上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品
沪教版高中二年级数学第一学期二阶行列式
的
条件。
(B)构造一个二元一次方程组，使它的解的情况分别是
“有唯一解”、“无解”、“有无穷多解”．
选做题：用行列式解方程组
5 x
7 y
3
7
x
9 y
4
9
4
(3) D 2
5
8
5 0, Dx 4
2
5
4
5 0, 2
Dy 2
8 0
4
∴方程组有无穷多解。
2.
解关于x、y的二元一次方程组
mx
y
1
3mx my 2m 3
并对解的情况进行讨论。
解：D m 1 m2 3m m(m 3)
3m m
当D=0，而Dx=0且Dy=0时，方程组有无数多组解。
问题三：解关于x,y的二元一次方程组
mx
x
4 my
ym m
2
，
并对解的情况进行讨论。
解：D= m 4 m2 4
1m
Dx=
m m
2
4 m2 2m
m
m Dy= 1
m2 m
m2 m 2
(1)当D0即m2时，方程组有唯一解
1 1
Dx 2m 3
m 2m 3 (m 3) m
m Dy 3m
1 2m2 3m 3m 2m(m 2m 3
当m0且m-3时，方程组有唯一解
3)
x
Hale Waihona Puke yDx D Dy D
高二数学沪教版9.3.2_二阶行列式 (共11张PPT)
当 D Dx Dy 0 时，方程组有无穷多解
例1.利用行列式判断下列方程组解的情形：
2 3 2 x 3 y 7 D 0 有唯一解 (1) 5 2 5 x 2 y 1 3 2 4 x 2 y 3 D 0, Dx 0 无解 (2) 5 9 18 x 9 y 5
则
Dy Dx ,y 当 D 0 时，解为 x D D
一、二元线性方程组解的其它情形
a1 x b1 y c1 当 a1b2 a2b1 0 时, 没有唯一解 a2 x b2 y c2 a1 b1 c1 b1 a1 c1 若记 D , Dx , Dy a2 b2 c2 b2 a2 c2
8 6 4 x 6 y 8 D 0 , Dx 0 (3) 4 3 2 x 3 y 4 4 8 Dy 0 无穷多解 2 4
mx 2 y m 4 例2.解关于 x, y 的方程 2 x my m
解： D (m 2)(m 2) , Dx m(m 2) , Dy (m 4)(m 2) ①当 m 2 即 D 0 时，方程组有唯一解：
x1 二阶行列式 y1
y
x2 表示平面上 OA, OB 所张成的 y2
推论2： O, A, B 构成 AOB
平行四边形的有向面积. (证明利用第八章知识，这里略)
B( x2 , y2 )
SOAB
A( x1 , y1 )
O
1 x1 2 y1
x2 y2
x
课外阅读材料——二阶行列式几何意义证明
证： SOACB | OA || OB | sin
(选讲)二、二阶行列式的几何意义
第一章 行列式答案详解
第一章行列式习题1.1二阶和三阶行列式1．计算下列二阶行列式．()12112-=4(1)5--=()222111x x x x -++22(1)(1)x x x x =-++-321x x =--【分析】考查二阶行列式的计算公式2．计算下列三阶行列式．()1251312204--1301113113123024204===()2a bcb c a c a b 11()1()011b c b ca b c c a a b c c b a ca b a b b c=++=++----333()3c b a c a b c abc a b c a b b c --=++=-----【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式3．当x 取何值时，3140010x x x¹．【解析】31210214040(24)0241010x x x x x x xxxx x且===-【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式习题1.2排列1．求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性．()14132；()41324t =，为偶排列()2542316；()5423169t =，为奇排列()3()()246213521n n -L L ．()()()(1)2462135212n n n n t +-=L L ，4142443n k k n k k =++⎧⎨=+⎩或时，为奇排列或时，为偶排列【分析】考查逆序数的计算及奇偶排列的概念*2．设排列12n i i i L 的逆序数为k ，求排列121n n i i i i -L 的逆序数．【解析】考虑第m 个数(m=1,2,...,n-1)，它与后面n-m 个数的每一个数都有一个“序”，这个序要么是“顺序”，要么是“逆序”。
这样全部的“序”共有：（n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1)/2个。
12n i i i L 逆序数是k ，那么排列121n n i i i i -L 的逆序是n(n-1)/2-k 【分析】考查逆序概念习题1.3n 阶行列式1．写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项．【解析】1123344211233244;a a a a a a a a +-【分析】行列式的定义2．在5阶行列式中，下列各项应取什么符号？()11523314254a a a a a ；()152********,+a a a a a 取“”t =()22132441355a a a a a ；()21324413552,+a a a a a 取“”t =()34153122435a a a a a ．()41531224355,a a a a a 取“-”t =【分析】行列式的定义3．设一个n 阶行列式中等于零的元素的个数大于2n n -，试证明该行列式为零．【解析】N 阶行列式共有2n 个元素，等于零的元素的个数大于2n n -，则非零元素个数小于n 个，即一定出现一个0行，则行列式值为0.【分析】行列式的定义4．用行列式的定义计算下列行列式．()1010000200001000n n -L LM M M LML L (23(1)1)112231,11(1)(1)!n n n n n a a a a n τ----=-=- ()2()()1111121211000n n n n a a a a a a --L L MLM M L(1)((1)21)212(1)112(1)1(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=- 【分析】行列式的定义和主次对角线行列式的结论5．设()11121314212223243132333441424344x a a a a a x a a a f x a a x a a a a a x a --=--，求()f x 中3x 的系数．【解析】根据行列式的定义，3x 系数只能来自于一项11223344()()()()x a x a x a x a ----，即11223344()a a a a -+++【分析】行列式的定义习题1.4n 阶行列式的性质1．用行列式的性质计算下列行列式．()1a x x x x b x xx x c x+++000000a x x x x x x b x xb x x x b x x a x b xc xx c x x x c x x c +=+++=++++2()()()a b x c x x bcx abc ab ac bc x=++-+=+++【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+展开定理+三角化方法()22464273271014543443342721621-1321122331299001003279001003270100327190010044310000116100001169001006210029400294c c r r c c c c r r +----===121000011601003272940000000294r r «=-=-【分析】行列式性质+行列式性质+三角化方法()3ab ac aebd cd debf cf ef---1111111111110020204111020002abcdef abcdef abcdef abcdef---=-==-=-【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+行列式性质+三角化方法2．