新人教A版高考理科数学一轮总复习单元检测试题四三角函数解三角形A

单元质检四三角函数、解三角形(A)

(时间:45分钟满分:100分)

单元质检卷第7页

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.下列函数中周期为π且为偶函数的是()

A.y=sin(2x-π

2) B.y=cos(2x-π

2

)

C.y=sin(x+π

2) D.y=cos(x+π

2

)

答案:A

解析:对于选项A,y=-cos2x,周期为π且是偶函数,所以选项A正确; 对于选项B,y=sin2x,周期为π且是奇函数,所以选项B错误;

对于选项C,y=cos x,周期为2π,所以选项C错误;

对于选项D,y=-sin x,周期为2π,所以选项D错误.

故答案:为A.

2.在△ABC中,cos x

2=√5

5

,BC=1,AC=5,则AB=()

A.4√2

B.√30

C.√29

D.2√5答案:A

解析:∵cos C=2cos2x

2-1=-3

5

,

∴在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·AC cos C=1+25+2×1×5×3

5

=32. ∴AB=4√2.

3.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()

A.π,0

B.2π,0

C.π,2-√2

D.2π,2-√2

答案:C

解析:因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x

=1+sin2x+(1+cos2x ) =2+√2sin (2x +π

4),

所以最小正周期为π,

当sin (2x +π

4)=-1时,取得最小值为2-√2.

4.已知函数f (x )=2sin(2x+φ)(|x |<π

2)的图象过点(0,√3),则函数f (x )图象的一个对称中心是( ) A.(-π3

,0) B.(-

π6

,0)

C.(π

6,0) D.(π

12,0)

答案:B

解析:由题意,得√3=2sin(2×0+φ),即sin φ=√3

2

. 因为|φ|<π

2,所以φ=π

3.

由2sin (2x +π

3)=0,得2x+π

3=k π,k ∈Z ,当k=0时,x=-π

6

,故选B .

5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,S 表示△ABC 的面积,若a cos B+b cos A=c sin

C ,S=1

4(b 2+c 2-a 2),则B=( )

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

答案:C

解析:由正弦定理,得2R (sin A cos B+sin B cos A )=2R sin C sin C ,于是sin(A+B )=sin 2

C ,所以sin C=1,即

C=π2,从而S=12ab=14(b 2+c 2-a 2)=1

4(b 2+b 2),解得a=b ,

所以B=45°.故选C.

6.(2019河北沧州高三模拟)已知函数f (x )=√3sin 2ωx-2sin 2

ωx+1(ω>0,x ∈R ),若f (x )在区间(π

2,π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A.(0,56]

B.(0,14]∪[34,7

8]

C.(0,512]∪[56,11

12] D.[14,7

8]

答案:C

解析:由已知得,f (x )=√3sin2ωx+cos2ωx=2sin (2xx +π

6). 因为π

2

0,所以π

6

+ωπ<2ωx+π

6

<π

6

+2ωπ.

因为f (x )在区间(π

2,π)内没有零点, 所以T=2π

2x ≥2×(π-π

2)=π, 所以ω≤1.

所以{π

6

+x π>

π6

,

π

6+2x π≤π

或{π6+x π≥π,

π

6+2x π≤2π,

解得0<ω≤5

12或5

6≤ω≤11

12.

所以ω的取值范围是(0,5

12]∪[5

6,11

12].

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分) 7.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α= . 答案:0或1

2

解析:∵sin2α=2-2cos2α=2-2(1-2sin 2α)=4sin 2

α, ∴2sin αcos α=4sin 2

α, ∴sin α=0或cos α=2sin α, 即tan α=0或tan α=1

2.

8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设AD 为BC 边上的高,且AD=a ,则x x +x x

的最大值是 . 答案:√5

解析:∵AD 为BC 边上的高,且AD=a , ∴△ABC 的面积S=1

2a ·a=12bc sin A.

∴sin A=

x 2

xx

. 由余弦定理,得

cos A=x 2+x 2-x 2

2xx

=12(x

x +x

x )?x 2

2xx ,

故x x +x

x =2(x 2

2xx +cos x )=sin A+2cos A=√5sin(A+α), 其中sin α=

2√55

,cos α=√55

.

当sin(A+α)=1时,x

x +x

x 取到最大值√5.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)已知角α的顶点与原点O 重复,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-3

5,-4

5). (1)求sin(α+π)的值;

(2)若角β满足sin(α+β)=5

13,求cos β的值. 解:(1)由角α的终边过点P (-3

5,-45), 得sin α=-4

5

,所以sin(α+π)=-sin α=4

5

.

(2)由角α的终边过点P (-35,-4

5),

得cos α=-3

5,

由sin(α+β)=513

,得cos(α+β)=±12

13

.

由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-56

65

或cos β=16

65

.

10.(15分)(2019广东汕头高三二模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2√2b=3(c-a cos

B ).

(1)求cos A ;

(2)过点A 作AD ⊥AB 交BC 的延长线于点D ,若CD=3,2AD=3AC ,求△ACD 的面积.

解:(1)由正弦定理得,2√2sin B=3(sin C-sin A cos B )

=3[sin(A+B )-sin A cos B ]

=3(sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B ) =3cos A sin B.

∵B ∈(0,π),∴sin B ≠0, ∴cos A=

2√23

.

(2)如图,

∵cos ∠BAC=

2√23

,

∴sin ∠BAC=√1-cos 2∠xxx =1

3. 又∠BAC+∠CAD=90°,

∴cos ∠CAD=sin ∠BAC=1

3,sin ∠CAD=cos ∠BAC=

2√23

.

设AD=3x ,x>0,则AC=2x.在△ACD 中,由余弦定理,得CD 2

=AC 2

+AD 2

-2AC ·AD cos ∠CAD ,即9=4x 2

+9x 2

-2×2x ·3x ·1

3.

解得x=1. ∴AD=3,AC=2,

∴S △ACD =12

AC ·AD sin ∠CAD=12

×2×3×

2√23

=2√2.

11.(15分)已知函数f (x )=sin 2

ωx+√3sin ωx sin (xx +π

2)(ω>0)的最小正周期为π

2.

(1)求出函数f (x )的单调递增区间; (2)求函数f (x )在区间[0,π

3]上的取值范围. 解:(1)f (x )=

1-cos2xx

2

+

√3

2

sin2ωx

=√32sin2ωx-12cos2ωx+1

2 =sin (2xx -π

6)+1

2.

因为T=π

2,所以2π

2x =π

2(ω>0), 所以ω=2,

即f (x )=sin (4x -π

6)+1

2.

于是由2k π-π

2

≤4x-π

6

≤2k π+π

2

(k ∈Z ),

解得

x π2

?π12

≤x ≤

x π2

+π

6

(k ∈Z ).

所以f (x )的单调递增区间为[x π2

-π12,

x π2

+π

6](k ∈Z ).

(2)因为x ∈[0,π

3], 所以4x-π

6∈[-π6,

7π6

],

所以sin (4x -π

6)∈[-1

2,1], 所以f (x )∈[0,3

2].

故f (x )在区间[0,π3

]上的取值范围是[0,3

2

].