实际流体动力学基础
基准面线
§5－3 实际流体总流的伯努利方程
5-3-1 实际流体总流的伯努利方程 单位时间通过元流过流断面的流体重 量为ρgdQ
dA2 u1
dA1
u2 u2 dt
p2
dQ u1dA1 u2dA2
根据实际流体元流的伯努利方程：
2 1 2 2
p1
O
u1dt
Z2
Z1
O
u p2 u ' z1 z2 hw 2g 2g
26
26
1 p A z udA平均单位势能 Q
c
dQdt z2 z1
dH w ' 令 hw dQdt
的伯努利方程 ' （能量方程） hw为单位重量液体所消耗的能量，称水头损失
2 u12 p2 u2 ' z1 6
应用条件：
流体是不可压缩均质的实际流体，密度 =常数； 作用于流体上的质量力是有势的； 流体运动是恒定流； 限于同一条流线上各点的总机械能保持 不变；这和理想流体伯努利方程在有势流 的应用条件不同。
dA2u2dtz2 dAu1dtz1 dQdt z2 z1 1
由功能原理，式 a 式 b 式 c ：
由于重力在此做负功，所以（c）式应该将负号带入，则
2 dH w u2 u12 p1 p2 不可压缩均质实 z2 z1 2g 2g dQdt 际流体恒定元流
（5-9）
6
p u2 d W 2u x dx 2u y dy 2u z dz 0 2
或
p u2 2 2 2 d W u x dx u y dy u z dz 2
分别在总流的两过
得dt时段内通过总流的
水断面A1和A2上积分
液体的能量守恒关系为：
2 p1 u12 p2 u2 ' z1 u1dA1dt z2 u2 dA2 dt hw dQdt A1 2 g A2 Q 2g
17
例5-2 设有一水位保持不变的很大的水箱，在其侧壁 开一小圆孔口，水从小圆孔口流入大气，如图5-4所 示。已知水箱内自由表面到小孔口中心的水深为H， 小孔口直径d﹤H/10 。试求水从小孔口出口收缩断面 c-c处水流的速度vc。
图5-4
18
解：现取同一流线上的在自由表面上的A点和孔 口出口断面c-c处中心的C点；取通过小孔口中心 的水平面为基准面。A、C两点的位置高差已知为 H，自由表面上A点的压强为大气压强pa,，孔口 出口断面上C点压强一般认为近似等于大气压强 pa 。根据伯努利方程，可得
设总流的流量为Q，将上 式除以 Qdt，消去 dt
得单位时间内通过总流的单位 重量液体的能量守恒关系为：
p1 u13 1 1 A1 z1 u1dA1 Q A1 2 g dA1 Q
3 p2 u2 1 1 1 ' z2 u2 dA2 dA2 hw dQ Q A2 Q A2 2 g Q Q
位置势能 位能 z
压力势能 压能 p
u2 动能 2g
由能量的守恒和转化定律，液流所具有的机械能可在位能、 压能及动能三种形式间相互转化，但能量的总量保持不变。
9
9
（二）元流的能量方程
由伯努利积分推导理想液体的元流能量方程
由功能原理推导恒定流实际液体元流的能量方程
10
10
u gz 常数 2 p u2 z 常数 2g
1 dA1u1dtu12 2 g
a
14
14
2.压力作功 作用于元流侧面的动水压力与位移垂直，不作功。作 用于元流两端过水断面上的动水压力所作的功为：
p1dA1dl1 p2dA2dl2 p1dAu1dt p2dA2u2dt 1
p1dQdt p2dQdt p1 p2 dQdt
第五章 实际流体动力学基础
zx
zy
图5-1
1
§5-1实际流体的运动微分方程 ——纳维-斯托克斯方程
5-1-1 以应力表示的实际流体的运动微分方程
1 px yx zx du x 在x轴方向：f x x y z dt 1 p y xy zy du y 在y轴方向：f y （5-1） y x z dt pz xz yz du z 1 在z轴方向：f z z x y dt
p1
dt时间内，通过元流总的能量守恒关系为：
2 p1 u12 p2 u2 ' z1 u1dA1dt z2 u2 dA2 dt hw dQdt 2g 2g
25
25
2 p1 u12 p2 u2 ' z1 u1dA1dt z2 u2 dA2 dt hw dQdt 2g 2g
（5-2）
（5-3）
广义的 牛顿内摩擦定律
3
u x p x 2 xx 2 x u y ' p y 2 yy 2 y u z ' p z 2 zz 2 z u x px p 2 x u y p y p 2 y u z pz p 2 z
O
u2 u2 dt
u1
dA1
p2
p1
u1dt
Z2
Z1
O
力学中功能原理是：外力（重力除外）对物体所作的功 （正功或负功）等于物体机械能（动能和位能）的增量。 恒定流实际液体元流 恒定流总流
13
13
1.动能的增量 动能的增量 ＝ 222’2’块液体的动能 － 111’1’块液体的动能
1 2 dA2u2 dtu2 2 g
由于实际液体具有粘性，液流的部分机械能将因液流内 部质点之间及其与边壁之间的摩擦作用而转化为热能损失掉。 令这部分能量损失（外力所作的负功）为－dHw，故外力作 功为： p1 p2 dQdt dHw b
15
15
3.重力做功 该段元流移动前后在重力作用下的位能增量， 是222’2’和111’1’两块液体的重力势能之差：
2
5-1-2 流体质点的应力状态 xy yx yz zy zx xz
u y u x xy yx y x u z u y yz zy z y u x u z zx xz x z
2 u2 2g
u 2g
p1
测压管水头线
2 1
H1
p2
H2
Z1
l
Z2
22
在上图中：
总水头线的坡度称水力坡度，以J 表示，它代表沿程单位 长度上的水头损失。
取一元流段长度为dl，相应于这段的水头损失是 dhw' 总 水 头 线 直线
hw' J l
dH dh' w J dl dl
曲线
单位长度上测压管水头的降低或升高，称测压管水头线坡度Jp
不可压缩均质实际流体恒定元流的 伯努利方程（能量方程）
2 1
2
20
5-2-2 实际流体元流伯努利方程的 物理意义和几何意义
u12 2g p1 g
u2 2 2g
p2 g
图5-6
21
