两个不同的费尔马定理
关于费马定理
学院学术论文题目: 费马定理的有关讨论学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：课题：费马定理【摘要】1637年后，法国数学家得出了下面一个结论：当n ≥3时，不定方程n n n z y x =+没有正整数解。
但并未找到关于这个结论的证明，这个问题也困惑了许多人。
在中国古代也有人提出类似的问题当2p=2(mod p)，p 才是一个质数。
如p 是一个质数的话，则2p = 2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。
但反过来，假如2p = 2(mod p)成立那么p 是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。
【关键词】费马小定理、整除、质数费马小定理费马小定理是数论中的一个定理,其内容为:假如a 是一个整数，p 是一个素数的话，那么 ()p a a p mod ≡假如a 不是p 的倍数的话，即()1,=p a 那么这个定理也可以写成：()p a p mod 11≡- 因而).(mod p a a p ≡若),1,≠p a 则a p ，故()p a a p mo d≡ 关于费马定理的历史皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。
在他的信中费马还提出a 是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。
与费马无关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当 2p ≡2(mod p)，p 才是一个质数。
假如p 是一个质数的话，则2p ≡2(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。
但反过来，假如2p ≡ 2(mod p)成立那么p 是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。
因此整个来说这个猜想是错误的。
一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解关于费马定理证明假如a 差不能被p 整除的话 ， 那么假如x>0 ，x 和p 的最 大 公约数为1的话(a,p 互素) ， 则a x 与 p x 的差也不能被n 整除(也就是说x.a,x.a,.....(p-1).a 不是模n 同余的)。
欧拉定理和费尔马定理
欧拉定理和费尔马定理欧拉定理和费尔马定理是数学中非常重要的两个定理，它们在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将分别介绍这两个定理的定义、证明和应用。
欧拉定理，也称欧拉-费马定理，是数论中的一个重要定理，它描述了模运算下的幂运算的性质。
具体来说，欧拉定理指出，如果a 和n是正整数，且它们互质，那么a的φ(n)次幂与1对n取模的余数等于1，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
即：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明欧拉定理的方法有很多种，其中一种比较简单的方法是利用费马小定理和欧拉函数的性质。
具体来说，我们可以先证明当n为质数时欧拉定理成立，然后再利用欧拉函数的性质推广到一般情况。
这个证明过程比较复杂，不在本文的讨论范围内。
欧拉定理在密码学中有广泛的应用，特别是在RSA加密算法中。
RSA算法是一种公钥加密算法，它的安全性基于大数分解的困难性。
RSA算法的加密过程中需要用到欧拉定理，具体来说，就是利用欧拉定理来计算模逆元，从而实现加密和解密的过程。
费尔马定理是数论中的另一个重要定理，它描述了模运算下的幂运算的性质。
具体来说，费马定理指出，如果p是一个质数，a是一个整数，那么a的p次幂与a对p取模的余数等于a本身，即：a^p ≡ a (mod p)证明费马定理的方法比较简单，可以利用二项式定理和费马小定理来证明。
具体来说，我们可以将a^p表示为(a-1+1)^p，然后利用二项式定理展开，再利用费马小定理来化简，最终得到费马定理。
费马定理在密码学中也有广泛的应用，特别是在椭圆曲线密码学中。
椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线离散对数问题的加密算法，它的安全性基于椭圆曲线上的离散对数问题的困难性。
椭圆曲线上的离散对数问题可以利用费马定理来求解，从而实现加密和解密的过程。
欧拉定理和费马定理是数学中非常重要的两个定理，它们在密码学、代数、几何等领域都有广泛的应用。
熟练掌握这两个定理的定义、证明和应用，对于理解和应用相关领域的知识都有很大的帮助。
费马小定理 素数判定 蒙哥马利算法
