第八讲随机过程的功率谱及性质与计算
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随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
随机信号的功率谱
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX (ω) 是偶函数， 实平稳过程的谱密度 是偶函数， 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
2 1 T − iω t lim 2 T → ∞ E ∫0 X ( t ) e d t , ω ≥ 0 T G X (ω ) = ω<0 0 ,
平均功率： 平均功率： (2)
P = R X (0) = a 2 2
a2 a2 E [ X 2 (t )] = E [ a 2 cos 2 (ω 0 t + Θ )] = − sin( 2ω 0 t ) 2 π X (t) 是非平稳过程
平均功率： 平均功率：
1 P = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
+∞ S X (ω ) = ∑ RX (m) e − jω m m = −∞ R (m) = 1 π S (ω ) e jω m d ω ∫−π X X 2π
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P150） 参见表 （ ）
例2
已知平稳过程的相关函数为 R X (τ ) = e − a τ cos(ω 0τ ) ， 为常数， 其中 a > 0, ω0 为常数，求谱密度 SX (ω) . [解]
3 随机信号的带宽
随机信号的带宽——随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的带宽 随机信号的功率谱所占据的频带宽度 3dB带宽 3dB带宽 半功率带宽） （半功率带宽）
S(ω) ω
1 0.5
绝对带宽
S(ω) ω
1
等效噪声带宽
第八讲随机过程的功率谱及性质与计算
W T l im 21 T T Tx2(t,)dt
随机过程的平均功率为
W E [W ]T l i m 2 1 T T TE {X 2(t)d }
若过程为平稳过程，
W E [W ]E [X 2 (t) ]R X (0 )
8
例 设随机过程 X(t)aco0 st [ ]
(0,2)
其中 a,为0 常量， 为 均匀分布
S()s (t)ejtdt
频谱：幅度和相位随频率的分布
E s2(t)d t1 S ()2d
2
S() 2 能谱：能量随频率的分布
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
Plim1 Ts(t)2d t T 2TT
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义
随机信号的特点：
是的确
定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位
电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有：
缺陷:不含 相位信息
G X()T l im 2 1 TEX T(,)2Tl im 21TXT(,)2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
1.0
G X() R X()ejd R X()T l i m 2 1 T T TR X(t,t)dt
18
RX ()
GX()
2/(a22)
返回
19
RX(0)21 G X()d
16
例3、已知零均值平稳过程的谱密度为
GX()4 12 0429
求相关函数与方差。
解: 由因式分解
G X ( ) 4 1 2 4 2 0 9 2 2 9 /4 1 8 6 2 5 /4 98
随机过程的平均功率为
W E [W ]T l i m 2 1 T T TE {X 2(t)d }
若过程为平稳过程，
W E [W ]E [X 2 (t) ]R X (0 )
8
例 设随机过程 X(t)aco0 st [ ]
(0,2)
其中 a,为0 常量， 为 均匀分布
S()s (t)ejtdt
频谱：幅度和相位随频率的分布
E s2(t)d t1 S ()2d
2
S() 2 能谱：能量随频率的分布
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
Plim1 Ts(t)2d t T 2TT
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义
随机信号的特点：
是的确
定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位
电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有：
缺陷:不含 相位信息
G X()T l im 2 1 TEX T(,)2Tl im 21TXT(,)2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