因为元流能量方程中各项的因次都是长度，所以也可用线 段图形来形象地反映沿流能量的转化情况，即水头线。
总水头线
hw12
pa vA pa vC zA zC g 2g g 2g vC 2 gH
托里拆利公式
2
2
19
§5-2 实际流体元流的伯努利方程 5-2-1实际流体元流伯努利方程
p1 u p2 u2 ' z1 z2 h （5-14） g 2g g 2g
p
2
上式就是理想液体沿元流的伯努利积分，称理想液体元流 的能量方程。
11
11
（二）元流的能量方程
由伯努利积分推导理想液体的元流能量方程
由功能原理推导恒定流实际液体元流的能量方程
12
12
dA2
在恒定流中取一段元 流，并截取其中断面1 1 与断面2 2之间的流段来 分析。经过dt时段，元流 段由1 1与2 2断面分别移 动了u1dt和u2 dt。
'
（5-4）
（5-5）
4
5-1-3 实际流体的运动微分方程 ——纳维-斯托克斯方程
u x u x u x u x 1 p 2 fx ux ux uy uz x dt x y z u y u y u y u y 1 p 2 （5-6） fy uy ux uy uz y dt x y z u z u z u z u z 1 p 2 fz uz ux uy uz z dt x y z
p u ' dz dh 0 g 2g 2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h g 2g g 2g
2
(5-12)
(5-13)
不可压缩均质实际流体恒 定流的伯努利方程式
8
恒定元流能量方程
（一）能量转化
p 势能 z
p dz g Jp dl
23
总水头线
hw12
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4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
5.流体力学-实际流体动力学基础-wyj
学习重点
➢掌握实际流体能量方程、动量方程； ➢掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用
三大运动方程解决实际问题；
➢了解N—S 方程。
2020/6/17
3
学习内容
伯努利方程 (能量方程)
动量方程
实际流体运 动微分方程
2020/6/17
4
§5—1 实际流体运动微分方程
一、以应力表示的实际流体运动微分方程
式 5—5
13
三、N—S 方程
将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可
得N—S方程（p166 5—6式）。
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
2020/6/17
14
四、实际流体运动微分方程积分
1、积分条件：
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
ux z
)
2020/6/17
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
11
2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
p ——平均压应力
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
4>列动量方程求解。
2020/6/17
35
几点说明：
1>方程是矢量式，正确取好外力和速度的正负号；
2> 建立坐标系应尽量使问题简化；
3> 计算断面为渐变流断面（中间可为急变流）；
第三章 流体动力学基础
1、在水位恒定的情况下： （1）A®A¢不存在时变加速 度和位变加速度。 （2）B®B¢ 不存在时变加速 度，但存在位变加速度。 2、在水位变化的情况下： （1）A®A¢ 存在时变加速度， 但不存在位变加速度。 （2）B®B¢ 既存在时变加速 度，又存在位变加速度。
图3-19
第二节 流体质点运动特点和有旋流
图3-13
非均匀流——流线不是平行直线的流 动， 。 非均匀流中流场中相应点的流速大 小或方向或同时二者沿程改变，即沿流 程方向速度分布不均。例：流体在收缩 管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀 流又可分为急变流和渐变流）
4.渐变流与急变流
非均匀流中如流动变化缓 慢，流线的曲率很小接近平行， 过流断面上的压力基本上是静 压分布者为渐变流(gradually varied flow)，否则为急变流。
图3-17
（3）三元流
三元流（threedimensional flow):流动 流体的运动要素是三 个空间坐标函数。例 如水在断面形状与大 小沿程变化的天然河 道中流动，水对船的 绕流等等，这种流动 属于三元流动。（图 3-18）
图3-18
三.描述流体运动的方法
1.拉格朗日法 拉格朗日方法（lagrangian method）是以 流场中每一流体质点作为描述流体运动 的方法，它以流体个别质点随时间的运 动为基础，通过综合足够多的质点（即 质点系）运动求得整个流动。——质点 系法
一、流体质点的运动 特点 刚体的运动是由 平移和绕某瞬时轴 的 转动两部分组成，如 图3-20(a)。
图3-20(a)
流体质点的运动， 一般除了平移、转 动外，还要发生变 形（角变形和线变 形），如图3-20(b)。
图3-20(b)
二、角速度的数学表达式 流体质点的旋转用角速度表征，习 惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速 度平均值定义为该转轴的角速度。
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
第五章 实际流体动力学基础分解
代入式（a）中得： 可见虹吸管顶部，相对压强为负值， 即出现真空。为使之不产生空化，应 控制虹吸管顶高（即吸出高），防止 形成过大真空。
图4-15