费马小定理素数判定蒙哥马利算法(强烈推荐）2009-11-07 12:42费马小定理素数判定蒙哥马利算法约定：x%y为x取模y，即x除以y所得的余数，当x<y时，x%y=x，所有取模的运算对象都为整数。
x^y表示x的y次方。
乘方运算的优先级高于乘除和取模，加减的优先级最低。
见到x^y/z这样，就先算乘方，再算除法。
A/B，称为A除以B，也称为B除A。
若A%B=0，即称为A可以被B整除，也称B可以整除A。
A*B表示A乘以B或称A乘B，B乘A，B乘以A……都TMD的一样，靠！复习一下小学数学公因数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以整除A也可以整除B，那么C就是A和B的公因数。
公倍数：两个不同的自然数A和B，若有自然数C可以被A整除也可以被B整除，那么C就是A和B的公倍数。
互质数：两个不同的自然数，它们只有一个公因数1，则称它们互质。
费马是法国数学家，又译“费尔马”，此人巨牛，他的简介请看下面。
不看不知道，一看吓一跳。
/BasicStudy/LearnColumn/Maths/shuxuejiashi/j12.htm费马小定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到，原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：(N*(N^(P-1)-1))%P=0请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数，小学知识了^_^又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P因为M是整数，显然：(N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1============================================积模分解公式先有一个引理，如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，则有：(X+Y)%Z=Y%Z这个不用证了吧...设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z想了很长时间才证出来，要分情况讨论才行：1.当X和Y都比Z大时，必有整数A和B使下面的等式成立：X=Z*I+A（1）Y=Z*J+B（2）不用多说了吧，这是除模运算的性质！将（1）和（2）代入(X*Y)modZ得：((Z*I+A)(Z*J+B))%Z乘开，再把前三项的Z提一个出来，变形为：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）因为Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整数倍……晕，又来了。
费马大定理的故事
费马大定理的故事彼埃尔.德.费马(1601-1665)是数学史上最伟大的业余数学家,他的名字频繁地与数论联系在一起,可是他在这一领域的工作超越了他所在的时代,所以他的同代人更多地了解他是从他的有关坐标几何(费马独立于笛卡尔发明了坐标几何),无穷小演算(牛顿和莱布尼茨使之硕果累累)和概率论(本质上是费马和帕斯卡共同创立的)的研究中得出的.费马并不是一位专业数学家,他的职业是律师兼土伦地方法院的法官.费马登上法学职位后开始了业余数学研究;虽然他未受过正规的数学训练,但他很快对数学产生了浓厚的兴趣,可惜他未养成发表成果的习惯,事实上在其整个数学生涯中,他未发表过任何东西.另一方面,费马保持了跟同时代的最活跃和最权威的数学家之间的广泛的通信联系.在那个由数学巨人组成的世界里,有笛沙格,笛卡尔,帕斯卡,沃利斯和雅克.贝努里,而这位仅以数学为业余爱好的法国人能和他们中任何一位相媲美.著名的费马大定理的生长道路即漫长又有趣.1453年,新崛起的奥斯曼土耳其帝国进攻东罗马帝国的都城-----君士坦丁堡陷落了.拜占庭的学者纷纷逃向西方,也带去了希腊学者的手稿,其中就有刁番都的<<算术>>.这本书一直流传到今天,但在1621年前几乎无人去读他.这一年,克罗德.巴舍按照希腊原文重新出版了这本书,并附有拉丁译文,注释和评论.这才使欧洲数学家注意到这本书,似乎费马就是读了这本书才对数论开始感兴趣的. 在读<<算术>>时,费马喜欢在页边空白处写一些简要的注记.在卷II刁番都问题8旁边的空白处,原问题是"给定一个平方数,将其写成其他两个平方数之和",费马写道:"另一方面,不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个四次幂写成两个四次幂之和.一般地,对于任何一个数,其幂大于2,就不可能写成同次幂的另外两个数之和.对此命题我得到了一个真正奇妙的证明,可惜空白太小无法写下来."