分解质因数(一)
分解质因数(一)(含详细解析)
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
一百以内的分解质因数
一百以内的分解质因数分解质因数是数学中非常重要的一部分，尤其是在解决一些复杂的数学问题时，分解质因数是必不可少的一步。
而在学生学习数学的过程中，会经常遇到要求分解一定范围内的数的质因数，而一百以内的分解质因数就是其中最基本的一部分。
下面，我们将围绕“一百以内的分解质因数”进行分步骤的阐述。
步骤一：什么是质数？首先，我们需要了解什么是质数。
质数是指只能被1和本身整除的数，比如2，3，5，7，11，13等等。
可以发现，质数并不是无限多的，但是它们的性质在数学中有着非常重要的应用。
步骤二：从小到大找质因数接下来，我们开始从小到大找出这个数的质因数。
首先，我们可以试着将这个数分解成2的幂，如果除完后余数不为0，再将这个数继续除以3，4等等，直至将这个数完全分解成质因数的积。
比如，对于24来说，我们按照以下步骤分解质因数：24 ÷ 2 = 12 ----> 24 = 2^3 × 312 ÷ 2 = 6 ----> 24 = 2^2 × 3 × 26 ÷ 2 = 3 ----> 24 = 2^3 × 3步骤三：小结最后，我们可以将一百以内的数的质因数罗列出来，以方便学生记忆和应用。
2 = 23 = 34 = 2^25 = 56 = 2 × 37 = 78 = 2^39 = 3^210 = 2 × 511 = 1112 = 2^2 × 313 = 1314 = 2 × 715 = 3 × 516 = 2^417 = 1718 = 2 × 3^219 = 1920 = 2^2 × 521 = 3 × 722 = 2 × 1123 = 2324 = 2^3 × 325 = 5^226 = 2 × 1327 = 3^328 = 2^2 × 729 = 2930 = 2 × 3 × 531 = 3132 = 2^533 = 3 × 1134 = 2 × 1735 = 5 × 736 = 2^2 × 3^237 = 3738 = 2 × 1939 = 3 × 1340 = 2^3 × 541 = 4142 = 2 × 3 × 743 = 4344 = 2^2 × 1145 = 3^2 × 546 = 2 × 2347 = 4748 = 2^4 × 349 = 7^250 = 2 × 5^251 = 3 × 1752 = 2^2 × 1353 = 5354 = 2 × 3^355 = 5 × 1156 = 2^3 × 757 = 3 × 1958 = 2 × 2959 = 5960 = 2^2 × 3 × 561 = 6162 = 2 × 3163 = 3^2 × 764 = 2^665 = 5 × 1366 = 2 × 3 × 1167 = 6768 = 2^2 × 1769 = 3 × 2370 = 2 × 5 × 771 = 7172 = 2^3 × 3^273 = 7374 = 2 × 3775 = 3 × 5^276 = 2^2 × 1977 = 7 × 1178 = 2 × 3 × 1379 = 7980 = 2^4 × 581 = 3^482 = 2 × 4183 = 8384 = 2^2 × 3 × 785 = 5 × 1786 = 2 × 4387 = 3 × 2988 = 2^3 × 1189 = 8990 = 2 × 3^2 × 591 = 7 × 1392 = 2^2 × 2393 = 3 × 3194 = 2 × 4795 = 5 × 1996 = 2^5 × 397 = 9798 = 2 × 7^299 = 3^2 × 11100 = 2^2 × 5^2总结：通过以上步骤，我们可以学习到一百以内数的分解质因数的方法，并且也掌握了找质因数的技巧，这些技巧在今后的学习和生活中都会给我们带来很大的帮助。
分解质因数(终极完整版)
专题一分解质因数专题简析：1.什么叫分解质因数？把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。
2.怎样分解质因数？把一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止（短除法）。
3.分解质因数的目的：一是为了研究已知数与未知数之间的关系，从而使某些问题得到解决；二是为求最大公约数、最小公倍数服务。
【例题1】有4名同学参加夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁。
且知他们年龄的乘积是17160，你知道他们分别是多少岁呢？解析：17160=2×2×2×3×5×11×13=10×11×12×13【练习1】三个连续奇数的乘积是1287，则这三个数的和是多少？解析：1287=3×3×11×13=9×11×139+11+13=33【例题2】三个质数的和是38，求这三个质数的乘积最大值是多少？解析：奇+奇+偶=偶必有质数2，剩余两数和为36，则各自为17和19【练习2】两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是多少？解析：同理【例题3】把7、14、20、21、28、30这六个数分成两组，每组三个数相乘，使他们的积相等应该如何分？解析：将每个数分解质因数，然后将质因数个数均分。
【练习3】将21,30,65,126,143,169,275分成两组，使两组数的积相等。