1.0
G X() R X()ejd R X()T l i m 2 1 T T TR X(t,t)dt
18
RX ()
GX()
2/(a22)
返回
19
RX(0)21 G X()d
16
例3、已知零均值平稳过程的谱密度为
GX()4 12 0429
求相关函数与方差。
解: 由因式分解
G X ( ) 4 1 2 4 2 0 9 2 2 9 /4 1 8 6 2 5 /4 98
随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系
随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系随机过程是一个随时间变化的信号，每个时间点上都有一定的随机性。
我们可以用一个随机变量来描述每个时间点上的取值。
这个随机变量的集合就是一个随机过程。
自相关函数是用来描述随机过程在不同时间点上的相关性的函数。
它表示了随机过程在不同时间点上的取值之间的相关程度。
具体来说，自相关函数R(t1,t2)表示了时刻t1和t2上的信号值之间的相关性。
它的定义如下：R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]其中，X(t1)和X(t2)是随机过程在时刻t1和t2上的取值，E[.]表示期望操作。
功率谱密度是用来描述随机过程在频域上的特性的函数。
它表示了随机过程在不同频率上的功率分布情况。
具体来说，功率谱密度S(f)表示了随机过程在频率f上的功率。
它的定义如下：S(f)=，F{R(t)}，^2其中，R(t)是随机过程的自相关函数，F{.}表示傅里叶变换操作。
自相关函数和功率谱密度之间存在一个重要的关系，即它们通过傅里叶变换相关联。
具体来说，自相关函数是功率谱密度的傅里叶变换的模的平方，而功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换的伪谱密度。
这个关系可以用下面的公式表示：R(t1, t2) = ∫S(f)e^(j2πft)df其中，∫表示积分操作，e^(j2πft)是复指数函数，代表了频率f上的旋转。
这个关系的意义是，自相关函数和功率谱密度提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。
我们可以通过自相关函数计算功率谱密度，也可以通过功率谱密度计算自相关函数。
总结起来，自相关函数和功率谱密度是通过傅里叶变换相关联的重要概念。
自相关函数描述了随机过程在不同时刻上的相关性，而功率谱密度描述了随机过程在不同频率上的功率分布情况。
它们的傅里叶变换关系提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。
这个关系在信号处理和随机过程分析中具有重要的应用价值。
随机过程的自相关函数与功率谱
i= 1 n
s (t) , 1 s2 (t)
,…
sn (t)
,
∑ai si (t) ∑ai Si (ω)
i= 1
n
Where
n is an integer and ai s are constant coefficients.
（2）尺度性质 Scale transformation 若 s(t) S(ω) ,则对实常数 a 有
<2> 常用基本信号：复正弦信号、 δ 函数、sinc 函数等
The basic signals frequently used: complex sine signal, sinc function (sample function) etc.
δ
function,
（4）时间函数信号的频谱密度---傅立叶变换
s(t)e
S(ω ω0 )
（5）时域微分与积分 Differential and integral in time domain 若 s(t) S(ω) , 则下列各式成立 If s(t) S(ω) , then following equalities hold:
<1> <2> <3> <4> 若
ds(t) jω ( S ω) dt
(1.2.28) (1.2.29) (1.2.30)
d ns(t) ( jω)n S( ) ω n dt t 1 1 s(t)dt S(ω) + S(0)δ (ω) ∫ jω 2 ∞
s(t) 在区间 (∞,+∞)
t
上积分为零，即信号无直流分量，
1 S( ) ω jω
The decomposition of time function signals
s (t) , 1 s2 (t)
,…
sn (t)
,
∑ai si (t) ∑ai Si (ω)
i= 1
n
Where
n is an integer and ai s are constant coefficients.
（2）尺度性质 Scale transformation 若 s(t) S(ω) ,则对实常数 a 有
<2> 常用基本信号：复正弦信号、 δ 函数、sinc 函数等
The basic signals frequently used: complex sine signal, sinc function (sample function) etc.
