拓扑学基础试卷1
大学拓扑学入门练习题
大学拓扑学入门练习题1. 绘制拓扑空间给定一个拓扑空间X，根据以下要求，绘制出X的拓扑结构图。
1.1 X是一个有限集合，所有的子集都是X的开集。
1.2 X是一个无限集合，空集和X本身是X的开集。
1.3 X是一个无限集合，空集和X本身以外的有限子集都是X的闭集。
2. 判断拓扑关系给定一个拓扑空间X和集合A，判断以下拓扑关系是否成立，并简要说明理由。
2.1 A是X的子集，则A是X中的闭集。
2.2 A是X的子集，则A是X中的开集。
2.3 A是X的闭集，则A是X的子集。
2.4 A是X的开集，则A是X的子集。
2.5 A和X-A都是X的闭集，则A是X的子集。
2.6 A和X-A都是X的开集，则A是X的子集。
3. 证明定理根据拓扑学的基本定理，证明以下定理。
定理：在拓扑空间X中，如果U是X的开集，而A是X的闭集，则U-A是X的开集。
证明：首先，根据定理的前提条件，有U是X的开集，且A是X的闭集。
由定义可知，A的补集X-A是X的开集。
考虑U-A，根据集合的运算法则，U-A = U ∩ (X-A)。
由于U是开集，X-A是开集，根据拓扑学中开集的交集仍为开集的性质，可得U-A是X的开集。
综上所述，定理得证。
4. 寻找连通分量给定下图所示的拓扑空间X，请确定X的所有连通分量。
```A----B----C| | |D----E F|G```根据图示，边连接的节点表示相邻关系，每个节点代表一个集合。
连通分量是指在一个拓扑空间中，由任意两点之间连通的所有点所构成的集合。
请根据图示，列举出X的所有连通分量。
5. 类化空间给定一个拓扑空间X和一个等价关系~，其中a~b代表a和b在拓扑空间X中具有相同的邻域结构。
5.1 证明~是X上的一个等价关系。
证明：为证明~是X上的一个等价关系，需要满足以下条件：（i）自反性：对于任意a∈X，都有a~a。
（ii）对称性：对于任意a, b∈X，如果a~b，则b~a。
（iii）传递性：对于任意a, b, c∈X，如果a~b且b~c，则a~c。
《拓朴学》题库及答案
《拓扑学》题库及答案一、单项选择1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是： （A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111D f C f D C f---=I I（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，也非闭集4．设R R →2:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：（A ）2(,)()d x y x y '=- （B ）22),(y x y x d -=（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 01),(5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是： （A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X6．设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ，}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}{b A =，}1{=B ，则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b7．设},,,{d c b a X =，{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ，},,{d c a Y =，},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部等于：（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a8．拓扑空间的Lindel öff 性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有完全正则空间⇒正则空间，完全正则空间⇒正规空间，连通空间⇒局部连通空间， 度量空间⇒可分空间，度量空间⇒Lindel öff 空间（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindel öff 性，连通性中在连续射下保持不变的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 11．设X X R ⨯⊆是一个等价关系，则R 不满足的条件是（A ）R X ⊆∆)( （B ）R ∩R -1=∅ （C ）R R R ⊆ο （D ）1-=R R12．设Y X f →:是映射，)(}|{X J A P ⊆∈αα，)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是 （A ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=Y Y （B ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=II（C ）)()(11r r r r B f B f-Γ∈Γ∈-=Y Y （D ）)()(11r r r r B f B f -Γ∈Γ∈-I I13．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }1{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集14．设},,{c b a X =，}},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的 收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ） X15．设},,{c b a X =，}3,2,1{=Y ，}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ，}2,1{},,{==B b a A ，则在积空间Y X ⨯中，0)(B A ⨯等于：（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(a a （C ）}{)2,(),1,(b b （D ）}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a16.设},,,{d c b a X =，}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ，}{},,,{c A d c a Y ==，则在子空间Y 中，A 的闭包等于（A ）}{c （B ）},{a c （C ）},{b c （D ）},,{c d a17．设)T ,(X 是拓扑空间，)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足： (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 （A ）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数理空间⇒可分空间 度量空间⇒Lindel öff 空间 正规空间⇒完全正则空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个20．