将下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值．()1111111111111022281111002211110002-==-----【分析】三角化方法的计算()222401120112011204135413505550111221031233123048304832051205102110211----------=-=-=---------112011201120111011101111010102500047001800180031003100025---------=-=-=-=----------【分析】三角化方法的计算3．计算下列行列式．()111100[(1)][(1)]100x a a aa a a a x a x a x a x n a x n a a a x ax x a-=+-=+--L LL L L L M M L M M M L M M M L M L LL 1[(1)]()n x n a x a -=+--10111011120201600022002200220004----=-=-=-----()33312()02()2()0x y x y y x yx yy x y x x y x y x y x y x y xx yxy x yx++-+=+-=+=-+--+--【分析】各行或各列元素之和相等的行列式的计算4．计算下列行列式()112311110010010na a a a L L LM M M LM L ，其中0,2,3,,.i a i n ¹=L 122123211111000110000nn n n a a a a a a a a a a a ---ç==---ççL L L L L LM M M LML 【分析】箭型行列式计算()212111111111111na a a +++L LM M M LML ，其中0,1,2,,.i a i n ¹=L 111121211212211111111100000100000n n n nna aa a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-ç===++++çç-L LL L L L L M M M LMM M M L M L L 【分析】利用性质变换为箭型行列式计算5．证明()33by az bz ax bx ayx y z bx ayby az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++．【证明】左边by az bz ax bx ayby bz ax bx ay azbz ax bx aybx ayby az bz ax bx by az bz ax ay by az bz axbz ax bx ay by az bz bx ay by az ax bx ay by az+++++++=+++=++++++++++++y bz ax bx ay zbz ax bx ayb x by az bz ax a y by az bz axzbx ay by azx bx ay by az ++++=+++++++++22y bz ax bx zax bx ay y bz ax x z x bx ay b x by az bz a yazbz ax b x by azz a yz bz ax zbx ay by x ay by az z bx ay y xy by az++++=+++=+++++++()223333y bz x z x ay y z x z x y x y z b x byz a y z ax b xy z a yz x a b zx y z bx y x y az z xyxyzy zx=+=+=+【分析】拆项性质+行列式性质6．证明121211221100001000000001n n n n nn n x x x a x a x a x a xa a a a a -------=++++-L L L L M M M L M M LL ．【证明】11c n n nD xD a 展开-=+()22121n n n n n n x xD a a x D a x a ----=++=++()3232123232312312121n n n n n n n n n n n n n nx D a x a x a x D a x a x a x a a x a a x a x a x a ----------=+++==+++=++++=++++L L L L 【分析】展开定理+递推发习题1.5行列式的展开1．求行列式30453221--中元素2和2-的代数余子式．【解析】2的代数余子式：313104(1)003A +=-=；2-的代数余子式：323234(1)2953A +-=-=【分析】余子式、代数余子式的概念2．用降阶法计算下列行列式【分析】拉普拉斯展开定理()211122200000000000000=0000000111111231n n na a a a a a a a a nn ------+L L LL MM M L M M MM M L M M L L LL12(1)(1)n nn a a a =+- 【分析】行列式性质+展开定理3．计算下面行列式222244441111a b c d a b c d a b c d ．【解析】4D 中各列元素均缺少3次方幂的元素，在4D 中添加3次方幂的一行元素，则产生5阶范德蒙行列式，再适当添加一列得：22222333334444411111()ab c d x f x a b c d x a b c d x a b c d x =按最后一列展开，得2341525354555()f x A xA x A x A x A =++++，因为()()()()0f a f b f c f d ====，所以,,,a b c d 为()f x 的四个根，则()()()()()f x k x a x b x c x d =----由根与系数关系有4555Aa b c d A +++=-，而4545(1)A D D +=-=-，55()()()()()()A b a c a d a c b d b d c =------，则()()()()()()()D a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.【分析】克莱姆法则+展开定理4．已知四阶行列式D 中第1行的元素分别为1,2,0,4-，第3行的元素的余子式依次为6,,19,2x ，试求x 的值．【解析】313233346,,19,2A A x A A ==-==-，由展开定理得：162()019(4)(2)0x ⨯+⨯-+⨯+-⨯-=，解得7x =【分析】代数余子式、余子式+展开定理求11121314及11213141．【解析】1112131411111111016110500164241313042463524130635A A A A -----+++===----------1201048428(1)(1)46136313+--=-=--=---11213141112131411521110513131413M M M M A A A A ---+++=-+-=----152142412000424812812081291210912-----==-=-=------【分析】代数余子式、余子式+展开定理的逆运用习题1.6克莱姆法则1．用克莱姆法则求解下列方程组的解12341234123412342326223832242328x x x x x x x x x x x x x x x x ì++-=ïïïï---=ïíï+-+=ïïï-++=-ïî．【解析】1234324,324,648,324,648D D D D D ====-=-，则12341,2,1,2x x x x ===-=-【分析】克莱姆法则2．设1a ，2a ，3a 互不相同，证明方程组123112233222112233000x x x a x a x a x a x a x a x ì++=ïïï++=íïï++=ïïî只有零解．