用代数术语表达,刁番都问题是想求出方程:x2+y2=z2的有理数解,这已经由古希腊数学家欧几里德得到:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2而费马在页边的注解断言,若n是大于2的自然数,则方程x n+y n=z n不存在有理数解.这就是我们今天称为费马大定理的由来.尽管在普通人的心目中,相信费马真的找到了一个奇妙的证明,但他毕竟是一个动人的故事,17世纪的一位业余数学爱好者证明了一个结果,他使得其后350年间的数学家起来为之奋斗了,然而却劳而无功.他的问题是如此简明,因而这个故事更富有感染力.而且永远存在费马是正确的可能性. 从费马的另一处注解中,数学史家发现了费马唯一具体的对于n=4的情形做的证明,在这个证明中,费马发明了一种"无穷递降法",他利用了整数边直角三角形的面积不可能是平方数的结论,假设方程:x4+y4=z4有一组有理解,令a=x4,b=2x2z2,c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)2=s2+2st+t2 得到:a2+b2=(z4-x4)2+4x4z4=z8-2x4z4+x8+4x4z4=(z4+x4)2=c2.并且有:ab/2=y42x2z2=(y2xz)2=d2于是,a2+b2=c2,并且ab/2=d2.但是这已经证明是不可能的,因此假定n=4时有解是错误的. 对于n=3的情形,后来的欧拉在1753年用了一种有缺陷的方法证明了这个命题.他使用了一种"新数",即形如a+b√-3的数系,这个数系在许多方面与整数有相似之处,两者都构成一个数环.但他并不具备整数的全部性质,欧拉证明中用到的最要紧的性质是唯一因子分解定理,对于a+b√-3数系,这个定理碰巧也成立,所以欧拉的结论是正确的.但是换成别的形式比如a+b√-5,则唯一因子分解定理就不成立了.关于对于什么样的数系唯一因子分解定理成立的理论叫做示性类理论.接着,1825年,20岁的狄利赫莱和70岁的勒让德同时证明了n=5.1832年,法国杰出的女数学家索非.热尔曼证明:若p是奇素数并使得2p+1也是素数,则费马大定理成立.1839年,拉梅证明了n=7.取得突破性进展的是德国数学家E.库莫尔,1847年,他证明了对于小于100的除了37,59和67这三个所谓非正则素数以外,费马大定理成立.在这一证明过程中,库莫尔的最重要贡献不在于费马大定理本身,而是发明了一种全新的概念-----理想数,这是一种特别有用的涉及范围极广的概念,他将引出一个更一般的概念------理想,以及整个新的数学分支-----理想论,后者的基本原理现在已经成为大学一般数学系学生的必修课.1983年,29岁的德国数学家G.法尔廷斯证明了一个结论:对于每一个大于2的指数n,费马方程x n+y n=z n至多有有限多个解.这一证明使他赢得了1986年的菲尔兹奖.他把存在无穷多个解的可能性降低到最多只可能有有限多个解,这确实是一个巨大的成就.但是,费马大定理被彻底征服的途径一定会使涉及到这一领域的所有前人出乎意外,最后的攻坚路线跟费马本人,欧拉和库莫尔等人的完全不同,他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论,模形式理论,伽罗华表示理论,等等)综合发挥作用的结果.其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论.在50年代,日本数学家谷山丰和志村五郎提出一个猜想:有理数域上的每条椭圆曲线都有同构的模形式存在(今天我们一般称之为谷山-志村猜想).所谓椭圆曲线是由椭圆积分衍化而来的,他是如下形式的三次曲线:y2=Ax3+Bx2+Cx+D 而模形式是解析数论中研究的一种函数的运算(模函数是满足某种线性变换的复变函数,而摸形式是处处全纯的摸函数运算,全纯是指函数的摸是有限的).而通过相似的格,可以将椭圆曲线与摸形式联系在一起.从60年代开始,有人将费马方程x n+y n=z n和形如y2=x(x+A)(x+B)(1)的椭圆曲线相联系,最初的着眼点是利用跟费马大定理有关的结论来证明与椭圆曲线有关的结论.1984年秋,G.弗赖在两者的联系方面迈出了关键性的一步,他参加了在德国黑森州奥波沃尔法赫小城举行的一次数学讨论会上演说中提出:假定费马大定理不成立,即存在一组非零整数a,b,c使得a n+b n=c n (n>2),那么用这组解构造出的形如(1)的椭圆曲线(在(1)中令A=a n , B=-b n ,现在称这类椭圆曲线为弗赖曲线),不可能是摸形式.而这与谷山-志村猜想矛盾.如果弗赖的结论和谷山-志村猜想都得到证明是正确的,根据反证法的逻辑可知,"假定费马大定理不成立"是错的,因而导出费马大定理正确.可惜弗赖本人未能证明自己的论断;但是在1986年,K.里贝特按照美国数学家J.P.赛尔的思想证明了弗赖的论断.于是,证明费马大定理的工作归结为去证明谷山-志村猜想.当时的数学家们普遍认为,要证明谷山-志村猜想还是很遥远的事情,但是,年轻的英国数学家安德鲁.怀尔斯对这种看法不以为然,他立即集中全部精力去证明这个猜想.