第五章 生存年金的精算
计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30 , Var (Y )
例5.3答案
(1) a30 at fT (t )dt
0 70 70
1 dt 1 1 100 x s( x) e 0 100t w x 100 x 100 s( x t ) 100 x t s( x t ) 1 t px x t t px s ( x) 100 x s ( x) 100 x
例5.2答案
1 e 0.06T （3） Pr(aT a x ) Pr( 10) 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06 ln 0.4 0.04e 0.04t dt
0.06
0.54
例5.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
连续生存年金的定义
在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
连续生存年金的种类
连续生存年金精算现值的估计方法
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
70 t dt 13.01 70
30
or A30:30 v t fT (t )dt v 30 30 p30 e 0.05t
0 0 30
1 40 dt e 0.0530 0.35 70 70
a30:30
1 A30:30
1 0.35 13.01 0.05
1 ax Ax
1 zt 1 vt 1 （3）Var (aT ) Var ( ) Var ( ) 2 Var ( zt )
Var (aT )
1
2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
终身连续生存年金精算现值的估计二 ——现时（当期）支付技巧
步骤一：计算存活时间N所支付的当期年金 的现值 N
分类
生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理 论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联 系
an , an , an
都是间隔一段时间支付一次的 系列付款
a x , a x , ax
生存年金与确定性年金的区 别
确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定 （以被保险人生存为条件）
1 n t E x t
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
Ex t
现时值
1 t Ex
x+n 1 S
1
例5.1.1和5.1.2
某人留有遗书，其儿子年满21岁时可获得5万元 遗产。若其子现年12岁，利用书后的所附的生命 表（非养老金业务男表）求其子所得遗产的现值 i=0.06。 利用附录的生命表及年利率i=0.06，计算30岁的 人缴纳5000元在65岁时的精算现值。
0
例5.2答案
（2）Ax e 0.06t 0.04e 0.04t 0.4
0 2
Ax e 0.12t 0.04e 0.04t 0.25
0
Var[aT ]
1
2
[ 2Ax ( Ax ) 2 ]
1 (0.25 0.16) 25 0.062
Var[aT ] 5
ax
1 vt
0
t p x x t dt
0.04 (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 0.06 0
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
ax v t px dt e
eLeabharlann dt e0.1t dt 10
步骤一：计算到死亡发 生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和
Y aT v dt
t 0
0
T
1 vT
ax E (aT ) aT fT (t )dt
步骤二：计算这个年金 现值关于时间积分所得 的年金期望值，即终身 连续生存年金精算现值，
1 v
t t
0
相关公式及意义
(1) n Ex 1v n n px lx n Ex (1 i ) n lx n (2) S l 1 1 n (1 i ) n x v n px lx n n Ex Ex n Ex
t
(3) n Ex t Ex n t Ex t
px x t dt
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
0
vt t px x t dt
0
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
延期连续生存年金
定义: 种类
延付m年终身连续生存年金 延付m年定期连续生存年金 养老金
常用领域
延期连续年金精算现值
险种
延期m年 终身生存年金
m
延期m年 n年定期生存年金
mn
精算现 值估计
ax a x a x:m m Ex ax m 1
ax ax:m n ax:m m Ex ax m:n 1
0 0 70 70
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30
1 0.277 14.458 0.05
例5.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
1 1 e 7 dt 0.1427269 70 70 0.1
(1 Ax： ) n
1 ax： A x： n n
（2）Var (Y ) Var ( 1 zt
)
1
2
2
Var ( zt )
Var (aT )
1
[ 2Ax:n ( Ax:n ) 2 ]
例5.4（例5.3续）
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
v
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支 付的时间积分，得到期望年金现值
ax E (v N ) v t t p x dt
0
例5.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06 的假定下，求
（1） ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过
ax
的概率。
例5.2答案
综合支付技巧
离散生存年金与连续生存年金的关系
离散生存年金的分类
初付终身生存年金
当期支付技巧
k
1 ax k E x v k p x lx k 0 k 0
70 70
30
a30 v t p30 dt e 0.05t
t 30 30
70 t dt 1.45 70
or a 30 30 A30:30 A30
0.35 0.277 1.45 0.05
第三节
离散生存年金
简介
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次 年金的保险。 计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
Var ( Z ) 2A30 ( A30 ) 2 0.1427269 0.2772 0.066 1 Z Var ( Z ) 0.066 Var (Y ) Var 26.4 2 0.052
定期连续生存年金精算现值估计
综合支付技巧
aT Y a n
x
x
