2019年山东烟台中考数学含答案解析

2019年山东省烟台市初中毕业、升学考试数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）每个小题都给出标号为A、B、C、D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．（2019山东烟台，1，3分）8-的立方根是（）．A．2 B．2-C．2±D．22-【答案】B【解析】8-的立方根382=-=-．【知识点】求实数的立方根．2．（2019山东烟台，2，3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A是中心对称图形不是轴对称图形，选项B是轴对称图形不是中心对称图形，选项C既是中心对称图形又是轴对称图形，选项D是轴对称图形不是中心对称图形．【知识点】轴对称图形和中心对称图形的认识．3．（2019山东烟台，3，3分）如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（）．A．主视图和左视图B．主视图和俯视图C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图【答案】A【解析】将小正方体①移走后，该几何体的主视图和左视图没有发生变化，俯视图中小正方体①的投影会没有．【知识点】认识简单几何体的三视图．4．（2019山东烟台，4，3分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）．A．25B．12C．35D．无法确定【答案】B【解析】利用图形的对称性，可以看出在正六边形镖盘中白色区域与阴影区域的面积相等，所以飞镖落在白色区域的概率为12．【知识点】概率的初步．秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）． A ．91.510-⨯秒 B ．91510-⨯秒 C ．81.510-⨯秒 D ．81510-⨯秒 【答案】C【解析】该计算机完成15次基本运算，所用时间为15纳秒（即91510-⨯秒），用科学记数法表示为81.510-⨯秒． 【知识点】科学记数法的表示．6． （2019山东烟台，6，3分）当5b c +=时，关于x 的一元二次方程230x bx c +-=的根的情况为（ ）． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 【答案】A【解析】因为5b c +=，所以5c b =-，因为()2224343(5)6240b c b b b ∆=-⨯⨯=-⨯⨯-=-+>，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【知识点】一元二次方程的实数根的判定．7． （2019山东烟台，7，3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差241s =．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）．A ．平均分不变，方差变大B ．平均分不变，方差变小C ．平均分和方差都不变D ．平均分和方差都改变 【答案】B【解析】由于小亮补测的成绩为90分，与平均分相同，所以该班40人的测试成绩的平均分不变，因为39人的数据与40人的数据相比，增加的成绩与平均分一致，在方差的计算公式中，分母变大（39变成40），分子没有变，所以方差变小．【知识点】平均分和方差的计算．8． （2019山东烟台，8，3分）已知60AOB ∠=︒，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA ，OB 于点M ，N ，分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长度为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点P ，以OP 为边作15POC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）． A ．15︒ B ．45︒ C ．15︒或30︒ D ．15︒或45︒ 【答案】D【解析】由题目可以得出OP 为AOB ∠的平分线，所以1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，又因为15POC ∠=︒，考虑到点C 有可能在AOP ∠内也有可能在BOP ∠内，所以当点C 在AOP ∠内时BOC ∠45BOP POC =∠+∠=︒，当点C 在BOP ∠内时BOC ∠15BOP POC =∠-∠=︒．【知识点】尺规作图（作已知角的平分线）和数学思想方法（分类讨论）．9． （2019山东烟台，9，3分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” ． 0()1a b += 1()a b a b +=+ 22233223()33a b a a b ab b +=+++ 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ …则9()a b +展开式中所有项的系数和是（ ）．A ．128B ．256C ．512D ．1024 【答案】C【解析】由题目可以得出OP 为AOB ∠的平分线，所以1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，又因为15POC ∠=︒，考虑到点C 有可能在AOP ∠内也有可能在BOP ∠内，所以当点C 在AOP ∠内时BOC ∠45BOP POC =∠+∠=︒，当点C 在BOP ∠内时BOC ∠15BOP POC =∠-∠=︒．