3、注水原理推导,功率和比特分配算法
信息论：注水定理及其在OFDM中的应用
“注水”定理及其在OFDM 中的应用1“注水”定理阐述“注水”定理适用于如下情形：1. 1信道条件信道输入平稳随机序列12,,N X X X X =，输出的平稳随机序列12,,N Y Y Y Y =，噪声序列为12,,N n n n n =为零均值的高斯加性噪声。
定义组合加性高斯白噪声信道（等价于多维无记忆高斯加型连续信道）为：信道中各单元时刻()1,2,i N =上的加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N =的高斯噪声，且各分量统计独立。
1. 2约束条件当且仅当信道输入平稳随机序列12,,N X X X X =中各分量统计独立，各加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N =的高斯噪声时，信道容量为：()2max ;1 log 1 (1.1)2ii ns in C I X Y P P =⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭∑ 1. 3“注水”定理各个输入信号的总体平均功率21 N i i E X =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑受限，因此存在一个约束条件为21 (1.2) N i i P E X =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑要计算()max ;C I X Y =，就是计算式(1.1)在约束条件式(1.2)下的最大值。
引用拉格朗日乘数法求解此问题，做辅助函数()1221,,log 1 (1.3)2iNi i nn s s s s s ii n P J P P P P P λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 其中2i s i P E X ⎡⎤=⎣⎦为各个时刻的信号平均功率，λ为参数，即拉格朗日乘子，对辅助函数()12,,N s s s J P P P 逐一求i s P 的导数，使之等于零： ()()12,,0 1,2,(1.4)Nis s s s J P P P i N P ∂==∂即得到：()110 1,2,(1.5)2i in s i N P P λ+==+1(1.6)2i i i s n n P P v P λ=--=- 其中v 为常数，由于式（1.6）中的i s P 可能为负值，这表明并联信道中，某一新到的平均噪声功率i n P 大于信道分配到的信号平均功率时，信号将淹没在噪声中而无法利用。
注水算法解决信道功率分配问题
注水算法解决信道功率分配问题严红，学号：9340023，2012级，***摘要：无线通信技术的日新月异是人类文明发展和社会进步的一个重要展现。
自从1948年香农建立信息论开始，到现在通信已经进入飞速发展的年代，短短的几十年间，无线通信技术在人类社会的各个方面得到了无处不在的应用。
无线通信过程中，在具有多径衰落的短波无线电信道上，即使传输低速（1200波特）的数字信号，也会产生严重的码间串扰。
为了解决这个问题，除了采用均衡器外，途径之一就是采用多个载波，将信道分成许多个子信道。
将基带码元均匀的分散地对每个子信道的载波调制。
随着要求传输的码元速率不断提高，传输带宽也越来越宽。
今日多媒体通信的信息传输速率要求已经达到若干Mb/s，并且移动通信的传输信道可能是在大城市中多径衰落严重的无线信道。
为了解决这个问题，并行调制的体制再次受到重视。
正交频分复用（OFDM，Orthogonal Frequency Division Multiplexing）就是在这种形式下得到发展的。
在有限的频谱资源的条件下，由于电磁环境是复杂多变的，不同信道的质量也是不同的，如果直接将信号发射出去，信道的容量将不会很高。
因此，在系统中增加资源调度模块根据信道增益自适应地进行资源配置，可明显提高系统吞吐量。