a30:30 at fT (t )dt a30 30 p30 or a30:30 v t t p30 dt e 0.05t
0 0 30 30
30
1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 dt 13.01 0 . 05 70 70 0
( Ax:m Ax )
( Ax:m Ax:m n )
例5.5（例5.3,5.4续）
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：30年定期生存年金精算现值及方差
30
a30
例5. 5答案
30
a30 a30 a30:30 14.458 13.01 1.45 or
ax:n , ax:n , ax:n
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生 存年金的方式，特别在：
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
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第五章年金的精算现值
P(ax
aT )
P(1vT
15.38)
P(vT 0.23)1
0.05
P(e0.0T 5 0.23)1P(T2.93)1 2.9310.01e50.01td5 t 0
0.3557
二、n年定期生存年金
ax:n
n 0t
pxvtdt
例 2：已 x 知 1-x,计算 当 100,0.0x5 3, 时 0 ，
解:
ax
0
t
pxvtdt
0
et
t
.e 0xsd
s
dt
0
e0.06t.e0.04tdt
0
e0.1tdt
b
lim b 0
e0.1tdt
lim( 1 e0.1t b 0.1
)|b0
10
例2：设余 T的命 概率密度 f(t函 )0.数 01－0为 5.0e1(5tt 0)利 , 息
－－
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月） 支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类：
1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
Ax:mAx:mn
Y的方差
1、终身生存年金
VaYr
2Ax(Ax 2
)2
2、n年定期生存年金
VarY2(ax :n2 ax:n)(a x:n)2
3、延期n年的终身生存年金
寿险精算_卓志_生存年金
Sx ( Ia) x ，Sx Nx Nx1 Nx2 ... Dx S x S x n nN x n ( Ia) x:n Dx
Sx Sxn ( I n a) x Dx S x 1 ( Ia) x Dx S x 1 S x n1 nN x n1 ( Ia) x:n Dx S x 1 S x n 1 ( I n a) x Dx
ax
( m)
1 (1 v m
1 m
2．延付n年的终身生存年金：
n
1 m
px v
2 m
2 m
px ...)
ax
( m)
n Ex a
(m) x
( m) xn (m) x
3．n年定期生存年金：
a
( m) x:n
a
na
1． a x:n
2． a x 3．
n
0
n
2
2.n年定期生存年金：
2 2
ax:n 1 vpx v
px ... v
n 1
N x N xn n 1 px Dx
3．延付n年的终身生存年金：
4．延付n年的m年定期生存年金：
N xn a n x Dx
N xn N xnm a nm x Dx
本章主要介绍生存年金的基本概 念，基本计算原理和不同条件下 的生存年金的计算方法。
一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精 算现值
n
Ex v
n n
px
二、转换函数
Dx v lx
x
保险精算学生存年金精算现值
2.a x:n
a x:n
1
n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm
m
px
a xm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n m ax a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
1 vpx vt t px1 1 vpxax1 t 1
可以一直递推下去，而求出ax。
等价表达式：
ax 1 vax1 vqxax1 直观的解释：对(x)的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁上规定 的1单位元给付加上x 1岁上的趸缴净保费在x岁上的值,再减去在 x x 1岁因死亡不能得到将来的ax1的部分. 对年龄x k,上式可以写成 :
6.2 生存年金精算现值
• 纯粹的生存保险 • 年付一次生存年金的精算现值 • 生存年金与寿险的关系 • 年付m次生存年金的精算现值 • 变额生存年金 • 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
N xn1
m 1 2m
Dxn
Dx
a(m)
nx
n
ax
m 1 2m
n
Ex
Nxn
m 1 2m
Dx
n
Dx
P123 eg6.10，6.11
6.2.5 变额生存年金
Ia x
k
k 0
1 vk
第五章生存年金
作业：
1.试分别计算一现年60岁者购买期末及期初付金额 1000元的终身生存年金的精算现值（i=6%） 2.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付 的终身生存年金，试求其每年所得的年金额（i=6% 3.年龄为55岁者，购买下列生存年金，每年给付年 金额 为3500元，试分别求其应缴的趸缴纯保费: (1) 期初付和期末付15年定期生存年金；（2）期初付和 期末付终身生存年金；（3）在60岁时开始支付的终 身生存年金；（4）在60岁时开始支付的15年定期 生存年金（i=6%）
这一公式表明，现在 x岁的 人每人存入入 到n年末在复利率i的作用下生成的金额 正好满足到n年末仍存活的 人每人1元给付。 因此为保证n年末存活者得到每人1元保险金， 在投保时必须一次性缴付 元。这正是前面
把 称为趸缴净保费的原因。 人缴付 后， 在n年内必然有一部分人在死亡率作用下死去， 从而不可能在n年末领到保险金，他们当初购买 保险的支出被尚存者分享。保险中把这种尚存者 分享期内死亡者利益的情况称为生存者利益或简 称为“生者利”。与 是利率下的折现因子、 是利率下的累积因子类似， 可以看作是在利 率和生者利下的折现因子， 可以看作是利率 和生者利下的累积因子。
§5.3 每年支付m次的生存年金
一、期末付年金
1 2 1、终身生存年金： 1 ax ( m) (v m 1 px v m 2 px ...) m m m
2、延付n年的终身生存年金：
n
ax
( m)
n Ex a
( m) xn
3、n年定期生存年金：
( m) ( m) ( m) ax a a x n x :n
假设某人x岁时开始投保，为方便通常记为(x)，在 经过 n年后如果仍存活将得到金额为k的生存保险 金，(x)存活n年的概率为 。也就是说(x)在n年 末能够得到k金额的概率为 ，这样n年末得到给 付金的期望值为 ·。这一值在投保时的现值便 为 。我们把这一现值称为 k金额的n年纯 粹生存保险现值。
寿险精算学课件-生存年金
50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一：综合支付技巧