【知识点】尺规作图（作已知角的平分线）和数学思想方法（分类讨论）．10． （2019山东烟台，10，3分）如图，面积为24的□ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，过点D 作DE BD⊥交BC 的延长线于点E ，6DE =，则sin DCE ∠的值为（ ）．A ．2425B ．45C ．34D ．1225FABC M【答案】A【思路分析】先判断出四边形ABCD 的高，然后利用三角函数的定义求得答案．【解题过程】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为M ，因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以F 是BD 的中点，AD//BC ， 所以DBC ADB ∠=∠，因为BD 是 ABC ∠的平分线， 所以ABD DBC ∠=∠， 所以ABD ADB ∠=∠， 所以AB AD =， 所以□ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥，又因为DE BD ⊥， 所以AC//DE ，第10题答图所以C 是BE 的中点， 所以132CF DE ==， 因为四边形ABCD 是菱形， 所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ⨯=菱形， 所以222486ABCDS BD AC⨯===菱形， 所以142BF BD ==， 在Rt △BFD 中，由勾股定理得5BC =，因为四边形ABCD 是菱形， 所以5DC BC ==， 因为ABCD S BC DM =⨯菱形 所以245ABCDS DM BC==菱形， 在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE DC ∠==． 【知识点】平行四边形的性质、菱形的判定、三角函数的计算和勾股定理．11．（2019山东烟台，11，32y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：4x <时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <．其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【思路分析】根据二次函数的部分对应值在平面直角坐标系中描点、连线，根据图像进行结论的判定，从而求得答案．【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．【知识点】二次函数的图象（抛物线）的性质． 12．（2019山东烟台，12，3分）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，»A ．23 B ．3π C ．3π D ．23π CODEBA【答案】D【思路分析】先证明△ADC ∽△CED ，再根据相似三角形的性质得到AC 与边CD 的比值，根据圆周角定理的推论，得到90ACB ∠=︒，利用锐角三角函数计算出60CAB ∠=︒，最终计算出O e 的半径和»AC 所对的圆心角，利用弧长公式从而求得答案． 【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED , 所以33BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin 3BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒， 所以223AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以23OA AC ==，60AOC ∠=︒，第12题答图所以»AC 的长为602323ππ⨯⨯=．【知识点】圆的切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的推论、等边三角形的判定和性质、弧长的计算、锐角三角函数．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）． 13．（2019山东烟台，13，3分）1622cos 45--⨯-︒= ． 【答案】2【解析】112622cos 456231222--⨯-︒=⨯-⨯=-=． 【知识点】实数的计算、简单的锐角三角函数值、负数指数幂、绝对值、二次根式． 14．（2019山东烟台，14，3分）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为 ． 【答案】3【解析】因为分式方程33122x m x x +-=--中最简公分母为(2)x -，而这个分式方程有增根，故这个方程的增根为2x =，将原分式方程化为整式方程，得3(2)3x x m --=+，将2x =代入上式，解得3m =．【知识点】分式方程的计算、分式方程增根的含义．15．（2019山东烟台，15，3分）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO 的顶点坐标分别为(2,1)A --，(2,3)B --，(0,0)O ，111A B O 的顶点坐标为1(1,1)A -，1(1,5)B -，1(5,1)O ，△ABO 与111A B O 是以点P 为位似中心的位似图形，则P 点的坐标为 ．【答案】(5,1)--【解析】连接1AA ，1OO ，它们的交点即为点P ，通过读图，可得P 点的坐标为(5,1)--． 