【解析】系数行列式时范德蒙行列式，因为1a ，2a ，3a 互不相同，则系数行列式非零；再由克莱姆法则可知，该齐次方程组只有零解.【分析】克莱姆法则3．当l 为何值时，齐次线性方程组123122334000x x x x x x x l l ì++=ïïï-+=íïï+=ïïî()1只有零解；()2有非零解．当11λλ≠≠-且时，只有零解；当=1=1λλ-或时，有非零解【分析】克莱姆法则自测题1．填空题(每小题10分，共20分)()1行列式103100204199200395301300600=___2000____．()2已知11111111111111D x---=---，则D 中x 的系数是___4-____．2．计算下列行列式：(每小题15分，共30分)()11(1)(1)(2)220000(1)(1)000000n n n n c nn n D αβαββααββα---==-+-展开()212312323411341(1)3452145221211121n n n n n D n n n +==--(1)(1)1231111101111111101111(1)(1)2211110111111111111n n n n n n nnn n n n n n n n-⨯------++==----(1)(2)1122(1)(1)100100(1)(1)(1)(1)(1)221001000n n n n n n n nn n n n n n n ------⨯-++=⋅-=⋅-⋅-⋅(1)12(1)(1)2n n n n n n --+=-⋅⋅(本题15分)已知2231122D yx=，且1112133M M M +-=，1112131A A A ++=，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，(1)i j ij ij A M +=-，试求D 的值．【解析】1112133235M M M x y +-=⇒-=111213114A A A y x ++=⇒=⇒=则行列式的值为14．(本题15分)解线性方程组231234231234231234231234x ax a x a x e x bx b x b x ex cx c x c x e x dx d x d x e⎧+++=⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其中,,,a b c d 互异．【解析】系数行列式非零，由克莱姆法则可知1234,0,0,0x e x x x ====5．(本题20分)证明：11000100,010001n n a b ab a b ab a b a b a b a ba b++++-=¹+-+L L L M M M L M M L ．【解析】上课做为例题已讲过。
上海高二数学矩阵及其运算(有详细答案)精品
上海版高二上数学矩阵及其运算一．初识矩阵 （一）引入：引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫⎪⎝⎭； 引例2：2008我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；引例3：将方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
（二）矩阵的概念1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。
有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。
4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。
沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4(1)三阶行列式
沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4（1）三阶行列式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．用对角线法则计算行列式：00xy zyxzx--． 2．把41032241D -=--按第一行展开． 3．解方程：111130002x x --=.4．计算：cos cos 0cos 0cos 0cos cos αβγβγα---． 5．计算下列行列式的值：（1）102941320-；（2）102101320-；（3）102840320． 根据计算结果，并观察行列式，你可以得到怎样更一般的结论？二、双空题6．行列式302647219--中，7的余子式为_______，代数余子式为__________．三、填空题7．把51024132---按第二列展开为____________________． 8．用对角线法则计算行列式：10231245-=-____________．9．把22111133332232x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为____________． 10．已知(1,1),(1,2),(2,4)A B C -，则ABC 的面积为___________．参考答案1．322x xz xy ++ 【分析】直接利用三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()322200()0()00x y zy x x y z z y xz xy x zx-=+⋅⋅-+⋅⋅------⋅-322x xz xy =++． 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 2．3202034(1)0412124⎛⎫⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭【分析】直接根据行列式运算法则计算得到答案. 【详解】4103202030324(1)0412124241-⎛⎫=⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭--． 【点睛】本题考查了行列式的展开式，属于简单题. 3．1x =或4x = 【分析】根据三阶行列式的计算方法，先得到21111305402x x x x--=-+-，再解一元二次方程，即可得出结果. 【详解】因为111301013130022002x x x x x x ------=-+22(3)2(3)54x x x x x =-+--=-+-，所以方程111130002x x--=可化为2540x x -+-=，即2540x x -+=， 解得：1x =或4x =. 【点睛】本题主要考查解三阶行列式对应的方程，熟记三阶行列式的计算方法即可，属于基础题型. 4．0 【分析】直接根据三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()()cos cos 0cos 0cos cos 0cos cos 0cos cos 0cos 0cos cos αβγβααγγββγα-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅--- ()()()0cos cos cos cos cos cos 0βγααγβ--⋅⋅--⋅-⋅-=.【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 5．（1）14 （2）6 （3）8；结论见详解； 【分析】根据三阶行列式的计算方法，分别计算这三个行列式，再根据计算结果进行合情推理，即可得出结论. 【详解】（1）()102419194941102202181214203032320---=⨯-⨯+⨯=-+-=； （2）1020111101011022022620303232---=⨯-⨯+⨯=-+⨯=；（3）()10240808484010200216128203032320=⨯-⨯+⨯=-+⨯-=；由计算结果可得：102102102102941101018403203203201803204+++-=-+=-； 由此可得一般结论如下：设行列式的某一行（或列）的元素都可以写成两项的和那么这个行列式等于把这些两项和各取一项作为相应的行（或列），其余行（或列）不变的两个行列式的和，即111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+.