δ
function,
（4）时间函数信号的频谱密度---傅立叶变换
s(t)e
S(ω ω0 )
（5）时域微分与积分 Differential and integral in time domain 若 s(t) S(ω) , 则下列各式成立 If s(t) S(ω) , then following equalities hold:
<1> <2> <3> <4> 若
ds(t) jω ( S ω) dt
(1.2.28) (1.2.29) (1.2.30)
d ns(t) ( jω)n S( ) ω n dt t 1 1 s(t)dt S(ω) + S(0)δ (ω) ∫ jω 2 ∞
s(t) 在区间 (∞,+∞)
t
上积分为零，即信号无直流分量，
1 S( ) ω jω
The decomposition of time function signals
13第八章窄带随机过程
步骤1 求a(t)和b(t)的联合分布
ˆ (t)= X(t)cosw 0t X(t)sinw 0t ˆ b (t)= -X(t)sinw 0t X(t)cosw 0t
所以： (at , bt ) 的二维概率密度函数为：
f ab (at , bt ) f a (at ) fb (bt ) at2 bt2 = exp{ } 2 2 2 2 At2 1 exp{ 2 } 2 2 2 1
1
X (t )
d X (t )] ˆ ( ) d R X
E[ X (t ) X (t )] 1 d
R ( )
ˆ R XX ˆ ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t )( 1
(t)，b(t )为另外两个随机过程。
ˆ )sinw t (t)= X(t)cosw 0t X(t 0 ˆ b(t)= -X(t)sinw 0t X(t)cosw 0t 证明：
证明： 若X(t)为实随机过程，则其解析过程为： ˆ X(t)=X(t) jX(t) 用乘e jw0t 上式两端得： ˆ (t)][cos w t j sin w t ] X(t)e jw0t [X(t) jX 0 0 ˆ sin w t ] j[ X(t)sin w t X(t) ˆ [X(t)cos w t X(t) cos w t ]
证明:
例题：求S (t ) sin w0t , w0 >0的希尔伯特变换。 解：
H [sin w0t ] 1
1
随机过程的谱分析
3.2、平稳随机过程功率谱密度的性质
3.2.2、有理谱分解定理
i) rational spectral: S X ( ) ak 2k
p k 0 q
b
k 0 2 k
: (P4) p < q
s-plane
2k
S X (s) a
(s a1 )(s a 2p ) (s b1 )(s b 2q )
sin( T) 1，所以 T
2
sin(T) lim T , 0 T T
综上：
sin(T) lim T K() T T
2
又因 2T[ sin( T) ]2 x(t)，其中 x(t) 为三角波，如下图所示： T
(s 1 )(s p ) (s 1 )(s q ) S X (s)
* *
18 / 30
S (s) X
极点全在 s 左平面 零点在 s 左平面或虚轴上
极全在 s 右平面 零点在 s 右平面或虚轴上
3.3、功率谱密度与自相关函数的关系
维纳-辛钦定理
R X ( ) < > S X ()
2
14 / 30
3.1.3、功率谱密度与复频率面
拉普拉斯变换（Laplace transformation）
x(t) X(s) : s j
LT
1 j X(s)est ds dt x (t)dt x(t) 2j j j x(t)est dt ds 1 2 j X(s) j 1 j st j x(t) X(s)eds 1 2j j 2 j j X(s)X( s)ds
X X (T, ) [a bcos( 0t )]e jt dt
第八讲 随机过程谱分析
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位 电阻上消耗的功率的统计平均值。
缺陷:不含任 何相位信息
2016/12/2 12
随机过程的平均功率
频域计算
任一样本函数的平均功率：
时域计算 任一样本函数的平均功率：
1 Qx 2
S x ( )d
1 Qx lim T 2T
T
T
(t ) 1 函数傅立叶变换 1 2 ( )
2016/12/2
20
（维纳-辛钦定理应用于一般（非平稳）随机过程）
对于一般的随机过程X(t)，有：
1 S X ( ) {lim T 2T
TLeabharlann TRX (t , t t )dt}e jt dt
S X ( )d
要求均值为零 这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 号（功率谱密度是离散的）， 实际中含有直流分量和周期分 量的随机过程很多。
2016/12/2
平均功率有限
RX (t ) RX (0)
2 sX
m2 X
0
t
相关函数的典型曲线
18
维纳——辛钦定理的推广（含直流和周期分量的平稳过程）
2016/12/2
7
二
随机过程的功率谱密度