设),(T X 是拓扑空间，则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 21．设X 是全集，,()A B X ∈P ，A B ⊆则当且仅当（A ）∅='B A I （B ）∅='B A I （C ）A B A =Y （D ）B B A =I 22．设Y X f →:是映射，,()A B y ∈P ，则下面结论不成立的是（A ）)()()(111B f A f B A f ---=Y Y （B ）111()()()f A B f A f B ---=I I （C ）)()()(111B f A fB A f----=- （D ）()B B f f =-)(123．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 24．定义度量R R R →⨯22:d ，),(21x x x =∀，221),(R ∈=y y y ，}{|||,|m ax ),(2211y x y x y x d --=，则度量空间（d ,2R ）中的单位球是（A （B ）（C （D ）25．设)T ,(X 是离散拓扑空间，b a X b a ≠∈,,, 则在)T ,(X 中交错序列Λb a b a ,,,的收敛点集合是 （A ）∅ (B) }{a (C) },{b a (D)X26．设},,,,{d c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X T ∅=，},,{c b a Y =，}{b A =，则在子空间Y 中A 的闭包等于（A ）}{b （B ）},{b a （C ）},{c b （D ）},,{c b a27．设}3,2,1{},,,{==Y c b a X ，}{,,{,},{},{,}X a b b b c =∅1T ，}{}2,1{},1{,,2Y ∅=T ，},{c b A =，}3,1{=B 则在积空间Y X ⨯中()o A B ⨯等于（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(b b （C ）}{)1,(),1,(c b （D ）}{(,1),(,2),(,1),(,2)b b c c28．拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，Lindel öff 性，满足第二可数公理性中是可遗传性质的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 29．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有：满足第二可数合理空间⇒可分空间， 度量空间⇒满足第一可数公理空间 完全正则空间⇒正则空间， 紧致空间⇒Lindel öff 空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 31．设f Y X f ,⨯⊆是映射，则f 满足的条件是 （A ）X Y f =-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y =（B ）X Y f=-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =（C ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y = （D ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =32．设,,(),,(),R X Y A B Y C D X ⊆⨯∈∈P P 则下面等式成立的是 （A ）)()()(111B R A R B A R---=Y Y （B ）)()()(111B R A R B A R ---=I I（C ）)()()(D R C R D C R I I = （D ）)()()(D R C R D C R -=- 33．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 34．设),(d X 是度量空间，d T 是X 的由d 诱导的拓扑，dU ∈T ，则下列关于U 的结论不正确的是（A ）存在0,>∈εX x 使得),(εx B U =（B ）+∈∃∈∀Z n U x ,使得U nx B ⊆)1,(（C ）0,>∃∈∀εU x 使得U x B ⊆),(ε（D ）存在}0,|),({>∈⊆εεX x x B U B 使得U U =U B35．设},,,{c b a X =}{},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间),(T X 中常值序列,,,a a a …的收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ）X36．设},,,{c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X ∅=T ，},,,{d c a Y =},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部是（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a37．设},,,{c b a X =},3,2,1{=Y }},{},{,,{b a a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}1{},{==B b A ，则在积空间Y X ⨯中，B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b38．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性，紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 39．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 局部连通空间⇒连通空间 满足第二可数公理空间⇒可分空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 度量空间⇒可分空间}1{)(,0)(⊆=A f x f 当且仅当),(T X 是（A ）1T 空间 （B ）正规空间 （C ）完全正则空间 （D ）4T 空间二．证明题1.设Y X ,是两个拓扑空间，Y X f →:是映射，证明若f 是连续映射，则)(Y B Ρ∈∀，11()(())o o fB f B --⊆。
拓扑学测试题
拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A.1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ⋃是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ⋂是X 的一个拓扑; (C) 21ττ⋃是X 的一个拓扑; (D) 21ττ⋂是X 的某个拓扑的基。