文章介绍了使用MATLAB的cvx工具箱来解决注水算法的功率分配的凸优化问题。
关键字：正交频分复用（OFDM），信道容量，功率分配，凸优化一、OFDM发展史OFDM技术是由多载波调制技术发展而来的，既可以看作是一种调制技术，也可看作是一种复用技术。
OFDM最早起源于二十世纪五十年代中期，早先主要应用在军用无线通信系统中；二十世纪七十年代，Weinstein和Ebert提出了使用离散傅里叶变换来实现多载波调制，但当时还没有出现实时傅里叶变换的设备，OFDM技术没有在实际中得到广泛应用；二十世纪八十年代，Cimini使得FFT技术可以快速简单地实现，OFDM在无线移动通信中的应用得到了快速发展；二十世纪九十年代以來，OFDM技术开始在欧洲国家广泛应用，在1999年，IEEE802.11a通过了一个５GHz的无线局域网标准，其中就采用了OFDM技术作为物理层标准，OFDM技术的实用化加快了脚部[1]。
注水定理算法步骤
注水定理算法步骤
注水定理在信息论等领域可是个很有趣的东西呢。
那它的算法步骤大概是这样的。
我们得先确定一些东西哦。
要知道信道的一些特性，就像是你要了解一个小伙伴的脾气秉性一样。
这里要知道信道的噪声功率谱密度之类的参数。
然后呢，我们要构建一个关于功率分配的函数。
这个函数就像是一个魔法配方，根据不同的信道状况，把总功率分配到不同的子信道上去。
这就好比你有一堆糖果，要根据小伙伴们的喜好，分给不同的小伙伴。
接着呀，这个函数会在一些条件的约束下达到最优。
比如说，总功率是有限制的，不能无限制地分配。
这就像你手里的糖果数量是有限的，不能凭空变出来更多去分给大家。
在实际计算的时候，我们可能会用到一些数学工具，像拉格朗日乘子法之类的。
不过可别被这个名字吓到啦，就把它当成一个小帮手。
它能帮助我们找到那个最优的功率分配方案。
再然后呢，根据计算出来的结果，我们就知道每个子信道应该分配多少功率啦。
就像是每个小伙伴都拿到了属于自己的那份糖果，大家都开开心心的。
一种无线OFDM系统中的高效功率和比特分配算法
一种无线OFDM系统中的高效功率和比特分配算法
丁乐;殷勤业;邓科;孟银阔
【期刊名称】《电子与信息学报》
【年(卷),期】2007(29)7
【摘要】在限定无线OFDM通信系统的传输速率和最大误码率的情况下,该文提出了一种最小化发射功率的高效功率和比特分配算法.该算法首先利用注水水平和系统传输速率之间的关系求出无需预设步长和初始值的注水水平迭代公式,然后在部分子载波上使用简化的Greedy算法进行强制收敛.由于充分地利用了注水算法和Greedy算法的优点,该文算法不仅有效地避免了传统自适应算法的收敛性、初始值和步长选择等问题,而且计算效率更高.仿真结果验证了该算法的有效性.
【总页数】5页(P1537-1541)
【作者】丁乐;殷勤业;邓科;孟银阔
【作者单位】西安交通大学电子与信息工程学院,西安,710049;西安交通大学电子与信息工程学院,西安,710049;西安交通大学电子与信息工程学院,西安,710049;西安交通大学电子与信息工程学院,西安,710049
【正文语种】中文
【中图分类】TN92
【相关文献】
1.OFDM系统中一种改进的低复杂度自适应比特功率分配算法 [J], 朱继华;王竟鑫;申茜;邱飘玉;王永;袁建国
2.MIMO-OFDM系统中一种高效的分子带自适应比特功率分配算法 [J], 张世超;季仲梅;崔维嘉
3.OFDM系统中的一种新的比特功率分配算法 [J], 颜丽峰;王赣清;王艳;李燕
4.一种MA准则下改进的OFDM系统自适应\r比特功率分配算法 [J], 袁建国;张芳;张锡若;汪政权;曾晶;郑德猛
5.一种MIMO OFDM系统中的自适应比特和功率分配算法 [J], 张文强;周志杰;郑翔
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基于注水原理的TDCS功率分配算法
第５ ０卷 第 ２期
２１ ００年 ２月
电讯 技 术
Ｔｅ ｅ ｏ ｌｃ ｍｍ ｕ ｉ ａｉｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎｇ ｎ ｃ ｔｏ ｇ ｎ ｅｉ