样本函数是平均功率有限信号 不存在傅立叶变换（频谱） 但存在功率谱。
随机过程的特点：
如何定义随机过程的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
2016/12/2
8
x(t )
xT (t )
T
缺陷:不含任 何相位信息
2016/12/2 12
随机过程的平均功率
频域计算
任一样本函数的平均功率：
时域计算 任一样本函数的平均功率：
1 Qx 2
S x ( )d
1 Qx lim T 2T
T
T
(t ) 1 函数傅立叶变换 1 2 ( )
2016/12/2
20
（维纳-辛钦定理应用于一般（非平稳）随机过程）
对于一般的随机过程X(t)，有：
1 S X ( ) {lim T 2T
TLeabharlann TRX (t , t t )dt}e jt dt
S X ( )d
要求均值为零 这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 号（功率谱密度是离散的）， 实际中含有直流分量和周期分 量的随机过程很多。
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平均功率有限
RX (t ) RX (0)
2 sX
m2 X
0
t
相关函数的典型曲线
18
维纳——辛钦定理的推广（含直流和周期分量的平稳过程）
2016/12/2
7
二
随机过程的功率谱密度
样本函数是平均功率有限信号 不存在傅立叶变换（频谱） 但存在功率谱。
随机过程的特点：
如何定义随机过程的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
2016/12/2
8
x(t )
xT (t )
T
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FX ( ) G X ( )
0
•随机过程的有理谱形式：有理谱密度是实际中最常见的
一类功率谱密度或形式，工程中常用来作为有色噪声的逼近
2n a 2(n 1) a 2 a 2 ( m 1) 2 0 2 G X ( ) c0 2m b 2(m1) b 2 b
截断函数的 能量谱
1 1 2 lim XT (, ) d 2 T 2T
功 率 谱
1 2 G X ( , ) lim X T ( , ) T 2T
5
2） 随机信号功率谱密度的定义 对于随机过程来说，求各样本函数功率谱密度的统计平均
1 2 G X ( ) E[G X ( , )] E lim X T ( , ) T 2T
GX ()d
平均功率有限
RX ( )
2 sX
2 mX
要求均值为零 这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 RX (0) 号，功率谱密度是连续的 实际中含有直流分量和周期 分量的随机过程很多。
0
10
相关函数的典型曲线
二、功率谱密度与自相关函数关系 维纳－辛钦定理的推广 引入 函数 其傅立叶变换
S ( ) s(t )e
jt
dt
1 E s (t )dt 2
2
S ( ) d
Hale Waihona Puke 2频谱： 幅度和相位随频率的分布
S ( ) 能谱： 能量随频率的分布
2
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
1 T 2 P lim s(t ) dt T 2T T
截断函数的能量：
样本函数的（时间）平均功率：
1 W lim T 2T
1 E x (t , )dt 2
2 T
X T ( , ) d
2
T
T
x 2 (t , )dt
X T ( , )
1 1 2 lim { XT (, ) d} T 2T 2
随机过程的平均功率为
1 T W E[W ] lim E{ X 2 (t )}dt T 2T T
随机过程的平均功率随频率的 分布，不同的频率成分对随机 信号的平均功率的贡献。
若过程为平稳过程，
W E[W ] E[ X 2 (t )] RX (0)
8
若为各态历经过程
2 ( n 1) 2
0
15
•若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数； 若含有周期分量，则在相应的频率处有函数； •相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率 谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。
1 RX (0) 2
G X ( )d
16
例3、已知零均值平稳过程的谱密度为
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100
200
300
400
500
n
随机信号：
10
2
-1
10
1
-2
10
-3
1x10
-4
Power
0
1x10 10 10
-5
-6
-1
-7
-2
10 10
-8
-9
0
100
200 n
300
400
500
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