设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d .二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（）四、 商映射一定是闭映射或开映射. （）五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （） 六、 连通空间一定是局部连通空间. （）七、 若11:f S →连续，则 1t ∃∈，使1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设{}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑.十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集.十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集.十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.答案一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.解 例如 {}0,1X =，{},0,X τ=∅，{}{}01'=.2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个：{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}} 5个开集的共有6个：{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}} {Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} 6个开集的有6个：{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}, {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} … 8个开集的有1个：{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}} 因此共有1+6+9+6+6+1＝29个拓扑四 、证明题 1. 若X 满足 1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集. 证明 设 A X ⊂，只要验证 ()cA '是开集. ()cx A '∀∈，则x 有开邻域U ，使得{}()\U x A =∅，由 1T 公理知， {}\U x 是开集，从而 {}()\cU x A '⊂，于是()cU A '⊂；所以x 是()cA '的内点.2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.证明 设X 是从 2R 除去可数个点后所得到的空间, ,x y X ∀∈，若 x y ≠，设L 是线段xy 的中垂线，设 z L ∈,用(,,)x y z 表示连接 ,,x y z 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而 X 的余集 Y 是可数集, 所以至少有一条折线 (,,)x y z 不含 Y 中的点, 这表明X 是道路连通的.3. 证明至少有两个点的4T 空间的连通子集一定是不可数集.证明 设X 是至少有两个点的连通的4T 空间 Y 的子集，设 ,x y 是 X 中的两个不同点，令 {},{}A x B y ==，则 A 和B 是子空间 X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数 :[0,1]f X →使得， ()0,()1f x f y ==，又因 X 是连通的，故 ()f X 是 [0,1]中的连通集，而 0,1()f X ∈，因此 ()[0,1]f X =，于是 X一定是不可数集.4.证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.证明 （必要性）要证 ∆为闭集，只要证它的余集是开集。
大学数学拓扑真题试卷
大学数学拓扑真题试卷# 大学数学拓扑真题试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 拓扑空间中的开集，其任意并集还是开集。
这个性质称为：A. 并集公理B. 有限覆盖性质C. 邻域系统D. 闭集性质2. 在度量空间中，下列哪一项不是完备性的定义？A. 任何柯西序列都收敛B. 空间中的每个闭子集都是完备的C. 空间中的每个有界序列都有收敛子序列D. 空间是完备的3. 以下哪个概念不是拓扑空间的基本元素？A. 点B. 开集C. 距离D. 邻域4. 连续映射的定义是：A. 映射的逆像包含开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像包含闭集D. 映射的逆像是邻域5. 以下哪个命题是正确的？A. 任何有限个开集的并集是开集B. 任何无限个开集的交集是开集C. 任何有限个闭集的并集是闭集D. 任何无限个闭集的交集是闭集6. 拓扑空间中的紧性是指：A. 空间是局部紧的B. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖C. 空间是度量空间D. 空间是可分的7. 以下哪个命题是闭区间套定理？A. 闭区间套的交集可能是空集B. 闭区间套的交集至少包含一个点C. 闭区间套的交集是开集D. 闭区间套的交集是闭集8. 度量空间中的完备性与紧性的关系是：A. 完备性蕴含紧性B. 紧性蕴含完备性C. 完备性与紧性无关D. 完备性与紧性总是等价的9. 以下哪个命题是正确的？A. 任何紧空间都是可分的B. 任何可分空间都是紧的C. 任何紧空间都是度量空间D. 任何度量空间都是紧的10. 同胚空间具有相同的：A. 维数B. 体积C. 面积D. 长度二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是同胚，并给出一个例子说明两个空间如何是同胚的。
2. 解释什么是紧空间，并给出一个例子说明一个空间是紧的。
三、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：在度量空间中，如果一个序列的每个元素都包含在某个紧子集中，那么这个序列有一个收敛子序列。
2. 证明：在欧几里得空间中，闭区间是紧的。
拓扑学考试题及答案
拓扑学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，开集的补集是：A. 闭集B. 既开又闭集C. 非开集D. 非闭集答案：A2. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本元素？A. 开集B. 连续函数C. 极限点D. 线性方程答案：D3. 拓扑空间中，两个开集的交集仍然是：A. 开集B. 闭集C. 既开又闭集D. 非开集答案：A4. 拓扑空间中，一个集合是连通的，当且仅当它不能表示为两个非空不相交开集的并集。
以下哪个集合不是连通的？A. 一个区间B. 两个不相交的区间的并集C. 一个单点集D. 一个空集答案：B5. 拓扑空间中的紧致性意味着：A. 每个开覆盖都有有限子覆盖B. 每个闭覆盖都有有限子覆盖C. 每个开覆盖都有有限子覆盖或闭覆盖D. 每个闭覆盖都有有限子覆盖或开覆盖答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果拓扑空间X中的每个点都有一个邻域，该邻域与X同胚，则称X是________。
