《运筹学》第三章 运输问题资料讲解
18
产销平衡表
闭
B1 B2 B3 B4 产量
回 A1 (1) (2) 4 3 7 路 A2 3 (1) 1 (-1) 4 法 A3 (10) 6 (12) 3 9
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
△z=c11-c13+c23-c21=1=11 △z=c12-c14+c34-c32=2=12
一、典例
某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、 A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的生产 量、销售量及调运时的单位运输费用情况。问：如何调运可 使总费用最小？
生产量：A1——7吨， A2 —— 4吨， A3 —— 9吨
销售量：B1 —— 3吨，B2 —— 6吨，B3 —— 5吨，B4 —— 6吨
《运筹学》第三章 运输问题
3.1 运输问题的典例和数学模型 3.2 运输问题的求解方法：表上作业法 3.3 几类特殊的运输问题 3.4 运输问题的应用
2
运输问题： 根据已有的交通网，如何制定运输 方案，使得这些物资被运送到各个销售地，并保 证某个指标最优(例如总运费最小)。
3
3.1 运输问题的典例和数学模型
A1
43 7
A2 3
1
4
A3
6
39
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
14
Vogel法
例
B1 B2 产量
A1 8 5 10 A2 2 1 20
销量 15 15
最小元素法：z=8×10+2×5+1×15=105 Vogel法：z=10×5+15×2+5×1=85
7
一般模 型表示 (ai=bj)
8
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——第i个分量
1 ——第m+j个分量 0
9
…… …
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 i=1 1xm21············xmn 1 0
15
Vogel法
产销平衡表
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 6
5 27 14 39
3656
B1 B2 B3 B4 行两最小元素之差
A1 3 11 3 10 0 0 0 7 A2 1 9 2 8 1 1 1 6 A3 7 4 10 5 1 2 - -
列两 2 5 1 3 最小 2 - 1 3 元素 2 - 1 2 之差
--12
16
针对最小元素法和vogel法，需要说明的几点：
(1) 任何运输问题都有基可行解，且有最优解；
(2) 如果供应量和需求量都是整数，那么一定可以得到整数 形式的最优解;
(3) 用最小元素法和vogel法得到的是运输问题的一个基可行 解，数字格对应基变量；
(4) 若在中途同时有行列要求得到满足，将同时划掉一行一 列，最后数字格个数将少于m+n-1个。为使数字格的个数恰 好等于m+n-1，在同时划去的行列中，任选（或选其价
10
0 1 ······ 0 0
关于运输模型的几个结论：
(1)设有m个产地，n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数是m+n-1；
(2)若变量组B包含有闭回路，则B中变量对应的列向量线性 相关；
(3)m+n-1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭 回路。
11
3.2 运输问题的求解方法：表上作业法
格系数最小元素对应的）空格，填上数字0作为特殊的数字 格（即基变量）。
17
例
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 20 A2
0 20
10
10
A3 10 25
15 50
销量 30 25 10 15
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 2 7 3 11 A2 8 4 6 9 A3 4 3 10 5
初始基可行解
单
纯
形
法
最优否？ Y
STOP
求
解
思
N
路
新的基可行解
12
表上作业法步骤: 初始运输方案最优性检验改进运输方案
一、初始方案的确定
1.最小元素法 2.Vogel法 二、最优性检验 1.闭回路法 2.位势法 三、方案改进方法 在闭回路内改进。
13
最小元素法
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
j=1 0 ······ 0
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
············
·· ·· ··
·· ·· ··
j=2
0 0 ······ 0 0 0 ······ 0 ············ 1 j=n 1 ······ 1
1 0 ······ 0 1 0 ······ 0 ············ 1 0 ······ 0
i=2
0 ······ 0 0 ······ 0
············ 0
· · · · ··· ··· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
············
·· ·· ··
·· ·· ··
0 0 ······ 0 1 i=m 1 ······ 1 ············ 0
x11+x12+x13+x14=7
销
x21+x22+x23+x24=4
量 限
x31+x32+x33+x34=9
制
xij0,(i=1,2,┄,3；j=1,2,┄,4)
x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5 x14+x24+x34=6
6
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
销地
产地
B1
B2
A1311 NhomakorabeaA2
1
9
A3
7
4
B3
B4
3
10
2
8
10
5
4
7吨 A1
产 4吨 A2 地
调运示意图
x11
B1 3吨
B2 6吨
销
B3 5吨
地
9吨 A3
x34
B4 6吨
5
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有
34
Min z = cij·xij
i=1 j=1
产 量 限 制
B1 B2 B3 B4 产量 A1 (0) (2) 5 2 7 A2 3 (2) (1) 1 4 A3 (9) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
19
注: 只要求的基变量是正确的，并且数目为m+n-1个，那么 每个非基变量的闭回路存在且唯一，因此，检验数唯一。
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第三章 运输问题 运筹学 课件
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
3
4
6
3
5
4
8
3 13
x23检验数为 7-3+4-5=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
3
4
6
3
5
4
8
3 13
x31检验数为 7-4+4-5=1
销地 产地 A1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
4
2 1
4 6
3
4 3
7
3
5
6
A3
销量 2
7
5
4
8
3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
4
2 4
4 6
3
4 3
7
0
5
6
A3
销量 2
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
3
4
6
3
5
4
8
3 13
x23检验数为 7-3+4-5=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 1
5
3
4
3
4 7
1
5 3
4 6
A3 销量 2
7
3
4
6
3
5
4
8
3 13
x31检验数为 7-4+4-5=1
销地 产地 A1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
4
2 1
4 6
3
4 3
7
3
5
6
A3
销量 2
7
5
4
8
3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
4
2 4
4 6
3
4 3
7
0
5
6
A3
销量 2
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学胡运权第三版第三章运输问题
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点： 运输问题一定有最优解；基变量的个数=m+n-1 运输问题约束条件的系数矩阵：
x1m
x2m
xm1
xmm
x11
x12
…
x21
x22
…
xm2
…
…
m行
n行
§1运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
解 的 最 优 性 检 验
运输问题及其数学模型
用表上作业法求解运输问题
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
本章内容
3运输问题进一步讨论
01.