解析：同理【例题4】在1×2×3×4×5×…×200的末尾，连续有多少个零？解析：一个质因数2和一个质因数5相乘会使末尾产生一个0，质因数2的个数显然比质因数5的个数多，质因数的5的个数的确定：200÷5=40 200÷25=8 200÷125=1...75 所以有40+8+1=49个5，因此有49个0末尾。
小学奥数 分解质因数(一).学生版
1. 能够利用短除法分解2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解 111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。
【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?例题精讲【例 4】今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是。
小学奥数5-3-4 分解质因数(一).专项练习及答案解析
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【答案】3⨯⨯⨯23753【例2】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空【解析】210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
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。2020年6月18日星期四2020/6/182020/6/182020/6/18
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THE END 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年6月2020/6/182020/6/182020/6/186/18/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/6/182020/6/18June 18, 2020
【分析】两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积，而126=2×63=3×42=6×21=7×18=9×14
题目给定这个两个数是合数，而2、3、7为质数，所以这两个数为6、21或9、14。即它们的和为 27或23
例4、小明家的电话号码是七位数，它恰好是八个连续质数的乘积，这 个积的后四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？
• 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/6/182020/6/182020/6/18Jun-2018-Jun-20
• 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/6/182020/6/182020/6/18Thursday, June 18, 2020
• 13、志不立，天下无可成之事。2020/6/182020/6/182020/6/182020/6/186/18/2020
【分析】苹果正好均分，说明苹果的个数是两个自然数的乘积，分解420，可以得到以下情况 420=2×210=3×140=4×105=5×84=6×70=7×60=10×42=12×35=14×30=15×28=20×21 小朋友增加了一个，每个小朋友的苹果数少了2个。说明当其中一个数增加1，另一个数就会减小2。 从上面的分解中，可以看出，14×30符合这个要求。所以原来有14个小朋友。
1分解质因数法
分解质因数法通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。
分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。
分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。
这块正方体木块的棱长是多少厘米？解：把1331分解质因数：1331=11×11×11答：这块正方体木块的棱长是11厘米。
例2 一个数的平方等于324，求这个数。
解：把324分解质因数：324= 2×2×3×3×3×3=（2×3×3）×（2×3×3）=18×18答：这个数是18。
例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。
解：把462分解质因数：462=2×3×7×11=（3×7）×（2×11）=21×22答：这两个数是21和22。
*例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。
求ABC代表什么数？解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。
1673=239×7答：ABC代表239。
例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。
已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。
求这个幼儿园有多少名小朋友？解：3250-10=3240（个）把3240分解质因数：3240=23×34×5接近40的数有36、37、38、39这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。