经过7年的艰苦奋斗,怀尔斯于1993年6月在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所举行的数学讨论会上,报告了他对如下结论的证明:对于有理数域上的一大类椭圆曲线(用专业术语称为半稳定的椭圆曲线),谷山-志村猜想成立.由于弗赖曲线恰好属于半稳定的椭圆曲线的范围,因此费马大定理自然地成为怀尔斯的推论.据称怀尔斯的证明长达200页.按照数学界的习惯,他的证明在得到确认之前,必须经过其他有关数学家的详细审查,尽管当时许多人相信怀尔斯的证明是经得起推敲的.好事多磨,事情并未就此了结.有关怀尔斯的证明中存在漏洞的传闻不胫而走.1993年12月4日,怀尔斯给他的同行们发出了一封电子邮件,承认他的证明中确有漏洞.数学家对待证明的态度是十分严肃的,不容半点含糊.1994年10月25日,美国俄亥俄州立大学的教授K.鲁宾以电子邮件的形式向数学界的朋友发出了谨慎而乐观的消息:"今天早上,有两篇论文已经发表,他们是:"椭圆模曲线和费马大定理",作者是安德鲁.怀尔斯;"某些赫克代数的环论性质",作者是R.泰勒和安德鲁.怀尔斯.第一篇是一篇长文,...他宣布了费马大定理的一个证明,而这个证明中关键的一步依赖于第二篇短文...."1995年7月号的"美国数学会通告"上发表了G.法尔廷斯的文章,题为"R.泰勒和A.怀尔斯对费马大定理的证明".他开宗明义,以肯定的语调宣称:"在本文题目中所提到的猜想于1994年9月终于被完整地证明了."至此,人们相信那个搅扰了数学家300多年的著名的猜想真正成为了一条定理!虽然费马大定理已经被证明了,但是也引起我们深入的哲学思考,怀尔斯是用归纳法来证明谷山-志村猜想的,即对于椭圆曲线的E-序列,对应着模形式的M-序列,并且应用了数学中高深的群论思想.那么我们要想,当年费马写在刁番都<<算术>>的空白处的"奇妙的证明"到底存在吗?无独有偶,我国的一位学者蒋春喧在怀尔斯之前就已经用初等数学的方法证明了费马大定理,并且得到了我国数论专家乐茂华和美国科学家桑蒂利的支持,想必不会是没有根据的错误论证.我们假设是正确的,那么这是否就是费马本人想到的那种"奇妙的证明"呢?对于这个问题,我们只能关注事态的发展,拭目以待最后的结果了.我至今还未找到我国学者蒋春喧的有关费马大定理的简单证明.等我找到之后会写完本篇文章,如果那位网友能帮助我找到,我将不胜感激,谢谢.获奖和评论1995-96年度数学沃尔夫(Wolf)奖由怀尔斯和朗兰兹(Robert P. Langlands)分享，于1996年3月24日在耶路撒冷由以色列总统魏兹曼颁发，奖金十万美元.沃尔夫基金会称，怀尔斯得奖是“由于对数论及相关领域的壮观贡献，由于在若干基本猜想上得到的巨大进展，由于解决了费尔马大定理". 美国数学会的报道说, 怀尔斯引入深刻的奇异的方法, 对于数论中一些长期未决的基本问题的解决作出了巨大的贡献.例如, BSD猜想, 伊瓦萨瓦(Iwasawa)理论主猜想, 和谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想. 他的工作的顶峰是对令人称颂的费尔马大定理的证明, 此定理塑造了过去两个世纪大多数论的形态. 朗兰兹是60岁的著名数学家，他的“朗兰兹猜想"影响深远，博大精深.沃尔夫数学奖的历届得主都是极负盛名的数学家，如盖尔丰德，西格尔，韦伊，嘉当，陈省身，小平邦彦等. 该奖是国际上极有影响的大奖，由沃尔夫捐款在1978年设立. 也有化学,医药,农业,和艺术奖.（沃尔夫原居德国，一战前移居古巴，1961年起任古巴驻以色列大使，后留居以色列.与德国专门为费马大定理而设的沃尔夫斯克尔奖无关.）.怀尔斯获美国“国家科学院奖”被宣布是奖励“他对费马大定理的证明，这是他发明了一种美丽的战略，证明了志村五郎-谷山丰猜想的一大部分才完成的;也是奖励他在追求自已的思想实现的过程中所表现出的勇气和技巧力量". 此奖是在1988年为纪念美国数学会一百周年设立的, 奖金五千美元，奖给近十年内发表的杰出数学研究. 以前的得主是朗兰兹(1989)和麦克费尔逊(1993).美国数学会在上述得奖报道中,刊登了怀尔斯过去的导师剑桥大学的蔻茨(J. Coates)的评论文章. 文章说: 怀尔斯在牛津大学毕业后, 于1974-75学年度到剑桥."他的天才很快被斯文哪尔敦--戴尔(Swinnerton-Dyer)注意到. 他因管理剑桥大学太忙, 不能作怀尔斯的研究生导师,对这我很高兴. 结果当怀尔斯1975夏开始科研时,我非常幸运地得以能指导他的数学研究第一步"."我们最后得以证明平行于伊瓦撒瓦的结果",证明了BSD猜想的秩零特殊情况."我很快认识到他具有两个显著的数学禀赋,我相信这在他以后的全部数学生涯中都起了关键的作用.第一,他优先于一切地要去证明困难的具体定理,而不愿去作优美的无所不包的猜想. 第二, 他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制, 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果".