Ｖ０ ＿ ０ Ｎｏ ２ ｌ５ ．
Ｆｂ ２ １ ｅ． ００
文章 编号 ：０ １— ９ Ｘ（０ ０ ０ ０ ４ ０ １０ ８ ３ ２ １ ）２— ０ ８— ４
ｄ ｃ ｕｔ—ｓ ｕｔｒ ， ｋｎ ｅｔ ｄｔ ｎ ｌ ｄｕ ｉａ ｅｕｔ ｒ ａ ｉ ｌ ｎ ｅ ｅｔ ｇｔｅｄ ｆｒ ｕ ｅｍ ｌ ｉ ｔ ｃ ｅ ｍａｉｇｔ ａｉｏ ａ ａｊｄｃｔ ｒｓｌ ｍｏｅｐ ｒｃ ａ ａｄｒｆ ｃ ｎ ｈ ｉｅ— ｒ ｕ ｈ ｒ ｉ ｅ ｔｕ ｒ ｌ ｉ ｆ
ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｍｏ ｇ ｃ ｎ ｅ ｓ Ｔｈ ｌ ｏ ｔ ｉｆｒ ｎ ｅ ａ ｎ ｈａ ｎ ｌ． ｅ ａｇ ｒ ｈｍ ｆａ ａ ｔｖ ｌｉ— ｔ ｒ ｓ ｌ ａ ｉ ｕ ｃ ｉｎ ｇ ｎ ｒｔｏ ｎ ｒ — ｉ ｏ ｄ ｐ ｉ ｅ ｍｕ ｔ ｈ ｅ ｈｏｄ ｂ ｓｓ ｆ ｎ ｔ ｅ ｅ ａｉ ｎ ｉ ｔｏ ｏ
关键 字 ： 知 无线 电 ； 认 变换 域通信 系统 ； 率分 配 ； 水算 法 功 注
中图分类 号 ： Ｎ １ Ｔ ９１ 文献标识 码 ： Ａ ｄ ｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １０ —８ ３ ． ０ ０ ０ ． １ ｏ：０ ３ ６ ／．ｓ ． ０ １ ９ ｘ ２ １ ．２ ０ ０ ｓ
信息论：注水定理及其在OFDM中的应用
“注水”定理及其在OFDM 中的应用1“注水”定理阐述“注水”定理适用于如下情形：1. 1信道条件信道输入平稳随机序列12,,N X X X X = ，输出的平稳随机序列12,,N Y Y Y Y = ，噪声序列为12,,N n n n n = 为零均值的高斯加性噪声。
定义组合加性高斯白噪声信道（等价于多维无记忆高斯加型连续信道）为：信道中各单元时刻()1,2,i N = 上的加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N = 的高斯噪声，且各分量统计独立。
1. 2约束条件当且仅当信道输入平稳随机序列12,,N X X X X = 中各分量统计独立，各加性噪声为均值为零，方差为各不相同的()1,2,ni P i N = 的高斯噪声时，信道容量为： ()2max ;1 log 1 (1.1)2ii ns in C I X Y P P =⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭∑ 1. 3“注水”定理各个输入信号的总体平均功率21 N i i E X =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑受限，因此存在一个约束条件为21 (1.2) N i i P E X =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑要计算()max ;C I X Y =，就是计算式(1.1)在约束条件式(1.2)下的最大值。
引用拉格朗日乘数法求解此问题，做辅助函数()1221,,log 1 (1.3)2iNi i nn s s s s s ii n P J P P P P P λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 其中2i s i P E X ⎡⎤=⎣⎦为各个时刻的信号平均功率，λ为参数，即拉格朗日乘子，对辅助函数()12,,N s s s J P P P 逐一求i s P 的导数，使之等于零：()()12,,0 1,2, (1.4)Nis s s s J P P P i N P ∂==∂即得到：()110 1,2, (1.5)2i in s i N P P λ+==+1(1.6)2i i i s n n P P v P λ=--=- 其中v 为常数，由于式（1.6）中的i s P 可能为负值，这表明并联信道中，某一新到的平均噪声功率i n P 大于信道分配到的信号平均功率时，信号将淹没在噪声中而无法利用。
注水算法原理