9
二、功率谱密度与自相关函数关系（重点） 平稳过程在一定的条件下，自相关函数和功率谱密度构 成傅立叶变换对(维纳－辛钦定理)
GX ( ) RX ( )e
j
d
1 R X ( ) 2
G X ( )e j d
条件:
R X ( ) d
RY (t , t ) R[Y (t )Y (t )]
a2 RX ( )[cos0 cos(20t 0 )] 2
G X ( )
R X ( )e j d
1 T R X ( ) lim R X (t , t )dt T 2T T
Frequency (Hz)
7
3）随机过程的平均功率与功率谱密度 频域计算： 任一样本函数的平均功率为
1 W G X (, )d 2
时域计算
任一样本函数的平均功率为
1 W lim T 2T
T
T
x 2 (t , )dt
随机过程的平均功率为
1 W E[W ] E[G X ( , )]d 2 1 G X ( )d 2
14
三、平稳随机信号功率谱密度的性质
1 2 G X ( ) lim E X T ( , ) T 2T
由
X T ( , )
2
决定
•对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；
G X ( ) 2 R X ( ) cos d 0
2GX ( ) 0 •物理谱定义：FX ( ) 0 0
是 的确 定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位 电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有： 缺陷:不含 相位信息
1 1 2 2 lim X T ( , ) G X ( ) lim E X T ( , ) T 2T T 2T
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
G X ( )
R X ( )e j d
1 T R X ( ) lim R X (t , t )dt T 2T T
时间平均自相关函数与功率谱密度为傅立叶变换对
13
功率谱密度算例
例1 设随机过程
其中 a, 0 为常量， 为均匀分布 (0,2 ) 中的随机变 量，求 X (t ) 的平均功率和功率谱密度。
例 设随机过程
其中 a, 为常量， 为均匀分布 (0, ) 中的随机 0 2
变量，求 X (t )的平均功率。
2 a2 a 解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )] E[ cos(20t 2)] 2 2 a2 a2 a2 a2 2 2 cos( 2 t 2 ) d E[cos(20t 2)] 0 2 2 0 2 2
第四章 平稳随机过程的功率谱密度
一、什么是功率谱密度
二、功率谱密度与自相关函数的关系 三、功率谱密度的性质 四、互功率谱密度
五、如何估计功率谱密度以及功率谱应用 六、白噪声
1
一 、功率谱密度的概念和定义
1、 频谱分析的基本概念
信号特征分析 时域分析 频域分析 功率谱
确定性信号：幅度谱、相位谱
t
2
2、能量型信号与功率型信号 若确定信号 s (t )是时间t的非周期实函数，满足狄氏条件，且 满足： 2 s (t ) dt 或 s (t )dt 能量有限， 则 s(t ) 的傅立叶变换存在 能量型信号
17
1 3 R X ( ) (9e 5e ) 48
功率谱密度算例 例2 设随机过程
其中 a, 0 求 Y (t ) 的功率谱密度。
2
Y (t ) aX (t ) cos(0t ) 为常量， X (t )的功率谱为为G X ( ) ，
a 解： GY ( ) {GX ( 0 ) GX ( 0 )} 4
18
RX ( )
G X ( )
2 /(a 2 2 )
返回
19
2 4 GX ( ) 4 10 2 9
求相关函数与方差。 解: 由因式分解
2 9 / 48 6 5 / 48 G X ( ) 4 2 2 10 9 1 2 9
2 4
由公式：e
2 2 2
R X (0) 7 24
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义 随机信号的特点： 样本函数是功率有限信号 不存在傅立叶变换
如何定义随机信号的功率谱？ 1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
x(t )
xT (t )
T
t
0
T
x(t ) t T xT (t ) 0 t T
4
2T
随机过程的样本函数及其截断函数
1) 样本函数的功率谱密度 样本函数的截断函数的傅立叶变换：
X T ( ) xT (t )e
jt
dt x(t )e jt dt
T
T
X T ( , )
xT
(t , )
2
1 xT (t ) X T ( )e jt d 2
X (t ) a cos[0t ]
解：
a2 R X ( ) cos0 2
GX ( ) RX ( )e j d
cos0 { ( 0 ) ( 0 )}
a2 a2 cos0 { ( 0 ) ( 0 )} 2 2
( ) 1 1 2 ( )