概率论--事件与概率
第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则
，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，
，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，
=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，
(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？
(3)什么时候关系式B C ?是正确的？
(4) 什么时候B A =成立？
解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ?，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。用i A 表示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品；
(2)至少有一个零件是不合格品；
(3)仅仅只有一个零件是不合格品；
(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n i
j j j i A A 11)]([=≠=;
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 n
j i j i j i A A ≠=1,；
1.4 证明下列各式：
(1)A B B A ?=?;
(2)A B B A ?=?
(3)=??C B A )()(C B A ??;
(4)=??C B A )()(C B A ??
(5)=??C B A )(??)(C A )(C B ? (6) n
i i n i i A A 11===
证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为7828?=A 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以
事件A “所得分数为既约分数”包含6322151323??=?+A A A 个样本点。于是
14
978632)(=???=
A P 。 1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 解 样本点总数为1035=???
? ??。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必
须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A “所取三条线段能构成一
个三角形”包含3个样本点，于是10
3)(=A P 。 1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？
解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含
!2!2!2!3个样本点。所以!
1348!13!2!2!2!3)(==
A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-?个不同位置，当
它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为
89
17)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于
“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A 个样本点，于是
7799
)(A A P =。 1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？
解 用A 表示“牌照号码中有数字8”，显然4
4109100009)(??
? ??==A P ，所以 1)(=A P -4410911000091)(??
? ??-=-=A P 1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1；
(2)该数的四次方的末位数字是1；
(3)该数的立方的最后两位数字都是1；
解 (1) 答案为5
1。 (2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为5
2104= (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含210个样本点。用事件A 表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a ，则该数的立方的最后两位数字为1和3a 的个位数，要使3a 的个位数是1，必须7=a ，因此A 所包含的样本点只有71这一点，于是
。
1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到n 2根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故
对头而言有135??种接法，同样对尾也有135??种接法，所以样本点总数为
2)135(??。
用A 表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有135??种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为24?。所以A 包含的样本点数为)24)(135(???，于是158)
135()24)(135()(2=?????=A P (2) n 2根草的情形和(1)类似得
1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球的概率为???
? ??-+???
? ??---+n n N k n k n N 12，n k ≤≤0 (2)恰好有m 个盒的概率为???
? ??-+???? ??---???? ??n n N m N n m N 111，1-≤≤-N m n N
(3)指定的m 个盒中正好有j 个球的概率为???? ??-+???
? ??---+-???? ??--+n n N j n j n m N m j m 1111，
.0,1N j N m ≤≤≤≤
解 略。
1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解 所求概率为5
3)(=A P 1.15 在ABC ?中任取一点P ，证明ABC ABP ??与的面积之比大于n
n 1-的概率为21n
。 解 截取CD n
D C 1='，当且仅当点P 落入B A C ''?之内时ABC ABP ??与的面积之比大于n
n 1-，因此所求概率为22
)(CD D C ABC C B A A P '=?''?=的面积有面积2221CD D C n '=21n =。
1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解 分别用y x ,表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当10,20≤-≤≤-≤x y y x 。因此所求概率为
121.024
2221232124)(22
22≈?-?-=A P 1.17 在线段AB 上任取三点321,,x x x ，求：
(1) 2x 位于31x x 与之间的概率。
(2) 321,,Ax Ax Ax 能构成一个三角形的概率。
解 (1) 31)(=A P (2) 2
11213131)(=??-=B P 1.18 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为c b a ,,（均小于d ），求三角形与平行线相交的概率。
解 分别用321,,A A A 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然.0)()(21==A P A P 所求概率为)(3A P 。分别用bc ac ab c b a A A A A A A ,,,,,表示边c b a ,,，二边bc ac ab ,,与平行线相交，则=)(3A P ).(bc ac ab A A A P ??显然)(a A P )()(ac ab A P A P +，=)(b A P )()(bc ab A P A P +，=)(c A P )()(bc ac A P A P +。所以
21)(3=A P [+)(a A P +)(b A P )(c A P ])(22c b a d ++=π)(1c b a d
++=π （用例1.12的结果）
1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A “该点命中AB 的中点”的概率等于零，但A 不是不可能事件。
1.20 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。
解1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个
b b 1+ω，
则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}，并且b
a a P +=})({1ω， 1})({2-+?+=
b a a b a b P ω， 2
11})({3-+?-+-?+=b a a b a b b a b P ω，…， )
1()2()2(11})({--+?--+--??-+-?+=i b a a i b a i b b a b b a b P i ω a b a b a a b P b )1)((!})({1-++=
+ω 甲取胜的概率为})({1ωP +})({3ωP +})({5ωP +…
乙取胜的概率为})({2ωP +})({4ωP +})({6ωP +…
1.21 设事件B A ,及B A ?的概率分别为p 、q 及r ，求)(AB P ，)(B A P ，)(B A P ，)(B A P
解 由)()()()(AB P B P A P B A P -+=?得
r q p B A P B P A P AB P -+=?-+=)()()()(
q r AB P A P AB A P B A P -=-=-=)()()()( ，p r B A P -=)(
r B A P B A P B A P -=?-=?=1)(1)()(
1.22 设1A 、2A 为两个随机事件，证明： (1) )()()(1)(212121A A P A P A P A A P +--=; (2) )()()()()()(121212121A P A P A A P A A P A P A P +≤?≤≤--.