例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒 定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
故有：
得：hp=16.47N· m/N 所需轴功率Np为：
图4-26
3.气流的能量方程
总流的能量方程式是对不可压缩流体导出的，气 体是可压缩流体，但是对流速不很大（u<60m/s）压 强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流 在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯 努利方程仍可用于气流。由于气流的密部空气的密度 是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考 虑外部大气压在不同高度的差值。
判断：测压管水头线若低于管轴心，则该处水流一 定处于真空状态。 你的回答： 对 错
问题：粘性流体总水头线沿程的变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。 问题：粘性流体测压管水头线的沿程变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。
例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损 失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g) ，试求断 面2的平均压强。 解：取0-0，列断面1，2的能量方程a（取α 1=α 2=1） 而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量 方程b a 可得： b
Байду номын сангаас
4.总流能量与元流能量方程有什么不同点？
参考答案： 1）以断面的平均流速v代替元流中的点流速
图4-15
例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒 定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
故有：
得：hp=16.47N· m/N 所需轴功率Np为：
图4-26
3.气流的能量方程
总流的能量方程式是对不可压缩流体导出的，气 体是可压缩流体，但是对流速不很大（u<60m/s）压 强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流 在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯 努利方程仍可用于气流。由于气流的密部空气的密度 是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考 虑外部大气压在不同高度的差值。
判断：测压管水头线若低于管轴心，则该处水流一 定处于真空状态。 你的回答： 对 错
问题：粘性流体总水头线沿程的变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。 问题：粘性流体测压管水头线的沿程变化是：
A.沿程下降； B.沿程上升； C.保持水平； D.前三种情况都有可能。
例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损 失分别为hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g) ，试求断 面2的平均压强。 解：取0-0，列断面1，2的能量方程a（取α 1=α 2=1） 而v2=v3=v（因d2=d1=d），因此可对断面1，3写出能量 方程b a 可得： b
Байду номын сангаас
4.总流能量与元流能量方程有什么不同点？
参考答案： 1）以断面的平均流速v代替元流中的点流速
5实际(粘性)流体的动力学基础2
FRx p1 A1 1QV1
FRx p1 A1 1QV1
沿z方向列动量方程为：
沿y方向列动量方程为：
p2 A2 FG FRz Q(2V2 0)
FRy p2 A2 Q(2V2 0)
FRz p2 A2 FG 2 QV2
FRy p2 A2 2 QV2
x y z
Q(2V2 x 1V1x ) Q(2V2 y 1V1y ) Q(2V2 z 1V1z )
适用条件：不可压缩流体、恒定流、过水断面为均匀流或 渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。 如图所示的一分叉管路，动量 方程式应为：
ρ Q1
1
1
v1 v2 v3
3 3 ρ Q3
扬 扬 程 程 提水 高度
QH m Np p
分 子
单位时间 水流获得 总能量
水泵轴功率
水泵效率
分 母
三、水轮机管路系统
1 引水渠 1 o 压力钢管
z
水轮机
2 o
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 H t z2 hl12 2g 2g
2
=
z
=
0
管轴竖直放置
弯管内水流对管壁的作用力
1
管轴水平放置
FR
FRx
V1
FRz
V1
Fry
z
1
FP1=p1A1
V2
FP1=p1A1 x y
V2
FR
FRx
2
2
y
x
FG FP2=p2A· 2
FP2=p2A· 2
沿x方向列动量方程为：
沿x方向列动量方程为：
p1 A1 FRx Q(0 1V1 )
水力学5.1(2、3)实际流体的动力学基础(N-S方程,能量方程)
能量方程的几何意义:
水力坡度J: 当总水头线为直线时,
J hw l
当总水头线为曲线时, J dhw dH dl dl
5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义
能量方程的几何意义:
(2)测管水头线可沿程降 低或升高.为什么?