【点睛】本题主要考查计算三阶行列式，以及数与式的合情推理，属于常考题型. 6．3021- 3021--【分析】根据余子式与代数余子式的概念，直接可得出结果. 【详解】由题意，7的余子式为3021-，因为7处在第2行第3列，所以其代数余子式为：()23303012121+-=---.故答案为：3021-；3021--.【点睛】本题主要考查求行列式的余子式与代数余子式，熟记概念即可，属于基础题型.7．510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--【分析】根据行列式的计算方法，直接展开，即可得出结果. 【详解】把51024132---按第二列展开为： 510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.故答案为：510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.【点睛】本题主要考查三阶行列式的展开，熟记行列式的计算方法即可，属于基础题型. 8．23 【分析】利用行列式的对角线法则直接求解. 【详解】()()()()10203113501220423241150023245-=⨯-⨯-+⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯=-故答案为：23 【点睛】本题主要考查三阶行列式展开式的求法以及行列式的对角线法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．112233312x y x y x y --【分析】直接利用三阶行列式的运算法则计算得到答案. 【详解】11221111223333223333212x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-=--.故答案为：112233312x y x y x y --. 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 10．72【分析】直接利用行列式计算面积公式计算得到答案. 【详解】111117121242414222241ABCS =-=-+-+-=△. 故答案为：72. 【点睛】本题考查了根据行列式计算三角形面积，属于简单题.。
上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品
2013年暑期高二数学行列式初步§ 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组()()11122212a x b y c a x b y c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 用加减消元法来解，()()()211221122112b b a b a b x c b c b ⨯-⨯⇒-=-; ()()()121221122121a a a b a b y a c a c ⨯-⨯⇒-=-当12210a b a b -≠时，有12211221221122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩.二. 定义二阶行列式及展开用记号1122a b a b 来表示算式122a b a b -,即1112222a b a b a b a b =-.说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式思考与运用 1. 解方程:3621x x =-.解:()231661204321x x x x x x orx x =⋅--=⇒--=⇒==-.2. 求函数()2212sin 22cos12xf x x =的值域.解: ()[]2222212sin 212sin cos 1sin cos 0,1222cos 12xx x f x x x x ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭. 3．行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：6三. 利用二阶行列式解二元一次方程组将1221c b c b -和1221a c a c -分别用行列式来表示,可以表示为1122c b c b 和1122a c a c ,即11220a b D a b =≠,1122x c b D c b =,1122y a c D a c =,于是上述二元一次方程组的解可以表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0D ≠).§ 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式一．练习与复习 (一)展开下列行列式: 1. 21111a a a --++()()()231111a a a a =-++-⨯-=;2.22cos sin cos sin 1sin cos θθθθθθ=--=--;5=;4.sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2ααααααααα=-=-.(二)解下列方程组1. 12103214515x x y x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩;2. 791313313312177135132x x y x y y x y⎧⎧⎧+===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩;3. 231232x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无解; 4. 231462x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无穷多解.二. 作为判别式的二阶行列式通过加减消元法将二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化为xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,(1) 当0D ≠时,方程组有唯一解(2) 当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解; 若0x y D D ==,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习(2) 1; P10 习题 3 思考与运用例 解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.解: ()133m D m m m m==-+-,()11323x D m m m-==-++-,11323y D m m m -==+-+,当0D ≠,即0m ≠且3m ≠-时有唯一解11,x y m m==-; 当0m =时,0D =,而30x D =-≠,方程组无解;当3m =-时,0D =,且0x y D D ==,方程组有无穷多解. □三. 拓展与提高例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为()0,0,()11,x y ,()22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.()()1121212211111222S x y x x y y x y x y =++--- 11222112112211111111222222x y x y x y x y x y x y x y =+-+--- ()111221221122x y x y x y x y =-=. □例2 （1）计算行列式2346、792127、34-912-的值；（2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) 0a bka kb=,证明:0a bkab kab ka kb=-=.