离心泵的基本方程式教学内容
二、离心泵的基本方程式
二、离心泵的基本方程式离心泵基本方程式从理论上表达了泵的压头与其结构、尺寸、转速及流量等因素之间的关系，它是用于计算离心泵理论压头的基本公式。
离心泵的理论压头是指在理想情况下离心泵可能达到的最大压头。
所谓理想情况就是：①叶轮为具有无限多叶片(叶片的厚度当然为无限薄)的理想叶轮，因此液体质点将完全沿着叶片表面流动，不发生任何环流现象；②被输送的液体是理想液体，因此无粘性的液体在叶轮内流动时不存在流动阻力。
这样，离心泵的理论压头就是具有无限多叶片的离心泵对单位重量理想液体所提供的能量。
显然，上述假设是为了便于分析研究液体在叶轮内的运动情况，从而导出离心泵的基本方程式。
(一)液体通过叶轮的流动离心泵工作时，液体一方面随叶轮作旋转运动，同时又经叶轮流道向外流动，因此液体在叶轮内的流动情况是十分复杂的。
如图2—5所示，液体质点沿着轴向以绝对速度co进入叶轮，在叶片人口处转为径向运动，此时液体一方面以圆周速度u1随叶轮旋转，其运动方向与液体质点所在处的圆周的切线方向一致，大小与所在处的半径及转速有关；另一方面以相对速度侧，在叶片间作相对于旋转叶轮的相对运动，其运动方向是液体质点所在处的叶片切线方向，大小与液体流量及流道的形状有关。
两者的合速度为绝对速度c1，此即为液体质点相对于泵壳(固定于地面)的绝对运动速度。
同样，在叶片出口处，圆周速度为u2，相对速度为ws，两者的合速度即为液体在叶轮出口处的绝对速度c2。
图2—5 液体在离心泵中的流动由上述三个速度所组成的矢量图，称为速度三角形。
如图2—5中出口速度三角形所示，α表示绝对速度与圆周速度两矢量之间的夹角，β表示相对速度与圆周速度反方向延线的夹角，一般称之为流动角。
α及β的大小与叶片的形状有关。
根据速度三角形可确定各速度间的数量关系。
由余弦定律得知111212121cos 2αu c u c w -+=(2—1)222222222cos 2αu c u c w -+=(2—1a)由此可知，叶片的形状影响液体在泵内的流动情况以及离心泵的性能。
3离心泵的基本方程式
离心泵叶轮中液体的流动情况分析
两个坐标系统： 动坐标系统—旋转着的叶轮 静坐标系统—泵座
运动情况分析： 相对运动→相对速度W 液体质点对动坐标系（叶轮） 牵连运动→牵连速度U 叶轮对静坐标系（泵座） 绝对运动→绝对速度C 液体质点对静坐标系（泵座）
β1/β2 ：叶片进水角\出水角 α1/α2 ：进口\出口工作角
外力矩（∑M）分析
∑M:作用在叶槽内整股 水流上的所有外力矩
组成∑M的外力有：
1.叶片迎水面和背水面作用 于水的压力P1 和P2 ；
2.作用在ab与cd面上的水压 力P3和P4; （沿着径向， 对转轴没有力矩）
3.作用于水流的摩擦阻力P5 及P6，（理想流体，不予 考虑）
=
ω
g
(C2
cosα
2
R2
−
C1
cos α1 R1 )
方程式的推导
又∵u1＝R1·ω
u2＝R2·ω
∴
HT
=
1 g
(C2u2 cosα2
− C1u1 cosα1)
叶轮出口的速度三角形分析
由图可知： C2u＝C2COSα2 ＝u2－C2rctgβ2 C2r＝C2sinα2
∴
HT
=
1 g
(u2C2u
− u1C1u )
2g
2g
2g
又由能量方程：
HT
=
E2
− E1
= (Z2
+
p2
γ
)
−
(Z1
+
p1 ) +
离心泵的基本方程式
r2
r1
2 ）叶轮中相邻的两叶片构成自中心向外沿逐渐扩大的液体流道，液体通
过时部分动能转化为静压能，这部分静压能的增加可表示为：
w12 w2 2 2g
单位重量流体经 叶轮后的静压能 增加为:
根据余弦定理，上述速度之间的关系可表示为：
代入（a）式，并整理可得到：
一般离心泵的设计中，为提高理论压头，使 α1=90°，即cosα1=0
4)两个速度的合成速度就是液体质点在点1或点2处相对于静 止的壳体的速度，称为绝对速度，用c1、c2来表示。