证明 (1) -=?=1)()(2121A A P A A P )(21A A P ?=)()()(12121A A P A P A P +--
(2) 由(1)和0)(21≥A A P 得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.23 对于任意的随机事件A 、B 、C ，证明：)()()()(A P BC P AC P AB P ≤-+ 证明 )()()()]([)(ABC P AC P AB P C B A P A P -+=?≥
)()()(BC P AC P AB P -+≥
1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：
(1)只订甲报的；
(2)只订甲、乙两报的；
(3)只订一种报纸的；
(4)正好订两种报纸的；
(5)至少订一种报纸的；
(6)不订任何报纸的。
解 事件A 表示订甲报，事件B 表示订乙报，事件C 表示订丙报。 (1) ))(()(AC AB A P C B A P ?-==)()(AC AB P A P ?-=30% (2) %7)()(=-=ABC AB P C AB P (3) %23)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AB P B P C A B P %20)]()()([)()(=-+-=ABC P BC P AC P C P B A C P ?C B A P (+C A B +)B A C =)(C B A P +)(C A B P +)(B A C P =73% (4) =++)(A BC B AC C AB P %14)()()(=++A BC P B AC P C AB P
(5) %90)(=++C B A P (6) %10%901)(1)(=-=++-=C B A P C B A P
1.26 某班有n 个学生参加口试，考签共N 张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？
解 用i A 表示“第i 张考签没有被抽到”， N i ,,2,1 =。要求)(1 N
i i A P =。
n i N N A P ??
? ??-=1)(，n j i N N A A P ??? ??-=2)(，……，0)(1=??? ??-=n N N N N A A P n N i i N N N A P ??? ??-????? ??=∑=11)(1n N N N ??
? ??-???? ??-=-11)1(11 n N i j i N N N A A P ??? ??-???? ??-=-∑≤≤22)(1n
N N N ??? ??-???? ??-=-22)1(12，…… 所以n
N i i N i i N i N A P ??? ??--=∑=-=111)1()(
1.27 从n 阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？
解n 阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为n ni i i a a a 2121，当且仅当n ,,2,1 的排列)(21n i i i 中存在k 使k i k =时这一项包含主对角线元素。用k A 表示事件“排列中k i k =”即第k 个主对角线元素出现于展开式的某项中。则
n i n n A P i ≤≤-=
1!)!1()( )1(!)!2()(n j i n n A A P j i ≤<≤-=，…… 所以!1)1(!)!()1()(11111i n i n i n A P n i i n i i N i i ∑∑=-=-=-=-???
? ??-= 1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解 用g b ,分别表示男孩和女孩。则样本空间为：
)},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{(g g g b g g g b g g g b b b g b g b g b b b b b =Ω
其中样本点依年龄大小的性别排列。A 表示“有女孩”， B 表示“有男孩”，则
7
68/78/6)()()|(===A P AB P A B P 1.30 设M 件产品中有m 件是不合格品，从中任取两件，
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
解（1）设A 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B 表示“所取产
品都是不合格品”，则 ???? ?????? ??-???? ??+???? ??=2112)(M m M m m A P ???
? ?????? ??=22)(M m B P ===)
()()()()|(A P B P A P AB P A B P 121---m M m (2)设C 表示“所取产品中至少有一件合格品”， D 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则
???? ?????? ??-+???? ??-???? ??=2211)(M m M m M m C P ???? ?????? ??-???? ??=211)(M m M m D P
===)()()()()|(C P D P C P CD P C D P 1
2-+m M m 1.31 n 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：
(1)已知前1-k )(n k ≤个人都没摸到，求第k 个人摸到的概率；
(2)第k )(n k ≤个人摸到的概率。
解 设i A 表示“第i 个人摸到”， n i ,,2,1 =。 (1) 1
1)1(1)|(11+-=--=-k n k n A A A P k k (2) =)(k A P =
-)(11k k A A A P n k n n n n n 111121=+-??--?- 1.32 已知一个母鸡生k 个蛋的概率为)0(!>-λλλe k k
，而每一个蛋能孵化成小
鸡的概率为p ，证明：一个母鸡恰有r 个下一代（即小鸡）的概率为p r
e r p λλ-!
