能通过电流的概率为0.999.（1）求p ；（2）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（3）ξ表示1234T T T T ，，，中能通过电流的元件个数.求ξ的数学期望.JXX2 第17题图【解】设i A 表示事件：电流能通过,1,2,3,4,i T i A =表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过.（1）123123,,,A A A A A A A =⋅⋅相互独立，3123123()()()()()(1)P A P A A A P A P A P A p =⋅⋅=⋅⋅=-，又()1()10.9990.001P A P A =-=-=,故3(1)0.001,0.9p p -==； （2）44134123B A A A A A A A A =+⋅⋅+⋅⋅⋅，4413412344134123()()=()()()P B P A A A A A A A A P A P A A A P A A A A =+⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=0.90.10.90.90.10.10.90.90.9891+⨯⨯+⨯⨯⨯=；（3）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，故(40.9)B ξ ，，()E ξ=4×0.9=3.6. 18.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张都没奖.某顾客从此10张券中任取2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的数学期望.【解】（1）不获奖的概率26210C 151()C 453P A ===，故获奖概率为12()1()133P A P A =-=-=; （2）获奖10元的概率为11361210C C 2C 5P ==；获奖20元的概率为232210C 1C 15P ==；获奖50元的概率为11163210C C 2C 15P ==；获奖60元的概率为11134210C C 1C 15P ==,故获奖总价值的期望2121()10205060165151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 19.某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女同学，先采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动.（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记ξ表示抽取的3名学生中男生的人数，求ξ的分布列及数学期望. 【解】（1）抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；（2）1164210C C 8C 15P ⋅==； （3）由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则123421105C C 2(0)C C 25P ξ==⋅=，11121463422121105105C C C C C 28(1)C C C C 75P ξ==⋅+⋅=， 11211466322121105105C C C C C 31(2)C C C C 75P ξ==⋅+⋅=，216221105C C 2(3)C C 15P ξ==⋅=，所以随机变量ξ的分布列如下：2283128()0123257575155E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求：（1）取出3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （2）取出3件产品中一等品件数多于二等品件数. 【解】（1）由于从这10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为337310C C (),0,1,2,3C k kP X k k -===. 所以随机变量X 的分布列如下表所示：X 0123P724 2140 740 1120ξ0 1 2 3P225 2875 3175 215X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）设“取出3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件1A ，“恰好取出2件一等品” 为事件2A ,“恰好取出3件一等品” 为事件3A ，由于事件123A A A ，，彼此互斥，因此123A A A A = ,而 1233123310C C 371()()(2),()(3)C 4040120P A P A P X P A P X ========，, 则取出3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为12337131()()()()4040120120P A P A P A P A =++=++=.。
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1. 设两个正态分布()211,N μσ（10σ>）和()2
22,N μσ（20σ>）的密度函数的
图像如图所示，则有（ ）
2. 设随机变量ξ服标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则
()1.96P ξ<=（ ）
A. 0.025
B. 0.050
C. 0.950
D. 0.975 3. 离散型随机变量X 的分布列为
则X A. 32 B. 2 C. 5
2
D. 3
4. 某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）
A. 100
B. 200
C. 300
D. 400 5. 设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ，若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c =
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=．随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率
均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222
x x x x x x x x
x x +++++的概率也均
为0.2．若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（ ） A. 12D D ξξ> B. 12D D ξξ= C. 12D D ξξ< D. 12D D ξξ与的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关
7. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个 同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机抽取一个
小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX =（ ）
A. 126125
B. 65
C. 168125
D. 75
8. 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
A. 1212,μμσσ<<
B. 1212,μμσσ<>
C. 1212,μμσσ><
D. 1212,μμσσ>>
已知9. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：
10. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若0,1EX DX ==，则
a =_____，
b =______.
11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则ξ的期望E ξ=_____（结果用最简分数表示）. 12.
若随机变量()2,X
N μσ，则()P X μ≤=_____.
13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利
0012；一旦失败，一年后将丧失全部资金的0050．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
14. 设S 是不等式260x x --≤的解集，整数,m n S ∈.
（Ⅰ）记“使得0m n +=成立的有序数组(),m n ”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；
ξ=，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.
（Ⅱ）设2
m
15.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率.
（Ⅰ）求当天商店不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.
16.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当
天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望和方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
17.某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类
型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此
+道试题，其中有n道A类型试题和次调题工作结束．试题库中现共有n m
m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量.
（Ⅰ）求2
=+的概率；
X n
（Ⅱ）设m n
=，求X的分布列和均值（数学期望）.
18.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润
500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进
了130吨该农产品．以X （单位：吨，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入
[)100,110的频率），求T 的数学期望.
19. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X =就参加
学校合唱团，否则就参加学校排球队.
（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率；
（Ⅱ）求X的分布列和数学期望.
20.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等
品50件、三等品20件、次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利
润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ.
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；
（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为0
1，一等品率
0提高为0
70．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等0
品率最多是多少？
21.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独
立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理业务的顾客人数，求X的分布列和数学期望.
22.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得
1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.
（Ⅰ）当3,2,1
a b c
===时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取
出此球所得分数．若
55
,
39
E D
ηη
==，求::
a b c .。