答案：局部连通的2. 拓扑空间X中的点x称为________，如果X中包含x的每个开集也包含该序列的某个项。
答案：序列极限点3. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个点y≠x，使得y也在U中。
答案：凝聚点4. 如果拓扑空间X中的每个序列都有一个收敛的子序列，则称X是________。
答案：序列紧致的5. 拓扑空间X中的点x称为________，如果对于x的每个邻域U，都存在一个不包含x的开集V，使得V⊆U。
答案：孤立点三、简答题（每题10分，共20分）1. 描述拓扑空间中的紧性与序列紧致性之间的关系。
答案：在Hausdorff空间中，紧性等价于序列紧致性。
这意味着如果一个Hausdorff空间中的每个序列都有一个收敛的子序列，则该空间是紧的，反之亦然。
2. 解释什么是同胚映射，并给出一个例子。
答案：同胚映射是两个拓扑空间之间的双射函数，它既是连续的，其逆映射也是连续的。
拓扑试题及答案
拓扑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 拓扑空间中，任意两个开集的并集还是开集，这是拓扑空间的哪个公理？A. 任意并集公理B. 有限并集公理C. 有限交公理D. 任意交公理答案：A2. 连续映射的定义是？A. 映射的逆映射是连续的B. 映射的原像与像的连续性一致C. 映射的像与原像的连续性一致D. 映射的原像与像的连续性不一致答案：B3. 在拓扑学中，一个空间的基是什么？A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有单点集的集合D. 空间中所有有限集的集合答案：A4. 拓扑空间中，一个集合的闭包是指什么？A. 集合本身B. 集合的内部C. 包含集合的所有极限点D. 集合的外部答案：C5. 什么是紧致性？A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中任意开覆盖都有无限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有无限子覆盖答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果拓扑空间X的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称X是________。
答案：紧致的2. 拓扑空间中，如果一个映射是连续的，那么它的逆映射也是________。
答案：连续的3. 在拓扑空间X中，如果存在一个开集U包含点x，使得x是U的极限点，则称x是X的________。
答案：累积点4. 拓扑空间X的基B，如果X中任意开集都可以表示为B中开集的并集，则称B是X的一个________。
答案：基5. 如果拓扑空间X的任意子集的闭包都是闭集，则称X是________。
答案：T1空间三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是拓扑空间？答案：拓扑空间是一个集合X，配合一个定义在其上的拓扑结构，这个结构由X的子集构成，满足任意并集公理、有限交公理和空集与全集为开集的条件。
2. 什么是连续映射？答案：连续映射是指在拓扑空间X和Y之间定义的映射f，对于Y中的任意开集V，其原像f^(-1)(V)在X中也是开集。
拓扑学基础答案
拓扑学基础（数学教育本科）试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D 8、A 9、B 10、D二、填空题11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通18、X ，)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射，则称集合X 是一个可数集。
2、设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族，如果T 满足如下条件：（1）∈φ,X T ，（2）若A ，∈B T ，则∈B A T ，（3）若T ⊂1T ，则1A ∈∈ T T ，则称T 是X 的一个拓扑。
偶对（X ，T ）是一个拓扑空间。
3、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果f:X →Y 是一个一一映射，并且f 和f -1:Y →X 都是连续的，则称f 是一个同胚映射。
4、设X 是一个拓扑空间，如果对于任何x 、y ，存在X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），则称X 是一个道路连通空间。
5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个A 1空间。
6、一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个A 2空间。
7、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。
8、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交，则称拓朴空间X 是一个正则空间。
9、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。
10、设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间。
四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√ 8、× 9、√ 10、× 11、√ 12、×五、解答与证明题1、解：（1）1T 不是X 的拓扑，这是因为∈},{b a 1T ，∈},{d b 1T ，但∈/=}{},{},{b d b b a 1T（2）2T 是X 的拓扑，满足拓扑的定义2、证∵()()()()A B A B d A B A B d A d B ==B A B d B A d A ==))(())((3、证：∵B B A A B A ⊂⊂ ,，故A B A ⊂ ，B B A ⊂∴B A B A ⊂5、设Y 是紧致空间X 中的一个闭子集，如果A 是Y 的一个覆盖，它由X 中的开集构成，则B =A {Y '}是X 的一个开覆盖，设1B 是2B 的一个有限子族并且覆盖X ，则1B }{Y '-便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，这说明Y 是X 的一个紧致子集。
拓扑期末试题及答案
拓扑期末试题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念？A. 连通性B. 邻域C. 紧致性D. 可分性答案：B. 邻域2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素？A. 集合B. 拓扑C. 运算D. 距离答案：A. 集合，B. 拓扑3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集？A. Heine-Borel定理B. Bolzano-Weierstrass定理C. 单调有界定理D. Cantor定理答案：A. Heine-Borel定理4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域，则称该空间满足：A. 可分性B. 连通性C. 紧致性D. 完备性答案：A. 可分性5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑？A. 离散拓扑B. 序拓扑C. 紧致拓扑D. Hausdorff拓扑答案：C. 紧致拓扑二、填空题1. 在连通空间中，_________只有一个子集，即空集和整个集合本身。