注水算法原理注水算法（Water Filling Algorithm）是一种常用的信号处理算法，主要用于无线通信系统中的功率分配问题。
其原理是根据信道的信噪比情况，将总功率按照一定的规则分配到各个子载波上，以达到最优的传输性能。
本文将介绍注水算法的基本原理和应用。
首先，我们来看一下注水算法的基本原理。
在无线通信系统中，信道的信噪比是一个非常重要的参数，它直接影响到信号的传输质量。
在一个多载波的通信系统中，不同的子载波的信道质量是不同的，有些子载波的信道质量较好，有些子载波的信道质量较差。
注水算法的基本思想就是将总功率按照信道质量的大小进行分配，即在信道质量较好的子载波上分配更多的功率，在信道质量较差的子载波上分配较少的功率，以达到整体传输性能的最优化。
其次，我们来看一下注水算法的应用。
注水算法主要应用于多载波通信系统中的功率分配问题，例如正交频分复用（OFDM）系统、多载波码分多址（MC-CDMA）系统等。
在这些系统中，由于信道的多样性，不同的子载波之间的信道质量存在较大差异，因此需要采用注水算法来进行功率分配，以提高系统的整体传输性能。
在实际应用中，注水算法需要考虑的因素有很多，例如信道的动态变化、用户间的干扰、系统的功率限制等。
因此，如何设计高效的注水算法成为了无线通信系统中的一个重要问题。
目前，针对不同的通信系统和应用场景，研究人员提出了许多改进的注水算法，如基于子载波分组的注水算法、考虑干扰的注水算法等，这些算法在不同的场景下都取得了一定的成果。
总的来说，注水算法作为一种常用的功率分配算法，在无线通信系统中发挥着重要的作用。
通过合理地分配功率，可以有效地提高系统的传输性能，提高系统的容量和覆盖范围。
随着通信技术的不断发展，注水算法也将会得到进一步的改进和应用，为无线通信系统的发展做出更大的贡献。
通过本文的介绍，相信读者对注水算法的原理和应用有了一定的了解。
希望本文能够对相关领域的研究和应用工作有所帮助。
注水定理和矩阵分解
注⽔定理和矩阵分解随机信号、⾮周期信号、准周期信号和周期信号，由于其时间是⽆限的，总为功率信号能量信号只可能是有限时间内存在的确定性信号1 AWGN 信道离散事件加性⾼斯⽩噪声信道：[i][i][i]y x n =+ ，信道容量由⾹农公式得出：2log (1)C B γ=+接收信噪⽐定义为x [i ]的功率除以n [i ]的功率，即⽤公式（1）可计算N 次观测下出信号和噪声的功率，但由于⽩噪声单边功率谱密度为N 0/2，所以噪声功率可⽤N 0B 表⽰。
信道容量和注⽔定理信道容量就是下⾯这个公式：C=log(1+P/N)其中C 是信道容量，P 是信号功率，N 是噪声功率。
这⼏个字母，是⾹农⽼⼈家最⽜逼的成果，指引着通信技术的发展⽅向。
如果信号的功率为P=P1+P2，可以验证⼀个公式：C=log(1+(P1+P2)/N)=log(1+P1/N)+log(1+P2/(P1+N))=C1+C2。
C1=log(1+P1/N)可理解为信号功率P1，噪声为N 时的容量，C2=log(1+P2/(P1+N))可理解为信号功率P2，噪声为(P1+N)时的容量。
有⼈把这个叫superposition coding 。
也就是说，这两份功率，第⼀份功率产⽣了⼀个容量，同时等效成了对第⼆份功率的噪声。
了解了这个结论，我们来想，如果有N 个并⾏的信道，这N 个信道上已经有⼀些噪声或者信号的功率。
如果我再有⼀⼩份功率，把它分配到哪个信道上能获得最⼤的信道容量呢？从上⾯的分析我们知道，已经存在的功率，⽆论是噪声还是信号，对后来的信号来说都是噪声，因此，这⼀⼩份功率分配到累计功率最⼩的信道上获得的容量最⼤。
这样分配的结果就是N 个信道上的功率是相同的，就是注⽔定理。
注⽔定理可以看作是信道容量的动态过程。
matlab 中的矩阵分解矩阵分解是指根据⼀定的原理⽤某种算法将⼀个矩阵分解成若⼲个矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU 分解（三⾓分解）、QR 分解（正交变换）、Cholesky 分解，以及Schur 分解、Hessenberg 分解、奇异分解等。