5）单位重量理想液体，通过无数叶片的旋转，获得的能量 称作理论压头，用H∞表示。 6）单位重量液体由点1到点2获得的机械能为:
在高速旋转的随叶轮旋转 ； 经叶轮流道向外流动。 液体与叶轮一起旋转的速度u1或u2方向与所处圆周的切线方向一致，大 小为：
离心泵的基本方程式
主讲人：韩二涛
1. 离心泵基本方程式的导出 假设如下理想情况： 1 ）泵叶轮的叶片数目为无限多个，也就是说叶片的厚度 为无限薄，液体质点沿叶片弯曲表面流动，不发生任 何环流现象。 2）输送的是理想液体，流动中无流动阻力。
3)液体沿叶片表面运动的速度w1、w2，方向为液体质点所处 叶片的切线方向，大小与液体的流量、流道的形状等有关。
——离心泵的基本方程式 ——离心泵理论压头的表达式
理论压头与理论流量QT关系 ：
流量可表示为叶轮出口处的径向速度与出口截面积
的乘积：
径向速度：
出口截面积 ：
从点2处的速度三角形可以得出：
代入 H=u2c2cosα2/g, 得：
H
——离心泵基本方程式
表示离心泵的理论压头与理论流量，叶轮的转速和 直径、叶轮的几何形状间的关系。
离心泵的基本方程式
离心泵的基本方程式
基本方程式的说明
泵把机械能转换成液体的能量是在叶轮内进行的。
叶轮带着液体旋转时把力矩传给液体，使液体的运动状态发生变化，从而完成能量的转换。
泵的基本方程式就是定量地表示液体流经叶轮前后运动状态的变化与叶轮传给单位重量液体的能量(即理论扬程)之间的关系式，也就是泵理论扬程的计算公式。
离心泵的基本方程式为式中H,——泵的理论扬程(m)。
离心泵基本方程式是泵理论中最重要的公式，现对其做如下说明：
1）基本方程式的实质是能量平衡方程，它建立了叶轮的外特性(理论扬程Ht)和叶轮前后液体运动参数Vu.之间的关系。
对于既定的叶轮，求得叶轮前后的Vu1，和Vu2后，代入方程式即可算出理论扬程。
2)基本方程式可用速度矩表示、速度矩的实质是单位质量的动量矩。
在叶轮中由于叶片对液体施加外力矩，速度矩是增加的。
如果无叶片，外力矩M=O,就
是说在没有外力矩作用于液体的情况下，液体的速度矩等于常数，称此为速度矩保
持定理。
以后在研究泵中其他过流部分的流动时常会遇到这种情况
3)从基本方程式可以看出，用液柱高度表示的理论扬程与液体的种类
和性质无关，只与其运动状态有关。
对于同一台泵，抽送不同的介质，如水、空气和水银时、所产生的理论扬程是相同的，但因介质密度不同，泵产生的压力和所需的功率不同。
本文由华威熔盐泵编辑整理。
离心泵的基本方程式
离心泵的基本方程式
基本方程式的说明
泵把机械能转换成液体的能量是在叶轮内进行的。
叶轮带着液体旋转时把力矩传给液体，使液体的运动状态发生变化，从而完成能量的转换。
泵的基本方程式就是定量地表示液体流经叶轮前后运动状态的变化与叶轮传给单位重量液体的能量(即理论扬程)之间的关系式，也就是泵理论扬程的计算公式。
离心泵的基本方程式为式中H,——泵的理论扬程(m)。
离心泵基本方程式是泵理论中最重要的公式，现对其做如下说明：
1）基本方程式的实质是能量平衡方程，它建立了叶轮的外特性(理论扬程Ht)和叶轮前后液体运动参数Vu.之间的关系。
对于既定的叶轮，求得叶轮前后的Vu1，和Vu2后，代入方程式即可算出理论扬程。
2)基本方程式可用速度矩表示、速度矩的实质是单位质量的动量矩。
在叶轮中由于叶片对液体施加外力矩，速度矩是增加的。
如果无叶片，外力矩M=O,就
是说在没有外力矩作用于液体的情况下，液体的速度矩等于常数，称此为速度矩保
持定理。
以后在研究泵中其他过流部分的流动时常会遇到这种情况
3)从基本方程式可以看出，用液柱高度表示的理论扬程与液体的种类
和性质无关，只与其运动状态有关。
对于同一台泵，抽送不同的介质，如水、空气和水银时、所产生的理论扬程是相同的，但因介质密度不同，泵产生的压力和所需的功率不同。
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离心泵的基本方程式
