明渠恒定非均匀渐变流水面线曲的计算
基于MATLAB的明渠恒定非均匀渐变流水面线的数值计算
Ｊ ｕ ｌｆＳ ｕｈ 西南民族大学学报ｉｎ ｌｉｓＮａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｍａ ｏ ｔｗｅｔ ｉｅｓｔ ｒ ｔ‘ ｉ 学版 ｃｅ ｃ ｉｏ ｌ ｏ ｓ ｖ ｒｉ ｆ Ｎａ ｏ自然 ｔ ｒ Ｕｎ ｙｏ ａ ｔｅ ｉ
－
ｌ
法， 而不需要用传统的编程语言进行前后处理． 这一特点使 ＭＡＴ Ａ Ｌ Ｂ成为数学分析， 算法开发及应用程序开发 的良好环境 其编程效率高， Ｊ ． 用户使用方便， 扩充能力强， 交互性好， 移植性和开放性好， 语言简单，内涵丰富，
高效方便的矩阵和数组运算和方便 的绘图功能．Ｍ Ｌ Ｂ的库函数文件， ＡＴ Ａ 它把用户 自建的函数加入的到现存的 库函数中去．ＭＡ７ 的众多功能主要源于这种新增函数的能力， 使用户能解决他们领域的特殊问题．
ｓｅ ｔ ｏ１ ｐ ．２ １
—。 ‘… ‘
文 章编号 ： ０３２４ （Ｏ １０・８７０ １０ －８３２ ｌ）５０２ —５
基 于 ＭＡ Ｌ Ｔ ＡＢ 的 明渠 恒 定 非均 匀 渐 变 流 水 面 线
的数值计算
胡 岚平．刘 华． 文文 ， 丽琼 覃 马
（ 四川大学水利 水电学院，成都 ６ ０ ６ ） １０ ５
数， 可写作：ｂ ｇ ＋Ｐ， ＝ ｓ 渠槽面积可写为：Ａ Ａ（ｈ＝ｍ ＋ ￣＋ｆ ｈ， ＝ ｓ ）（ ｈ ｏ １ ， ｓ ） 则 ＝ ｈ． 式中如果 ：０ ： ， ，６
为一常数为棱柱体渠槽， 且 ＝ 其局部损失系数 ：０ 仅考虑沿程损失； ０， ， 当 ＞ 时为逐渐扩散的 ０ 渠槽 ， 根据具体情况可取 ＝０３ ． ；当口＜０ ．～０５ 为逐渐收缩的渠槽， 可取 ＝００ ～０１ 渠槽 的具体形式见 ．５ ．． ｃ 其中 为渠道边坡系数， 为水面宽度， 图２ 那么
非均匀渐变流水面线曲
1 10 2 11.52 3.4 22.26m
2 10 2 11.52 3.2 21.54m
R1
51.34 22.26
2.306m
R2
47.36 21.54
2.199m
1
C1R1 2
1 n
1
R1 2
1
2
2.306 3
0.022
79.34m / s
(h2
2v2
2g
)
(h1
1v1
2g
)
(i
J
)ds
s Esd Esu iJ
Esd i
Esu
2
C2R
Es iJ
或 E2 E1 (i J ) ds
Es
2
h 2g
h (Q)2
2g A
A (b mh)h
b 2 1 m2 h
6-10 明渠恒定非均匀渐变流水面 线曲的计算—逐段试算法
一、计算内容:
1.水面曲线的影响 范围；
2.某一断面处的水 深；
s
h1 h2
二、基本计算公式:
z1
h1
1v1
2g
z2
h2
2v2
2g
hw12
z1 z2 il
h1
hw12 hf 12 Jl
z1
z1
时，划分计算流段应注意以下几个方面：
1．要求每个计算流段内，过水断面形状、尺寸以及
粗糙系数、底坡等变化都不太大。
27
2．在一个计算流段内，上、下游断面水位差 z 不 能过大， z 一般对平源河流取0.2～1.0米，山区河流取
水力学-恒定非均匀渐变流解析
Es i J s
计算公式 s Es Esd Esu 其中
iJ iJ
计算方法：
1 J 2 (Ju Jd )
J
Q2 K2
K AC R
K2
1 2
(Ku2
Kd2 )
1 11 1 K 2 2 ( Ku2 Kd2 )
首先将明渠划分成若干流段，然后由流段的已知断
面求未知断面，逐段推算。
a1
N1
hk
b1 N1 N2
i1<ik
N2
h02
K
i2<ik
第一步：定出各段渠道上的K-K线与N-N线（正坡时）；
第二步：分析变坡渠道上、下游的水流流动情况，定出控制水深；
第三步：画出非均匀渐变流的水面线
变坡棱柱体渠道非均匀渐变流水面线的定性分析（二）
N1 K
h01 hk
