新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径》赛课教案_2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版数学九年级上册第24章圆24.1.2垂直于弦的直径(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂直于弦的直径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来构造垂直于弦的直径，并验证其性质。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂直于弦的直径》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要平分线段的情况？”（如剪绳子时如何确保两段长度相等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂直于弦的直径的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尽量用简洁明了的语言解释垂直于弦的直径的概念和性质。但我也意识到，对于一些学生来说，这些理论可能仍然难以消化。在今后的教学中，我需要更加注意用生动的例子和图示来帮助学生理解。
在实践活动环节，我发现分组讨论和实验操作让学生们更积极主动地参与到课堂中来。但我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些困惑。为了提高实践活动的效果，我考虑在下次课堂上增加一些提示和引导，让学生在操作中更容易理解垂直于弦的直径的性质。
-演示如何运用综合法和分析法证明垂径定理，让学生掌握证明过程；
-设计实际应用题目，让学生学会将垂径定理应用于解决问题。
2.教学难点
（1）理解垂直于弦的直径性质：学生需要理解为什么垂直于弦的直径会平分弦，并掌握这一性质；
（2）证明过程：学生在证明垂径定理时，可能会觉得证明过程复杂，难以理解；
（3）应用问题：学生在解决实际应用问题时，可能不知道如何运用垂径定理进行分析。
人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径 教案
24.1.2垂直于弦的直径●情景导入课件出示关于赵州桥的引例引例：你知道赵州桥吗？它是我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，现在有个人想要知道它主桥拱的半径是多少．同学们，你们能帮他求出来吗？学完了本节课的内容，我们一起来解决这个问题．【教学与建议】教学：通过赵州桥引例，导入圆的轴对称性及垂径定理．建议：学生提前收集有关圆的对称图形．●归纳导入(1)操作1：拿出准备的圆，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？【归纳】圆是__轴对称__图形，__任何一条直径所在直线__都是圆的对称轴．(2)操作2：将这个圆二等分、四等分、八等分．(3)操作3：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步，展开，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，沿垂线将纸片折叠；第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B，如图.在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？【归纳】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．【教学与建议】教学：通过对剪圆和折叠圆的操作，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质．命题角度1垂径定理及推论的辨析根据圆的轴对称性得到垂直于弦的直径所具有的性质．【例1】(1)如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是(C)A．∠AOD＝∠BOD B．AD＝BDC．OD＝DC D．AC＝BC(2)下列命题中错误的命题有__②③④__．(填序号)①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径．命题角度2直接利用垂径定理进行计算构造以半径、弦长的一半、弦心距为三边长的直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】(1)如图，⊙O的半径OA＝4，以点A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长为(A) A．43B．52C．23D．32[第（1）题图][第（2）题图](2)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图)．若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，则AC的长是__8－27__．命题角度3垂径定理的实际应用圆弧形拱桥等问题，常通过作辅助线，使之符合垂径定理的直角三角形，运用勾股定理求解．【例3】好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB 宽度16 m 时，拱顶高出水平面4 m ，货船宽12 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．解：(1)连接OB .∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 中点．∵AB ＝16 m ，∴BD ＝12AB ＝8 m ．又∵CD ＝4 m ，设OB ＝OC ＝r ，则OD ＝(r －4)m.在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得r 2＝(r －4)2＋82，解得r ＝10.答：此圆弧形拱桥的半径为10 m ；(2)连接ON .∵CD ＝4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m ，∴CE ＝4－3＝1(m)，∴OE ＝r －CE ＝10－1＝9(m).在Rt △OEN 中，EN 2＝ON 2－OE 2＝102－92＝19，∴EN ＝19 (m)，∴MN ＝2EN ＝219 m ＜12 m ，∴此货船B 不能顺利通过这座拱桥．魔术蛋魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．(1)作一个圆，圆心为O ，并通过圆心，作直径AB 的垂线MN ；(2)连接AN .并适当延长，再以A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧交AN 的延长线于点C ；(3)连接BN .并适当延长，再以B 为圆心，BA 的长为半径作圆弧交BN 的延长线于点D ；(4)以N 为圆心，NC 为半径，作圆弧CD ，于是下部成为椭圆；(5)在OM 上作线段MF 等于NC ，以F 为圆心，MF 为半径作圆弧，交AB 于点G ，H ，连接FG ，FH ，这样魔术蛋便制好了．高效课堂 教学设计1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题． ▲重点垂径定理、推论及其应用． ▲难点发现并证明垂径定理．◆活动1 新课导入1．请同学们把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？ 答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．2．请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． ◆活动2 探究新知 1．教材P 81 探究． 提出问题：(1)通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？