HT
u 2C g
2u
为了获得正值扬程，必须使a2=0°，a2愈小，水泵的理论扬程 愈大。在实际应用中，水泵厂一般选用a2 ＝6 ° ～15 °左右。
• 2．水流通过水泵时，比能的增值(HT)与圆 周速度u2有关。而u2=(nлD2)/60，因此，水 流在叶轮中所获得的比能与叶轮的转速(n)、 叶轮的外径(D2)有关。增加转速(n)和加大 轮径(D2)，可以提高水泵之扬程。 • • 3．基本方程式适用于各种理想流体。这表 明，离心泵的理论扬程与液体的容重无关。 （抽水和抽气时扬程是一样的）
• 4.水泵的扬程是由两部分能量所组成的，
势扬程和动扬程组成，由于动能转化 为压能过程中，伴有能量损失，因此， 希望动扬程在水泵总扬程中所占的百 分比愈小，泵壳内水力损失就愈小， 水泵效率提高。
四、基本方程式的修正
• • • • 由于假定与实际应用不符，必须进行修正： 1.叶槽中，液流实际不均匀一致； 2.考虑泵壳内水力损失。 修正公式为：水泵的实际扬程
H h
H率和轴功率？它们之间有何 关系？ • 3、动力机的旋转机械能是如何传递给液体的？在能量 的传递过程中会产生哪些损失？ 如何将这些损失减至 最小程度？ • 4 ．离心泵装置上的真空表与压力表读数各表示什么意 义？ • 5 ．液体在叶轮内的运动是什么运动？各运动间有什么 关系？
离心泵的基本方程式
• 离心泵是靠叶轮的旋转来抽送水的，那么，工作 水流在旋转的叶轮中究竟是如何运动的呢? • 一个旋转的叶轮能够产生多大的扬程? • 对于这些运动规律，我们将借助于离心泵的基本 方程式的推导和分析，逐一得到进一步的了解。 •
一、叶轮中液体的流动情况
r
C 2 u C 2 cos α 2 u 2 C 2 r ctg β 2 C 2 r C 2 sin α 2
第四节 基本方程式1
1
v h2 = ∑ξ =（1 x ξ网 + 1 x ξ90 ） 2g
2
v1 + ξ渐缩 2g
(1.7) 2 2g
2
V2
2
2g
故： h2 =
(1.25) （2+0.59） 2g
2
+ 0.17 ｘ
= 0.231m
因此，吸水管中总水头损失为： ∑hs = 0.13 + 0.231 = 0.361m 压水管路中的总水头损失： ∑hd = 1.1 ｘ 0.0148 ｘ300 = 4.88m （式中系数1.1是表示压水管路中局部损失按管中沿程 损失的10%计。） 因此，水泵扬程为： H = HsT + ∑hs+∑hd = 32 +0.361+4.88 H = 37.24m
例题：岸边取水泵房，如图所示。已知下列数据， 求该泵之扬程。 水泵流量Q=120L/s，吸水管路长度l =20m，压水管路长 度 l2=300mm（均采用铸铁管），吸水管径Ds=350mm，压 水管径Dd=300mm。吸水井水面标高为58.00m，泵轴标高 60.00m，水厂混合池水面标高为90.00m。 解： 水泵的静扬程： HsT = 90 - 58 = 32m 吸水管路中的水头损失h1 = i l (i可查给排水设计手册)， h1= 0.0065ⅹ20=0.13m DN =350mm时，管中流速v1=1.25m/s DN = 300mm时，管中流速v2=1.70m/s 吸水管路中局部损失（h2）：
1、提高水泵扬程和改善吸水性能的途径
选择合适的特征角度，叶轮尺寸、转速，可提高水泵扬程和改善 吸水性能。
①当α1＝90°时C1u=0 则 1
HT
=(u2C2cosα2)/g=(u2 ² C2rctg β2 ) /g – 由上式可知： α1＝90° α2＝6 ° ~15 ° 合适 ②HT与u2有关，而u2=nD2/60，当增加转速 （n）和增大叶轮出口直径（D2 ) ，可提高水泵扬程，但D2、n受
1.2离心泵基本方程式
2
要会从上述5个关系式分析
HT∞
b）叶片形状
HT
u u cot 2 2 2 QT g gD2b2
w2
2>90° （前弯叶轮）理论上更好,此时cot2为负值，HT∞更大