【知识点】图形的位似和图形与坐标．16．（2019山东烟台，16，3分）如图，直线2y x =+与直线y ax c =+相交于点(,3)P m ，则关于x 的不等式2x +≤ax c +的解为 ． 【答案】1x ≤-【解析】因为直线2y x =+与直线y ax c =+相交于点(,3)P m ，所以32m =+，解得1m =，由图象可以直接得出关于x 的不等式2x +≤ax c +的解为1x ≤-．【知识点】一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式．面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是．【答案】22.5︒【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒． 【知识点】图形的轴对称． 18．（2019山东烟台，18，3分）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形．已知O e 是△ABC 的内切圆，则阴影部分的面积为 ．【答案】5233π-【思路分析】通过计算扇形的面积、△ABC 的面积和三角形内切圆的面积，通过图形的组合，最终求得答案． 【解题过程】2323ABCS== 260223603ABCS ππ⨯==扇形，△ABC 的内切圆半径为312ABC S=（2+2+2）233ABC Sππ=⨯=⎝⎭的内切圆，所以阴影部分的面积为()3=ABC ABC ABC ABC S SS S -+-的内切圆扇形（）5233π-． 【知识点】三角形的面积、扇形的面积、三角形的内切圆、等边三角形性质． 三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）． 19．（2019山东烟台，19，6分）先化简2728(3)33x xx x x -+-÷--，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值． 【思路分析】对小括号内的分式进行同分，再将除法转化为乘法，通过分解因式，然后约分，得到最终的代数式，注意从0≤x ≤4中选整数时，注意除了要考虑要使最终化简的代数式有意义，还需要考虑式原代数式有意义．2728(3)33x xxx x -+-÷-- 2(3)(3)73)3328x x x x x x x +--⎡⎤=-⨯⎢⎥---⎣⎦(4)(4)332(4)x x x x x x +--=⨯--42x x+=因为23028020x x x x -≠⎧⎪-≠⎨⎪≠⎩，所以x 不能取0， 3，4，考虑到0≤x ≤4中选一个整数，故x 只能取1或2，①当1x =时，原式145212+==⨯②当2x =时， 原式243222+==⨯ 注意：①与②只写一种即可．【知识点】分式的化简求值． 20．（2019山东烟台，20，8分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节．为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏"、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目．小颍对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）五届艺术节共有 个班级表演这些节目，班数的中位数为 ．在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为 ； （2）补全折线统计图；（3）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、"民乐演奏”、“歌曲联唱"、“民族舞蹈”分别用A ，B ，C ，D 表示) ．利用树状图或表格求出该班选择A 和D 两项的概率． 【思路分析】本题要结合两幅图表进行计算，先算出总的班级数，然后在计算各个分量，完成（1）和（2），第（3）小题是一种不放回抽样，既可以用树状图也可以列表，通过分析和计算，得出事件的概率．（1）由折线统计图，可以看出第一届、第二届、第三届艺术节表演节目的班级数量分别为5,7,6，所以第一、二、三届艺术节表演节目的总班级数为18；由扇形统计图可求得，第五届艺术节表演节目的班级数占五届艺术节表演节目的总班级数的117360，所以五届艺术节表演这些节目的总班级数为11718(122.5%)360÷--40=，所以第四届艺术节表演节目的班级数量为4022.5%9⨯=，第五届艺术节表演节目的班级数量为1174013360⨯=，所以扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为36022.5%81⨯=度，五届艺术节表演这些节目的班级数依次为5,7,6,9,13，所以班数的中位数为7． 综上可知，（1）的答案为40,7,81度．（2）由（1）中的计算，可知第四届艺术节表演节目的班级数量为9，第五届艺术节表演节目的班级数量为13，据此，可以将折线统计图补全.（3）列表法：A B C D A / （B ，A ）（C ，A ） （D ，A ） B （A ，B ） / （C ，B ）（A ， B ） C （A ，C ） （B ，C ） / （D ，C ）D（A ，D ）（B ，D ）（C ，D ）/从上表可以看出，共有12种等可能结果其中该班选择A 和D 两项的共有2种. ∴P （该班选择A 和D 两项的）= 21126= 树状图法：从上图可以看出，共有12种等可能结果其中该班选择A 和D 两项的共有2种. ∴P （该班选择A 和D 两项的）=21126= 【知识点】扇形统计图和折线统计图的认识、利用树状图或表格求简单事件的概率． 