)(。 解 用k A 表示“母鸡生k 个蛋”， B 表示“母鸡恰有r 个下一代”，则 )|()()(k r k k A B P A P B P ∑∞==r k r r k k p p r k k e -∞=--????
? ???=∑)1(!λλ ∑∞=----=r
k r k r
r k p e r p )!()]1([!)(λλλ)1(!)(p r
e e r p --?=λλλ p r
e r p λλ-=!
)( 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解 用k A 表示“任选一名射手为k 级”， 4,3,2,1=k ，B 表示“任选一名射手能
进入
决赛”，则)|()()(41
k k k A B P A P B P ∑==645.02.02015.02077.02089.0204=?+?+?+?=
1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任
取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
解 用1A 表示“任取一只产品是甲台机器生产”
2A 表示“任取一只产品是乙台机器生产”
3A 表示“任取一只产品是丙台机器生产”
B 表示“任取一只产品恰是不合格品”。
则由贝叶斯公式： 6925)|()()|()()|(31111==∑=k k
k A B P A P A B P A P B A P 69
28)|()()|()()|(31222==∑=k k k A B P A P A B P A P B A P
69
16)|()()
|()()|(31333==∑=k k k A B P A
P A B P A P B A P 1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？
解 则 159)(1=A P ， 153)(2=A P ，152)(3=A P ，15
1)(4=A P 71)|(1=A B P ，72)|(2=A B P ，73)|(3=A B P ，7
1)|(4=A B P 由贝时叶斯公式得 22
9)|()()|()()|(41111==∑=k k k A B P A
P A B P A P B A P
1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、
0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是41、3
1、12
1，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 解 用1A 表示“朋友乘火车来”，2A 表示“朋友乘轮船来”，3A 表示“朋友乘汽车来”，4A 表示“朋友乘飞机来”，B 表示“朋友迟到了”。
则 2
1)
|()()|()()|(41111==∑=k k k A B P A P A B P A P B A P
1.37 证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则B A ?、AB 及B A -都与C 独立。
证明 （1）)()()())((ABC P BC P AC P C B A P -+=?
=)()(C P B A P ?
（2）)()()()()()C P AB P C P B P A P PABC ==
（3）)())(())((ABC AC P C AB A P C B A P -=-=-=)()(C P B A P -
1.38 试举例说明由)()()()(C P B P A P ABC P =不能推出)()()(B P A P AB P =一定成立。
解 设},,,,{54321ωωωωω=Ω，641})({1=ωP ，64
18})({5=ωP ， =})({2ωP =})({3ωP 64
15})({4=
ωP ，},{21ωω=A ，},{31ωω=A ，},{41ωω=A 则 4
16415641)()()(=+===C P B P A P ， )()()(64
1})({)(1C P B P A P P ABC P ===ω 但是)()(641})({)(1B P A P P AB P ≠==ω 1.39 设n A A A ,,,21 为n 个相互独立的事件，且)1()(n k p A P k k ≤≤=，求下列事件的概率：
(1) n 个事件全不发生；
(2) n 个事件中至少发生一件；
(3) n 个事件中恰好发生一件。
解 (1) ∏∏===-==n
k k k k n k k p A P A P n 111)1()()( (2) ∏===--=-=n
k k n k k n k k p A P A P 111)1(1)(1)( (3) ])1([)()]([111111 n
k j j j n k j j n k k j n k k n k n k j j j k p p A A A A P ≠=≠====≠=-==∑∑.
1.40 已知事件B A ,相互独立且互不相容，求))(),(min(B P A P （注：),min(y x 表示y x ,中小的一个数）。
解 一方面0)(),(≥B P A P ，另一方面0)()()(==AB P B P A P ，即)(),(B P A P 中至少有一个等于0，所以.0))(),(min(=B P A P
1.41 一个人的血型为AB B A O ,,,型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率
(1)两个人为O 型，其它三个人分别为其它三种血型；
(2)三个人为O 型，两个人为A 型；
(3)没有一人为AB 。
解 (1)从5个人任选2人为O 型，共有???