将一个正整数分解质因数
将一个正整数分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一
个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如30=2×3×5 。
分解质因数只
针对合数。
定义
把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，Loupe质因数的过程叫作水解质因数。
分解质因数只针对合数。
（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从
最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质
相似，还可以用来求多个数的公因式。
定理
不存在最大质数的证明：（使用反证法）
假设存有最小的质数为n，则所有的质数序列为：n1，n2，n3……n
设m=（n1×n2×n3×n4×……n）+1，
可以证明m无法被任何质数相乘，得出结论m也就是一个质数。
而m\uen，与假设矛盾，故可证明不存在最大的质数。
第二种因数分解的方法：
年，john pollard提出。
该算法时间复杂度为o( )。
详见参考资料。
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第29讲分解质因数(一)2005年2月28日，设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织的一名数学爱好者，发现了迄2－1。
素数也叫做质数，是只能被自己和1整除的数。
今为止最大的素数，即25964951如果一个质数是某个数约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
例如：2、3都是36的质因数，4和9都是36的因数，但不是36的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
我们常用分解质因数的方法，并利用已知的条件和未知条件中的数的特征，从而顺利地解决一些相关的数学问题。
例题与方法例1、23÷( )=( )……5。
在括号填入适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法？思路点拨丁丁：这是一道带余除法，被除数是23，余数是5，要求的是除数和商。
根据“被除数=除数×商+余数”，可以知道“除数×商=被除数－余数=23－5=18”。
小麦斯：对!这道题要用到带余除法算式的数量关系：除数×商=被除数－余数，在上述讨论中，既然知道了“除数×商”的积是18，将18写成两个自然数相乘的形式，这样共有三种情况：1×18、2×9、3×6。
机灵猴：特别注意的是，余数必须比除数小，那么可以将1、2、3排除，因为它们都小于5，不能作为除数，剩下的只能是6、9和18作为除数了。
解：符合题意的填法有：23÷(6)=3……5；23÷(9)=2……5；23÷(18)=1……5。
小麦斯：聪明的小读者，如果上面算式中的余数与商相同，被除数又应是多少？例2、小华的妹妹参加了今年中学数学智力竞赛，小华问他妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”思路点拨丁丁：由题中“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910”可以知道，2910是三个数量的乘积，那么就要把2910分解质因数。
小麦斯：将一个合数分解质因数，常用短除法求得，有时也采用直接分解的方法，要注意的是，在质因数的连乘中，一般要按照从大到小的顺序排列。
机灵猴：将2910分解质因数得2910=2×3×5×97。
小华的妹妹是个中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不能是6岁、10岁，因此，可以肯定，小华妹妹是3×5=15(岁)，名次是第2名，成绩是97分。
解：将2910分解质因数得2910=2×3×5×97=2×(3×5)×97答：小华的妹妹今年15岁，名次是第2名，成绩为97分。
小麦斯：数学问题来源于生活，因此，有些数量可以结合实际情况作出判断。
例3、学校木工组做了一些长方形的教学用板，它们的长和宽是互质数，而且这些长方形的面积都是2008平方厘米，这样的长方形可能有多少种？思路点拨丁丁：前面我们学过了长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽，由题意可知，木板的面积是2008平方厘米，说明长乘的宽的积是2008 平方厘米，只要将2008写成两个数的乘积就可以了。
即：2008=1×2008=2×1004=4×502=8×251小麦斯：上面将2008写成两个整数的形式，要注意的是“它们的长和宽是互质数”这一个条件及一些实际情况。
机灵猴：互质数就是公约数只有1的两个数。
在上面4组乘法算式中，只有1和2008互质、8和251互质，所以可能的答案只有两组，另外，2008厘米长的木板，即20.08米长的教学木板，是不切实际的。
丁丁：哦!这道题不仅要将2008写成两个整数的乘积，同时还要根据互质数的概念，将不符合题意的数组排除在外。
解：将2008写成两个整数相乘的形式，共有4组。
11×2008、2×1004、4×502、8×251。
其中互质的是1和2008、8和251，1和2008不切实际，排除掉。
答：可能的情况只有一组，即长251厘米、宽8厘米。