C2
w2
α β
u2
β
u2
β
w2
u2
后弯叶轮
径向叶轮
前弯叶轮
4
Chapter2第一节 离心泵 1-2离心泵基本方程式
Chapter2 第一节 离心泵
1-2离心泵基本方程式( 寻找压头He与流量的关系) 一、条件 a）叶轮数无穷多，且无厚度
b）μ=0（理想流体）
二、公式推导 叶轮宽度为B，半径R2，合成速度c 叶轮入口与叶轮出口间应用B.e.q(能衡)：
H T p 2 p1 c 2 2 c1 2 H p Hc g 2
（1）
2
Chapter2第一节 离心泵
1-2离心泵基本方程式 理论压头 流道面积 流 量
H T u 2 c 2 cos 2 g
（1）
A D 2 b2 Q D2 b2 c r 2
将cr2 用u表示（叶轮线速度）
（2）
（3）
w2
β
Cr2 C2 α u2
c2cosα2=u2-cr2cotβ2
三、关于基本方程式的讨论 3)理论流量及实际流量与压头关系
HT∞ H 机械损失 容积损失 水力损失
Q H与Q关系曲线
6
(A)
理论压头HT∞，m=J/N，单位质量力的物质所获得能量离心力做功动能转为静 压能
1
Chapter2 第一节 离心泵
1-2离心泵基本方程式
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的功与液体运动状态变化之间的关系。基本能量方程可用动 量矩定理推导。
根据动量矩定理，质点系对某一轴线的动量矩对时间的 导数，等于作用于该质点系诸外力对该轴的力矩之和。即
dLO dt
MO
式中LO——液流对O轴的动量矩； MO——诸外力对O轴的力矩之和。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
入叶道时液体无预旋，即c1u=0。对叶道出口处点2的速度三 角形．若为理想叶轮则液流相对速度的方向β2与出口处叶 片角β2A一致。这样叶轮流道进出口处的速度三角形可以作 出来。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
二、离心泵的基本方程式 了解了液体在叶轮内流动的特点，就可以深入研究叶轮
是如何将驱动机的能量传给液体的，以及液体获得能头大小 与哪些因素有关。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
液体在叶轮中的流动是一种复杂的运动，根据理论力 学，研究液体在叶轮中的运动时，可取动坐标系与叶轮系 为一体，则叶轮的旋转运动便是牵连运动：当观察者与叶 轮一起旋转时所看到的液体运动（相当于液体流经静止叶 轮时的流动）就是相对运动。这样，液体在叶轮中流动时 的复杂运动，便可以由液体的旋转运动和相对运动合成。
取叶轮轴为O轴，为了计算叶轮中液流的动量矩对时 间的导数dLO/dt，取叶轮前后盖板及叶片进出口边之间所 包围的液体来分析。设在某瞬间t充满于两叶片ABCD间的 液体，在瞬时t+dt时流到A'B'C'D'的位置，见图。在定常流 动条件下，两叶片间A'B'CD部分液流的动量矩是不变的， 因此，在上述两瞬间，这部分液流动量矩的增值仅为 ABB'A'和CDD'C'这两部分液流动量矩之差。因为ABB'A' 和CDD'C'分别为在dt时间内流入及流出叶轮的液体量。
积的影响。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
叶轮出口处的阻塞系数τ2，一般可按下式计算
2
D2
z2 s in 2 A
D2
式中 δ2——叶轮出口处的叶片厚度。
一般情况下， τ2=0.9-0.95。
此外，还要知道一个条件才能将速度三角形作出。对
叶道进口处点1的速度三角形，这个条件常常是液体进入叶
道时的周向分速c1u。当泵具有轴向收缩管状的吸液室时， 它一股不会使流过的液体产生绕轴旋转，所以可以认为进
角形的底边u只与叶轮的尺寸D及工作转速n关，其值可按
下式计算