21．（2019山东烟台，21，9分）CB Ａ CDＢDＡ D C ＡＢ DＡ Ｂ Ｃ开始第20题答图去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？(2)若同时调配 36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【思路分析】根据题目列一元一次方程或者二元一次方程组可求得第（1）问，根据已知列出二元一次方程，通过检验，获得问题的答案． 【解题过程】（1）方法1：解：设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有y 名志愿者．由题意，得36222(4)2x yx y+=⎧⎨+-=⎩，解得6218x y =⎧⎨=⎩所以计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．方法2：解：设计划调配36座新能源客车x 辆．由题意，得36222(4)2x x +=+-，解得6x =， 所以该大学共有(3662)218⨯+=名志愿者所以计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）解：设36座和22座两种车型各需m ，n 辆.由题意，得3622218m n +=，且m ，n 均为非负整数，经检验，只有35m n =⎧⎨=⎩符合题意．所以36座和22座两种车型各需3，5辆.【知识点】一元一次方程与实际问题、二元一次方程组与实际问题． 22．（2019山东烟台，22，9分）如图，在矩形ABCD 中，2CD =，4AD =，点P 在BC 上，将ABP 沿AP 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的E 点，O 为AC 上一点，O e 经过点A ，P ． (1)求证：BC 是O e 的切线．(2)在边CB 上截取CF =CE ，点F 是线段BC 的黄金分割点吗？请说明理由．【思路分析】根据图形轴对称的性质，可知折叠前后的两个图形全等，利用“知切点，连半径，证垂直”可以求证出BC 是O e 的切线，从而解得第（1）问；第（2）中，设CF =x ，在直角三角形ACD 中利用勾股定理列一个方程，即可求得FC 的长，从而可以验证点F 是否为线段BC 的黄金分割点． 【解题过程】（1）证明：连接OP ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以90B ∠=︒，因为△APE 是由△ABP 折叠得到， 所以△APE ≌△ABP ， 所以BAP EAP ∠=∠, 因为OA OP =,所以APO EAP ∠=∠, 所以BAP APO ∠=∠, 所以AB //OP ,所以90OPC B ∠=∠=︒, 所以OP BC ⊥,所以BC 是O e 的切线．（2）解：点F 是线段BC 的黄金分割点，理由如下：设CF=x ，则CE=x ，因为四边形ABCD 为矩形，所以90D ∠=︒，2,4AB CD BC AD ====，因为△APE 是由△ABP 折叠得到， 所以△APE ≌△ABP ， 所以2AE AB ==,所以2AC AE EC x =+=+,在Rt △ADC 中，由勾股定理得，222AC CD AD =+，即222(2)24x +=+，解得2x =-（舍去）或2x =，所以2FC =，因为FC BC ==， 所以点F 是线段BC 的黄金分割点．【知识点】矩形的性质定理、直线与圆的位置关系、黄金分割、图形的轴对称、全等三角形的性质、勾股定理． 23．（2019山东烟台，23，10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA ，OB 可绕点O 开合，在OB 边上有一固定点P ，支柱PQ 可绕点P 转动，边OA 上有六个卡孔，其中离点O 最近的卡孔为M ，离点O 最远的卡孔为N ．当支柱端点Q 放入不同卡孔内，支架的傾斜角发生変化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康．现测得OP 的长为12 cm ，OM 为10cm ，支柱PQ 为8cm ．(1)当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，求AOB ∠的度数．(2)当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，20.5AOB ∠=︒，若相邻两孔的距离相等，求此间距．（结果精确到十分位）．【思路分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数解决问题． 【解题过程】（1）解：当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时，作出该支架的截面图如图（1），OAQ (M )PE B过点P 作PE OA ⊥，垂足为E ，此时，12OP =，10OM OQ ==，8PQ =， 因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒，设OE x =，所以10EQ OQ OE x =-=-， 在Rt △OPE 中，由勾股定理得，222PE OP PE =-2212x =-，在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，第23题答图(1)222PE PQ EQ =-228(10)x =--， 所以2222128(10)x x -=--，解得9x =，所以9OE =,在Rt △OPE 中，9cos 0.4512OE AOB OP ∠===, 由参考数据表，可得，41AOB ∠=︒．