小麦斯：公约数只有1的两个数叫做互质数，上面的数组虽然有4组，但真正符合题意的只有1组，另外还要考虑一些实际情况。
例4、将下列八个数平均分成两组，并使这两组数的乘积相等：12、18、33、35、36、65、77、104．思路点拨丁丁：将这八个数平均分成两组，每组四个数，并要求这两组数的乘积相等，应该怎么办？小麦斯：注意到两组乘式的积相等可以知道，在这两组数的乘积中，所含有质因数必须完全相同，因此，必须将这八个数分解质因数，得：12=2×2×3；36=2×2×3×3；18=2×3×3；65=5×13；33=3×11；77=7×11；35=5×7；104=2×2×2×13。
机灵猴：观察上述分解式中，虽然有很多的质因数，但只要适当归类，就可以发现其中的奥妙。
小麦斯：从上面可以看出，104和65分在不同的组里，因为含有质因数13的只有这两个数，又因为65含有质因数5，所以，35和104应在同一组；35里有质因数7，那么77必须和65一组，同理，33、35和104一组，因为共有8个质因数2，每边共有4个质因数2，所以，33、35、104和18一组，77、65、36和12应为另一组。
解：先把这八个数分解质因数，再按各组中每种质因数的个数相同的原则进行划分，可得：（22×3）×（22×23）×（5×13）×（7×11）＝（2×23）×（3×11）（5×7）×（32×13）即12×36×65×77＝18×33×35×104答：这两组数分别是：12、36、65、99和18、33、35、104。
小麦斯：两组数的乘积相等，那么两组数分解质因数后，它们的质因数也应相同，真是利用这一特征，巧妙解决了这一问题。
例5、504乘以自然数a ，得到一个平方数，即等于某自然数的平方。
求a 的最小值和这个平方数。
（a 不为0）思路点拨丁丁：我知道，平方数是两个相同的自然数相乘的积，如0、1、4、9、16、25、36、……，而504×a 是一个较大的平方数，这可把我难住了！小麦斯：这其实并不难！要从平方数的特征分析起，因为一个平方数所含有的每种质因数的个数都为偶数。
例如：26＝36,36＝2×2×3×3，2和3的个数都是偶数。
机灵猴：只要将504分解质因数就可以了，然后将不是偶数个质因数的补上1个，这样就可以求出a 的最小值，也就能求出这个平方数了！解：504＝32×23×7a ＝2×7＝14 42×23×27＝7056答：a 的最小值是14，这个平方数是7056。
小麦斯：关于平方数，它有许多特征，如它的每类质因数都是偶数个；平方数的末尾只能是0、1、4、5、6、9；平方数除以4所得的余数只能余0或1……，利用这些特征可以解决看似复杂却很简单的数学问题。
例6、把若干个自然数1、2、3、4、……，连乘起来，当乘积的最末20位恰好都是0时，最后出现的自然数最小是多少？思路点拨丁丁：在乘法计算中，因为2×5＝10，这样含有质因数一个2和一个5乘积的末尾就有一个0了！小麦斯：要求乘积的末尾有20个0，必须有20对“2×5”这样两个质因数相乘，在若干个连续自然数（0除外）的算式中，含有质因数2的个数一定多于含有质因数5的个数。
机灵猴：这题的关键即是只需知道乘积中共需要20个质因数5。
丁丁：质因数5包含在5的倍数中：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85等中，共有20个质因数5，所以，最小值为85。
小麦斯：这题还可以用估算的方法，确定含有质因数5的个数的范围。
假如最小值为70，质因数5的个数有［570］＋［2570］＝16（个）；假如最小值为90，质因数5的个数有［590］＋［2590］＝21（个），90－5＝85即是最小值。
机灵猴：上面的解法真好，聪明的小读者，你明白了吗？解：1×2×3×4×5×…×84×85的积的末尾正好有20个0。
答：最后出现的自然数最小是85。
小麦斯：如果要求的是最大值，答案又应是多少？总结与提示分解质因数是数论的一个重要组成部分，它是判定一个数是否质数或合数的重要标准。
将自然数列中的合数分解质因数是自然数的重要特性（质数不可以分解质因数），同时也为我们解决一些数学问题和生活中的数学问题提供了一种重要的数学思考方法，我国著名的数学家华罗庚、陈景润等在数论领域作出了杰出的贡献。
练习与提示（每题10分，共100分）1、用1、2、3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？2、三个自然数的乘积为120，其中两个数的和等于另一个数，求这三个数。
3、用462个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？4、把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？5、如果两个自然数的和是32，这两个数的积可以整除3003，那么，这两个数的差是多少？6、要使145×32×20×□积的末五位数都是0，□里填入的自然数的最小值是多少？7、班主任李老师带领五（1）班同学去种树，全班同学恰好可以平均分成3组，如果老师与学生每人种树棵数一样多，则共种了364棵树。
五（1）班学生有多少人？每人种树多少棵？8、有若干箱同样大小的正方形瓷砖，每箱360块。
问：至少取多少箱，才能使所取出的瓷砖能拼出一个正方形？要求整箱整箱地取，所取的瓷砖要全部用上）。
9、2008乘以一个自然数a得到一个平方数（即等于某个自然数的平方），求a的最小值及这个平方数。
10、有1～9九张牌，甲、乙、丙各拿了三张，甲说：“我的三张牌的积是48”。
乙说：“我的三张牌的积是63”。
丙说：“我的三张牌的和是15”。
他们各拿了哪三张牌。