第3章矩阵范数及其应用精品PPT课件
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
3-1,2,3,4向量范数.ppt
x
∞
= max x i
1≤ i ≤ n
它们均构成范数。 它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数， 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。
x = (1,2,−3)
T
x1 =6
第二节 矩阵范数
主要内容： 主要内容： 1·矩阵范数的定义、性质 矩阵范数的定义、 矩阵范数的定义 2·算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 算子范数（由向量诱导的矩阵范数） 算子范数 3·几种常用的矩阵范数 几种常用的矩阵范数
定义
设A∈C
m×n
定义一个实值函数
⋅
C
m× n
满足： → R 满足：
（1）正定性 （2）齐次性 （3）三角不等式 (4)相容性 (4)相容性 则
Ax
Ax 是C
n
Dn = x = ( x1 , x 2 , ⋯ , x n )
知 Ax 在D n上取到最大值。 上取到最大值。
{
的连续函数，D 的连续函数，
T
n
是C n中的有界闭集， 中的有界闭集，
x =1
}
最后证明
A 成为矩阵范数
A ≥ Ax0 x0 > 0;
n 正定性: 正定性 设 A ≠ 0, 则存在 x0 ≠ 0 ∈ C , 使 Ax0 ≠ 0,
x+ y
2 2
= ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + ( x, y ) + ( y , x ) + ( y , y )
≤ x 2 +2 x
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
矩阵理论第3章课件
y 1e1 2e2 nen ，
0 || x || || y ||
x y
(1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en 1 1 e1 2 2 e2 n n en 1 1 2 2 n n 0
n
n
k 1
则 x 1 为向量范数，称此范数为1-范数。 证明（1）当 x 0 时，其分量 1 , 2 , , n 不全为零，因 此 x 1 0； （2）||x||1 = | k | | | | k | = || ||x||1；
k 1 k 1 n n
（3）再设 y 1, 2 , , n ,
第三章
矩阵的范数与幂级数
§1 向量范数
一、引入
在内积空间中，可以用内积定义向量长度（范数）的概 念，即 x
x, x ，但对于一般的线性空间 V ，由于没有
内积，从何引入向量的范数？抽象出上述向量范数的共性： （1）当 x 0 时， x 0 ； （2） x x ； （3） x y x y ， 以此定义线性空间 V 中的向量范数。
( k k , k 1,, n )。 现取一个有界闭集 S
, , ,
1 2 n
x
1 ，(1,…,
n)的连续函数||x||在 S 上有最大值 M 和最小值 m，由于 S
中不包括零向量，所以 m > 0，即有
m ||x|| M (x S) 。
p
，1 p 。
例7 设 || ||a ， || ||b 是 C n 上两种范数，证明
max || ||a ,|| ||b 是 C n 上范数。
0 || x || || y ||
x y
(1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en 1 1 e1 2 2 e2 n n en 1 1 2 2 n n 0
n
n
k 1
则 x 1 为向量范数，称此范数为1-范数。 证明（1）当 x 0 时，其分量 1 , 2 , , n 不全为零，因 此 x 1 0； （2）||x||1 = | k | | | | k | = || ||x||1；
k 1 k 1 n n
（3）再设 y 1, 2 , , n ,
第三章
矩阵的范数与幂级数
§1 向量范数
一、引入
在内积空间中，可以用内积定义向量长度（范数）的概 念，即 x
x, x ，但对于一般的线性空间 V ，由于没有
内积，从何引入向量的范数？抽象出上述向量范数的共性： （1）当 x 0 时， x 0 ； （2） x x ； （3） x y x y ， 以此定义线性空间 V 中的向量范数。
( k k , k 1,, n )。 现取一个有界闭集 S
, , ,
1 2 n
x
1 ，(1,…,
n)的连续函数||x||在 S 上有最大值 M 和最小值 m，由于 S
中不包括零向量，所以 m > 0，即有
m ||x|| M (x S) 。
p
，1 p 。
例7 设 || ||a ， || ||b 是 C n 上两种范数，证明
max || ||a ,|| ||b 是 C n 上范数。
向量与矩阵的范数-PPT
|| A ||2
A'
A
10 14
15
14 20
221 5.46
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
注：
A F
nn
a 2 ——弗罗贝尼乌斯
ij
(Frobenius)范数
j1 i1
简称F范数
|| A ||F 30 5.477
几种常用的矩阵范数：
n
max a11
a12
a1n
A1 1jn
则称该实数||X||为向量X的范数
几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T
（1）向量的1—范数：
n
|| X ||1 | xi | | x1 | | x2 | ... | xn | i 1
（2）向量的2—范数：
n
|| X ||2
xi2 x12 x22 ... xn2
i 1
例：方程组
22.x0101xx21
x2 1
1
此方程组的准确解为x1=0, x2=-1。现将其右 端加以微小的扰动使之变为：
绝对误差
22.x0101xx12
x2 1
1.0002
b
0.00002
经计算可得它的解为x1=2, x2=-3.