测管水头线坡度JP:
d(z p)
JP
dl
水力学中规定:所有沿 程下降的坡度为正,所 以式中有一负号.
5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义
能量方程的几何意义:
(3)在流速不变的流段内, 测管水头线与总水头线 平行.为什么?
5.3.4 实际流体恒定总流能量方程的应用
能量方程的应用条件及注意事项: (1)必须是恒定流,且为不可压缩的均质流体.
(2)作用于流体上的质量力只有重力,所研究的流 体边界是静止的.
流速分布越均匀,α越接近于1. 流速分布越不均匀,α的值越大. 一般渐变流, α≈1.05~1.10
为简便，常常取α=1.0
5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程
Q (z1i
p1i
)dQi
Q
u12i 2g
dQi
Q (z2i
p2i
)dQi
Q
u22i 2g
dQi
Q hw idQi
(3)第三类积分: Q hw dQ
5 实际(粘性)流体的动力学基础
实际(粘性)流体
仅有连续性方程远远不能解决实际 问题,如:作用力,能量问题等
本章主要任务:
给出实际(粘性)流体的运动微分方程 (N-S方程),在此基础上讨论元流和恒定 总流的伯努利方程(能量方程),动量方程 的推导以及它们的意义和应用
5 实际(粘性)流体的动力学基础
水力坡度J: 当总水头线为直线时,
J hw l
当总水头线为曲线时, J dhw dH dl dl
5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义
能量方程的几何意义:
(2)测管水头线可沿程降 低或升高.为什么?
测管水头线坡度JP:
d(z p)
JP
dl
水力学中规定:所有沿 程下降的坡度为正,所 以式中有一负号.
5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义
能量方程的几何意义:
(3)在流速不变的流段内, 测管水头线与总水头线 平行.为什么?
5.3.4 实际流体恒定总流能量方程的应用
能量方程的应用条件及注意事项: (1)必须是恒定流,且为不可压缩的均质流体.
(2)作用于流体上的质量力只有重力,所研究的流 体边界是静止的.