a1 N2
N1
N2 h02 K
i1<ik
11 ( K0 )2 K
0
h hK Fr 1 1 Fr 2 0
N
a1
K
b1
N
c1
K
i>0，i<ik
dh 0 ds
壅水曲线
向上游
h h0
K
K0
K0 K
11 ( K0 )2 K
0
dh ds
0
以N-N线为渐近线
向下游 h
K K0 0 1 ( K0 )2 1
K
K
Fr 0 1 Fr2 1
N2
K h01 hk
N1
hu hd
△s3
△s2
△s1
i1<ik
N2 h02 K
s Es Esd Esu iJ iJ
棱柱体明渠中恒定非均匀渐变流水面曲线分析
i
1 ( 1
K0 )2 K Fr 2
该区实际水流的水深 h hK h0
h
h0
K
K0
K0 K
11 ( K0 )2 K
0
h hK Fr 1 1 Fr2 0
N
a1
K
b1
N
c1
K
i>0，i<ik
dh 0 ds
壅水曲线
向下游
h
hK
Fr
11
Fr 2
N
a1
K
b1
N
c1
K
i>0，i<ik
dh 0 ds
降水曲线
向上游
h
h0
K
K0
K0 K
11 ( K0 )2 K
0
dh ds
0
以N-N线为渐近线
向下游
h
hK
Fr
11
Fr 2
0
dh ds
与K-K线有成垂直的趋势
N
N
K
b1
K
i<ik
前进
缓坡C区的水面线分析
dh ds
前进
产生明渠均匀流的诸多条件中只要有一个条件不满
足，明渠上将产生非均匀流动。
明渠非均匀流的特点是明渠的底坡线、水面线、总
水头线彼此不平行， J Jz i 。 水深沿程变化。
V12 2g
h1 V1
总水头线 水面线
V22 2g
h2 V2
主要研究的任务：就是分析水面线的变化及其计算， 以便确定明渠边墙高度，以及回水淹没的范围等。
6.明渠恒定棱柱体渠道水面线计算111.
小结
棱柱体水面线计算需要先计算出正常水深和临界水深，判 断出水面线线型。 从控制断面开始，急流应从上游断面向下游断面分段计算， 缓流应从下游向上游分段计算。 理解棱柱体渠道非均匀渐变流水面线计算公式及其公式中 物理量意义、确定方法。
v v2 0.467 0.519 vp 1 0.498(m/s) 2 2 R R2 2.22 2.117 Rp 1 2.169(m) 2 2 v2 0.4982 p Jf 2 5.52 105 2 C p R p 45.51 2.169
23.652 22.758 23.21(m) 2 2 C C 2 45.69 45.33 Cp 1 45.51 2 2
A1 h1 (b mh1 ) 3.5 (8 2 3.5) 52.50(m2 )
Q 25 v1 0.476(m/s) A1 52.5
2 v1 Es1 h1 3.512(m) 2g
1 b 2h1 1 m 2 8 2 3.5 1 2 2 23.652(m)
8 7 6 5 4 3 2 1
2.25
2.3
N
2.7
2.9
3.1
k
2.5
3.3
3.5
△ s1
N k
8
△ s7
7
△ s6
6
△ s5
5
△ s4
4
△ s3
3
△ s2
2
1
1:2
h
8m
【案例分析与计算】：
（1）计算正常水深和临界水深，判断线型 利用试算法求出渠道的正常水深h0和渠道的临界水深hk
由于渠道正常水深h0=1.92m， 临界水深hk=0.921m。因h0>hk，故 渠道底坡为缓坡。又因排水渠末端 水深h=5m>h0，控制水深位于a区， 所以为a1型水面曲线。
水面曲线分析((定)
0i ik
0i ik
c 1：
d h 0 d s
壅水曲线
上游端水深最小，受来流条件控制。
K0 1 dh K i 2 ds 1 Fr
2
dh ， 有与K-K线正交的趋势。 h , K 定 值 下游端 h K ds
0i ik
0i ik
0i ik
临界流 Fr=1 h=hk i=ik
急流 Fr>1 h<hk i>ik
判别指标
Fr hk ik（均匀流）
Vw dEs/dh
V<Vw