uDn
速度三角形的高cr，只与流量和叶轮流道的通流面积
有关。假设叶片为无限多、无限薄的叶轮径向分速cr∞与考
虑叶片厚度影响后的径向分速cr相等，则其大小可用下式
计算
cr
cr
QT
Db
QT——不计漏损时的理论流量，m3/s， τ——叶片的阻塞系数。反映叶片厚度对叶轮通流面
则在dt时间内流过叶轮的液流动量矩的变化值应是液流出 口与入口动量c 1 l1 )
式中 l1、l2——分别为 c1∞ 及 c2∞ 对 O 的 的 垂 直 距离、由图可知 l1=r1cosα1, l2=r2cosα2, r1，r2分别为叶轮叶片 进、出口处的半径。
表示液体在叶轮中运动速度 大小和方向的速度三角形，直接 反映了液体在叶轮流道内的运动 规律。
常常把绝对速度c分解成两个 分量，一个是与圆周速度u垂直的 分量，以cr 表示，称为液流绝对 速度的径向分速，或轴面速度； 另一个是与圆周速度u平行的分量， 以cu 表示，成为绝对速度的周向 分速。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
液体质点相对运动的
速量 度w 称表为示相，对在速无度限，多以叶片矢
的假设下，其方向与叶片 方向一致，即与叶片相切， 如图a所示。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
重合的液那体点质的点叶的轮牵圆连周速速度度，，就用是矢指量与u 所求表液示体，质其点方瞬向时垂
直于叶轮圆半径，指向叶轮旋转方向，如图b所示。
上述各速度分别用已述符号表示外，其液流速度间夹 角与叶轮的几何参数分别用下列符号表示：
α——液流绝对速度与圆周速度间的夹角， β——液流角，即液流相对速度与圆周速度反方向间的 夹角。 βA——叶片角，即叶片在该点的切线与圆周速度反方
向间的夹角，在理想情况下， βA＝ β。在叶轮出口处的叶 片角β2A ＝ β 又常叫做叶片的离角，
§ 1.2 离心泵的基本方程式
液体在叶轮中获得能头，首先表现为液体流速大小和流 动方向的改变，因此，先分析液体在叶轮流道中的流动规律。
一、液体在叶轮中的流动——速度三角形 液体是沿轴向进入叶轮中心，然后沿径向流出叶轮，再 流入泵的压液室内。 液体的流动情况复杂，从理论上引用以下两点假设： （1）通过叶轮的液体是理想液体，因此，液体在叶轮内 流动时无任何能量损失： （2）液体在叶片间的流动呈轴对称，即每一液体质点在 流道内相对运动轨迹与叶片曲线的形状完全一致，在同一半 径的圆周上液体质点的相对速度大小相同，其液流角相等。 液体的这种相对运动，只有当叶轮的叶片数为无限多时才能 实现．所以假设叶轮是由无限多、无限薄的叶片所组成。
D——叶轮直径，m， b——叶轮轴面流道宽度。 z——叶片数目。 此外，还采用下角标1、2等分别表示叶片进口、叶片
出口处的参数，采用下角标 来表示液体在叶片数为无限
多的叶轮中流动时的参数。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
下面以叶片数无限多的理想叶轮为例来说明叶轮叶片
进、出口处速度三角形的作法。
要作一个速度三角形，应知道三个条件：一般速度三
根据流体的连续性方程，这两部分液 流的质量应相等，即mABB'A‘= mCDD'C‘。 又知ABB'A'部分的液流速度是叶轮流 道进口处的流速c1∞，CDD'C'部分的液 流速度是叶轮出口处的流速c2∞。
§ 1.2 离心泵的基本方程式
就整个叶轮来说．dt时间内流过叶轮的流体质量为
m A 'B 'A 'B m C'C D ' D Q T dt
速度液，以体矢质量点相c对表于示静，止其的大壳小体和的方运向动由速圆度周，速称度为和绝相对对
速度的矢量合成而决定。如图c所示，即
c u w
§ 1.2 离心泵的基本方程式
u和由c此这可三以个作速出度叶矢轮量中必任将一组液成体一质个点封的闭三的个三速角度形矢，量称w之、
为速度三角形，如图所示。