运筹学 第四章 运输问题
表上作业法
练习
销地
产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
6 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
2017/7/13
14
表上作业法
方法2：西北角法 此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但 它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。
2017/7/13
16
10
22 48
28
表上作业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 8 B1 4 B2 12 10 2 8 8 14 14 12 5 10 2 11 8 14 6 3 B3 4 6 9 B4 11 产量
1
16
10
22 48
要保证产销平衡，则
x11 x11 1 x13 x13 1 x23 x23 x x21 1 211 称为闭回路 2017/7/13 z z0 4 4 3 2 1,11 1
2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和 供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足 时，划去运价表中对应的行或列。 重复1)和2)，直到找出初始解为至。
2017/7/13
19
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
Chapter4 运输问题
本章主要内容：
运输规划问题的数学模型
表上作业法 运输问题的应用
2017/7/13
1
运输问题的数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
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27
表上作业法
以最小元素法的初始解为例。假设产地A1供应1个单位的 物品给销地B1。则解的变化和目标函数的变化如何。
销地 B1 4 B2 12 10 2 8 8 14 8 14 12 5 10 2 11 8 14 6 3 B3 4 6 9 B4 11 产量
产地
A1 A2 A3 销量
最小元素法：
8 2
10 5
另一种方法：
10 8 2
15
5 1
15
5 1
10 5
10 20
20
15
15
15
15
总运费是z=10×8 +5× 2+15×1=105 2017/7/13
总运费z=10×5 +15×2+5×1=85
18
表上作业法
方法3：Vogel法 1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运 费的差额，并填入该表的最右列和最下行。
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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m
n
10
表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。
步骤 第一步 描述 求初始基行可行解（初始调运方案） 求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的 检验数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若 存在检验数σi j <0，说明还没有达到最优，转 第三步。 调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运 量进行调整得到新的基可行解，转入第二步
B1 A1 6 B2 4 B3 6 产量 200
A2
销量
6
150
5
150
5
200
300
2017/7/13
2
运输问题的数学模型
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得下列运输量表：
B1 A1 A2 销量 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
4
运输问题的数学模型
已知资料如下：
销 产 地 地
cij为Ai到Bj的单位运价
B1 Bn
产 量
A1 Am
销 量
c11 c1n 运价 cm1 cmn
a1 am
m n i 1 i ji j
b1
bn a b
产销平衡
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5
运输问题的数学模型
当产销平衡时，其模型如下：
表上作业法
练习
销地 产地 A1 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
14
8 4 2 7
14
A2
8
5
13
9
6
10 6
27
A3 销量 22
19
6
13 12
13
13
17
2017/7/13
表上作业法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处 要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最 小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处， 就应当采用最小运费调运。例如下面两种运输方案。
8
14 3
22
48
列差额
2017/7/13
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
24
表上作业法
练习
销地 产地 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
A1
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
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25
表上作业法
2、 最优解的判别（检验数的求法） 求检验数的方法有两种： 闭回路法 对偶变量法（位势法） （1）闭合回路法： σij≥0 （因为目标函数要求最小化）
2017/7/13
15
表上作业法
例3.3 某运输资料如下表所示：
在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.
销地 产地 A1 B1 B2 4 B3 12 4 B4 11 产量
8
8 6
16
A2
2
10
3
9
4
5 11 6
10
A3 销量 8
8
8
14 12
14
14
22 48
16
所以，初始基可行解为： (8,8,6,4,8,14)目标函数值Z＝372 2017/7/13
A3
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3
22
48
1
列差额
2017/7/13
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
21
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
8
8 5 11 6
10
1
A3
( ai b j )
2017/7/13
7
运输问题的数学模型
当产小于销时，其模型如下：
m inZ c ij x ij x ij a i x ij b j ( a i b j ) x 0 ij 并假设：a ij 0, b j 0, c ij 0
1
2 8 8
2 1
16
10
22 48
22 10 3 4 11 6 5 1
2017/7/13 31
表上作业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 4 B2 12 B3 4 10 10 3 2 5 14 8 14 12 11 8 14 6 6 9 B4 11 产量
1
2 8 8
销量 8 14 12 1
8
14 3
22
48
列差额
2017/7/13
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
23
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10
12
3
4
9
16
0
A2
8
8 5 11
2
6
10
1
A3
14
销量 8 14 12
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
10
1
8
5
11
6
A3
22
1
14
销量 8 2 14 5 12 1 14 3
20
48
列差额
2017/7/13
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
10
1
8
5
11
6
minZ cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai xij b j x 0 ij