到1980年代中期, 怀尔斯"对于伊瓦撒瓦理论主猜想和关于希尔波特模形式的伽罗华表示的研究贡献, 已经使他成为过去150年以来对代数数论作出渊深贡献的极少数优秀数学家之一. 但是, 正象我们现在所知道的, 他并没有躺在这些桂冠上休息, 而从1986年夏他又一直默默地工作着, 朝向一个更伟大的目标.""过去35年的代数数论和算术代数几何,大多被猜想所统治, 而少有肯定的定理. 这并不是要贬毁期间证明的许多优美的定理, 只是要指出太常有的情况: 面对着那些大叠大排的猜想, 这些肯定的结果显得太拘谨, 而那些猜想的证明要留作代数数论的长期目标(例如, 椭圆曲线的BSD猜想, 或者阿庭关于他的非阿贝尔L-函数的全纯猜想). 安德鲁·怀尔斯的工作是对这种研究模式的绝妙解毒剂,也是我们时代的最响亮的警示: 我们是能够期望最终解开数论中那些最深奥的神谜的."怀尔斯的生平安德鲁.怀尔斯(Andrew Wiles)1953年4月11日生于英国剑桥.(所以他1993年6月宣布证明时,刚过四十岁生日两个多月.) 1971年入牛津大学莫顿(Merton)学院学习, 1974年获该校学士学位. 同年入剑桥大学柯雷尔(Clare)学院学习, 1980年获该校博士学位. 1977至1980年，是柯雷尔学院的“青年研究会员”和哈佛大学的“本杰明·裴尔斯助教授”. 1981年是波恩的“理论数学专门研究院”访问教授，此年稍后，为美国普林斯顿的“高等研究所”研究员. 1982年成为普林斯顿大学教授，该年春是奥赛的巴黎大学访问教授. 作为古根海姆特别研究员，他1985--86年是科学高级研究所(IHES)和高级师范学校(ENS)的访问教授. 1988至90年，是牛津大学皇家学会研究教授. 1994年，他取得现在的普林斯顿大学欧根·黑金斯数学教授职位. 怀尔斯于1989年被选为在伦敦的皇家学会研究员. 1995年获瑞典皇家科学院的数学韶克奖. 同年获费尔马奖，由保罗萨巴提尔大学和马特拉马克尼空间颁发. 1996年获沃尔夫奖，和[美国]国家科学院奖.费马大定理的玩笑很多年以前，一个叫作费马的同志在法院工作，他总是抱这么一本书－－丢番图写的《算术》第三册，正如很多年以后一个叫做Jonny的人总是抱着一本Windows NT 宝典一样。
费尔马大定理
费尔马大定理我们知道，勾股定理公式（毕达哥拉斯方程）x2+y2=z2有整数解，即能找到三个整数x、y、z，使x2+y2=z2成立。
那么对于方程x n+y n=z n（n>2），是否有整数解呢？大约是在1637年，法国业余数学家皮埃尔.德.费马令人惊讶地宣称，方程x n+y n=z n（n>2）根本没有解存在。
他的这个论断写在他阅读的公元前三世纪的希腊数学家丢番图的《算术》的页边处，他写到：不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。
这是一个异乎寻常的结论，但是费马相信他能够证明这个结论。
在列出这个结论的第一个边注后面，这个常常只叙述问题而将问题的解答隐藏起来的天才数学家草草写下一个附加的评注，这个评注苦恼了一代又一代的数学家们：我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。
他的话暗示人们，他由于发现这个“十分美妙”的证明而特别愉快，但却不屑费神写出这个论证的细节，从不介意去发表它。
他从未与任何人谈过他的证明，然而不管他如何谦逊和无心于此，费马大定理（就像后世人们所称呼的那样）终将在未来的几个世纪闻名于全世界。
由于费马与数学界人士不相往来，他的各种发现处于被永远遗失的危险之中。
幸运的是，费马的长子克来孟—塞缪尔意识到他父亲的业余爱好所具有的重要意义，决心不让世界失去父亲的发现。
他花了5年的时间收集他父亲的注记和信件，检查那本《算术》书的页边空白处草草写下的字迹。
那条被称为费马大定理的边注只是涂写在这本书中的许多由灵感而生的思想之一。
1670年，克来孟—塞缪尔出版了《附有P.de费马的评注的丢番图的算术》。
费马的注记包含了整整一系列的定理。
不幸的是，对这些评注或者根本没有任何解释，或者仅仅给出对证明的一点点提示。
其中略微透露出的带有挑逗性的逻辑推理，足以使数学家们毫不怀疑费马已经有了证明的方法，而补全所有的细节就作为一种挑战留给了数学家们。
费尔马大定理一种最简洁的证明
费尔马大定理一种最简洁的证明费尔马大定理的命题为：方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n 都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2 。
下面给出证明。
n取1的话，a，b，c可以为正整数无须证明。
现在我们把n取一个大于1的固定正整数，让a和b各自从1开始，到2，再到3，再到4，再到5·····这样以正整数逐步增大。
我们发现c的值按照费尔马方程【我们将费尔马方程定义为（定义1）：a的n次方 + b的n次方 = c的n次方，其中a，b，c，n都是非零正整数，n＞1】的对应法则，随着a,b的增大而增大，c的值（还不是正整数之前）全部都是一系列正整数的n分之1次方的无理数【结论1】。