流速分布越均匀,α越接近于1. 流速分布越不均匀,α的值越大. 一般渐变流, α≈1.05~1.10
为简便，常常取α=1.0
5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程
Q (z1i
p1i
)dQi
Q
u12i 2g
dQi
Q (z2i
p2i
)dQi
Q
u22i 2g
dQi
Q hw idQi
(3)第三类积分: Q hw dQ
5 实际(粘性)流体的动力学基础
实际(粘性)流体
仅有连续性方程远远不能解决实际 问题,如:作用力,能量问题等
本章主要任务:
给出实际(粘性)流体的运动微分方程 (N-S方程),在此基础上讨论元流和恒定 总流的伯努利方程(能量方程),动量方程 的推导以及它们的意义和应用
5 实际(粘性)流体的动力学基础
第五章 实际(粘性)流体动力学基础
hw----能量损失
能量损失包括：沿程损失和局部损失。
物理意义：总流各过流断面上单位重力流体所具有的平均势
能和平均动能之和，机总机械能平均值沿程减少，部分机械 能转化为热能而损失；同时，各项机械能之间可以相互转化。
2、几何意义 z——位置水头 hw----水头损失
p
——压强水头
v 2
2g
——流速水头
p
p
(5.12)
上式表示总流重力流量（γQ）所具有的势能。
u2 （2）第二类积分 Q dQ A u3dA ，表示总流重力流量 2g 2g
所具有的动能。 总流在同一过流断面上的流速分布一般是不均匀的，即
3 3 u dA v A A
引入修正系数α，即令
3 3 u dA u dA A A 3 v A Qv 2
下降，平均测压管水头线可以上升，
可以下降。
总水头线的坡度叫做水力坡度， 表示单位重力流体在单位长度的 流程上所损失的平均水头。以H 表示总流的平均总水头，则水力
坡度为
dH dhw J ds ds
(5.21)
5.3.3
恒定总流伯努利方程的应用
总流伯努利方程适用条件：
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流； （3）作用于流体上的质量力不可压缩流体； （4）所取过流断面1-1，2-2都在渐变流区域，但两断面之
式中，
(5.5)
g
( 2 ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 为单位质量流体粘性
，代入（5.5）式 力所作的微功，记为 dhw
u2 0 d ( gz ) dhw 2g p
对上式沿流线（或元流）由点1到点2积分，得
流体动力学基础
例3、如图所示，有一上方开口截面积很大的水槽，槽内水深h = 40 cm ，接到槽外水平管的截面积依次是1.0 cm2, 0.5 cm2 , 0.25 cm2 。 试求： 1）体积流量 QV 。 2）各段水平管中水流速度 vc ,vd ,ve 。 3）与水平管相连的各压强计中水柱高度 hc , hd , he 。
第二章 流体动力学基础
1、理解理想流体和定常流动（稳定流动）的概念 2、掌握运用连续性方程和伯努利方程 3、了解黏滞定律、泊肃叶定律、斯托克斯定律 4、了解测量液体黏度的实验方法。
第一节、理想流体的定常流动 第二节、伯努利方程 第三节、伯努利方程的应用 第四节、黏性流体的流动 第五节、泊肃叶定律和斯托克斯定律
a
h
c
hd :
d
1 2 1 2 Pd v d Pb v b , 其中Pb =P0 2 2 1 2 1 2 gh d P0 v d P0 v b 2 2 2 v b2 v d hc = 30cm 2g
e
b
例3、如图所示，有一上方开口截面积很大的水槽，槽内水深h = 40 cm ，接到槽外水平管的截面积依次是1.0 cm2, 0.5 cm2 , 0.25 cm2 。 试求： 3）与水平管相连的各压强计中水柱高度 hc , hd , he 。
a
h c
d e
b
例3、如图所示，有一上方开口截面积很大的水槽，槽内水深h = 40 cm ，接 到槽外水平管的截面积依次是1.0 cm2, 0.5 cm2 , 0.25 cm2 。 试求： 1）体积流量 QV 。
a h c d e
解（1）
b
QV Sb vb， 其中S b =Se，vb = 2gh
流体力学3-动力学
二、流体动力学基本概念
1. 流束：指在流体中沿流动方向分离出一块基本元面积dA、长为 L的一束流体。 元流（微细流）：指断面无穷小的流束。 总流：指无数微细流的总和。
微元流束
图 3-2 总流和微元流束
3. 流速
质点流速（点速）：指过流断面上各质点的速度，以“u”表示，m/s 断面平均流速（流速）： 指过流断面上各质点的速度的平均值，以“W” 表示，m/s 4.流量：指单位时间内通过某一断面积流体的量。 ① 体积流量（Q）：指单位时间内通过某一断面积流体的体积。m3/s ② 质量流量(m):指单位时间内通过某一断面积流体的质量。Kg/s ③ 重量流量（G）：指单位时间内通过某一断面积流体的重量。 三者之间关系： m = ρQ G = mg = ρQg 体积流量Q与流速W之间关系： Q = WA （A—流体通过的某一断面面积）
Q1 = Q2
W1 A1 = W2 A2
Q1 = Q2 + Q3
分流时：
W1 A1 = W2 A2 + W3 A3
Q1 + Q2 = Q3
合流时：
W1 A1 + W2 A2 = W3 A3
§3-4 流体流动伯努利方程
伯努利方程从功能原理出发，描述流体在外力作用下是按照什 么规律来运动的，从而求出流速的绝对值等。
ρw12
2
= ( ρ − ρ a ) gZ 2 + P2 +
2 ρ w2
2
+ ∆ P1− 2
对于1，3 断面的伯努利方程如下：
不同条件下临界流速Wk不同；但是临界雷诺数Rek都是相同的， 其值约为2000，
Re ≤ 2000 层流 2000 < Re < 4000 过渡态 Re ≥ 4000 紊流