2018_2019学年高中数学第一章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质学案北师大版必修4

7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质内容要求 1.能借助单位圆中的正切线画出函数y ＝tan x 的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．知识点1 正切函数的定义 (1)任意角的正切函数：如果角α满足α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a ，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系： 根据定义知tan α＝sin αcos α(α∈R ，α≠k π＋π2，k ∈Z )． (3)正切值在各象限的符号：根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负． (4)正切线：在单位圆中令A (1,0)，过A 作x 轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T ，称线段AT 为角α的正切线．【预习评价】1．若角α的终边上有一点P (2x －1,3)，且tan α＝15，则x 的值为( )A ．7B ．8C ．15D.45解析 由正切函数的定义tan α＝32x －1＝15，解之得x ＝8.答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域为________．解析 由正切函数的定义知，若使y ＝tan 2x 有意义，则2x ≠k π＋π2(k ∈Z )．解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z知识点2 正切函数的图像及特征(1)y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像(正切曲线)：(2)正切曲线的特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线． 【预习评价】正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．知识点3 正切函数的性质(1)正切函数为定义域上的增函数(×)(2)正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 是增加的．(√) (3)若x 是第一象限的角，则y ＝tan x 是增函数(×) (4)正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)k ∈Z .(×)题型一 正切函数的定义【例1】 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α、tan α的值． 解 r ＝4a23a2＝5|a |，若a ＞0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y ＝3a ＝3，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45.tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a ＜0，则r ＝－5a ， 角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝4，tan α＝－3.规律方法 已知角α终边上任一点的坐标(m ，n )利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关且tan α＝nm.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：【训练1】 若tan α＝2，利用三角函数的定义，求sin α和cos α.解 ∵tan α＝12＞0，∴角α是第一或第三象限角．①若角α是第一象限角，则由tan α＝12，角α的终边上必有一点P (2,1)，∴r ＝|OP |＝22＋12＝ 5.∴sin α＝y r ＝15＝55，cos α＝x r ＝25＝255.②若角α是第三象限角，则由tan α＝12知，角α的终边上必有一点P (－2，－1)，∴r ＝|OP |＝2212＝ 5.∴sin α＝y r ＝－15＝－55，cos α＝x r ＝－25＝－255.题型二 正切函数的图像及应用【例2】 利用正切函数的图像作出y ＝|tan x |的图像并写出使y ＝3的x 的集合． 解 ∵当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π时，y ＝tan x ≤0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2时，y ＝tan x ＞0，∴y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k∈Z .如图所示．使y ＝3的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π±π3，k ∈Z. 规律方法 1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，两线是直线x ＝±π2为渐近线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像． 【训练2】 (1)函数y ＝11＋tan x的定义域为________．解析要使该函数有意义，则有⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2k ∈Z即x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，且x ≠k π＋π2，k ∈Z(2)根据正切函数的图像，写出tan x ≥－1的解集． 解 作出y ＝tan x 及y ＝－1的图像，如下图．∴满足此不等式的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .方向1 比较大小【例3－1】 比较tan 1、tan 2、tan 3的大小． 解 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数，∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3 <tan 1. 方向2 求解最值【例3－2】 若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求函数y ＝tan 2x ＋2tan x ＋2的最值及相应的x 值．解 令t ＝tan x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴t ∈[－3，1]，y ＝t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1，∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.方向3 性质的综合应用【例3－3】 已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)．(1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性；(2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间；(4)若a ＞0，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域．解 (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )．又∵定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称，∴f (x )为奇函数． (2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增，∴当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递减，当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增．(4)当a ＞0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值．∴f (x )的值域为(－∞，－a ]．规律方法 1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．2．对于形如y ＝tan(ωx ＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解.课堂达标1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z } 解析 由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠k π2＋π8.答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z解析 由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z .解之得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，故选C.答案 C3．已知点P (tan α，cos α)在第二象限，则α的终边在第________象限． 解析 由P 点在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0， ∴α在第四象限． 答案 四4．若角θ的终边经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，m ，且tan θ＝34，则m ＝________.解析 由tan θ＝y x ＝m －4＝34.∴m ＝－35.答案 －35．函数y ＝tan(2x ＋θ)图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若－π2＜θ＜π2，求θ的值． 解 因为函数y ＝tan(2x ＋θ)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴2·π3＋θ＝k π2，k ∈Z .∴θ＝k π2－23π，k ∈Z .又∵－π＜θ＜π，∴当k ＝2时，θ＝π3；当k ＝1时，θ＝－π6.∴满足题意的θ为π3或－π6.课堂小结1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π，x ＝π，然后描出三个点(0,0)，(π4，1)，(－π4，－1)，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别． (1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R .(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R ，正切函数的图像是不连续的，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k∈Z )上都是增加的.基础过关1．已知sin θ·tan θ＜0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解析 若sin θ＞0，tan θ＜0，则θ在第二象限；若sin θ＜0，tan θ＞0，则θ在第三象限． 答案 B2．若已知角α满足sin α＝35，cos α＝45，则tan α＝( )A.43 B.34 C.13D.23解析 由三角函数定义可知tan α＝34.答案 B3．函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.πB ．πC ．2πD ．4π解析 由π12＝2π，故选C.答案 C4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是________________．解析 由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图像知，同时为单调递增的区间为(2k π－π2，2k π](k ∈Z )和[2kπ＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )．答案 (2k π－π2，2k π](k ∈Z )和[2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )5．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的值域是________．解析 ∵y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上单调递增．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4＝－1，tan π3＝3，∴y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上的值域是[]－1，3.答案 [－1，3]6．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．解 由3x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋5π18，k ∈Z .所以所求定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z . 值域为R ，周期T ＝π3，是非奇非偶函数．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )上是增函数．7．利用函数图像，解不等式－1≤tan x ≤33. 解 作出函数y ＝tan x 的图像，如图所示．观察图像可得：在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为－π4≤x ≤π6，由正切函数的周期性可知， 满足不等式的x 的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . 能力提升8．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图像的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误； 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误； 最小正周期为π2，D 错误． ∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图像的一个对称中心，故选C. 答案 C9．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支曲线截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4解析 由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0.答案 A10．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)是减函数，则ω的取值范围是____________．解析 ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.答案 [－1,0)11．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为____________．解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]．∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．答案 [－4,4]12．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最小值为－6.求实数a 的值．解 设t ＝tan x ，因为|x |≤π，所以t ∈[－1,1]．则原函数化为：y ＝t 2－at ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a 24，对称轴t ＝a 2.①若－1≤a ≤1，则当t ＝a 时，y min ＝－a 24＝－6，所以a 2＝24(舍去)； ②若a 2＜－1，即a ＜－2时，二次函数在[－1,1]上递增，y min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－a 22－a 24＝1＋a ＝－6，所以a ＝－7；③若a 2＞1，即a ＞2时，二次函数在[－1,1]上递减．y min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22－a24＝1－a ＝－6，所以a ＝7.综上所述，a ＝－7或a ＝7.13．(选做题)已知函数f (x )＝sin x|cos x |.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性． 解 (1)∵由cos x ≠0得x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称． 又∵f (－x )＝sin x |cos x |＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ tan x ，－π2＜x ＜π2，－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤π，f (x )(x ∈[－π，π])的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )．。