同理0a ka b kb= □§ 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)一. 三阶行列式的概念用记号111222333a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开例 计算三阶行列式124221342D -=---.解: ()()()()122213424D =⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯-⨯a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22a 31()()()()11422242314-⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯-=-. 感受与体验 P12 练习(1)(二)按一行(或一列)展开1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如1133a c a c 和1133a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为()1i j+-例如()2211331a c a c +-和()2311331a b a b +-分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:+-+-+-+-+3. 按一行(或一列)展开111222111111333a b c a b c a A b B c C a b c =++112233a A a A a A =++=例 按第一行和第一列展开行列式124221342D -=---.解: 按第一行展开:124212122221124423234342D -⎛-⎫-=-=⋅+⋅-- ⎪----⎝⎭--14=-; 按第一列展开: 12421242422112314424221342D -⎛-⎫-=-=⋅-⋅--=- ⎪--⎝⎭--. 感受与体验 P15 练习(2) 1; 2§ 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 1 (用适当的方法) 二.例题与练习例1 若行列式0021040938k=,求k 的值.解: 002108405938kk k ==⇒=.□例2 已知行列式11110211λλ-=-,求λ的值. 解: 2111134041211or λλλλλλ-=--=⇒==--. □ 例3 已知()2112150f x x x=,若()0f x >,求x 的取值范围.解:()22211212121522527505550f x x xx x x x x xx x==-+=-+-=-+>()5,1,2x ⎛⎫⇒∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. □ 例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1)023*******22132313113312-----=-; (2)112211112233332233111x y x y x y xy x y x y x y x y x y -+=. (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即222222212121222333333b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b ++=-+2112222222223332222223330a b c b c a c ab a bc a b c b c a c a b a b c ==-+=. □ 例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示ABC 的面积公式;(2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式, ABC 的面积公式有何变化 解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,()()()123321122S EB FC EF x x y y =+⋅=+-,同理有 ()()2121212S x x y y =+-,()()3313112S x x y y =+-,则 ()()()12323321331122112S S S S x y x y x y x y x y x y =--=---+-⎡⎤⎣⎦ 1122111122333322331111221x y xy x y xy x y x y x y x y x y ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭(2)11223311121x y S x y x y =-. [说明] 本例可得两个结论:(1) 定点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 的ABC 的面积为11223311121x y S x y x y =; (2) 平面上三点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 共线的充要条件为1122331101x y x y x y =. 三.布置作业§ 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法对于二元一次方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩当0D ≠时,方程组有唯一解;当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0x y D D ==,则方程组有无穷多解.二. 三元一次方程组的行列式解法对于三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,记其系数行列式为111222333a b c D a b c a b c =, 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得11111111a A x b A y c A z d A ++=, 22222222a A x b A y c A z d A ++=, 33333333a A x b A y c A z d A ++=,将上述三个等式相加,得()()()112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ++++++++=++，其中记111112233222333x d b c D d A d A d A d b c d b c =++=，则x D x D ⋅=,同理可得 y D y D ⋅=，z D z D ⋅=，于是方程组x y z D x D D y D D z D ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩当0D ≠时有惟一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.例 解三元一次方程组:632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.解: 1113129522D =-=,61171291522x D =-=,161372185152y D ==,116317275215z D =-=,1,2,3x y z ∴===. □感受与体验 P19练习(3) 用行列式解下列方程组三. 当系数行列式0D =的情况当0D =时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.例 求关于,,x y z 的方程组13x y mz x mu z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.解: ()()11111101111mD m m m m ==-+-≠⇒≠±-, 又()()111411311x mD mmm m ==-+--,()()31y D m m =---,()41z D m =-,所以当1m ≠±时,方程组的解为43141x m y m z m ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩. □注意与二元一次方程组解的情况相区别。