V=Vw
V>Vw
dEs/dh>0 dEs/dh= 0 dEs/dh<0
二、棱柱体明渠恒定非均匀渐变流水面曲线类型：
K-K线:临界水深(hK)线 1.渐变流水面曲线的分区 N-N线:正常水深(h0)线
1、首先看渠道、水流是否满足定性分析的前提条件；
2、用铅垂线将渠道分段，绘出渠道各段临界水深K-K线和正 常水深N-N线，将渠道流动空间分区； 3、选择已知水深的断面作为控制断面； 4、由控制断面处的已知水深确定所在流区的水面线型 式，并标明水面线类型。
补充：
五、棱柱体明渠恒定渐变流12种水面曲线的共同特点
2
a 1：
d h d s
0
壅水曲线
d h d s 0
K0 1 dh K i ds 1 Fr 2
2
h K 上游端 h 0, K 0
，水面线以N-N线为渐近线；
i
, K 下游端 h
d h d s
，即水面线是水平线。
0i ik
0i ik
1.明渠非均匀渐变流水力现象类型
明渠恒定非均匀流难点解析
棱柱形渠道水深变化的微分方程为
Q2 Q2 i 2 i 2 dh K K 2 BQ 1 Fr 2 ds 1 gA3
水面线沿流程变化规律与渠底坡、水流流态有关。因 此，先对水面曲线变化区域进行分析
Q2 d h d v2 i 2 ( ) ( ) K ds d s 2g
d v2 d Q2 Q2 d A ( ) ( ) 2 d s 2g d s 2 gA gA3 d s
式中
A f (h, s ) ，所以 一般情况下：
d A A d h A d s h d s s
缓流→ 急流
急流→ 缓流
跌水
水跃
坡度变化
缓坡、陡坡和临界坡、平坡、逆坡
渠道形式
无限长、有限长度
水面曲线的编号
区号： 1 2 3
坡号：M, S , C , H , A
二、非均匀渐变水面曲线的定性分析
1
2 3 4 5 6 7
缓坡渠道中的水面线
陡坡渠道中的水面线 临界坡渠道中的水面线 平坡渠道中的水面线 逆坡渠道中的水面线 渠道水面曲线的分区 渠道水面线演示
2 (v d v ) 2
2g
d h f d hj
let : 1 2
2 (v d v ) 2
2g
(v d v ) 2
2g
( v 2 2v d v d v ) 2
2g
( v 2 2v d v )
2g
v 2
2g
d(
明渠恒定非均匀流水面线的简化速算法
明渠恒定非均匀流水面线的简化速算法摘要：目前对于非均匀流的水面线计算，仅为数值模拟法，或逐段试算法，方法复杂。
本文通过建立明渠非均匀流水深沿程变化微分方程[1]，对方程简化并无量纲化后并积分，求解出水面线方程，形式简单可行。
关键词：明渠；非均匀流；临界水深；无量纲化。
一基本方程建立能量守恒方程，形式如下[1]：（1）取底坡i，并忽略沿程水头损失dhj，经简化得：。
流速换为形式，根据流量守恒定律，q可作为常数提到微分号外。
代入上式，得到：（2），其中其中ids为渠底高差。
沿程水头损失dhf采用形式。
简化计，采用朗道提出的抛物线型的明渠流速分布公式[2]，当z=时，。
代入（2）式，化简得：（3）对（3）式进行无量纲化，均除以临界水深，令为，则（3）式转化为：（4）。
代入边界条件s=0，，积分得（5），特别的，当边界水位为临界水深时，h0=hk，方程将简化为（6）。
二、算例1. 某矩形输水明渠，因上下游渠道底坡不同产生非均匀流，流量Q=4.7m3/s，B=1.5m，上游底坡0.003，对应的正常水深h0=1.236m；下游底坡0.03，对应的正常水深h0=0.518m；控制断面为里程500米处，水位Z=100m。
采用上述方法，求得水面线如图（水流趋于均匀流后水深将为正常水深而不再变化）。
2.仍采用上述条件，调整上游底坡为0.03，下游底坡为0.003，求得水面线如图3（水流趋于均匀流后水深将为正常水深而不再变化），按壅水曲线特征，图3中拐点处实际将发生水跃。
三结语（1）对能量守恒方程进行简化，得到明渠非均匀流水深沿程分布的无量纲简化式，形式工整、简单。