(2)“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？ 学生完成并交流展示．2．教材P 82 例2以上内容． 提出问题：(1)证明了圆是轴对称图形后，观察图24.1－6，对应线段、对应弧之间有什么关系？由此可得到什么结论？(2)若把P 81的条件“直径CD ⊥AA ′于点M ”改为“直径CD 平分弦AA ′(不是直径)于点M ”，还能证明出图形是轴对称图形吗？此时对应线段、对应弧之间有什么关系？(3)当第(2)问中的弦AA ′为直径时，相关结论还成立吗？为什么？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．圆是__轴__对称图形，任何一条__直径所在的直线__都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为__圆心__．2．垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①__AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点__；②__AB ⊥CD 交CD 于点E __；那么可以推出：③__CE ＝DE __；④CB ＝DB ；⑤CA ＝DA .3.__平分弦(不是直径)__ 的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．提出问题：“推论”里的被平分的弦为什么不能是直径？ 学生完成并交流展示． ◆活动4 例题与练习 例1 教材P 82 例2.例2 如图，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，DE 交AB ，AC 于点M ，N .求证：AM ＝AN .证明：连接OD ，OE 分别交AB ，AC 于点F ，G .∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴∠DFM ＝∠EGN ＝90°.∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠E ，∴∠DMB ＝∠ENC .∵∠DMB ＝∠AMN ，∠ENC ＝∠ANM ，∴∠AMN ＝∠ANM ，∴AM ＝AN .练习1．教材P 83 练习第1，2题．2．已知弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm__．3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝__8__． 4．如图，⊙O 中弦CD 交半径OE 于点A ，交半径OF 于点B ，若OA ＝OB ，求证：AC ＝BD .证明：过点O 作OG ⊥CD 于点G . ∵OG 过圆心，∴CG ＝DG . ∵OA ＝OB .∴AG ＝BG ，∴CG －AG ＝DG －BG ，∴AC ＝BD . ◆活动5 课堂小结 垂径定理及其推论，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．1．作业布置(1)教材P 90 习题24.1第8，11题； (2)对应课时练习． 2．教学反思。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案
24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O 的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB 于D，DC＝2cm，求半径OC 的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB 于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x 2=42+(x-2)2，∴8AE ===cm.1184(cm)22AD AB ==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证:四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=12AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222a r d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.1034.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥ 11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,O C C F O F =+()22230090.R R =+-解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径课程设计
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课程设计一、教学目标通过本节课的学习，学生将会掌握以下知识点：1.理解垂直的概念；2.掌握研究圆的垂线定理；3.熟练应用垂线定理解决几何问题；4.培养学生分析问题的能力，提高思维逻辑能力。
二、教学重难点1.研究圆的垂线定理，并掌握其应用方法；2.解决几何问题时，要注意分析问题，构建几何关系模型。
三、教学步骤及课时安排第一课时1. 导入向学生介绍本节课要学习的内容，并回顾学生已经学过的内容，引导学生进入本节课的学习状态。
2. 理解垂线的概念介绍垂直的概念，并通过画图示例，帮助学生理解垂线的概念。
3. 介绍圆的垂线定理•定义圆的垂线定理；•讲解垂线定理的基本思想；•通过示例介绍如何应用垂线定理。
4. 同步练习让学生在课堂上完成几道简单的练习题，巩固所学知识。
第二课时1. 检查练习检查上一节课的练习情况，并对练习中的问题进行讲解和澄清。
2. 进一步掌握垂线定理应用方法通过三个典型例题，让学生更深入地理解垂线定理应用方法。
3. 解决实际问题通过实例，引导学生分析问题，运用垂线定理解决几何问题，并指导学生如何合理地应用所掌握的知识。
4. 同步练习让学生在课堂上完成练习题，巩固所学知识，同时检查学生是否掌握了垂线定理的应用方法。
第三课时1. 检查作业检查上一节课的作业，并就作业中出现的问题进行解答和讲解。
2. 综合练习组织学生进行综合练习，让学生充分体验综合应用垂线定理的过程，锻炼综合解题能力。
3. 安排学习后的练习安排学生进行锻炼和巩固练习，检查学生对垂线定理的掌握情况。
四、教学评估1. 课堂表现评估通过学生发言、回答问题、完成课堂练习或作业的情况，来评估学生在本节课的学习中的表现情况。
2. 能力考察评估组织学生进行综合练习，考察学生的综合解题能力，以及对垂线定理的掌握程度。
同时，将学生的平时成绩、课堂参与度、作业完成情况等综合考虑，得出最终的成绩评定。
五、教学反思本节课通过垂线定理的学习，培养了学生的分析问题的能力，并提高了学生的思维逻辑能力。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
1.提出引导性问题，引导学生观察、思考、讨论垂直于弦的直径的性质。
2.引导学生提出假设，进行推理和验证，如“垂直于弦的直径是否一定通过弦的中点？”
3.设计具有挑战性的问题，如“你能证明垂直于弦的直径平分弦吗？”，激发学生的创新思维。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励学生进行讨论、交流、分享，培养学生的团队合作意识。
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学九年级上册第24章第1节中的内容，主要讲解圆中的一条特殊性质——垂直于弦的直径。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识，对圆有了初步的认识。本节课的内容是在此基础上，进一步引导学生发现并证明垂直于弦的直径的性质，培养学生观察、思考、推理的能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用实物模型，如圆形的桌面、圆规等工具，为学生提供直观的视觉感受，引发学生对垂直于弦的直径性质的兴趣。
