面面垂直推线面垂直定理
线面垂直面面垂直的性质定理
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
不彻
底的资产阶级革命纲领。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
D．航空运输
解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务
运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商
办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意
义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。
答案：C
2. 右图是1909年《民呼日报》上登载的 一幅漫画，其要表达的主题是( ) A．帝国主义掠夺中国铁路权益 B．西方国家学习中国文化 C．西方列强掀起瓜分中国狂潮 D．西方八国组成联军侵略中国
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
2.3直线、平面垂直的判定及其性质(新课知识讲解)
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角
思考:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？
β l l
α
α
β
思考:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面α 、β 都叫做 二面角的面，二面角通常记作“二 面角α -l-β ”.那么两个相交平面共 组成几个二面角？
β
面
棱
l
α
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 a , 为半平面的二面角记为：
a l
a, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
a AB
a
l
A
B
a
二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 ? AOB AOB== a 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） B l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。 观看动画演示
4.总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题？
（3）本节课你还有哪些问题？
直线与平面垂直的判定方法 1. 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。
【精选】立体几何平行垂直所有判定定理和性质定理
①面面平行→线面平行（面面平行性质定理1） ②面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
复习 空间中的垂直关系
判定直线与直线垂直的方法：
① 定义(成角90°) ② 线线平行→线线垂直（a∥b，a⊥c则b⊥c） ③ 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义）
直线和直线垂直的性质：
① 线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理）
复习 空间中的平行关系
判定直线与直线平行的方法：
① 定义(在同一平面内且不相交的两条直线) ② 平面几何方法： ③ 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ④ 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ⑤ 面面平行→线线平行（面面平行性质定理2）
直线和直线平行的性质：
① 线线平行→线线平行（平面性质公理4） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 线线平行→面面平行（面面平行判定定理推
论2）
判定平面与平面垂直的方法
①定义 ②线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理）
平面与平面垂直的性质
①面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理）判定直线与平面垂直的方法：
①线线垂直→线面垂直（线面垂直判定定理） ②面面垂直→线面垂直（面面垂直性质定理） ③线线平行→线面垂直（线面垂直判定定理推论1）
直线和平面垂直的性质：
① 线面垂直→线线垂直（线面垂直定义） ② 线面垂直→面面垂直（面面垂直判定定理） ③ 线面垂直→线线平行（线面垂直判定定理推
论）
判定直线与平面平行的方法：
① 定义（直线与平面没有公共点） ② 线线平行→线面平行（线面平行判定定理） ③ 面面平行→线面平行（面面平行性质定理1）
直线和平面平行的性质：
① 线面平行→线线平行（线面平行性质定理） ② 线面平行→面面平行（面面平行判定定理）
线面垂直_面面垂直的性质定理
l α 符号表 αβ l β 示：
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
（2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点求证： （1）MN CD;
β B பைடு நூலகம் l A a
C
练1. 四边形ABCD中，AD∥BC， AD=AB，∠BCD=450， ∠BAD=900，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面 BCD，构成四面体ABCD. 求证:平面ADC⊥平面ABC A
A
D
D
B
C
B
C
练2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a， ∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将 四边形折成直二面角. (1)证明：AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
例1 a
如图已知平面α、β,α⊥β,α∩β = l , 直线a⊥β, α，试判断直线a与平面α的位置关系.
a b
α
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的性质定理： 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴ a∥ b
面面垂直的判定与性质课件
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
第九章 立体几何9-5线面、面面垂直的判定及性质
∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾． ∴DE与平面ABC不垂直． 点评：①“折叠”问题一定要弄清折迭前后， 图形的哪些位置与数量关系发生了变化，哪 些没有发生变化． ②探索某种位置关系是否具备，通常是先假 定具备这种位置关系，然后结合条件进行推 理，如果产生矛盾，则不具备这种位置关系， 否则具备这种位置关系．
2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与
平面垂直”；“经过一点有且仅有一个平面
与已知直线垂直”；“经过平面外一点有无
数条直线与已知平面平行，这无数条直线在
同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有 一个平面与已知平面平行”；“经过直线外 一点有且仅有一条直线l与已知直线平行，
4．两平面垂直时，从一个平面内一点向另一个平面 有无数个平面与已知直线平行，这无数个平 ．． 作垂线，则垂足必落在交线上． 面的交线为l”弄混错用．
(3)解：∵EF⊥BF，BF⊥FC且EF∩FC＝F， ∴BF⊥平面CDEF， 即BF⊥平面DEF. ∴BF为四面体B—DEF的高．
又∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2. 四边形CDEF为直角梯形，且EF＝1，CD＝2. 1 1 2 ∴S△DEF＝ (1＋2)× 2－ ×2× 2＝ 2 2 2 1 2 1 ∴VB—DEF＝3× 2 × 2＝3.