? ??25种可能，在其余3人中任选一人
为A 型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B 型，共有2种可能，另一
人为AB 型，顺此所求概率为：0168.013.011.040.046.023252≈?????????
? ?? (2) 1557.040.046.03522≈?????
? ?? (3) 8587.0)03.01(5≈-
1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。
解 用k A 表示“第k 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， ,2,1=k ，B 表示“击中飞机”。则6.0)(=k A P ， ,2,1=k 。 (1) 84.04.01)(1)(22121=-=-=?A A P A A P (2) 99.04.01)(1)(11>-=-=?=n n k k n A P A A P , 026.54
.0lg 01.0lg ≈>
n 取6=n 。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。
1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前已失败了m 次的概率。
解 用A 表示“在成功n 次之前已失败了m 次”， B 表示“在前1-+m n 次试验中失败了m 次”， C 表示“第m n +次试验成功”
则 p p p m m n C P B P BC P A P m n ?-???
? ??-+===-)1(1)()()()(1
m n p p m m n )1(1-???
? ??-+= 1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r 根火柴（n r ≤≤1）的概率。
解 用i A 表示“甲盒中尚余i 根火柴”， 用j B 表示“乙盒中尚余j 根火柴”， D C ,分别表示“第r n -2次在甲盒取”，“第r n -2次在乙盒取”， C B A r 0表示取
了r n -2次火柴，且第r n -2次是从甲盒中取的，即在前12--r n 在甲盒中取了
1-n ，其余在乙盒中取。所以 2
12121112)(10???? ?????
? ?????? ??---=--r n n r n r n C B A P 由对称性知)()(00D B A P C B A P r r =，所求概率为： =?)(00D B A C B A P r r 12021112)(2--??? ?????? ??---=r n r n r n C B A P
高中数学概率统计
第八讲 概率统计 【考点透视】 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. [解答过程]0.3提示:1 33 5 C 33.54C 10 2 P ===? 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ． [考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. 用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20 提示:51.10020P == 例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________． [考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.
概率论第一章随机事件及其概率答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
概率论--事件与概率
第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则 ，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，， ，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， =A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，， (2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r } 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。 (1) 叙述C AB 的意义。 (2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ?是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？ 解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) C ABC = 等价于AB C ?，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。用i A 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n i j j j i A A 11)]([=≠=;
概率论与数理统计整理(一二章)
一、随机事件和概率 考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验 考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点： 1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。0<概率<1。 2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成 的集合叫做样本空间，大写字母S表示。 3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。（2）相等： 事件A包含事件B且事件B包含事件A。（3）和：事件的并，记为A∪B。（4）差：A-B称为A 与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB 或A∩B。（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。（7）对立：A∪B=S。 4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A（B C）(3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律 5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特 别地：互不相容的完全事件组）。 6. 概率的概念：用来表示随机事件发生的可能性大小的数，称为随机事件的概率。 7. 概率的基本性质：（1）非负性：任意随机事件的是介于0和1之间的，0《P(A)《1。（2）规范 性：P（S）=1。（3）可列可加性：基本事件两两不相容。 8.古典型概率：如果E是一个等可能概型，且它的样本空间S只有有限个样本点，则称E为古典 概型。等可能概型。）P（A）=M/N M为随机事件A中所含有的基本事件数，N为基本事件的总数。 9. 几何型概率：假设试验的基本事件有无穷多个，但可以用某些几何特征来表示总和，设为D， 并且其中一部分，即随机事件A所包含的基本事件数也可以用同样的几何特征来表示，设为d，则随机事件的概率为P（A）=d/D。 10. 条件概率：在基本事件B已经发生的情况下。基本事件A发生的概率。P(A|B)=P(AB)/P(B)（B 中A发生的情况只有AB部分）。 11.概率的基本性质：（1）两个互不相容事件的并的概率，等于着两个事件概率的和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)。（2）有限个互不相容的并的概率，等于这些事件概率的和，即P（∑A） =∑P(A)。→对立事件的概率的和等于1。（3）任意两个事件的并的概率等于这两个事件的 概率的和减去这两个事件的交的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。→对于任意三个事件 A,B,C,有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)。（4）设事件B的概率 P(B)>0，则在事件B已发生的情况下，事件A的条件概率等于事件AB的概率除以事件B的概 率所得的商，即P(A|B)=P(AB)/P(B)。→有限个事件的交的概率等于这些事件的概率的乘积， 其中每一事件的概率是在它前面的一切事件都已经发生的条件下的条件概率，即 P(A1A2A3…Ai)=P(A1)P(A1|A2)P(A2|A1A2)…P(Ai|A1A2A3Ai-1) 。 12. 全概率公式与贝叶斯公式：（1）若基本事件两两不相容，且B1∪B2∪B3∪…. ∪Bn=S,则称 B1，B2，B3，….,Bn为S的一个划分。（2）设事件A当且仅当互不相容的基本事件中至少有一
概率论重点及课后题答案1
第1章随机事件与概率 一、大纲要求 （1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算. （2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质. （3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图 三、基础知识 1.随机试验的特征 （1）试验可以在相同的条件下重复地进行. （2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果.