2.通过引入生活中的实例，如圆形桌面上的直径与垂线的关系，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.设计有趣的问题情境，如“在圆形操场上，如何找到一条垂线穿过弦的中点”，激发学生的思考欲望。
五、教学评价
1.评价学生对垂直于弦的直径性质的理解程度，观察学生能否灵活运用这一性质解决实际问题。
2.评价学生在观察、思考、推理、实践等方面的能力，培养学生独立解决问题的能力。
3.评价学生的团队合作意识，关注学生在讨论、交流、分享等方面的表现。
4.关注学生的情感态度，激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的数学学习情感。
4.反思与评价：教师引导学生进行自我反思和评价，培养学生自我监控和自我评价的能力。同时，教师进行课堂观察和评价，关注学生在观察、思考、推理、实践等方面的表现，为学生提供及时的反馈和指导。
《24.1.2垂直于弦的直径》优秀教学设计(教案)
人教版九年级数学上册第二十四章《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1.知识与技能：（1）通过观察试验,理解圆的轴对称性.（2）掌握垂径定理及其推论.（3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.2.过程与方法：（1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.（2）经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3.情感态度与价值观：（1）通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.（2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.教材分析：与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主要研究对象,是人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型——三角形、四边形等图形的基础上,进一步研究一个基本的曲线图形——圆,对圆的概念和性质进行系统梳理,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的逻辑思维能力.在已经对圆进行初步认识的基础上，进一步学习研究圆的概念和性质,圆的许多性质比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、由特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力,学情分析：学生已经通过对三角形、四边形的学习具备了一定的逻辑思维能力，能够较好的用数学符号语言进行推理证明。
前一课时让学生对圆已经有了巩固认识，也能够熟悉圆的一些基本概念，对深入学习圆奠定了基础。
但是通过对图形的探究过程理解垂径定理以及推论，并熟练应用于实际问题计算和证明仍然存在一定难度。
【重点】垂径定理及其应用.【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题教学准备：【教师准备】多媒体课件、自制圆形卡纸【学生准备】预习教材P81—83和导学案、圆形纸片、作图工具教学过程：一：探究活动活动1:将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？圆是图形，都是圆的对称轴．【师生活动】教师拿出自制的圆形卡纸，引导学生自己试验操作，思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这种说法错误的原因.【设计意图】通过所有学生自己动手操作，吸引学生对本节数学课的学习兴趣，让学生不知不觉参与投入课堂.活动2: 在圆形纸片上作⊙O的任意一条弦AB, 再作直径CD⊥AB, 垂足为E.沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？观察发现：点A与重合，AE与重合,弧AC与重合，弧AD与重合.相等的线段: ，相等的弧: .如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？你能证明结论AE=BE吗？【师生活动】引导学生自己作图试验操作，仔细观察思考后小组合作交流,学生回答并展示自己的证明过程后教师点评,补充完善.【设计意图】通过对AE=BE的证明过程，让学生回忆前面在三角形、四边形中的逻辑思维和证明思路的书写，为圆中的计算和证明问题做好铺垫.二：获得新知垂径定理：，.数学符号语言：∵ , ,∴ , , .【设计意图】教师鼓励学生自己组织文字语言说出探究出的结论，也就是今天要学习的垂径定理，让学生体验到学习的成就感。
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24.1.2 垂直于弦的直径
三维目标：
. 知识与技能
1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性
2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.
1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．
2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. .情感态度与价值观
激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望 教学要点：
知识点 圆的轴对称，垂径定理及其运用
易错点 垂径定理及其运用
考查点 垂径定理在实际生活中的应用
渗法点
教学建议：
1教学课时
2过程设计
一、复习引入
①在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”． ②什么叫做弦，如图线段
③什么叫做直径，如图线段
有 和 ．如 ④圆上任意两点间的部分叫做 ，弧
和
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二、探索新知
(学生活动)请同学按要求完成下题：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径
CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果
是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你理由． (2)AM ＝BM ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵，
即直径CD 平分弦AB ，并且平分
AB ︵及ADB ︵.
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD 、弦AB ，且CD ⊥AB 垂足为M.
BD ︵. 求证：AM ＝BM ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝
证明：（略）
进一步，我们还可以得到结论：
并且平分弦所对的两条弧． 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，(本题的证明作为课后练习)
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
.解：（略）
三、课堂小结(学生归纳，老师点评)
垂径定理及其推论以及它们
的应用．
四、作业布置
1．垂径定理推论的证明．
2．教材第89，90页 习题第
8，9，10题．。