这两个方程组的解相差很大，说明方程组的 解对常数项b的扰动很敏感。
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一确
定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足下 面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵范数
r r 1) 常向量 b 的扰动 δ b 引起解的误差 δ x r r r r r r r r r −1 + 设 A x = b ， A ∃ ， x是精确解。 A y = b r δ b 的解记为 y = x + δ x 。 r 是精确解。 r r r r r r 即 A( xr+ δ x ) = b + δ b ⇒ Ax + Aδ x = b + δ b， r r r r r −1 ) 由Ax = b ，得 A(δ xr = δ b，即δ x = A (δ b )， r ( 9 .2 ) ⇒ || δ x ||≤ || A−1 || || δ b ||， r 1 || A || r r 即 r ≤ r ， ( 9 .3 ) 又 || b ||=|| Ax ||≤|| A || || x || ， r || x || r || b || || δb || x 由（9.2）式及（9.3）式得 || δv || ≤|| A −1 || || A || r ）式及（ ） || b || || x || 结论： 扰动对解的影响 扰动对解的影响。 结论：b扰动对解的影响。 r r n× n 为精确解， 定理27 (1) A ∈ R 为非奇异矩阵，x为精确解， x = b ≠ 0。 定理 r 为非奇异矩阵， 为精确解 A r r r ( 2)设 A( x + δ x ) = br+ δ b ，则b微小误差 扰动、摄动 引起解 的相 微小误差(扰动 引起解x的相 微小误差 扰动、摄动)引起解 r || δx || || δb || ≤|| A −1 || || A || r . v 对误差有估计式 对误差有估计式： || x || || b || 上式说明，常数项b微小误差引起解的相对误差可能是 说明： 上式说明，常数项 微小误差引起解的相对误差可能是 r 说明： || δb || r 的 || A−1 || || A || 倍。 即上式的不等号中的等号可以成立。 即上式的不等号中的等号可以成立。 || b ||
矩阵分析与应用教学介绍PPT课件
第1页/共7页
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
第6页/共7页
感谢观看！
第7页/共7页
通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
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感谢观看！
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通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
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事实上，根据内积的定义可知 x (x, x) 0 ，并且 x 0 当且仅当 x 0．而
kx (kx, kx) k k(x, x) k 2 (x, x) k (x, x) k x ，
进一步，因为
x y 2 x y, x y x, x 2 Rex, y y, y ，
而由 Cauchy-Schwarz 不等式知
定理 3. 1.1 设 p,q 为共轭指数，则对任意的实数 0, 0 ，
不等式
p q
pq
（3.1.2）
成 立 （ 如 果 p q 2 ， 那 么 （ 3.1.2 ） 就 是 最 基 本 的 不 等 式
2 2 2 ）．
证明 当 0 或 者 0 时，（ 3.1.2）显 然成立，以下假设
（2）对任意的 x V ， x x ；
（3）对任意的 x, y V ， x y x y
（4）对任意的 x, y V ， x y x y ．
如果V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间，而 P 是线性空间 Pn 上
的一种范数，在V 中取定一个基 e1, e2 ,, en ，那么对任意的 x V ，存
a V ，如果数列的极限 lim n
xn a
0 ，则称 n 趋于无穷大时，点
列 {xn } 按范数