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三、注水原理推导，功率和比特分配算法
1、注水原理推导
当发射端已知CSI 时，可以采用注水原理来分配各个发送天线的功率，在功率受限的情况下，注水原理可以通过MIMO 信道容量最大化推导出来。
注水原理的推导：（在信道容量推导的基础上）
功率满足：m
1i i P P ==∑
信道容量： 221log 1m
i
i i P C λσ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 寻求使容量C 最大化的i P 的值： 利用拉格朗日乘数法引入函数：2211log 1(P )N
N i i i i i P Z L P λσ==⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦∑∑ 令0i Z P ∂=∂，有：22
10ln 21i i i Z L P P λσλσ∂=•-=∂+ 得：22
1L ln 2i i i
P σσμλλ=-=-•，其中μ为常数 推导得到：+
2i i P σμλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 式中，+a 指()0,m ax a ，μ称为注水平面，i λ是信道矩阵的第i 个特征值，2σ是噪声方差。
2、基于注水原理的功率分配算法
m 1i i P P ==∑=122
1()m
m i i i i m σλμσμλ===--∑∑ 21P+=i m
i m σλμ=∑
+2i i P σμλ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 算法可以描述如下：
Step1: 初始化，设第k 个时刻定总功率为()1P k =；
Step2: 根据)(H SVD =λ并由注水定理可得出每根天线上分配的功率),(k P i 且有)()(1k P k P r
i i =∑=；
Step3: 对式))(1(log 2
2σλk P m i i i ⋅
Γ+=进行量化可得出每根天线分配到的比特)(k R i ； Step4: 根据式（3.9）计算系统数据速率；
Step5 : 1k k =+()1P k =,跳转至Step2
实际上这种算法时把信道 H 分解成了))((H rank m 个相互之间独立并行的子信道并根据各个子信道的好坏来分配不同的发送功率。
信道好，全力发送；差一些，相应的减少功率；而当某一信道太恶劣时，再分配给它功率无助于容量的增加，那么只好关闭这种信道（不分配功率），而把功率分配给其他好的信道。
注水原理图为：
根据MIMO 信道容量推导的有关内容，不难得到基于注水算法MIMO 系统的信道容量为：
()22211log 1m
i i C λμσσ+=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑ 3、比特分配
常用的矩形QAM 星座包括4QAM 、8QAM 、16QAM 、32QAM 、64QAM 、128QAM 和256QAM 等，每个星座点分别对应得比特数量为2、3、4、5、6、7和8等。
当采用QAM 调制方式且SNR 在dB 30~0范围内时，BER 存在一个误差小于
1dB 的上界[9]
)12/(6.12.0--≤M SNR e BER
此时 BER 和SNR 的关系可以近似为：
⎪⎩
⎪⎨⎧-=Γ=Γ-=)5ln(/6.1),6,4,2,1(,12BER M SNR M Λ 可得： )
1(log 2i i SNR m ⋅Γ+=,
)1(log 12i m i w SNR C ⋅Γ+=∑=
i m 为第i 根天线分配的比特数，w C 是归一化的信道容量，也即最大数据速率。
而该数据速率是连续的,而在实际的传输中,由于实际调制方式的限制,某一时刻实际的数据速率是离散的,，因此需要对i m 进行量化。
量化后的数据速率为：（容量最大化等价于数据速率最大化）
))1((log 12i m
i SNR round R ⋅Γ+=∑= （3.9）。