并且，c值不能小于2【结论2，证明：因为a和b最小的值是1】c 的值随着a,b的增大而增大，在K范围内，假如我们突然发现c 的值出现了一个是正整数【我们把这个数叫费尔马数，费尔马数定义为（定义2）：方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”中[ a，b，c，n都是非零正整数，n＞1]c的值】。
以上的K大于或者等于c的n次方。
这个时候c大于a和b，而小于a+b，c,a,b又都是正整数，所以，数轴c,a,b我们可以用一个三角形P来表示。
令θ为a，b之间的夹角，c是最大边，θ为最大角，这样θ大于60度。
按照勾股定理，如果θ等于90度，n的值是2【结论3】。
结论4：当n大于2时候，θ小于90度。
理由如下：当n越大的时候，a+b-c就越大，导致c比起a+b就越小，c所对应的角度θ就越小。
比如用5² = 3 ²+ 4 ²和（4.497····）³= 3³+4³相比较。
n等于2时候, a+b-c = 2, 当n等于3时候，a+b-c =2.503·····结论5：以上三角形的三个边a,b,c【c是最大边，a,b,c都是正整数】，c可以由a和b各自从1开始，到2，再到3，再到4，再到5·····按照三角形对应法则变化而得到。
世界上费尔马大定理的最简单证明
世界上费尔马大定理的最简单证明1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierrede Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a的n次方+ b的n次方 = c的n次方是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。
此猜想后来就称为费尔马大定理。
费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。
一般公认，他当时不可能有正确的证明。
英国的数学家怀尔斯证明长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页，怀尔斯的证明获得了世界的公认。
现在发现怀尔斯的证明是错误的，或者说是无效的，因为怀尔斯的证明里面含有一些自定义概念，什么意思？就是怀尔斯把一些问题拖入了一个不确定的状态，打个比方，我们问：“地球通过什么东西把引力传给月球，怀尔斯回答：是通过引力子传输的。
但是，引力子是什么？这个问题更加难以回答。
怀尔斯的证明太复杂了，证明，就是把一些不确定、不明朗的问题解释给大伙看，这么复杂的证明把大伙搞得更加糊涂，失去了证明本身的意义。
费马的简单绝妙的证明有没有？回答是有的，下面给出证明，满足一下大家的好奇心。
对于方程：a的n次方 + b的n次方 =c的n次方（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数）可以大致判断一下，c大于a和b，而小于a+b，如果c,a,b是正整数，我们可以用三根数轴c,a,b来描述c,a,b，让三根数轴c,a,b处于一个平面内，由于c大于a和b，而小于a+b， c,a,b都不为零，所以，数轴c,a,b可以组成一个三角形，这样，c2 = a2 + b2 - 2abcosθθ为a,b之间的夹角。
我们让a和b值一点一点的增加，式c2 = a2 + b2 - 2abcosθ中c的增加量是开2次方的无理数或者分数或者正整数，而方程“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”中的c的增加量是一个开n次方的无理数，所以，只有n为1和2时候，二者才没有矛盾。
费马大定理,哥德巴赫猜想和黎曼假设
费马大定理,哥德巴赫猜想和黎曼假设
费尔马大定理：费尔马大定理由17世纪法国数学家皮耶-德-费玛提出，他断言当整数n>2时，关于x,y,z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁-怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。
黎曼假设：素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z（s$的性态。
著名的黎曼假设断言，方程z（s）=0的所有有意义的解都在一条直线上。
这点已经对于开始的1500000000个解验证过。
证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想内容为：一是任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；二是任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和。
费尔马大定理