产销不平衡的运输问题 有转运的运输问题
02.
1.当产大于销时，即 产销不平衡问题 平衡后的数学模型为： 加入假想销地（假想仓库），销量为 ，由于实际并不运 送，它们的运费为 = 0；
解 的 最 优 性 检 验
解 的 最 优 性 检 验
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
ui
A1
16
u1(1)
A2
10
u2(0)
A3
22
u3(-4)
销量
8
14
12
14
48
vj
v1(2)
v2(9)
v3(3)
v4(10)
4
2
8
12
5
4
10
11
3
9
6
11
表3-9
1.增加一位势列和位势行并计算位势
其中
8
10
2
6
8
产量
A1
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
【定理 3】m+n － 1 个变量组构成基变量的充要条件 是它不包含任何闭回路。
定理 3 告诉了一个求基变量的简单方法，同时 也可以判断一组变量是否可以作为某个运输问题的 基变量。这种方法是直接在运价表中进行的，不需 要在系数矩阵 A 中去寻找，从而给运输问题求初始 基可行解带来极大的方便。
例 3-3 ： m=3,n=4 ，在运价表 Cij 的格子的右上 方填上相应的xij，如表3-5所示。
表3－4 B1 B2 x12 B3
A1
A2 A3 A4
x11
x11 , x41 , x43 , x33 , x32 , x12
例如变量组 A x21 , x22 , x33 , x31 , x11 , x12 ;