（3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果. 3.随机事件 在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之. 4.事件的关系和运算 一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含 若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ?. 6.事件的相等 若A 与B 互相蕴含，即A B ?且B A ?，则称事件A 与B 相等，记为A B =. 7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的. 若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的. 8.事件的对立（或称逆） 互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A . 9.事件的并（或称和）
概率论中几种概率模型方法总结
概率论中几种概率模型方法总结 绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。 1 古典概型 古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n 中的样本点数中的样本点数。在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下: 1.1 袋中取球问题 1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题 随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。 事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。 分析:随机地从袋中取出k 个球有k m+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这 一事件包含了l k-l n m C C 种结果,因此所求概率为l k - l n m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。用它可以解决一些类似的问题。 1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次 随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。 事件2 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一
概率论第一章随机事件及其概率答案
概率论与数理统计练习题 _____ 专业______ 班姓名第一 章随机事件及其概率(一) 学号一.选择题 1.对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 (A)不可能事件(B)必然事件(C) 随机事件 2.下面各组事件中，互为对立事件的有 [ (D)样本事件 [ (A) A i ｛抽到的三个产品全是合格品｝｛抽到的三个产品全是废品｝(B) B i ｛抽到的三个产品全是合格品｝B2 ｛抽到的三个产品中至少有一个废 品 (C) C i ｛抽到的三个产品中合格品不少 于2个｝ C2 ｛抽到的三个产品中废品不多于 (D) D i ｛抽到的三个产品中有2个合格品D2 ｛抽到的三个产品中 有2个废品｝ 3.下列事件与事件A B不等价的是 (A) A AB (B) (A B) B (C) AB AB 4.甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则A B表示 (A)二人都没射中(C)二人没有都射着(B)二人都射中(D)至少一个射中 5.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为. (A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销” (C) “甲种产品滞销”；(B) “甲、乙两种产品均畅销”； (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销 6?设{x| x }, A {x|0 x 2}, B {x|1 3｝，则AB表示 (A) {x|0 x 1 } (B) {x|0 1 } (C) {x|1 x 2} (D) {x| 0} {x|1 x } 7 .在事件A , B , C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为 (A) AC BC ；(B) ABC ； (C) ABC ABC ABC ; (D) &设随机事件A,B满足P(AB) 0，则 (A) A, B互为对立事件(B ) A, B互不相容
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
3. ① 43=4 ②事件A 与B 互斥: 习题1 （随机事件及其运算） 一-填空题 1. 设儿8- C 是三个随机事件，用字僻表示下列事件: 事件A 发生，事件8, C 不都发生为 用A 表示“第/次射击中靶"（扫123）.下列事件的含义是: 人表示. A/2人3 + 4/?每+ 4/?比 表示. 瓦U 兀U 召表示, 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生X 用B 表示“选到的是二 年级的学 生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式T ABC=C 成立的条件是 1. 在事件ASX 中，8与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ① A\JBC = A, ② A\JBC = A, ③ AUBC = 4 ④ AUBC = n. 4, 若槪率P （AB ）=O,则必有（ 事件 B, C 都不发生为 事件A, 8, C 至少一个发生为 事件A, B, C 至多一个发生为 2?用 A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”, 则A 表示（ ①“甲产品滞销.乙产品畅销”: ②“甲、乙产品都畅销S ③“甲产品滞销或乙产品畅销I ④“甲、乙产品都滞销”. 2.某人射击三次,
③事件A与B对立: ④ P(A\JB) = P(A) + P(B). 三-解答题 1?将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间C及事件&=｛点数之和为偶数｝：B = ｛点数之和能被3整除｝? 2?将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Q及事件A=｛点数之和为6｝：B = ｛点数之差为2｝? 3.某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%,求下列事件的概率：C=｛至少订一种报｝； D巩恰订一种报｝: &｛不订任何报｝? 4?若已知 P(A) = P(B) = P(C) = 03. P(AB) = P(AC) = 0? P(BC) = 02求概率P(ABC)： P(AUBUC)： P(ABC).