费尔马大定理1费尔马大定理费尔马大定理是18级法国数学家安东尼-费尔马提出的一个重要定理，它将正整数上的不变性和算术性质联系起来。
该定理指出，如果一个自然数是大于2的素数，那么任意一个小于该自然数的整数乘积加上1都可以分解为该自然数的多个因子的乘积。
费尔马大定理的完美表达为：“对于所有大于2的素数p，任何一个小于p的正整数n都可以分解为p和n的乘积加1的多个因子的乘积。
”该定理由安东尼·费尔马于1849年首次发表，后来由他的朋友和同学贝洛妮斯·乔治·皮埃尔·科森克发表了该定理的受欢迎和著名的演绎证明。
2演绎证明科森克对费尔马大定理进行了演绎证明，即证明该定理是从离散算术理论它的先前命题中推导出来的。
他的演绎证明建立在以下基础上：1.基于Quadratic Reciprocity：设n为偶数，则有：如果质数p0分别被p1和p2模n，则p0可定义为满足(p1，p2)≡1（mod n）。
2.Wilson定理：素数p是当且仅当$p^2\equiv1\(mod\p^{2})$成立。
3.费尔马小定理：给定正整数n和p，如果p是一个素数，那么$n^{p-1}\equiv1\(mod\p)$。
由上述介绍和以上定理可以推导出费尔马大定理：“对于所有大于2的素数p，任何一个小于p的正整数n都可以分解为p和n的乘积加1的多个因子的乘积。
”3应用费尔马大定理有着广泛的应用。
在密码学中，用该定理可以快速计算公钥策略，并用来编写RSA类型的密码算法。
此外，费尔马大定理还用于数学中的群理论，用于分析各种变化的数论性质，例如定义线性群，黎曼猜想，量子物理和量子点等。
费马小定理公式
费马小定理公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：费马小定理是代数数论中的一个经典定理，由17世纪法国数学家费尔马（Pierre de Fermat）提出并证明，被誉为“代数数论中最伟大的定理之一”，具有重要的理论和实际应用价值。
费马小定理的表述是：若素数p不整除整数a，则a^(p-1) ≡1(mod p)。
这个定理的证明虽然简单，但却展示了数论中深刻的思想。
费马小定理公式对解决素数、质数、同余式等数论问题具有重要的意义。
利用费马小定理，可以很容易地证明一个数是否为素数，或者计算一个数的幂的余数。
由于费马小定理的简洁性和实用性，它在密码学领域也得到了广泛的应用。
比如RSA加密算法就是建立在费马小定理的基础上的。
费马小定理的证明思路是：考虑p不整除a的情况。
由于p是素数，a与p互质，所以a的所有幂都模p同余于1，即a^1 ≡ a^2 ≡ a^3 ≡ ... ≡ a^(p-1) ≡1(mod p)。
然后，考虑p整除a的情况。
在这种情况下，显然a^p ≡ a (mod p)，即a^(p-1) ≡ a^(p-1) (mod p)。
由于a与p 互质，所以a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
综合两种情况，费马小定理成立。
费马小定理的证明虽然简单，但却是一个典型的数论问题，展示了数论中的深刻思想和技巧。
费马小定理的重要性不仅在于它本身的意义，更在于它作为代数数论一个重要的基础概念，为后续的数论发展奠定了基础。
费马小定理在概率论、统计学、密码学等领域都有广泛的应用。
在密码学领域，费马小定理被广泛应用于RSA加密算法中。
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它利用了费马小定理中模幂运算的特性，使得计算机之间的信息传输更加安全可靠。
费马小定理是代数数论中一个具有重要理论和实际应用价值的定理。
它不仅有着深刻的数学思想，还在实际问题中有着广泛的应用。
通过学习费马小定理，可以更深入地理解数论中的一些重要概念，同时也可以应用它解决一些实际的问题。
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这个类猜想最初是来源于古希腊数学家丢番 图的著作《 算术》 书． 一 费尔 马认为 自己有一个奇妙 的证 明 方法可以验证猜想的正确性 ， 他把他的证明方法写在《 算术》 的空 白处 ， 现在有人认为因为空 白处太小 ， 没有 把所有证明过程写下来 ， 也有很多人认 为即使有足够 的空白， 很可能费尔马 的证明也是错的， 后来 的数学家 们 一直 不 断寻 找方法 来证 明这 个猜 想 ， 直 没有理 想 的结果 ，９６年有 人证 明 ， 尔马 大定 理对 所 有 ｎ＜１ 一 １７ 费 ０ 是成立的； ８ 年 Ｇ Ｆｈｎｓ 明了对任意给定的 ｎ ３ 必存在一个与 ｎ １ ３ ９ ． ａｉ 证 ｇ ＞， 有关的整数 ｚ＝ 。 ｎ ， 。 ｚ（ ）使得 当 ｚ ＞ ｚ 时 ｘ ＋ “ Ｚ 无整数解 ， ０ “ Ｙ＝ “ 但是这个 ｚ 一直不能具体 计算 出来 ；９８年， ０ １０ 哥廷根 皇家科学会对此猜想悬赏 １ 马克， ０万 仍无 人 问津 ，即使 用 现代 的电子 计 算机也 只能证 明 ： ｎ小 于等 于 ４ ０ 当 １０万时 ， 马大定 理 是正 确 费 的． 