(文)在空间中，用x、y、z表示不同的直线或 平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立， 则x、y、z分别表示的元素是( ) A．x、y、z都是直线 B．x、y、z 都是平面 C．x、y是平面，z是直线 D．x是直线，y、 z是平面 解析：垂直于同一条直线的两直线不一定平 行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不 一定平行，故B错；一条直线与一个平面都 和同一个平面垂直时，直线可能在平面内， 故C错．由线面垂直的性质知，D正确．
两个平面垂直的判定和性质
VC 面ABC, AC 面ABC, BC 面ABC
两个平面垂直的判定和性质(3)
教学目的 1、使学生掌握两个平面垂直的性质定理及它
们的证明，并会进行灵活的应用。 2、掌握线面垂直、面面垂直之间的相互转化
在解题中的应用。
重点难点分析 重点：两个平面垂直的判定和性质的应用。 难点：两个平面垂直的性质定理及推论的形成 及推理。
复习与回顾 两个平面垂直的判定方法
3、如图， , l, AB a, AB l, BC , DE , BC DE,
求证： AC DE.
归纳小结 1、两个性质：
①性质定理，面面垂直 线面垂直. ②性质定理的推论，面面垂直+线面垂直
直线在平面内。 2、一种方法：由平面外一点作平面的垂线段, 垂 足位置确定的方法，即垂足应在两个互相垂直的 平面的交线上。
当面面垂直时，作辅助线一般在一个平面内作 交线的垂线。
3、一种思想（转化思想）
线线垂直 线面垂直 面面垂直
作业： P36 10（1）、12、13、14
； 优游开户 ；
快の速度退！ 因为他看到了那双明亮の眸子之后,非常清楚,雨后此刻已经完全把他当做了敌人,他也很清楚,雨后和敌人交战の时候,是多么の恐怖. "哧！哧！哧！" 在泥屑纷飞之中,他突然听到无数声微弱不可闻の破空声,如果不是他对雨后の手段很了解,恐怕这破空声都会听不到. 他没有犹豫,竟然立刻闭上了眼睛,手中の长剑瞬间化成漫天の剑影,一边爆退,一边护住全身. "砰,砰,砰！&#
证明线面垂直的三种途径
证明线面垂直问题是高考数学试题中的常见题型之一，主要考查同学们的空间想象能力和数学运算能力.对于简单的证明线面垂直问题，通常可直接运用直线与平面垂直的定义进行证明，对于一些较为复杂的证明线面垂直问题，利用定义法无法证明结论，此时需利用转化思想，把线面垂直问题转化为线线垂直问题、面面垂直问题、空间向量问题来求解.下面重点探讨一下如何证明线面垂直.一、利用线面垂直的判定定理进行证明线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与此平面垂直.运用线面垂直的判定定理，需通过证明线线垂直来推出线面垂直.而证明线线垂直的常用手段有：（1）利用等腰三角形的三线合一性质（或等腰梯形上下底的中点连线与上下底垂直）；（2）利用菱形的对角线互相垂直；（3）利用勾股定理；（4）利用圆的性质：圆的直径所对的圆周角是直角.例1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2.求证：BM⊥平面ACC1A1.证明：∵点M为棱AC的中点，AB=BC，∴BM⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，∵AA1⋂AC=A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1.要证BM⊥平面ACC1A1，需要在平面ACC1A1内找到两条与BM垂直的相交直线，即AC与AA1.再利用线面垂直的判定定理加以证明.在证明BM⊥AC时，需要用到等腰三角形的三线合一性质，而证明AA1⊥BM 时，需用到直棱柱的侧棱与底面垂直的性质.例2.如图1，六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1//BB1//CC1//DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1=CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1()0＜λ≤1，平面BEF 与平面ABCD的交线为l.求证：直线l⊥平面B1BDD1.证明：如图1所示，连接AC、BD，∵AA1=CC1，AA1//CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1(0＜λ≤1)，∴ AE= CF，∴AE=CF，AE//CF，∴四边形AEFC为平行四边形，∴AC//EF，∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC//平面BEF，∵平面BEF⋂平面ABCD=l，AC⊂平面ABCD，∴AC//l，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，∵BD⋂BB1=B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC//l，∴l⊥平面B1BDD1.要证明l⊥平面B1BDD1，需先根据菱形的对角线互相垂直的性质证明AC⊥BD，以及线面垂直的性质证明AC⊥BB1，从而根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面B1BDD1；最后根据平行线的性质证明结论.例3.如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面PAB为等边三角形，AB=BC=4，CD=PD=2，求证：PD⊥平面PAB.证明：如图2所示，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵AB//CD，BC⊥CD，∴四边形BEDC为矩形，在RtΔAED中，DE=BC=4，AE=2，∴AD=AE2+DE2=25，∵ΔPAB为等边三角形，∴PA=PB=AB=4，∵在ΔPAD中，PD=2，∴PA2+PD2=20=AD2，∴PD⊥PA，在RtΔBCD中，BC=4，CD=2，∴BD=BC2+CD2=25，∴在ΔPBD中，PB2+PD2=20=BD2，∴PD⊥PB，而PA⋂PB=P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.