上海高二数学行列和数列1
矩阵和数列一、行列式概念及运算 1.用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -,即2211b a b a =1221b a b a -,2.二元一次方程组的解 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记2211b a b a 叫做方程组的系数行列式;记=x D 2211b c b c ,2211c a c a D y =即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y的系数后得到的.(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,DD y D D x y x==, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解; (3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。
三阶行列式及对角线法则用333222111c b a c b a c b a 表示算式;其结果是231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++.我们把333222111c b a c b a c b a 叫做三阶行列式; 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值;i i i c b a ,,(3,2,1=i )都叫做三阶行列式的元素. 4． 三阶行列式按一行(或一列)展开把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i 行与第j 列的代数余子式的符号为j i +-)1(.三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开.5.三元一次方程组的解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a );)3,2,1(,,((不全为零其中=i c b a i i i记333222111c b a c b a c b a D =为方程组的系数行列式;记333222111c b d c b d c b d D x =,333222111c d a c d a c d a D y =333222111d b a d b a d b a D z =,即用常数项分别替换行列式D 中z y x 或或的系数后得到的.(1) 当0≠D 时,方程组有惟一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===DD z D D y D D x z y x(2) 当0=D 时,方程组有无穷多组解或无解.一、填空题1.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 .2.行列式（）的所有可能值中，最大的是 .3.将方程组203253x y z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩写成系数矩阵形式为 .4.若由命题A :“22031xx>-”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值范围是 ．5.若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为2,1==y x ，则方程组a b c d,,,{1,1,2}a b c d ∈-⎩⎨⎧=++=++03520352222111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程212410139xx ≤-的解集为 . 7.把22111133332224x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ∆的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 .9.在函数()21112xf x xx x x-=--中3x 的系数是 . 11.矩阵的一种运算该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 .12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= 二.选择题13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A.bda c db ca -= B.ab cd db c a =C.d c d b c a 33++ dc ba =,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy cx by ax y x d c b a ),(y x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11b aD.dc ba db ca -----=15.若,,a b c 表示ABC ∆的三边长，且满足0222=++++++cb ac cc b a b bc b a a a ， 则ABC ∆是（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 三、解答题：17. 已知P ：矩阵||51||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不小于2，Q ：行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不小于2.若P 是Q 成立的充分条件．．．．，求实数m 的取值范围.19.已知函数1sin ()0sin sin 200xxf x xx m =的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为4.试求函数()sin 2cos g x m x x =+（x R ∈）的最小正周期和最值．数列经典例题：假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元。
行列式习题及答案
行列式习题及答案【篇一：上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)】lass=txt>姓名成绩一、填空题cos1.行列式?3sincos?6sinac?3bd?6的值是 .2.行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .?5x?y?3?4.若由命题a:“2x31-x20”能推出命题b:“x?a”，则a的取值范围是．?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ?2bx?5ay?3c?022?26.方程2x4x2?0的解集为.?39?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y27.把x2 y2x3 y3表示成一个三阶行列式为. 8.若?abc的三个顶点坐标为a(1,?2),b(?2,3),c(?4,?5)，其面积为 .2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 x110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于111.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab??????????,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)????????cd??y??cx?dy??cd??1a???