直到 １９ 年再次打破沉寂 ，９３ ６月 ， ９３ １９ 年 普林斯顿大学 ４ 岁 的数学家威尔斯 （ ｎｒｗ・ ｌ ，９３一） ３ Ａ ｄｅ Ｗｉ ｓ１５ ｅ 宣布 自己证明了困惑了数学家 ３８年的谜一费尔马大定理 ， ５ 他在剑桥大学牛顿数 学研究所的研讨会正式发 布， 这个报告马上震惊整个数学界 ， 不过威尔斯的证明马上被检验出有少许 的瑕疵 ， 於是威利斯与他 的学生 又花了十四个月的时间再加 以修正．９４年 ９月 １ １９ ９日他们终於交 出完 整无 瑕的解答 ； 的 １８页的论文 他 ０ 《 曲线与费马大定理》 模 在当代最有权威的数学杂 志《 数学年刊》 上发表 ， 隐居” 他“ 七年 ， 在完全对外界保密 的情况下 ， 猛攻数学史上最著名 的难题之一 ， 最后成功地证明了费尔马大定理． 他不仅解决了一个数学难题 ， 而且促进 了代数数论和算术代数几何的建立 ， 形成 了很多现代数论新的前沿理论． 费尔马大定理终结者威尔 斯 因此 获得 世界 唯一 菲尔茨 奖 特别 奖 ， 尔夫 奖 和邵 逸夫奖 ． 沃
当ａ 与模互素时 ， 可以在费尔马同余式两边消去公因式 ａ 得到下面结果 ： 若正整数 ａ 与素数 Ｐ 互素 ， ａ ；ｌ ｍ ｄ ） 则 （ ｏｐ 这个 结果 和 费尔 马小定 理 等价 ， 一般 也称 为费 尔马 定理 ．
费尔马于 １３ ６６年发现了这个定理 ， 在一封 １４ 年 ｌ 月 １ ６０ Ｏ ８日的信中他第一次使用了上面的书写方式． 在他 的信 中费尔马还提出 ａ 是一个质数的要求． 这个要求实际上不存在． 该定理 中涉及到一个概念一 同余 ， 需要说明一下 ， 在数学上有这样的定义 ：
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第 １ ４卷
第 ５期
琼州学 院学报
Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｇｈ ｕＵ ｉｅｓｙ ｏｒ ｌ ｆ ｏ ｚｏ ｎ ｒｔ ｎ Ｑ ｎ ｖ ｉ
２０ ０ ７年 １ ０月 ２ 日 ８
０ ｔ２ ． ０ ７ ｃ．８２ ｏ
Ｖｏ ． ４ Ｎ ． １１ ｏ ５
两个 不 同的费尔 马定理
王 奋 平
（ 州学 院数 学 系 ，海南 五指 山 ５ ２ ０ 琼 ７ ２ ０）
摘 要： 数论 是历史最悠久 的数 学分支之一 ， 两个费尔马定理是数论领域 的两 个有 一定代表性 的著名定
理 ， 中费尔马小定理在密码技术 方面起 了关键性 的作用 ． 其
关键词 ： 费尔马大定理 ； 尔马小定理 ； 费 应用 中图分 类号 ： ５ ０ １６ 文献标 识码 ：Ａ 文章编号 ： ０ ８— ７ ２ ２ ０ ）５— ０ １— ２ １０ ６ ２ （０ ７ ０ ０ ０ ０
２ 费尔马小定理
对任意的整数 ａ 和任意的素数 Ｐ 有 ， ａ ；ａ ｍｏｐ （ ｄ） 这就是著名的费尔马小定理． 这个等式也 叫费尔马同余式．
收 稿 日期 ：ｏ７—０ ０ ２ｏ ９— ８
作者简 介 ： 王奋平 （９ １ ， 甘肃 古浪人 ， １７ 一） 男， 琼州学院数 学系讲师 ， 士 ， 硕 主要从 事数 学教 育 究． 研
新 的初 中数学课本中有关于费尔马大定理的阅读材料 ， 这是数论中的一个命题 ， 数论是历史最悠久的数 学分 支之 一 ， 数 学发展 史上 占据 着 不 可忽 视 的地位 ． 人 说 ： 学王 国的王 冠 是 数 论 ， 多数 论 名 题 ， 费 在 有 数 许 如 马大定 理 、 哥德 巴赫猜 想 等 ， 曾令 无数 数 学 家 折腰 ， 随 着 这些 问题 的解 决 过 程 ， 生 了许 多 深 刻 的思 想 方 伴 产
基金项 目： 海南省教 育厅 高等 学校科研 资助项 目（ Ｊ Ｋ ０ ６ ８ ． Ｈ Ｓ ２０１ ）
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琼州学 院学报
（ １ ）ｏ ７ 第 ４卷 ２ ０
例 ｌ 对 Ｐ＝１ ３与 ａ＝ ， 以求 得 １ ２可 ３＝８＋ ４＋１所 以 ２ ２ ““ ＝ 。． ‘． ． ”＝ 。 ２ ２ ２ 因为 ２ ＝１ －３ ｍ ｄ３ ２ －９ ｍ ｄ３ ６ （ ｏｌ ） （ ｏｌ） 所 以 ２ ２““ ＝ 。・ ‘・ （ ｏ ｌ ） 玎＝ 。 ２ ２ ２ －２ ｍ ｄ３ 、
法， 甚至 促进 了新 的数 学分支 的产 生 ． 尔 马大定 理 和费 尔马小 定理 是 数论 中两个有 趣 的定 理 ． 费
１ 费 尔马 大定 理
费尔马大定理 ， 历史上也称 为费尔马猜想 ， 也有人叫费尔马最后定理 ； 由一个法 国法 官兼业余数学家 是
费尔 马 （ ｉ ｒ ｄ ｅｍ ｔ１０ Ｐｅ ｅ ｅＦｒ ａ，６ １—１６ ） 研究 毕 达哥 拉斯 数组 （ ｒ ６５ 在 勾股 数 组 ） 的过程 中发现 的 ： 对 ｎ＞ ，ｎ是正 整 数 ， ２ 不存 在正 整数 ｘ ＹＺ ，，，使得 ｘ ＋ Ｙ ＝ Ｚ， “ “ “