（2）采用此法对非均匀流的水面线计算，与实际较吻合。
（3）对于下游为缓坡的渠道，实际情况下，在临界水深附近将出现水跃，但方程并不能反映水跃发生时所产生的涡旋。
参考文献：[1] 吴持恭.水力学第三版（上册）.高等教育出版社，2003[2] 朗道.流体力学。
第六章 明渠恒定非均匀流2
2h
AR 2 / 3
控制断面： h1=2.7m，b1=35m A1 =35× 2.7=94.5m2，1 = 35+5.4=40.4m
10
aQ2 R1 2.339m, J1 0.0048 Es1 h1 2gA12 6.59m 设： h2=2.3m，b2=32.5m 有 A2 = 74.8m2，P2 = 37.1m
5
二、逐段试算法——棱柱形渠道
分段求和法计算步骤：
首先将整个流程L分成若干流段（L）考虑，然后用有限差分式来代 替原来的微分方程式，最后根据有限差分式求得所需的水力要素。
a1
N1
N2
K h01 hk
N1
hu hd
分段原则：
△s3 △s2 △s1
i1<ik
N2 h02 K
i2<ik
（1）水面变化较大时（如降水曲线），分段可短些；
R2 2.02m, J2 0.0093
计算： J
1 2 (J1
J2)
0.007
Es2
h2
aQ2 2gA22
8.51m
由 l Es2 Es1 13.42m 10m
iJ
重新计算，设： h2=2.42m，b2=32.5m 有：A2 = 78.65m2，2 = 37.34m
R2 2.1m, J2 0.0079 Es2
水面变化较缓时（如壅水曲线），分段可长些；
（2）根据工程对精度的需要，决定分段的疏密，要求 高者，分段短些，反之可长些。
例6.5
6
有一长直棱柱体明渠，底宽b为10m，m为1.5，n为0.022， i为0.009，当通过流量Q为45m3/s，渠道末端水深h为3.4m， 求渠道中的水面线。
明渠恒定非均匀渐变流水面曲线的定性分析
明渠恒定非均匀渐变流水面曲线的定性分析6.1 棱柱体明渠水深沿程变化的微分方程由前面我们知道断面比能0s E E Z =-，方程两边同时对流程l 求导，得：0s dE dZ dE dl dl dl=- 而 dE J dl =-，0dZ i dl=- 所以()s dE J i i J dl =---=- （4-28） 式（4-28）即为断面比能沿流程的变化规律。
又断面比能随水深的变化规律：21s dE Fr dh=- （4-29） 由式（4-28）和式（4-29）可得：21dh i J dl Fr-=- (4-30） 式（4-30）就是棱柱体明渠水深沿程变化的微分方程，利用式(4-30)，可定性分析棱柱体渠道水面线的沿程变化。
当0dh dl >时，表明水深沿程增加，水流作减速流动，水面曲线为壅水曲线；当0dh dl<时，水深沿程减小，水流作加速流动，水面曲线为降水曲线。
6.2水面线的分类6.2.1 明渠的底坡从式(4-30)可以看出，水深沿流程的变化率dh dl，与渠道的底坡i 有关，明渠的底坡不同，可以产生不同型式的水面线。
为了便于分析，需要根据底坡对水面线进行分类。
明渠的底坡分为：正坡(i >0)，平坡(i ＝0)和逆坡(i <0)。
正坡渠道又分为缓坡(k i i <)，陡坡（k i i >）和临界坡(k i i =)。
如图4-13所示。
图4-136.2.2 N －N 线和K －K 线N －N 线：渠道正常水深0h 的连线；K －K 线：渠道临界水深k h 的连线；各种底坡类型上的N －N 线和K －K 线如图4-13所示。
只有在正坡(i >0)渠道上才有可能产生均匀流，所以在平坡 (i ＝0)和逆坡(i <0)渠道上不存在N －N 线。
Ｎ－Ｎ线和K －K 线的相对位置可由正常水深和临界水深的关系确定。
缓坡k h h >0，N －N 线位于K －K 线之上；陡坡k h h <0，N －N 线位于K －K 线之下；临界坡k h h =0，N －N 线与K －K 线重合。