的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则m?n二.选择题13.系数行列式d?0是三元一次方程组无解的（） a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. a.abccacbdd??caddbb.abcd?dcbac.a?3cb?3d?acbdd.???a?c?b?d15.若a,b,c表示?abc的三边长，aa2且满足ba?b?ca?b?c?0， a?b?cb2c2c则?abc是（）.a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果s?（） a．20 b. 35 c. 40 d .45 2图2三、解答题：1?|x|?5?1??mx?217. 已知p：矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于，行列式q：2?01?余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q，（1）求二阶行列式?10?24?3中元素?1的代数1a1a2a3a4的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinxsinx0xsinx0的定义域为?0,2m???，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??（x?r）的最小正周期和最值．320. 将等差数列an?2n?1(n?n)中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?,将最后剩下元素记为xn,记sn?x1?x2??xn，求lim*n??sn的值。
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2013年暑期高二数学行列式初步§ 二阶行列式(1)——二阶行列式 一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组()()11122212a x b y c a x b y c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 用加减消元法来解，()()()211221122112b b a b a b x c b c b ⨯-⨯⇒-=-;;()()()121221122121a a a b a b y a c a c ⨯-⨯⇒-=-当12210a b a b -≠时，有12211221221122c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩.二. 定义二阶行列式及展开用记号1122a b a b 来表示算式122a b a b -,即1112222a b a b a b a b =-.说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式|思考与运用 1. 解方程:3621x x =-.解:()231661204321x x x x x x orx x =⋅--=⇒--=⇒==-.2. 求函数()2212sin 22cos12xf x x =的值域.解: ()[]2222212sin 212sin cos 1sin cos 0,1222cos 12xx x f x x x x ⎛⎫==-=-=∈ ⎪⎝⎭. 3．行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：6~三. 利用二阶行列式解二元一次方程组将1221c b c b -和1221a c a c -分别用行列式来表示,可以表示为1122c b c b 和1122a c a c ,即11220a b D a b =≠,1122x c b D c b =,1122y a c D a c =,于是上述二元一次方程组的解可以表示为xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0D ≠).§ 二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式一．练习与复习~(一)展开下列行列式: 1. 21111a a a --++()()()231111a a a a =-++-⨯-=;2.22cos sin cos sin 1sin cos θθθθθθ=--=--;3.5=;4.sin cos sin cos 2cos sin 2sin sin 2cos 2ααααααααα=-=-.(二)解下列方程组1. 12103214515x x y x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩; 2.791313313312177135132x x y x y y x y⎧⎧⎧+===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩;3. 231232x y x y +=⎧⎨+=⎩ 无解; 4.231462x y x y +=⎧⎨+=⎩无穷多解. )二. 作为判别式的二阶行列式通过加减消元法将二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化为xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩,(1) 当0D ≠时,方程组有唯一解(2) 当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解; 若0x y D D ==,则方程组有无穷多解. 感受与体验 P10 练习(2) 1; P10 习题 3 思考与运用例 解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩.【解: ()133m D m m m m==-+-,()11323x D m m m-==-++-,11323y D m m m -==+-+,当0D ≠,即0m ≠且3m ≠-时有唯一解11,x y m m==-; 当0m =时,0D =,而30x D =-≠,方程组无解;当3m =-时,0D =,且0x y D D ==,方程组有无穷多解. □三. 拓展与提高例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为()0,0,()11,x y ,()22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.()()1121212211111222S x y x x y y x y x y =++--- 【11222112112211111111222222x y x y x y x y x y x y x y =+-+--- ()111221221122x y x y x y x y =-=. □例2 （1）计算行列式2346、792127、34-912-的值； （2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明. 解: (1) 均为0; (2) 0a bka kb=,证明:0a bkab kab ka kb=-=.同理(0a ka b kb= □§ 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)一. 三阶行列式的概念用记号111222333a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---,称为三阶行列式. 二. 三阶行列式的展开 (一) 按对角线展开]例 计算三阶行列式124221342D -=---.解: ()()()()122213424D =⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯-⨯()()()()11422242314-⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯-=-. 