等差数列前n项和的最值问题的两个解法(20201005090556)
《等差数列的最值》解题方法
=2/9(n2-10n)
=2/9(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。 所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
例 1 已知等差数列{an}中，a1=-2, d=4/9。求前n项和的最值。
解：依求前n项 和的公式有 Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =（2/9）n2-20/9×n =（2/9）×(n2-10n) =（2/9）(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
小结：
练习： 1 在等差数列{an}中，a1+a2=91, a2+a3=85,求此数列的最值 及取得最值时的n. 2 在首项是31，公差为-4的等差 数列中，与零最靠近的项是第 几项？
作业：
1 一个首项为a(a>0)的等差数列,前3项和
与前10项和相等,问此数列的前几项和
最大，并求出最大值。 2 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知 a13=12,
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
等差数列前n项求和公式方法
等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。
其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。
一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。
设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。
1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。
可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。
2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。
二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。
则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。
三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。
3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。
4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。
等差数列前n项和的最值问题(精品文档)
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
等差数列前n项和的最值问题精编版
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
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2
等差数列前 n 项和的最值问题的两个解法
求等差数列前 n 项和 S n 最值的两种方法：
1. 函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 S n an bn ，
通过配方或借助图象 求二次函数最值的方法求解， 一定注意 n 是正整数。
2. 邻项变号法：
① a 1
0,d
0 时，满足
a n a n 1 0
的项数 m 使得 0
S n 取得最大值为 S m ；
② 当a 1
0, d 0 时，满足
a n
a n 1 0
的项数 m 使得 0
S n 取得最小值为 S m .
例 1、等差数列 { a n } 前 n 项和为 S n ，已知 a 1 13, S 3 S 11 ，当 S n 最大
时， n 的值是 ( )
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
解：选 C.
方法一：由 S 3 S 11 得 a 4 a 5
a 11 0 ，
根据等差数列性质可得 a 7 a 8 0 ，
根据首项等于 13 可推知这个数列递减，
从而得到 a 7 0, a 8 0 ，故 n=7 时， S n 最大.
方法二：由 S 3 S 11 可得 3a 1
3d 11a 1 55d ，把a 1 13 代入得 d 2 ，
故 S n 13n n (n 1)
n
2
14n ，根据二次函数性质，当 n=7 时， S n 最
大.
方法三：根据
a 1 13
, S 3
S 11
，知这个数列的公差不等于零
.由于
S3S11 说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，
当S
3S11 时，只有n 3 11
2
7 时，S n 取得最大值.
练习：
1. 已知在等差数列{ a n } 中，a131 ，S n 是它的前n 项的和，S10 S22 .
（1））
求最大值.
S n；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个
解析：（1）∵S
10
a1 a2a10 ，S22 a1 a2 a 22 ，又S10 S22 ，
∴d 2 ，∴a
11
S n
a
12
na1
a
22
n(n
2
1)
d
，则
32n
a
11
n2
a
22。
2 a131d 0 ，又a131 ，
（2））方法一：由（1）中可知
S
n
32n n2(n 16)2256，
∴当n＝16 时，S
n 有最大值，S n
的最大值是256.
方法二：由a
n
S n S n 1 ，可得a n2n 33.
由a
n 2n 33 0 a，得n
33 ；
2
由a
n 1 2n 31 0 ,得n31 n；
2
又n 为正整数，所以当n=16 时，S
n 有最大值
256.
2、设等差数列{a n} 的前n 项和为S n, 已知a3=12,S12>0,S 13<0.
(1) 求公差 d 的取值范围；
(2) 求{a n} 前n 项和S n最大时n 的值.
12a1 66d 0,
解析：(1) ∵S12>0,S 13<0, ∴13a
1 78d 0, ∴-
24
7
＜d<-3.
a1 2d 12.
(2) 由S13 a1a13 13a 0, 知a7<0,
13 7
2
S 12=6(a 1+a12)=6(a 6+a7)>0, 知a6>0,
又∵ d＜0, ∴n≤6 时，a n>0,n ≥7 时，a n<0,
∴S6最大，即n=6.
3. 已知数列{a n} 是等差数列，且a2=-1 ，a5=5.
(1)求{a n} 的通项a n. (2) 求{a n} 前n 项和S n的最小值.
解：(1) 设{a } 的公差为d，由已知条件，a
1 d 1,
解得a
=-3 ，
n
d=2，所以a n=a1+(n-1)d=2n-5.
1 a1 4d 5，
n n 1
2 2
(2)S n= n a
1
d n 4n n 2 4 . 2
所以n=2 时，S n取到最小值-4.。