我们利用勾股定理、等边三角形的性质、矩形的性质，在平面PAB中找到与PD垂直的两条相交直线PA、PB，证明PD⊥PA、PD⊥PB，便可根据线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PAB.图2解题宝典图1 36二、利用面面垂直的性质定理进行证明面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.在解题时，往往要先根据面面垂直的定义证明两个平面互相垂直；然后确定两个平面的交线，运用面面垂直的性质定理证明线面垂直.例4.如图3，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2，AB=3，E，H分别是棱AD，PB的中点，求证：BC⊥平面PCE.证明：如图3所示，在棱AB上取点F，使得AF=2BF=2，连接CF，BE，∵AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2=AF，∴四边形AFCD是正方形，∴∠BAE=∠CDE=∠CFB=90°，且CF=AD=2，∵E是棱AD的中点，∴AE=DE=1，∵AB=3，∴BC=CF2+BF2=5，CE=CD2+DE2=5，BE=AE2+AB2=10，∴BE2=BC2+CE2，∴BC⊥CE，∵PA=PD，E是棱AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC，∵PE⊂平面PCE，CE⊂平面PCE，PE⋂CE=E，∴BC⊥平面PCE．先结合图形确定平面PAD与平面ABCD的交线，根据等腰三角形三项合一的性质证明PE⊥AD，进而证明PE⊥平面ABCD，便可根据面面垂直的性质定理证明PE⊥BC；然后由勾股定理和正方形的性质可证明BC⊥CE，即可根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PCE.三、利用空间向量法进行证明当几何体中出现（或可以构造）两两互相垂直的三条线时，可以考虑建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，通过空间向量运算，来证明直线的方向向量与平面的法向量平行，即可证明直线与平面垂直.例5.如图4，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.解：存在.理由如下：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为ABCD为正方形，所以CD⊥DA.PA⋂DA=A，PA⊂平面ADP，DA⊂平面ADP，所以CD⊥平面ADP.以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图4所示.则D()0,0,0，A()0,2,0，B()0,2,2，C()0,0,2，P(2,2,0)，则DB=()0,2,2，而E为PA中点，所以E()1,2,0，DE=()1,2,0，设PF=λPC()0≤λ≤1，而PC=()-2,-2,2，则PF=()-2λ,-2λ,2λ，所以F()2-2λ,2-2λ,2λ，得AF=()2-2λ,-2λ,2λ，设平面BDE的法向量为n =()x,y,z，则ìíîn ∙DB=2y+2z=0，n ∙DE=x+2y=0，取y=1，则{x=-2，z=-1，得n =()-2,1,-1，当AF⊥平面BDE时，AF//n ，则2-2λ-2=-2λ，解得λ=13，所以Fæèöø23，23，23，故PF=.首先根据线面垂直的性质定理、正方形的性质及线面垂直的判定定理证明CD⊥平面ADP，即可确定两两互相垂直的三条线，据此建立空间直角坐标系；然后求出所需的各点的坐标、直线的方向向量AF、平面BDE的法向量n ；再根据AF//n ，计算出λ的值，最终求出PF的长度.在证明线面垂直时，通常要用到线面垂直的判定定理来寻找垂直关系，即便是采用空间向量法，也需要根据线面垂直的判定定理证明几何体中存在两两互相垂直的三条线，才能建立空间直角坐标系.同学们在解题受阻时，要学会灵活运用转化思想，将问题进行合理的转化，以拓宽解题的思路.本文系黑龙江省教育科学“十四五”规划教研专项重点课题《信息技术环境下的高中数学直观想象核心素养的培养研究》（课题编号：JYB1422308）研究成果.（作者单位：黑龙江省大庆铁人中学）图3F图4解题宝典37。
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面面垂直推线面垂直定理
面面垂直，一面内有一直线垂直于这两面交线，得到线面垂直。
已知α⊥β，
α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。
求OP⊥β。
过O在β内作OQ⊥l，由二面角知识可知
∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
因为α⊥β所以∠POQ=90°，即OP⊥OQ，因为OP⊥l，l∩OQ=O，l?β，OQ?β，所以OP⊥β。
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
直线与平面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条
直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数
学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论
入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线
也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
该推论意味
着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。
由性质定理2可知，过空间内一点无论是否在已知平面上，有且只有一条直线与平面
垂直。
下面就讨论如何作出这条唯一的直线。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。