以a
为极限，记为 lim n
xn
a ．这一定义显然是 R1
中数列极限的推广，其中起本质作用的就是V 上的范数 ．
例 3.1.1 内积空间是赋范线性空间．即如果V 是实的或复的内积 空间， (x, y) 是V 上的内积，那么 x (x, x) 是V 上的范数．
注 3.1.1 定义 3.1.1 中的条件（1）体现了范数是普通长度概念
的推广，而条件（2）及（3）则分别对应着线性空间V 与 P 上的数
乘运算及V 上的加法运算．
注 3.1.2 设 (V , ) 是一个赋范线性空间，那么利用V 上的范
数 ，可以描述V 中点列的收敛性：设{xn} 是V 中的一个点列，
第3章 矩阵范数及其应用
为了描述线性空间中点列的收敛性，需要引进范数的 概念．它是实数绝对值概念的推广．本章主要介绍线性空间
C n 上的向量范数和 Cmn 上的矩阵范数以及二者之间的相
容性关系等内容，为以后各章的学习奠定必要的理论基础．
3.1 向量范数
3.1.1 向量范数的定义及其基本性质
定 义 3.1.1 设 V 是 数 域 P 上 的 线 性 空 间 ， 如 果 对 于任 意 的 x V ，都有唯一的一个实数 x 与 x 对应，并且满足下列条件：
Rex, y x, y x, xy, y x y ，
所以
x y 2 x 2 2 x y y 2 x y 2 ，
即 x y x y ，所以 x (x, x) 是V 上的范数．
按照范数的三条公理，容易证明范数还具有以下性质：
（1）当 x V 并且 x 0 时， 1 x 1 ； x
否则（3.1.3）显然成立．令非负实数
ak
n
1,
( ak p ) p
k 1
那么由（3.1.2）知
bk n
．
1
( bk q )q
k 1
n
(
ak
1 n
ak p ) p (
bk
1
ak p
n
bk q
n
，
bk q ) q p ak p q bk q
k 1
k 1
k 1
k 1
上式两边对 k 1,2,, n 求和得
0, 0．令
( ) p q ，
pq
那么
( ) q1 ，
所以函数 有唯一驻点
1
p
0 q1 p1 q ，
而 ( ) (q 1) q2 0 ， 因 此 函 数 在 0 点 取 得 最 小 值
(0 ) 0 ，从而( ) (0 ) 0 ，即
p q ．
（1）正定性：对于任意的 x V ， x 0 ，并且 x 0 当且仅 当 x 0；
（2）齐次性：对于任意的． k P, x V ， kx k x ； （3）三角不等式：对于任意的 x, y V ， x y x y ， 则称实数 x 为V 中元素 x 的范数．
赋予范数 的线性空间V 称为赋范线性空间，记为 (V, ) ．
n
1
n
1
n
1
( ak bk p ) p ( ak p ) p ( bk p ) p ．
k 1
k 1Βιβλιοθήκη k 1（3.1.4）3.1.3 Cn上的向量范数
线性空间 C n 上的范数，称为向量范数．下面先介绍一些 C n 上常用
的向量范数．
例 3. 1.2 给定常数 p [1,) ，对任意的 x x1, x2,, xn T Cn ，
pq
利用不等式（3.1.2），我们能够得到下面著名的 Hölder 不等式．
推论 3. 1.1 设 ak ,bk C, k 1,2,, n ， p,q 为共轭指数，那么
n
n
1n
1
ak bk ( ak p ) p ( bk q )q ．
k 1
k 1
k 1
（3.1.3）
证明 假设 a1, a2,, an 不全为零，并且 b1,b2 ,,bn 也不全为零，
在唯一的向量 (x1, x2 ,, xn ) Pn ，使得 x x1e1 x2e2 xnen ，
在此意义下 x 与 (x1, x2 ,, xn ) 一一对应，我们定义
x (x1, x2,, xn ) P ，
（3.1.1）
容易验证 是V 上的一种范数．反之，给定V 上的一种范数 ，按照
（3.1.1）式，也可以得到 P n 上的一种范数．因此，要研究抽象的有限 维线性空间上的范数，只需研究具体的线性空间 P n 上的范数即可．
3.1.2 几个著名的不等式
为了介绍范数理论，我们需要了解一些相关的不等式知识，当然，
它们在许多其它场合也是非常有用的．如果常数 p 1, q 1, 并且 1 1 1，则称 p,q 为共轭指数． pq
n
k1 ( n
ak
1 n
ak p ) p (
bk bk
1
q)q
1 1， pq
k 1
k 1
n
n
1n
1
所以， akbk ( ak p ) p ( bk q )q ．
k 1
k 1
k 1
利用 Hölder 不等式，又可以得到下面的 Minkowski 不等式.