x32
x33 x43
x41
A不能组成一条闭回路，但A中包含有闭回路
B的变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
…
B1 x11 x21 c11 c21
B2 x12 x22
…
Bn x1n x2n c1n c2n
产量 a1 a2
…
c12
c22
Am 销量
xm1 b1
cm1
xm2 b2
cm2 …
xmn bn
cmn
am
设xij(i=1,2,…，m；j=1,2,…,n)为第i个产地到 第j个销地的运量，产销平衡运输问题的数学模型为：
（2）所有结构约束条件都是等式约束 （3）各产地产量之和等于各销地销量之和
（4)运输问题约束条件的系数矩阵特点
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
【运筹学 精品培训讲义】第三章运输问题
cij xij
i1 j1
n
xij ai
j1
i=1,2, ,m
m
xij b j
i 1
j=1,2, ,n
xij 0, i = 1,2, , m; j = 1, , n
2.运输问题的模型
x11 x12
x1n x21 x22
x2n
xm1 xm2 xmn
1 1
1
11
1
A＝1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
i 1
j1
s.t. ui v j cij
对偶变量 xij
i = 1,2, , m; j 1,2, , n
ui, v j 无约束 i = 1,2, , m; j = 1, , n
运输问题例子
销售商 Boston Chicago St. Louis Lexington
供应商CleveΒιβλιοθήκη and3Bedford
S. t.
x11 +x 12 +x 13 +x 14
≤ 5000
x21 +x 22 +x 23 +x 24
≤ 6000
x31 +x 32 +x 33 +x 34 ≤2500
x 11
+x 21
+x 31
= 6000
x 11
+x 21
+x 31
= 4000
x 11
+x 21
+x 31
= 2000
x 11
7
York
2
需求量(吨) 6,000
运筹学--第三章 运输问题
示）；这n个销地的需要量（通称为销量）分别为b1，b2，…， bn（通写为bj）；
从第i个产地到第j个销地的单位物资运价为cij。
怎样调运这些物品才能使总运费最小？ 上面这些数据通常用产销平衡表5-3和单位运价表5-4来表示。
表3-3 产销平衡表
销地
1
2
…
n
产量 a1 a2 … am
产地
1 2 … m 销量 b1 b2 … bn
运筹学
第三章
运输问题
引入
我们已经讨论了线性规划的一般形式以及求解的方 法。 但是在实际工作中，常常碰到很多线性规划问题，
由于它们的约束条件变量的系数矩阵具有特殊的结
构，有可能找到比单纯形法更为简便的方法求解， 从而可大量节约计算的时间和费用。
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
1、运输问题的实例
x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x13 x23 x33 8 x14 x24 x34 3
xij 0, i 1,2,3；j 1,2,3,4
请大家试着写出约束条件的系数矩阵
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
来看看它的系数矩阵、系数矩阵的秩等有什么特点。
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0
(i 1,...,m) ( j 1,...,n)
这就是运输问题的数学模 型，包含： m×n个变量 m+n个约束条件 约束条件的系数矩阵A有 m+n行m×n列:
m行
n行
从第i个产地到第j个销地的单位物资运价为cij。
怎样调运这些物品才能使总运费最小？ 上面这些数据通常用产销平衡表5-3和单位运价表5-4来表示。
表3-3 产销平衡表
销地
1
2
…
n
产量 a1 a2 … am
产地
1 2 … m 销量 b1 b2 … bn
运筹学
第三章
运输问题
引入
我们已经讨论了线性规划的一般形式以及求解的方 法。 但是在实际工作中，常常碰到很多线性规划问题，
由于它们的约束条件变量的系数矩阵具有特殊的结
构，有可能找到比单纯形法更为简便的方法求解， 从而可大量节约计算的时间和费用。
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
1、运输问题的实例
x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x13 x23 x33 8 x14 x24 x34 3
xij 0, i 1,2,3；j 1,2,3,4
请大家试着写出约束条件的系数矩阵
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
来看看它的系数矩阵、系数矩阵的秩等有什么特点。
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0
(i 1,...,m) ( j 1,...,n)
这就是运输问题的数学模 型，包含： m×n个变量 m+n个约束条件 约束条件的系数矩阵A有 m+n行m×n列:
m行
n行
运筹学-第三章-运输问题ppt课件
45
46
首先建立电子表格
47
区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
48
49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
46
首先建立电子表格
47
区域名称
产量 单位运价 实际产量 实际销量 销量 运输量 总费用
单元格 I9:I11 C4:F6 G9:G11 C12:F12 C14:F14 C9:F11
I14
48
49
Excel 求解结果为：
50
9
§3-2 表上作业法(运输单纯形法)
表上作业法的计算步骤： 1. 确定初始方案，即找出初始基可行解； 2. 求非基变量检验数，判断最优； 3. 用闭回路法调整； 4. 重复2, 3 ，直至求出最优解。
10
一、确定初始基可行解(两种方法)
1. 最小元素法(“就近调运”) 1)找到运价中最小的元素，确定供销关系；
34
解：
v 该问题要求满足不同顾客的需求(采购量)，即最小采购 量实际供给量最大采购量。三个工厂的总产量为20000件， 4个顾客的最低采购量为12000件，最高采购量为30000件， 大于总产量。为保持产销平衡，虚拟一个工厂4，其产量 为10000件。
v 由于每个顾客的需求分为必须满足和不一定满足两部分， 故将其视为两个顾客。必须满足的顾客其采购量不能由虚 拟工厂提供，令其单位利润为M (M为任意大正数)，不 一定满足的顾客其采购量能由虚拟工厂提供，令其单位利 润为0。由此可得该问题的产销平衡及单位利润表，如表324所示。
§3-1 运输问题的数学模型
一、示例 例1
4
二、运输问题描述
v 有m 个产地Ai ，产量为 ai, i=1,2, …m (sources) v 供n 个销地 Bj , 需求量 bj, j=1,2, …n (destinations)
v 已知 Ai到 Bj的单位运价为 cij v 问如何调运使总运费最小？
运筹学(第三章)PPT课件
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
-
14
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
10
5
14
14
B3
i =1
xij 0
-
31
此时增加一个假想的产地m+1，该产地的产量
为n
bj
m
ai，而假想产地到各销地的单位运价定为
j =1
i =1
0，就转化成产销平衡的运输问题。
销地 产地 A1
A2
B1
C 11 x 11
C 21 x 21
Am
A m+1 (虚产地)
销量
x m1
x m+1，1 b1
C m1 0
B2
-
37
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 2 1 3
10
B2 4 5 2
4
B3 3 6 4
6
产量 6≤a1≤11
a2=7 a3≥4
A3最多可能送出的产品数量：(10+4+6)-(6+7)=7