答案：极大连通子集2. 设X是一个度量空间，如果序列{an}在X中收敛到点x，则它的任意一个子列也在X中收敛到点x，这个定理称为_________定理。
答案：Bolzano-Weierstrass定理3. 设X、Y是两个度量空间，f:X→Y是一个映射，若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a)，则称f是一个_________映射。
答案：连续映射4. 在一个度量空间中，若集合E能被包含在一列开集内，即E⊆∪(n=1)∞O(n)，则E称为_________集。
答案：可分集5. 在度量空间中，_________是指个别的点被聚集成簇，而某个区域内不能含有过多的点。
答案：Hausdorff性三、计算题1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集，其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T，计算X中元素x=1的极限点。
解答：首先，极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。
对于x=1来说，我们可以构造一个序列{a_n}，其中a_n = 1+1/n。
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拓扑学基础（数学教育本科）试卷
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1、设X 是拓扑空间，A 、B ⊂X ，则下列等式成立的是
A 、)()()(
B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A =
2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则
A 、]1,0[=A
B 、)1,0(=A
C 、)1,0[=A
D 、]1,0(=A
3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么
A 、X 是T 0空间，非T 1空间
B 、X 是T 1空间
C 、X 是正则空间
D 、X 是正规空间
4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间
A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、
B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立
B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立
C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集
D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A
5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则
A 、R 是道路连通空间
B 、X 是道路连通空间
C 、R 是不连通空间
D 、X 是连通空间
6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间
A 、实数空间
B 、平庸空间
C 、包含着不可数多个点的离散空间
D 、满足第二可数性公理的空间
7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是
A 、正规⇒正则
B 、正则⇒正规
C 、正则⇒T 2
D 、完全正则⇒正则
8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质
A 、第一可数性
B 、连通性
C 、紧致性
D 、可分性
9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立
A 、可数紧致⇒紧致
B 、紧致⇒可数紧致
C 、列紧⇒紧致
D 、局部紧致⇒紧致
10、下列命题错误的是
A 、A 是闭集⇔A A =
B 、A 是闭集A A d ⊂⇔)(
C 、A 是闭集⇔A '是开集
D 、A 是闭集⇔A A =
二、填空题（每空2分，共20分）
11、集合X 是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z +到集合X 的一个 。
12、设X 和Y 是两个拓扑空间，如果存在一个同胚f ：X →Y ，则称拓扑空间X 与拓扑空间
Y 是 。
13、设X 是一个拓扑空间，X A ⊂，则A 是一个闭集当且仅当 。
14、设Y 是拓扑空间X 的一个子空间，如果B 是拓扑空间X 的一个基，则 是
子空间Y 的一个基。
15、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数稠密子集，则称X 是一个 空间。
16、Hausdorff 空间中的任何一个收敛序列只有 个极限点。
17、X y x ∈,属于X 的同一个连通分支当且仅当 。
18、设X 和Y 是两个拓扑空间，其中 满足第一可数性公理，X x ∈，则映射
f ：X →Y ，在点X x ∈处连续的充分必要条件是：如果X 中的序列{}i x 收敛于x ，则Y 中的序列)}({i x f 收敛于 。
19、设X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y ，如果 ，则称f 是从X 到Y 的一个连续映射。
三、名词解释题（每小题4分，共20分）
20、拓扑空间
21、同胚映射
22、满足第二可数性公理的空间（即A2空间）
23、正则空间
24、可数紧致空间
四、判断题（每小题2分，共12分）
（）25、任何可数集的任一个子集都是一个可数集。
（）26、任何一个集合都有选择函数。
（）27、每一个离散空间都是可度量化的。
（）28、有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个连通空间。
（）29、每一个满足第一可数性公理的空间都满足第二可数性公理。
（）30、实数空间R是一个紧致空间。
五、解答与证明题（每小题7分，共28分）
31、设},,,,{e d c b a X =，试问X 的下列子集族是否为X 的拓扑？并简要说明理由。
（1）1{,,{},{,},{,}}X a a b b d φ=T
（2）2{,,{},{,},{,,},{,,,}}X a a b a c d a b c d φ=T
32、设X 是一个拓扑空间，A 、X B ∈，试证：B A B A ⊂
33、试证：紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集。
x∈和x的任何一个开邻域U，存在X的一个34、设X是一个拓扑空间，若对于任何点X
V⊂，试证X是一个正则空间。
开邻域V使得U。