推论 3. 1.2 设 ak ,bk C, k 1,2,, n ，常数 p 1，那么
kx (kx, kx) k k(x, x) k 2 (x, x) k (x, x) k x ，
进一步，因为
x y 2 x y, x y x, x 2 Rex, y y, y ，
而由 Cauchy-Schwarz 不等式知
定理 3. 1.1 设 p,q 为共轭指数，则对任意的实数 0, 0 ，
不等式
p q
pq
（3.1.2）
成 立 （ 如 果 p q 2 ， 那 么 （ 3.1.2 ） 就 是 最 基 本 的 不 等 式
2 2 2 ）．
证明 当 0 或 者 0 时，（ 3.1.2）显 然成立，以下假设
（2）对任意的 x V ， x x ；
（3）对任意的 x, y V ， x y x y
（4）对任意的 x, y V ， x y x y ．
如果V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间，而 P 是线性空间 Pn 上
的一种范数，在V 中取定一个基 e1, e2 ,, en ，那么对任意的 x V ，存
a V ，如果数列的极限 lim n
xn a
0 ，则称 n 趋于无穷大时，点
列 {xn } 按范数
以a
为极限，记为 lim n
xn
a ．这一定义显然是 R1
中数列极限的推广，其中起本质作用的就是V 上的范数 ．
例 3.1.1 内积空间是赋范线性空间．即如果V 是实的或复的内积 空间， (x, y) 是V 上的内积，那么 x (x, x) 是V 上的范数．
注 3.1.1 定义 3.1.1 中的条件（1）体现了范数是普通长度概念
的推广，而条件（2）及（3）则分别对应着线性空间V 与 P 上的数
乘运算及V 上的加法运算．
注 3.1.2 设 (V , ) 是一个赋范线性空间，那么利用V 上的范
数 ，可以描述V 中点列的收敛性：设{xn} 是V 中的一个点列，
第3章 矩阵范数及其应用
为了描述线性空间中点列的收敛性，需要引进范数的 概念．它是实数绝对值概念的推广．本章主要介绍线性空间
C n 上的向量范数和 Cmn 上的矩阵范数以及二者之间的相
容性关系等内容，为以后各章的学习奠定必要的理论基础．
3.1 向量范数
3.1.1 向量范数的定义及其基本性质
定 义 3.1.1 设 V 是 数 域 P 上 的 线 性 空 间 ， 如 果 对 于任 意 的 x V ，都有唯一的一个实数 x 与 x 对应，并且满足下列条件：
Rex, y x, y x, xy, y x y ，
所以
x y 2 x 2 2 x y y 2 x y 2 ，
即 x y x y ，所以 x (x, x) 是V 上的范数．
按照范数的三条公理，容易证明范数还具有以下性质：
（1）当 x V 并且 x 0 时， 1 x 1 ； x
否则（3.1.3）显然成立．令非负实数
ak
n
1,
( ak p ) p
k 1
那么由（3.1.2）知
bk n
．
1
( bk q )q
k 1
n
(
ak
1 n
ak p ) p (
bk
1
ak p
n
bk q
n
，
bk q ) q p ak p q bk q
k 1
k 1
k 1
k 1
上式两边对 k 1,2,, n 求和得
0, 0．令
( ) p q ，
pq
那么
( ) q1 ，
所以函数 有唯一驻点
1
p
0 q1 p1 q ，
而 ( ) (q 1) q2 0 ， 因 此 函 数 在 0 点 取 得 最 小 值
(0 ) 0 ，从而( ) (0 ) 0 ，即
p q ．
（1）正定性：对于任意的 x V ， x 0 ，并且 x 0 当且仅 当 x 0；
（2）齐次性：对于任意的． k P, x V ， kx k x ； （3）三角不等式：对于任意的 x, y V ， x y x y ， 则称实数 x 为V 中元素 x 的范数．
赋予范数 的线性空间V 称为赋范线性空间，记为 (V, ) ．
n
1
n
1
n
1
( ak bk p ) p ( ak p ) p ( bk p ) p ．
k 1
k 1Βιβλιοθήκη k 1（3.1.4）3.1.3 Cn上的向量范数
线性空间 C n 上的范数，称为向量范数．下面先介绍一些 C n 上常用
的向量范数．
例 3. 1.2 给定常数 p [1,) ，对任意的 x x1, x2,, xn T Cn ，
pq
利用不等式（3.1.2），我们能够得到下面著名的 Hölder 不等式．
推论 3. 1.1 设 ak ,bk C, k 1,2,, n ， p,q 为共轭指数，那么
n
n
1n
1
ak bk ( ak p ) p ( bk q )q ．
k 1
k 1
k 1
（3.1.3）
证明 假设 a1, a2,, an 不全为零，并且 b1,b2 ,,bn 也不全为零，
在唯一的向量 (x1, x2 ,, xn ) Pn ，使得 x x1e1 x2e2 xnen ，
在此意义下 x 与 (x1, x2 ,, xn ) 一一对应，我们定义
x (x1, x2,, xn ) P ，
（3.1.1）
容易验证 是V 上的一种范数．反之，给定V 上的一种范数 ，按照
（3.1.1）式，也可以得到 P n 上的一种范数．因此，要研究抽象的有限 维线性空间上的范数，只需研究具体的线性空间 P n 上的范数即可．
3.1.2 几个著名的不等式
为了介绍范数理论，我们需要了解一些相关的不等式知识，当然，
它们在许多其它场合也是非常有用的．如果常数 p 1, q 1, 并且 1 1 1，则称 p,q 为共轭指数． pq
n
k1 ( n
ak
1 n
ak p ) p (
bk bk
1
q)q
1 1， pq
k 1
k 1
n
n
1n
1
所以， akbk ( ak p ) p ( bk q )q ．
k 1
k 1
k 1
利用 Hölder 不等式，又可以得到下面的 Minkowski 不等式.
推论 3. 1.2 设 ak ,bk C, k 1,2,, n ，常数 p 1，那么