（2）解：当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时，作出该支架的截面图如图（2），OA过点P 作PE OA ⊥，垂足为F ，此时，12OP =，ON OQ =，8PQ =，20.5AOB ∠=︒， 因为PE OA ⊥，所以90OEP PEQ ∠=∠=︒， 在Rt △OPE 中，sin PEAOB OP∠=， 所以sin sin 20.5120.45 4.2PE OP AOB OP =⨯∠=⨯︒=⨯=， 在Rt △PEQ 中，由勾股定理得，6.8FQ ====，在Rt △OPE 中，由勾股定理得，11.24OF ====2212x =-，所以11.24 6.818.04ON OF FQ =+=+=，所以18.04101.655ON OM d --==≈, 所以相邻两孔的距离为1.6cm ．【知识点】勾股定理、锐角三角函数、一元一次方程、计算器的使用． 24．（2019山东烟台，24，11分） 【问题探究】(1)如图1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点B ，D 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系： ；②若AC BC ==，DC CE ==AD 的长为 ．【拓展延伸】(2)如图2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =，将△DEC 绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD ∠为α(0360)α︒≤≤︒，作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．【思路分析】第（1）问中，利用SAS 判定两个三角形（△ACD 与△BCE ）全等，利用全等三角形的性质得到最应角相等，利用有两个角互余的三角形是直角三角形得到△ABD 是直角三角形，所以AD 与BD 之间的位置关系为垂直，在Rt △ABD 中利用勾股定理列一个方程，从而求得AD 的长；第（2）问中，利用旋转的性质可以判定△ACD 与△BCE 相似，然后利用有两个角互余的三角形是直角三角形得到△ABD 是直角三角形，所以AD 与BD 之间的位置关系为垂直，在Rt △ABD 中利用勾股定理列一个方程，从而求得AD 的长，注意需要对不同的位置进行分类讨论． 【解题过程】（1）本题的答案是 ①AD BD ⊥ ②4 探究过程如下：①因为△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒ 所以CA CB =，CD CE =，ACB BCD DCE BCD ∠+∠=∠+∠ 所以ACD BCE ∠=∠， 在△ACD 与△BCE 中，因为CA CB =，ACD BCE ∠=∠，CD CE =，所以△ACD ≌△BCE ，所以CAD CBE ∠=∠, 因为90ACB ∠=︒所以90CAD DAB ABC ∠+∠+∠=︒， 所以90CBE DAB ABC ∠+∠+∠=︒即90DAB DBA ∠+∠=︒所以90ADB ∠=︒， 所以AD BD ⊥．②由①可得△ACD ≌△BCE ， 所以AD BE =,在Rt △DCE 中，由勾股定理得，2222(2)(2)2DE CE CD =+=+=，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，2222(10)(10)25AB AC BC =+=+=，设AD x =，则BE x =，AB AD BD =+，即222(2)x x =+-解得4x =或2x =-（舍去），所以4AD =,即线段AD 的长为4．（2）解：情况1：当0180α︒≤≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时的图形如图（1）所示，A因为ACB DCE ∠=∠所以ACB BCD DCE BCD ∠+∠=∠+∠ 所以ACD BCE ∠=∠， 因为AC BC ==1DC CE ==， 所以AC DCBC CE=在△ACD 与△BCE 中， 因为AC DCBC CE=，ACD BCE ∠=∠， 所以△ACD ∽△BCE ，所以CAD CBE ∠=∠,AD ACBE BC== 所以AD =因为90ACB ∠=︒所以90CAD DAB ABC ∠+∠+∠=︒， 所以90CBE DAB ABC ∠+∠+∠=︒即90DAB DBA ∠+∠=︒ 所以90ADB ∠=︒，在Rt △DCE 中，由勾股定理得，2DE ===，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，AB ===，设BE x =，则AD ==，AB AD BD =+，即222)(2)x =+-解得3x =或2x =-（舍去），所以AD ==即当0180α︒≤≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时，线段AD的长为 情况2：当180360α︒<≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时的图形如图（2）所示，A因为90ACB DCE ∠=∠=︒所以ACB ACE DCE ACE ∠-∠=∠-∠ 所以ACD BCE ∠=∠， 因为AC BC ==DC CE ==， 所以AC DCBC CE=在△ACD 与△BCE 中， 因为AC DCBC CE=，ACD BCE ∠=∠， 所以△ACD ∽△BCE ，所以CAD CBE ∠=∠,AD ACBE BC== 所以AD =因为90ACB ∠=︒所以90CAD DAB ABC ∠+∠+∠=︒， 所以90CBE DAB ABC ∠+∠+∠=︒即90DAB DBA ∠+∠=︒ 所以90ADB ∠=︒，在Rt △DCE 中，由勾股定理得，2DE ===，在Rt △ACD 中，由勾股定理得，AB ===，设BE x =，则33AD BE x ==， 所以2BD BC DE x =+=+， 在Rt △ABD 中，由勾股定理得，222AB AD BD =+，即 222(27)(3)(2)x x =++解得2x =或3x =-（舍去），所以323AD BE ==,即当180360α︒<≤︒时，点B ，D ，E 在同一直线上时，线段AD 的长为23． 