❖ 方法二：当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身 生存年金
期初支付定期 生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子，它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n
ax：n E(Y )
na
0T
t px
保险精算-第5章2(2)年金的精算现值
2021/2/4
1
2
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
现时支 付法
1.终身生存年金 2. 定期生存年金
2021/2/4
1
3
3.延期n年的终身生存年金 4.延期m年的n年定期生存年金
2021/2/4
4
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
1.设K为x岁的人未来取整余命，Y为给付年金现值随
当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
为 A。 x
2021/2/4
1
6
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
运用Y 1Z来计算， d
或
2021/2/4
1
7
对于延期年金
同理可证：
2021/2/4
1
8
例4.4
已知 i 0.05
x
90 91 92 93
lx
100 72
a E a 10| 40 10 40 50
a
1 A
50
50
d
AA1 EA
40
4： 010 | 10 40 50
M538(4元 0)
2021/2/4
1
17
谢谢观赏！
2020/11/5
18
年金的精算现值；两者唯一的差别是在死亡当年，
对 va 来说 v元 ， 已支付 a来 ， 1 说 元 而 ， 尚 对未支
x
x
所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，
即 A 。 2021/2/4x
12
与寿险的换算公式注意
,
a x
1
A x
保险精算课程四(生存保险现值)
第五章 精算现值的计算
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
保险精算 第5章1 生存年金
签单时保险金给付现值随机变量为
T v , T n Z bT vT n v , T n 表示n年期两全保险的精算现值。
T 0, T n v , T n Z Z1 Z 2 其中Z1 , Z2 n v , T n 0, T n
Ax:n A A
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
3.延期生存年金
险种
延期n年 终身生存年金 延期m年 n年定期生存年金
1 10 dt
例1答案
（ 2）
T 1 1 1 v T 2 Var v 2 Var[aT ] Var
A (A )
2 2 x x
Ax v t fT (t )dt
0
fT (t )t px xt
回忆
5.2.1 连续给付型生存年金的精算现值
1、 终身生存年金 设（x）购买了终身生存年金，即按连续方式每年给 付年金1元。 该年金在x岁时的精算现值用符号 ax 表示。 ＊总额支付法：未来所有年金给付现值用Y表示，
Y aT|
at | f T (t )dt
0
at | dFT (t )
0
at | d ( t px )
0
at | t px 0
t
0
px d (at | )
t
0
px d (at | )
在总额支付法 ax
保险精算学年金的精算现值
离散生存年金的分类
期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
终身生存年金
ax v k k px
k 0
定期生存年金
ax:n v k k px n Ex
k 0 k 0 k n| ax v k px ax ax:n n Ex ax n k n
定期生存年金 延期n年的终身生存年金
延期m年的n年定期生存年金
5.3.4 离散型生存年金的精算累积值
对于期初付n年定期生存年金，有
5.4 每年付数次的生存年金
1、终身生存年金 k 1 m m 基本公式： ax v k px
k 0
m
m
类似于上一节的公式，有
UDD假定下的公式
寿险费率一般是指每千元保额的保费。
毛保费构成公式
解释
G(b)(1 f ) ab c
G(b)：保险金额为b元的毛保费 a：保险成本中与保险金额相关的部分，其中纯保 费是它的主要部分 c：每份保单分摊的费用，即单位保单费用。 f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。
5.1.2 生存年金精算现值的概念
又称为生存年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值， 再将所有的现值相加或积分。 总额支付法是先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付 额的现值，再求现值的数学期望 两种方法是等价的
近似公式（实际操作公式）
2、定期生存年金
UDD假设下的公式
近似公式（实际操作公式）
保险精算第五章
1． 设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t f t e-=⋅(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。
试计算精算现值 x a 。
2．设 10x a =, 27.375x a =, ()50T Var a =。
试求：（1）δ；（2）x Ā 。
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。
而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。
试求此人每次所获得的年金额。
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设和利率6%下，计算其精算现值。
6． 在UDD 假设下，试证：(1) ()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- 。
(2) ()()::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- 。
（3）()()::1(1)m m n x x n x n a a E m=-- 。
7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
8． 试证：(1)()()m x x m a a i δ= (2)():():m x n m x n a a i δ= 。
(3) ()lim m x x m a a →∞= 。
(4) 12x x a a ≈- 。
9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。
到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。
试求数额R 。
10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 10x a =， 26x a =，124i = ，求Y 的方差。