( ai b j )
2017/7/13
6
运输问题的数学模型
当产大于销时，其模型如下：
合集下载
运筹学 04 运输问题
x23
2,12 2 a2’’=0 b3’=10 第2行
x13
16,10 10 a1’=6 b3’’=0 第3列
产量 16 10 22
新产量 新销量 划去
14
销量
8
14
12
14
西北角法步骤 运价表中找出西北角(左上角)运价cij 在该处确定运量xij=min(ai,bj) 计算剩余产量ai’=ai-xij和剩余销量bj’=bj-xij，则出现 (1)ai’=0，bj’≠0——划去第i行运价； (2)ai’≠0，bj’=0——划去第j列运价； (3)ai’=0，bj’=0——划去第i行或第j列运价 重复上述，直到获得(m+n-1)个运输数量
例2：某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的 销量及单位运价如下表。求最低运输费的运输方案。
产地 A1 A2 A3 销量
B1 4 2 8 4
B2 12 10 5 3
B3 4 3 11 5
B4 11 9 6 6
产量 8 5 9
解答
由于总产量=8+5+9=22，总销量=4+3+5+6=18，总产量>总销 量，属于产大于销的产销不平衡运输问题。增加一个销地， 销量b5=22-18=4；运价为0。得到产销平衡表如左表。表上作 业法结果见右表。 产地 B1 B2 B3 A1 4 12 4 A2 2 10 3 A3 8 5 11 销量 4 3 5 B4 11 9 6 6 B5 产量 0 8 0 5 0 9 4 产地 B1 A1 1 A2 4 A3 10 销量 4 B2 3 3 B3 4 1 9 5 B4 0 6 6 B5 产量 4 8 1 5 5 9 4
设xij为从Ai运输到Bj的产品数量，若Σai=Σbj，则称为产销平衡 的运输规划问题，数学模型为 min f=c11x11+…+c1nx1n+c21x21+…+cmnxmn xi1+xi2+…+xin=ai (i=1,2,…,m) x1j+x2j+…+xmj=bj (j=1,2,…,n) xij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
物流运筹学第4章 运输最优化-精选文档
min
2
0 13 11 6 0 10 4 0 5 7 9 7 0 1 4 4
0 13 6 0 0 5 0 1 7 6 3 0
2 11 4 2 2 min
0 9 (bij ) 2 0
第一步，画出该问题的供销平衡表和单位运价表
超市 仓库 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
第二步，求初始解
1、最小元素法 超市仓库 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 3 B1 B2 B3 B4 储量 7 4 9
计算过程表 超
市 仓库
A1 A2
X 0
用矩阵描述时为
max z CX
AX b X 0 a 11 a 12 a 1 n A (p ,p , ,p ) 1 2 n a a a 1 m 2 mn m
b为资源向量； c为价值向量； x为决策变量的向量
单纯形法简介
问题要求极小化时数学模型是
Min z c x ij ij
i j
x 1 ,j 1 , 2 n
ij i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 ,i 1 , 2 n
ij j
xij 1 或 0
例题：某物流公司现有四项运输任务A、B、C、D， 现有甲、乙、丙、丁四辆车，他们完成任务所需时 间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需 总时间最少？
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
x b, j 1 ,2 , ,n
i 1 ij j
管理运筹学04运输问题
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
9
2
A3
销量
3
4
10
6
5
产
B4
量
10
7
8
4
5
9
6 20
方案表 2
产
销
地
B1
B2
A1
A2 (3)
A3
销量
3
6
地
B3
B4
1
5
6
产 量 7
4 9 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 3
产
销
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
(1)
A3
销量
3
4
10
6
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
9
2
A3
销量
3
4
10
6
5
产
B4
量
10
7
8
4
5
9
6 20
方案表 2
产
销
地
B1
B2
A1
A2 (3)
A3
销量
3
6
地
B3
B4
1
5
6
产 量 7
4 9 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 3
产
销
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
(1)
A3
销量
3
4
10
6
《管理运筹学》02-7运输问题
在运输问题中，混合整数规划可以处理更为复 杂的约束条件和多阶段决策过程。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产 品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北 角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初 始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负
管理运筹学-02-7运输问题
运量之和表示从该供应地运往各需求地的运量之和，它 应该等于该供应地的供应量；同样，每一列运量之和表 示从各供应地运往该需求地的运量之和，它应该等于该 需求地的需求量。
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学运输问题
须满足需求量区域的相应变量x31, x33, x34运费的取
值为M，可调整需求量区域的相应变量x32 , x35运费
的取值为0，作出产销平衡的运价表
运筹学运输问题
B1
B1’
B2
B3
B3’ Supply
A1
175 175 195 208 208 1500
A2
160 160 182 215 215 4000
•因此运输问题约
束条件系数矩阵
•第i个
的元素只能是0 或1，对应变量xij 列除了第i个与第
•第(m+j)个
(m+j)个分量为1 外，其它分量均
为零
此外产销平衡运输问题的数学模型还具有 特点：
• 所有约束条件都是等式
• 前m个约束条件的和等于后n个约束条件 的和（可以证明尽管有m+n个约束条件， 但独立的约束条件只有m+n-1个）
B62
2B3
8B4 Supply
9 •[1 3 (15)
0 •[3] 15
3 0•[]8] 4 •[5] 0 •[7] 18
2 (12) 6 (1) 0 (4)
17
12
16
4
运筹学运输问题
•思考题2：
•运
•已知某运输问题的产销需求及单位运价如下表所示
输
B1
B2
B3
Supply
问
A1
5
9
3
15
A2
1
40
15
30
30
100
A3
30
35
40
55
25
130
需要量 25
115
60
运筹学 第四章 运输问题
产 量
A1
A2
A3
销 量
16
2
3
11
9
②
8
8
8 14
2
5 6
10 22
12 10
14
48
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
3
B4
11 9
产 量
A1
A2
A3
销 量
6 16 10
② 10
2
8
8
8 14
2
5 11
12 10 14
6
22 48
①
③
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12
B3
4
10
3
B4
方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，如下图 所示。
初始化
这和单纯形法的求解思想完全一致，
但是具体的作法则更加简捷。
最优性检验 yes 最优？ no 迭代 （Iteration） STOP
例1 某部门有3个同类型的工厂（产地），生产的产品由4个
销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单
min z cij xij 4 x11 12 x12 4 x13 11x14 2 x21
i 1 j 1 3 4
10 x22 3 x23 9 x24 8 x31 5 x32 11x33 6 x34
x11 x 21 x31 x11 x12 x13 x14 xij
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。