概率论与数理统计整理(一二章)

一、随机事件和概率
考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验
考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点：
1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。

0<概率<1。

2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成
的集合叫做样本空间，大写字母S表示。

3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。

（2）相等：
事件A包含事件B且事件B包含事件A。

（3）和：事件的并，记为A∪B。

（4）差：A-B称为A
与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。

（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB
或A∩B。

（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。

（7）对立：A∪B=S。

4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C)
(AB)C=A（B C）(3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律
5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特
别地：互不相容的完全事件组）。

6. 概率的概念：用来表示随机事件发生的可能性大小的数，称为随机事件的概率。

7. 概率的基本性质：（1）非负性：任意随机事件的是介于0和1之间的，0《P(A)《1。

（2）规范
性：P（S）=1。

（3）可列可加性：基本事件两两不相容。

8.古典型概率：如果E是一个等可能概型，且它的样本空间S只有有限个样本点，则称E为古典
概型。

等可能概型。

）P（A）=M/N
M为随机事件A中所含有的基本事件数，N为基本事件的总数。

9. 几何型概率：假设试验的基本事件有无穷多个，但可以用某些几何特征来表示总和，设为D，
并且其中一部分，即随机事件A所包含的基本事件数也可以用同样的几何特征来表示，设为d，则随机事件的概率为P（A）=d/D。

10. 条件概率：在基本事件B已经发生的情况下。

基本事件A发生的概率。

P(A|B)=P(AB)/P(B)（B
中A发生的情况只有AB部分）。

11.概率的基本性质：（1）两个互不相容事件的并的概率，等于着两个事件概率的和，即
P(A+B)=P(A)+P(B)。

（2）有限个互不相容的并的概率，等于这些事件概率的和，即P（∑A）
=∑P(A)。

→对立事件的概率的和等于1。

（3）任意两个事件的并的概率等于这两个事件的
概率的和减去这两个事件的交的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

→对于任意三个事件
A,B,C,有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)。

（4）设事件B的概率
P(B)>0，则在事件B已发生的情况下，事件A的条件概率等于事件AB的概率除以事件B的概
率所得的商，即P(A|B)=P(AB)/P(B)。

→有限个事件的交的概率等于这些事件的概率的乘积，
其中每一事件的概率是在它前面的一切事件都已经发生的条件下的条件概率，即
P(A1A2A3…Ai)=P(A1)P(A1|A2)P(A2|A1A2)…P(Ai|A1A2A3Ai-1) 。

12. 全概率公式与贝叶斯公式：（1）若基本事件两两不相容，且B1∪B2∪B3∪…. ∪Bn=S,则称
B1，B2，B3，….,Bn为S的一个划分。

（2）设事件A当且仅当互不相容的基本事件中至少有一
个发生时才可能发生，已知基本事件概率P(Bi)和事件A在Bi已发生条件下的条件概率P(A|Bi)，则P(A)= ∑P(Bi)P(A|Bi)。

→设B1，B2，…,Bn是样本空间S的一个划分，A为任一事件，则
P(A)= ∑P(Bi)P(A|Bi)。

（3）全概率公式中，概率B(Bi)为假定已知的，他们常是以往的经验总
结，称为先验概率；在已知事件A发生条件下，求出事件Bi发生的概率P(Bi|A)称为后验概率。

（4）设B1，B2，….Bi为S的一个划分，则P(Bi|A)=P(BiA)/P(A)=P(A|Bi)P(Bi)/ ∑P(A|Bi)P(Bi) 。

13. 事件的独立性：事件A是否发生对于事件B是否发生没有影响，则说A与B是独立的，
P(AB)=P(A)P(B)。

→设A1，A2，…An是n事件，如果1<<k1<<k2<<….<<ks<n的s个数有
P(Ak1Ak2…..Aks)=P(Ak1)P(Ak2)….P(Aks)，则称A1，A2，…,An是相互独立的。

14. 独立重复试验：----------
二、随机变量及其概率分布
考试内容：随机变量(事件结果数量化)及其概率分布(取某一个随机变量的概率) 随机变量的分布函数的概念(F(x)=P{X<=x})及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布
考试要求：1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数F（x）=P{X＜=x}（-∞<x<+∞）的概念及性质．会计算与随机变量有关的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－l分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用． 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。

4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(μ，σ2)、指数分布及其应用，其中参数为λ（λ>0）的指数分布的密度函数为
5．会求随机变量函数的分布(离散型连续型(注意单调性)：公式法分布函数法)．
整理重点：
1. 随机变量：设随机试验E的样本空间为S，如果对每个样本点e，都有唯一的实数值X（e）与之对应，则称X（e）为S上的随机变量，简记为X。

→随机变量的取值是有限个或可列无穷多个，离散型随机变量；随机变量的取值不能一一列举，非离散型随机变量（连续型随机变量）。

2. 概率分布（分布律）：设离散型随机变量X所有可能取的值为x k,. X取x k 的概率为p k，即P（X= x k ）= p k ,此等式为离散型随机变量X的概率分布。

3. 几种常见的离散型随机变量的分布律：（1）（0—1）分布或两点分布或伯努利分布：P{X=k}=p k(1-p)1-k,k=0,1 (0<p<1) (2) 二项分布X~B(n,p)P{X=K}=C k n p k q n-k,k=0,1,…,n。

→用二项分布计算比较麻烦时，引用→（3）泊松分布X~P(λ)P{X=k}=λk e-λ/k! λ>0，k=0,1,…,n 。

（4）超几何分布X~H(n, M, N)P{X=K}=C M n C N-M n-k/C N n, k=0,1,…,l .n<=N, l=min{M, n}。

4. 随机变量的分布函数：（1）设X为一随机变量，x是任意实数，称F(x)=P(X<=x) 为X的分布函数。

→X取值与（x1,x2】的概率是P{x1<X<x2}=F(x2)-F(x1) (2) 一般的，若离散型随机变量的分布律为p k=P{X=x k} ,k=1,2,… 则F(x)=∑p k。

（3）分布函数的性质：0《X《1，-∞<x<+∞;F(x)单调不减；F（x）右连续。

5. 连续型随机变量及其概率密度函数：设随机变量X的分布函数为F（x）=∫-∞x f(t)dt ，则称X为连续型随机变量，称f（t）为X的概率密度函数。

→特别的对于任意一个确定的a，有连续型随机变量的概率为0。

6. 几种常见的离散型随机变量：（1）均匀分布X ~U【a , b】：f（x）=1/(b-a) a<<x<<b (2)指数分布X~E(λ):f(x)= λe-λx x>0
(3) 正态分布：！！！！！！！！
7. 会求随机变量函数的分布(离散型连续型(注意单调性)：公式法分布函数法)。