综上可知，线段AD 的长为33或23．【知识点】全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、直角三角形的性质与判定、图形的旋转． 25．（2019山东烟台，25，13分）如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD y ⊥轴交抛物线与另一个点D ，作DE x ⊥轴，垂足为点E ．双曲线6(0)y x x=>经过点D ，连接MD ，BD ． (1)求抛物线的解析式．(2)点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标； (3)动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，BPD ∠的度数最大？（请直接写出结果）【思路分析】第（1）问中，利用反比例函数的性质，可知矩形OEDC 的面积为6,，利用抛物线的表达式可以求出点C 的坐标，从而得到OC 的长，利用矩形OEDC 的面积可以求出CD 的长，进而确定点D 的坐标，将点D 和点A 的坐标代入抛物线的表达式，就可以求出抛物线的表达式中的待定系数的值，从而得到抛物线的表达式；第（2）问中，利用点的对称性和两点之间线段最短，作点D 关于x 轴的对称点H ，作点M 关于y 轴的对称点I ，连接HI ，交x 轴于点N ，交y 轴于点F ，此时M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小，利用一次函数，可以求出点N ，F 的坐标；第（3）问中，利用圆周角的性质，可以知道，当以BD 为弦的圆与直线CD 相切时BPD ∠的度数最大，利用圆心到切点的距离等于半径，列方程即可求出t 的值．【解题过程】（1）当0x =时 20033y a b =⨯+⨯+= 所以3OC =，(0,3)C ，因为CD y ⊥轴，DE x ⊥轴，CO EO ⊥， 所以四边形OEDC 为矩形，又因为双曲线6(0)y x x=>经过点D ， 所以6OEDC S =矩形, 所以2OEDCS CD OC==矩形,所以(2,3)D将点(1,0)A -、(2,3)D 代入抛物线23y ax bx =++得304233a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩所以抛物线的表达式为223y x x =-++．（2）解：作点D 关于x 轴的对称点H ，作点M 关于y 轴的对称点I ，如图（1）由图形轴对称的性质可知FM FI =，ND NH =，所以四边形MDNF 的周长MD DN FN FM MD NH FN FI =+++=+++，因为MD 是定值，所以当NH FN FI ++最小时，四边形MDNF 的周长最小，因为两点之间线段最短，所以当I 、F 、N 、H 在同一条直线上时NH FN FI ++最小 所以当I 、F 、N 、H 在同一条直线上时，四边形MDNF 的周长最小，连接HI ，交x 轴于点N ，交y 轴于点F ， 因为抛物线的表达式为223y x x =-++，所以点M 的坐标为(1,4)，第25题答图（1）由轴对称的性质可得，(1,4)I -，(2,3)H -， 设直线HI 的表达式为y mx n =+， 所以423m n m n -+=⎧⎨+=-⎩，解得7353m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线HI 的表达式为7533y x =-+， 当0x =时，53y =， 当0y =时，75033x =-+，所以57x =，所以5(0,)3F ，5(,0)7N ，所以当M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，5(0,)3F ，5(,0)7N ．（3）解：本题的答案为9215-．解题分析：如图（2），当两点A 、B 距离是定值，直线CD 是一条固定的直线，点P 在直线CD 上移动，由下图可以看出只有当过A 、B 的圆与直线CD 相切时APB ∠最大．所以可作T e 过点B 、D ，且与直线OC 相切，切点为P ，此时BPD ∠的度数最大， 由已知，可得OP t =， (0,)P t因为直线OC 与T e 相切， 所以TP OC ⊥，所以直线PT 的解析式为y t =因为抛物线的表达式为223y x x =-++，所以点B 的坐标为(3,0)，第25题答图（2）第25题答图（3）因为点B (3,0)、点(2,3)D可以求得直线BD 的垂直平分线的解析式为1233y x =+ 联立y t =与1233y x =+，得32x t =-，y t = 直线PT 与直线BD 的交点即为点M ，所以(32,)M t t -因为MB MC =,可得32t -=解得9t =-9t =+（舍去）所以当9t =-，BPD ∠的度数最大．【知识点】二次函数（抛物线）的图象和性质、反比例函数（双曲线）的图象和性质、最短路径问题、一次函数的图象和性质、直线与圆的位置关系、勾股定理．。