感受与体验 P12 练习(1)—(二)按一行(或一列)展开1. 余子式 把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式. 例如1133a c a c 和1133a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式 把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为()1i j+-例如()2211331a c a c +-和()2311331a b a b +-分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:+-+-+-+-+3. 按一行(或一列)展开[111222111111333a b c a b c a A b B c C a b c =++112233a A a A a A =++=例 按第一行和第一列展开行列式124221342D -=---.解: 按第一行展开:124212122221124423234342D -⎛-⎫-=-=⋅+⋅-- ⎪----⎝⎭--14=-; 按第一列展开: 12421242422112314424221342D -⎛-⎫-=-=⋅-⋅--=- ⎪--⎝⎭--. 感受与体验 P15 练习(2) 1; 2 a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22]§ 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法 完成练习 P21 习题 1 (用适当的方法) 二.例题与练习例1 若行列式0021040938k=,求k 的值. 解: 002108405938kk k ==⇒=.□例2 已知行列式11110211λλ-=-,求λ的值. 解: 2111134041211or λλλλλλ-=--=⇒==--. □ 】例3 已知()2112150f x x x=,若()0f x >,求x 的取值范围.解:()22211212121522527505550f x x x x x x x x x x x==-+=-+-=-+>()5,1,2x ⎛⎫⇒∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. □例4 把下面的算式写成一个三阶行列式: (1)023*******22132313113312-----=-; (2)112211112233332233111x y x y x y x y x y x y x y x y x y -+=. (答案不唯一) □ 例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零. 解: 例如三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即222222212121222333333b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b ++=-+^2112222222223332222223330a b c b c a c ab a bc a b c b c a c a b a b c ==-+=. □例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 依逆时针顺序排列. (1)探求用行列式表示ABC 的面积公式; (2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式,ABC 的面积公式有何变化解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,()()()123321122S EB FC EF x x y y =+⋅=+-,同理有 ()()2121212S x x y y =+-,()()3313112S x x y y =+-,则 《()()()12323321331122112S S S S x y x y x y x y x y x y =--=---+-⎡⎤⎣⎦ 1122111122333322331111221x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)11223311121x y S x y x y =-. [说明] 本例可得两个结论:(1) 定点坐标分别为()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 的ABC 的面积为11223311121x y S x y x y =; (2) 平面上三点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 共线的充要条件为1122331101x y x y x y =. 三.布置作业§ 三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法/一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法对于二元一次方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩当0D ≠时,方程组有唯一解;当0D =时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0x y D D ==,则方程组有无穷多解.二. 三元一次方程组的行列式解法对于三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,记其系数行列式为111222333a b c D a b c a b c =, 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得11111111a A x b A y c A z d A ++=, 22222222a A x b A y c A z d A ++=, 33333333a A x b A y c A z d A ++=,…将上述三个等式相加,得()()()112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ++++++++=++，其中记111112233222333x d b c D d A d A d A d b c d b c =++=，则x D x D ⋅=,同理可得 y D y D ⋅=，z D z D ⋅=，于是方程组x y z D x D D y D D z D ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩当0D ≠时有惟一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.例 解三元一次方程组:632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.解: 1113129522D =-=,61171291522x D =-=,161372185152y D ==,116317275215z D =-=,1,2,3x y z ∴===. □\感受与体验 P19练习(3) 用行列式解下列方程组三. 当系数行列式0D =的情况当0D =时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.例 求关于,,x y z 的方程组13x y mz x mu z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.解: ()()11111101111mD m m m m ==-+-≠⇒≠±-, 又()()111411311x mD mmm m ==-+--,()()31y D m m =---,()41z D m =-,…所以当1m ≠±时,方程组的解为43141x m y m z m ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩. □注意与二元一次方程组解的情况相区别。